高考尖子生培优专题04：爪子定理、投影法、极化恒等式、等和线及矩形大法讲义-2027届高考数学一轮复习(新高考专用)

该高中数学讲义聚焦平面向量高考核心考点，整合爪子定理、投影法、极化恒等式、等和线及矩形大法五大解题技巧，按线性表示、数量积、模长问题的逻辑层次构建知识体系。通过技巧梳理、例题精讲、变式训练、综合应用四环节，帮助学生突破向量范围与最值难点，体现复习的系统性与针对性。 资料以几何直观与代数转化为特色，如极化恒等式教学中对比平行四边形与三角形模型，引导学生用数学思维建立数量积与几何长度的联系。设计“技巧+真题”分层训练，如等和线解决圆内接四边形系数和问题，培养数学眼光，助力学生高效掌握解题策略，为教师把控复习节奏提供实用指导。

以笔为剑，横扫数学题海；以智为盾，勇闯高考难关，高考必胜！ 尖子生培优专题04：爪子定理、投影法、极化恒等式、等和线及矩形大法 解题技巧一 爪子定理的应用 5 解题技巧二 向量投影法求范围与最值 7 解题技巧三 极化恒等式的应用 8 解题技巧四 系数和（等和线、等值线）的应用 9 解题技巧五 向量矩形大法求范围与最值 11 解题技巧六 范围与最值综合问题 12 思维导图 一、“爪子定理”字型图及性质： （1）已知为不共线的两个向量，则对于向量，必存在，使得。则三点共线 当，则与位于同侧，且位于与之间 当，则与位于两侧 时，当，则在线段上；当，则在线段延长线上 （2）已知在线段上，且，则 2．中确定方法 （1）在几何图形中通过三点共线即可考虑使用“爪”字型图完成向量的表示，进而确定 （2）若题目中某些向量的数量积已知，则对于向量方程，可考虑两边对同一向量作数量积运算，从而得到关于的方程，再进行求解 （3）若所给图形比较特殊（矩形，特殊梯形等），则可通过建系将向量坐标化，从而得到关于的方程，再进行求解 二、向量数量积投影法 如图， 对于，其中是在上的投影， 在Rt△PBH中，故， 考虑到可能为钝角，故写成. 三、极化恒等式 (1)平行四边形模型：向量的数量积等于以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线长”与“差对角线长”平方差的，即(如图). (2)三角形模型：向量的数量积等于第三边的中线长与第三边长的一半的平方差，即(M为BC的中点)(如图). 极化恒等式表明，向量的数量积可以由向量的模来表示，可以建立起向量与几何长度之间的等量关系. 1.极化恒等式的证明过程与几何意义 (1)平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和： . 证明：不妨设，则，， ①， ②， ①②两式相加得： . (2)极化恒等式： 上面两式相减，得：————极化恒等式 平行四边形模式： 在上述图形中设平行四边形 对角线交于 点, 则对于三角形来说: 四、等和线 平面内一组基向量及任意向量, 五、等差线 平面内一组基向量及任意向量,C为线段AB的中点 六、向量的矩形特征 ①已知点P是矩形ABCD所在平面上的任意一点，则：. ②矩形所在平面内任一点到其两对角线端点的距离的平方和相等 已知点P是矩形ABCD所在平面上的任意一点，则： 证明：由极化恒等式得 因为矩形ABCD，所以，则由①、②可得 由可得. 经典重现+解题技巧 解题技巧一 爪子定理的应用 解题技巧： 爪子定理（又称三点共线定理）指出：若 且 ，则 三点共线；反之亦然。它揭示了向量线性表示中系数和为1与三点共线的等价关系，常用于证明共线、求参数值或表示点的位置。 1. 在直线 上 存在实数 使得 。 2. 若 在线段 上且 ，则 。3. 常用于解决向量线性表示中的参数问题，如“已知 ，且 共线，求 ”。 【例1】（2026·浙江·模拟预测）已知点是的重心，点是所在平面内一点.若，且，则（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（25-26高三下·安徽六安·阶段检测）如图，O是锐角三角形ABC的外心，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，若，则（   ） A． B． C． D．1 【变式1-2】（25-26高三下·宁夏中卫·开学考试）如图，设，线段与交于点，且，通过计算得到：，则的最小值为（ ） A．5 B．9 C． D． 【变式1-3】（2026·湖南·模拟预测）如图，中，，为边靠近的三等分点，为中点，过作垂线交于点，，若，则（   ） A． B．4 C． D．8 解题技巧二 向量投影法求范围与最值 向量投影法：是指一个向量在另一个向量方向上的投影长度，公式为 。通过将目标量转化为投影问题，可利用几何意义（如点到直线距离、圆上动点到定直线投影的最值）直观求解范围与最值。 1.当 固定时， 的最大最小值即为 乘以 在 方向上的投影的最大最小值。 2.若 的终点在某个曲线（如圆、线段）上运动，则投影最值往往在端点或与直线垂直时取得。 3.常用于圆上动点与定点数量积的最值问题，转化为点到直线距离。 【例2】（2025·天津河北·二模）是等腰直角三角形，其中，是所在平面内的一点，若（且），则在上的投影向量的长度的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（24-25高三上·江苏盐城·期中）已知点O为的外心，且向量，，若向量在向量上的投影向量为，则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】（2024·宁夏·一模）窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图1是一个正八边形窗花隔断，图2是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图.如图2，若正八边形ABCD-EFGH的边长为2，P是正八边形ABCD-EFGH八条边上的动点，则的最小值为（   ） A． B．0 C． D． 【变式2-3】（2025·重庆·三模）正六边形在中国传统文化中象征着 “六合” 与 “六顺” ， 这种形状常被用于各种传统装饰和建筑中，如首饰盒、古建筑的窗户、古井口等. 已知 6 个边长均为 2 的正六边形的摆放位置如图所示， 是这 6 个正六边形内部 (包括边界) 的动点，则 的最大值为（    ） A．12 B．16 C．18 D．20 解题技巧三 极化恒等式的应用 极化恒等式：。它将向量的数量积转化为两个向量和与差的模平方差，特别适用于处理共起点或共终点的向量数量积问题，尤其在求最值时极为有效。 常用变形： 其中 为 中点。2. 在三角形中，极化恒等式可表示为 （ 为 中点），用于求中线相关数量积。3. 适用于圆上的动点问题，如“圆上一点到两定点数量积的最值”。 【例3】（2026·云南曲靖·二模）已知正方形的边长为2，为该正方形内切圆的直径，点P在正方形的边上运动，则的最大值为（   ） A． B．1 C． D．2 【变式3-1】（2026·山东滨州·二模）在平行四边形中，为边上的动点，为外接圆的圆心，且.若，则的最大值为（   ） A． B．1 C． D．2 【变式3-2】（2026·广西贵港·三模）已知，点是直线上的任意一点，点在曲线上，点是线段的中点，则的最小值为（    ） A． B．1 C． D． 【变式3-3】（25-26高三上·安徽·阶段检测）在等腰梯形 中， ，， 是线段 上的动点，则 的最小值为（     ） A． B． C． D．0 解题技巧四 系数和（等和线、等值线）的应用 解题技巧：等和线（等值线）是解决形如 中 为定值的问题的几何方法。通过构造平行线，将系数和转化为点到直线的距离比或相似比，从而直观求解取值范围或最值。 核心结论：与 平行的直线上任意一点 满足 （常数），且 等于该直线到 的距离与 所在直线到 的距离之比。2. 当 在 内部（含边界）时， 的取值范围为 ；当 在 上时，。3. 常用于求形如 的最值，或已知 的范围求动点轨迹。 【例4】（25-26高三上·四川成都·期末）如图，圆的内接四边形的面积为，已知，，若，则（    ） A． B．3 C． D．2 【变式4-1】（2026山东烟台·三模）如图，边长为2的等边的外接圆为圆，点为圆上任意一点，若，则的最大值为（    ）    A． B．2 C． D．1 【变式4-2】（多选）（25-26高三上·江苏盐城·期末）如图，点B是线段的中点，，点是平行四边形内（含边界）的一点，且，以下结论中正确的是（    ） A．当是线段的中点时， B．当时， C．当为定值时，点的轨迹是一条线段 D．的最大值为 【变式4-3】（2026·安徽铜陵·模拟预测）在中，点D为边的中点，过点D的直线与，两边（或其延长线）分别交于点E，F，设，，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 解题技巧五 向量矩形大法求范围与最值 解题技巧（核心结论+判定方法） 向量矩形大法：基于矩形的一个性质：平面内任意一点 到矩形两相邻顶点 的距离平方和等于到另两个顶点 的距离平方和。利用此性质可将向量模长平方和转化为定值，从而简化最值问题。 1.应用矩形性质：设矩形 中，，对角线交点为 。则对任意点 ，有 等变形。常用结论： 等。 2.矩形大法核心：，这是平行四边形性质，也是矩形对角线平方和等于四边平方和。2. 常用于处理两个相互垂直向量的模长平方和或数量积问题，通过构造矩形将对角线长度转化为已知量。3. 若问题涉及圆上动点到两定点距离的平方和，可考虑用矩形性质转化为到中心距离的定值。 【例5】已知圆的圆心为（0,0），半径为3，圆的圆心为（0,0），半径为6，定点，A、B分别在圆和圆上，满足，则线段AB的取值范围是 ． 【变式5-1】在平面内，已知，，，若，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【变式5-2】已知向量，，满足，，，且，则的取值范围是__________. 【变式5-3】已知，，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 解题技巧六 范围与最值综合问题 解题技巧（核心结论+判定方法） 平面向量中的范围与最值问题往往综合运用多种技巧，如投影法、极化恒等式、等和线、坐标法等。解题关键是根据条件选择合适方法，将向量问题转化为代数函数或几何最值问题，利用函数单调性、基本不等式、几何直观求解。 一、选择转化策略： 1. 坐标法：建立直角坐标系，将向量坐标化，转化为函数最值。 2. 几何意义法：将目标量解释为距离、投影、面积等，利用几何直观。 3. 基底法：选基底，将向量线性表示，转化为系数范围问题（如等和线）。 4. 特殊技巧：如极化恒等式、矩形大法、投影法等。 二、求解最值 1. 代数法：二次函数配方法、基本不等式、导数法。 2. 几何法：垂线段最短、圆的性质、三角形不等式等。 3. 三角换元法：利用三角函数有界性。 【例6】（25-26高三上·安徽六安·月考）(多选题)正方形ABCD的边长为4，E是BC中点，如图，点P是以AB为直径的半圆上任意点，，则（    ） A．最大值为1 B．最大值为2 C．最大值是8 D．最大值是 【变式6-1】（2025·山东临沂·三模）在平行四边形中，，，，为边上一点，若，则线段的长为（    ） A． B． C．3 D． 【变式6-2】（25-26高三上·浙江·阶段练习）如图，在中，，，，为与的交点，则向量在上的投影向量的模的最小值为（    ）    A． B． C． D． 【变式6-3】（2025·天津·高考真题）中，D为AB边中点，，则 （用，表示），若，，则 1．（25-26高三上·天津滨海新区·阶段检测）窗花是贴在窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图1是一个正八边形窗花，图2是从窗花图中抽象出几何图形的示意图.已知正八边形的边长为4，P是正八边形边上任意一点，则以下结论正确的个数是（   ） ①的最大值为 ②在方向上的投影向量为 ③ ④若函数，则函数的最小值为 A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 2．（25-26高三上·北京通州·期末）已知点为所在平面内一点，，，若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高一下·重庆·阶段检测）如图，设，线段DE与BC交于点，且，则的最小值为（    ） A．8 B．9 C． D． 4．（25-26高三上·湖南长沙·阶段检测）如图，在中，点是的中点，过点的直线分别交直线，于不同的两点，，若 则 的最小值为（    ）    A．2 B．9 C．10 D．18 5．（25-26高三·全国·一轮复习）在中，，P是BN上的一点，若，则实数m的值为______.    6．（25-26高三上·江苏宿迁·期末）已知点为的外心，且向量，，若向量在向量上的投影向量为，则的值为______. 7．（2023·天津河西·二模）窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图l是一个正八边形窗花隔断，图2是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图．如图2，正八边形ABCDEFGH中，若，则的值为______；若正八边形ABCDEFGH的边长为2，P是正八边形ABCDEFGH八条边上的动点，则的取值范围是______． 8．（2026·天津和平·二模）已知边长为3的正方形，F为边上靠近点B的三等分点，E为线段上一点，M为线段上一点，若，则__________；若以为底边作等腰三角形，则当点E在边上运动时，的取值范围为__________. 9．（2026高三·全国·专题练习）如图，正六边形的边长为，半径为的圆的圆心为正六边形的中心，若点在正六边形的边上运动，动点、在圆上运动且关于圆心对称，则的最大值为______ 10．（2026·天津红桥·一模）四边形中，，则实数___________；若是线段上的动点，且，则的最小值为___________． 2 学科网（北京）股份有限公司 $以笔为剑，横扫数学题海；以智为盾，勇闯高考难关，高考必胜！ 尖子生培优专题04：爪子定理、投影法、极化恒等式、等和线及矩形大法 解题技巧一 爪子定理的应用 5 解题技巧二 向量投影法求范围与最值 8 解题技巧三 极化恒等式的应用 12 解题技巧四 系数和（等和线、等值线）的应用 16 解题技巧五 向量矩形大法求范围与最值 21 解题技巧六 范围与最值综合问题 25 思维导图 一、“爪子定理”字型图及性质： （1）已知为不共线的两个向量，则对于向量，必存在，使得。则三点共线 当，则与位于同侧，且位于与之间 当，则与位于两侧 时，当，则在线段上；当，则在线段延长线上 （2）已知在线段上，且，则 2．中确定方法 （1）在几何图形中通过三点共线即可考虑使用“爪”字型图完成向量的表示，进而确定 （2）若题目中某些向量的数量积已知，则对于向量方程，可考虑两边对同一向量作数量积运算，从而得到关于的方程，再进行求解 （3）若所给图形比较特殊（矩形，特殊梯形等），则可通过建系将向量坐标化，从而得到关于的方程，再进行求解 二、向量数量积投影法 如图， 对于，其中是在上的投影， 在Rt△PBH中，故， 考虑到可能为钝角，故写成. 三、极化恒等式 (1)平行四边形模型：向量的数量积等于以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线长”与“差对角线长”平方差的，即(如图). (2)三角形模型：向量的数量积等于第三边的中线长与第三边长的一半的平方差，即(M为BC的中点)(如图). 极化恒等式表明，向量的数量积可以由向量的模来表示，可以建立起向量与几何长度之间的等量关系. 1.极化恒等式的证明过程与几何意义 (1)平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和： . 证明：不妨设，则，， ①， ②， ①②两式相加得： . (2)极化恒等式： 上面两式相减，得：————极化恒等式 平行四边形模式： 在上述图形中设平行四边形 对角线交于 点, 则对于三角形来说: 四、等和线 平面内一组基向量及任意向量, 五、等差线 平面内一组基向量及任意向量,C为线段AB的中点 六、向量的矩形特征 ①已知点P是矩形ABCD所在平面上的任意一点，则：. ②矩形所在平面内任一点到其两对角线端点的距离的平方和相等 已知点P是矩形ABCD所在平面上的任意一点，则： 证明：由极化恒等式得 因为矩形ABCD，所以，则由①、②可得 由可得. 经典重现+解题技巧 解题技巧一 爪子定理的应用 解题技巧： 爪子定理（又称三点共线定理）指出：若 且 ，则 三点共线；反之亦然。它揭示了向量线性表示中系数和为1与三点共线的等价关系，常用于证明共线、求参数值或表示点的位置。 1. 在直线 上 存在实数 使得 。 2. 若 在线段 上且 ，则 。3. 常用于解决向量线性表示中的参数问题，如“已知 ，且 共线，求 ”。 【例1】（2026·浙江·模拟预测）已知点是的重心，点是所在平面内一点.若，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用重心的性质及平面向量基本定理即可求解. 【详解】因为点是的重心，所以，即， ， 又不共线，所以，故. 故选：C 【变式1-1】（25-26高三下·安徽六安·阶段检测）如图，O是锐角三角形ABC的外心，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，若，则（   ） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】首先由条件等式两边乘以，再结合数量积公式以及正弦定理，边角互化，化简等式，即可求的值. 【详解】对于式子变为 两边同乘，可得，即 ，化简为， 由正弦定理得，，即 移项得到：，因为，故，故. 【变式1-2】（25-26高三下·宁夏中卫·开学考试）如图，设，线段与交于点，且，通过计算得到：，则的最小值为（ ） A．5 B．9 C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用共线向量定理的推论及基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【详解】由，三点共线，得，即， 所以， 当且仅当，即时取等号. 故最小值为. 【变式1-3】（2026·湖南·模拟预测）如图，中，，为边靠近的三等分点，为中点，过作垂线交于点，，若，则（   ） A． B．4 C． D．8 【答案】A 【分析】利用共线向量定理及平面向量基本定理用表示，再利用数量积运算律求解. 【详解】由为边靠近的三等分点，得， 不妨设，由三点共线得， 设，则， 又不共线，则有， 即，解得，即， 由，得，因，， 因此 ， 因， 所以. 解题技巧二 向量投影法求范围与最值 向量投影法：是指一个向量在另一个向量方向上的投影长度，公式为 。通过将目标量转化为投影问题，可利用几何意义（如点到直线距离、圆上动点到定直线投影的最值）直观求解范围与最值。 1.当 固定时， 的最大最小值即为 乘以 在 方向上的投影的最大最小值。 2.若 的终点在某个曲线（如圆、线段）上运动，则投影最值往往在端点或与直线垂直时取得。 3.常用于圆上动点与定点数量积的最值问题，转化为点到直线距离。 【例2】（2025·天津河北·二模）是等腰直角三角形，其中，是所在平面内的一点，若（且），则在上的投影向量的长度的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量共线定理的推论，投影向量的概念，数形结合，即可求解． 【详解】设，（且）， 则（且）， 则在线段上，如图所示，    当与重合时，在上的投影向量的长度取得最大值，最大值为； 当与重合时，在上的投影向量的长度取得最小值，最小值为； 则在上的投影向量的长度的取值范围是． 故选：B. 【变式2-1】（24-25高三上·江苏盐城·期中）已知点O为的外心，且向量，，若向量在向量上的投影向量为，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题可得，从而得到为直角三角形，由投影向量的概念求解. 【详解】因为， 所以， 即，所以在上，故的外接圆以为圆心，为直径， 所以为直角三角形，且，为中点， 因为向量在向量上的投影向量为， 故, 由于为锐角，所以 故选：B． 【变式2-2】（2024·宁夏·一模）窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图1是一个正八边形窗花隔断，图2是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图.如图2，若正八边形ABCD-EFGH的边长为2，P是正八边形ABCD-EFGH八条边上的动点，则的最小值为（   ） A． B．0 C． D． 【答案】C 【分析】根据的位置进行分类讨论，根据向量数量积运算求得正确答案. 【详解】设， 当与重合时，； 当在线段（除）、线段、线段，线段，线段（除）点上运动时， ，所以， 当与重合时，，所以， 以为原点，、分别为轴建立平面直角坐标系， 根据正八边形的性质可知，， 则， 直线的方程为，直线的方程为，直线的方程为， 当在线段（除）上运动时，设， 所以， 当在线段上运动时，设， 所以， 当在线段（除）上运动时，设， 所以. 综上所述，的最小值为. 故选：C 【变式2-3】（2025·重庆·三模）正六边形在中国传统文化中象征着 “六合” 与 “六顺” ， 这种形状常被用于各种传统装饰和建筑中，如首饰盒、古建筑的窗户、古井口等. 已知 6 个边长均为 2 的正六边形的摆放位置如图所示， 是这 6 个正六边形内部 (包括边界) 的动点，则 的最大值为（    ） A．12 B．16 C．18 D．20 【答案】C 【分析】过C作交延长线于E点，则，当C位于D点时，取得最大值，求此时的数量积即可. 【详解】 过C作交延长线于E点，则， 因为 6 个正六边形边长均为 2，如图，当C位于D点时，取得最大值， 此时， ， 故选：C. 解题技巧三 极化恒等式的应用 极化恒等式：。它将向量的数量积转化为两个向量和与差的模平方差，特别适用于处理共起点或共终点的向量数量积问题，尤其在求最值时极为有效。 常用变形： 其中 为 中点。2. 在三角形中，极化恒等式可表示为 （ 为 中点），用于求中线相关数量积。3. 适用于圆上的动点问题，如“圆上一点到两定点数量积的最值”。 【例3】（2026·云南曲靖·二模）已知正方形的边长为2，为该正方形内切圆的直径，点P在正方形的边上运动，则的最大值为（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】取正方形内切圆圆心，再利用向量数量积的运算律列式求解. 【详解】依题意，正方形的内切圆的半径为1，设圆心为O， 则， 当点P为正方形的顶点时，有最大值，所以的最大值为1． 【变式3-1】（2026·山东滨州·二模）在平行四边形中，为边上的动点，为外接圆的圆心，且.若，则的最大值为（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】C 【分析】根据题意确定为直角三角形并求出线段的长，然后以为基底去计算的值即可. 【详解】由可知为的中点，又因为为外接圆的圆心， 所以为直角三角形，，所以， 又因为所以，所以， 又因为E为边上的动点，所以 ， 因为，所以当，的最大值为. 【变式3-2】（2026·广西贵港·三模）已知，点是直线上的任意一点，点在曲线上，点是线段的中点，则的最小值为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【分析】由极化恒等式可得，原题转化为求的最小值。先对给定N，研究P点满足方程，求出此时的最小值，再对任意点N，通过导数分析，可进一步求出取得的最小值． 【详解】设C是线段AB的中点，则， 并对任意点，有， 由题易得直线AB的方程为，对于给定上的， 设在直线AB上，则， 消去参数，得，整理后得， 所以对于给定，的最小值为C点到P点所在直线的距离，即， 设（），则， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 所以在处取得最大值， 所以，当且仅当时取等号，即， 故． 【变式3-3】（25-26高三上·安徽·阶段检测）在等腰梯形 中， ，， 是线段 上的动点，则 的最小值为（     ） A． B． C． D．0 【答案】B 【分析】方法一：建立平面直角坐标系，设 ，写出对应点坐标，根据平面向量数量积坐标运算建立等式计算即可求解；方法二：由极化恒等式列式计算即可. 【详解】方法一：以 为原点，射线 为 轴正半轴建立直角坐标系，如图所示：    ，则 ， 设 ，其中 ，则 ， ， 当 时， 取得最小值为 . 方法二：极化恒等式 设 的中点为 ，则 ， 当 为 中点时， 取得最小值为 . 故选：B. 解题技巧四 系数和（等和线、等值线）的应用 解题技巧：等和线（等值线）是解决形如 中 为定值的问题的几何方法。通过构造平行线，将系数和转化为点到直线的距离比或相似比，从而直观求解取值范围或最值。 核心结论：与 平行的直线上任意一点 满足 （常数），且 等于该直线到 的距离与 所在直线到 的距离之比。2. 当 在 内部（含边界）时， 的取值范围为 ；当 在 上时，。3. 常用于求形如 的最值，或已知 的范围求动点轨迹。 【例4】（25-26高三上·四川成都·期末）如图，圆的内接四边形的面积为，已知，，若，则（    ） A． B．3 C． D．2 【答案】A 【详解】由，则.四边形内接于圆，则四边形为等腰梯形. 设等腰梯形高为，又面积为，则等腰梯形高为， 则. 法一：取中点，直线相交于，在中，， ，则，所以. ，又三点共线， 则，则. 法二：， 所以 所以， 所以. 故选：A. 【变式4-1】（2026山东烟台·三模）如图，边长为2的等边的外接圆为圆，点为圆上任意一点，若，则的最大值为（    ）    A． B．2 C． D．1 【答案】A 【分析】作的平行线与圆相交于点，与直线相交于点，与直线相交于点．设，所以，设，结合图形得出，由条件结合平面向量基本定理可得出与的关系，进而可得结果． 【详解】作的平行线与圆相交于点，与直线相交于点，与直线相交于点，    设，因为三点共线，所以， 等边三角形边长为2，则外接圆半径为， 由，可设， 当过点且与圆相切时，取最小值0， 当与在点的同侧，且与圆相切于点时，取最大值， 此时，，则取最大值， 所以， ， 又，则，得， 所以，则的最大值为． 故选：A． 【变式4-2】（多选）（25-26高三上·江苏盐城·期末）如图，点B是线段的中点，，点是平行四边形内（含边界）的一点，且，以下结论中正确的是（    ） A．当是线段的中点时， B．当时， C．当为定值时，点的轨迹是一条线段 D．的最大值为 【答案】ACD 【分析】结合平面向量的线性运算、三点共线等知识对选项逐一分析，从而确定正确选项. 【详解】对于A，当是线段的中点时，， 所以，所以A正确. 对于B，当时，取线段，线段的中点，分别记为，则平行于. 延长与直线交于点，则，. 所以，所以，所以点的轨迹为线段. 当点与重合时，. 当点与重合时，. 所以.所以B不正确. 对于C，当为定值2时，. 令，可得三点共线. 分别取线段的中点，记为，所以，即. 连接交于点，则. 所以点的轨迹是线段，所以C正确. 对于D，由于平行四边形在的左上方，且三点共线，所以. 所以，所以，即当时，取得最大值，此时点与点重合，所以D正确. 故选：ACD. 【变式4-3】（2026·安徽铜陵·模拟预测）在中，点D为边的中点，过点D的直线与，两边（或其延长线）分别交于点E，F，设，，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用三点共线的向量表示求得的等量关系式，再利用基本不等式求得的最小值. 【详解】因为是的中点，所以， 由于三点共线，所以，其中， ， 当且仅当，即时等号成立. 所以的最小值为. 解题技巧五 向量矩形大法求范围与最值 解题技巧（核心结论+判定方法） 向量矩形大法：基于矩形的一个性质：平面内任意一点 到矩形两相邻顶点 的距离平方和等于到另两个顶点 的距离平方和。利用此性质可将向量模长平方和转化为定值，从而简化最值问题。 1.应用矩形性质：设矩形 中，，对角线交点为 。则对任意点 ，有 等变形。常用结论： 等。 2.矩形大法核心：，这是平行四边形性质，也是矩形对角线平方和等于四边平方和。2. 常用于处理两个相互垂直向量的模长平方和或数量积问题，通过构造矩形将对角线长度转化为已知量。3. 若问题涉及圆上动点到两定点距离的平方和，可考虑用矩形性质转化为到中心距离的定值。 【例5】已知圆的圆心为（0,0），半径为3，圆的圆心为（0,0），半径为6，定点，A、B分别在圆和圆上，满足，则线段AB的取值范围是 ． 【答案】 【解析】以为邻边作矩形，则 由得 ，即， 的轨迹是以为圆心，半径为的圆， ， ． 【变式5-1】在平面内，已知，，，若，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为， 所以四边形是平行四边形， 又，所以四边形是矩形， 从而，因为，所以，即 【变式5-2】已知向量，，满足，，，且，则的取值范围是__________. 【答案】 【详解】如图所示，令，，，易知， 则作矩形，根据矩形大法可知， 即， 根据，， 即， 【变式5-3】已知，，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题设向量模长和垂直条件，考虑运用几何法求解，由想到构造矩形，运用极化恒等式推导出结论，求得,最后用三角形三边关系定理得到的范围，转化即得. 【详解】 如图，设，，，点在圆上， 点在圆上，则，，由可得：， 作矩形, 则. 下证： . 设交于点，连接,因则 ， 同理可得：，两式左右分别相加得： ， . 即，故. 又，因， 即，故有． 故选:C． 解题技巧六 范围与最值综合问题 解题技巧（核心结论+判定方法） 平面向量中的范围与最值问题往往综合运用多种技巧，如投影法、极化恒等式、等和线、坐标法等。解题关键是根据条件选择合适方法，将向量问题转化为代数函数或几何最值问题，利用函数单调性、基本不等式、几何直观求解。 一、选择转化策略： 1. 坐标法：建立直角坐标系，将向量坐标化，转化为函数最值。 2. 几何意义法：将目标量解释为距离、投影、面积等，利用几何直观。 3. 基底法：选基底，将向量线性表示，转化为系数范围问题（如等和线）。 4. 特殊技巧：如极化恒等式、矩形大法、投影法等。 二、求解最值 1. 代数法：二次函数配方法、基本不等式、导数法。 2. 几何法：垂线段最短、圆的性质、三角形不等式等。 3. 三角换元法：利用三角函数有界性。 【例6】（25-26高三上·安徽六安·月考）(多选题)正方形ABCD的边长为4，E是BC中点，如图，点P是以AB为直径的半圆上任意点，，则（    ） A．最大值为1 B．最大值为2 C．最大值是8 D．最大值是 【答案】ACD 【分析】如图，以线段AB所在直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系， 设，,又，利用向量的坐标运算，结合三角函数的性质逐一求解即可. 【详解】如图，以线段AB所在直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系， 设， 又， 则， ，即 ， 解得， 因为，则， ，其中，为锐角， 当，即时，取最大值，故A正确，B错误； ，C正确； ， 其中，为锐角 当，即时，取最大值，D正确 故选：ACD. 【变式6-1】（2025·山东临沂·三模）在平行四边形中，，，，为边上一点，若，则线段的长为（    ） A． B． C．3 D． 【答案】A 【分析】利用向量垂直则数量积为0，求出，再平方求向量的模即可. 【详解】设，如图， 因为， 所以, 即，解得， 所以， ， 故选：A 【变式6-2】（25-26高三上·浙江·阶段练习）如图，在中，，，，为与的交点，则向量在上的投影向量的模的最小值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，利用三点共线，三点共线，得，解得，最后求出投影向量，利用基本不等式即可求解. 【详解】由题，设， 因为三点共线，三点共线，所以，解得， 所以， 则， 当且仅当，即时等号成立， 故选：C. 【变式6-3】（2025·天津·高考真题）中，D为AB边中点，，则 （用，表示），若，，则 【答案】 ； 【分析】根据向量的线性运算求解即可空一，应用数量积运算律计算求解空二. 【详解】如图， 因为，所以，所以． 因为D为线段的中点，所以； 又因为，所以， ，所以 所以， 所以 ． 故答案为：；. 1．（25-26高三上·天津滨海新区·阶段检测）窗花是贴在窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图1是一个正八边形窗花，图2是从窗花图中抽象出几何图形的示意图.已知正八边形的边长为4，P是正八边形边上任意一点，则以下结论正确的个数是（   ） ①的最大值为 ②在方向上的投影向量为 ③ ④若函数，则函数的最小值为 A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】根据题意建立平面直角坐标系，写出相关点坐标，设，利用余弦定理可得，对于①，取的中点为可推出，结合图形可知当点与点或点重合时取得最大值，计算可知①正确；对于②，根据投影向量定义计算可判断其错误；对于③，代入点坐标计算可知错误；对于④，将点坐标代入所求函数，整理并根据二次函数性质求得其最小值为，可知④错误. 【详解】易知正八边形的每条边所对的圆心角都是，所以， 以所在直线为轴，以所在直线为轴，建立平面直角坐标系，如下图所示：    设，在中，由余弦定理，, 可得， 且 . 对于①，取的中点为，则,且； 则； 由正八边形的对称性可知当点与点或点重合时，取得最大值， 不妨取，则，则, 所以， 因此，即①正确； 对于②，易知， 所以在方向上的投影向量为，因此②错误； 对于③，易知， 而，因此，即③错误； 对于④，易知 由可得： ， 由二次函数性质可知当时，取得最小值， 所以函数的最小值为，因此④错误. 因此只有①正确. 故选：B 2．（25-26高三上·北京通州·期末）已知点为所在平面内一点，，，若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先由条件可得，再建立平面直角坐标系得，再进一步判断点A在优弧上，落在角的终边上，再用三角函数来解决取值范围问题. 【详解】由，所以点为的外心，又因为，所以. 设，再以点为原点，分别以所在直线为轴建立平面直角坐标系，如图： 则，所以， 又因为，所以，即. 又因为，所以点A在优弧上，所以落在角的终边上， 由三角函数的定义有，即， 所以，又因为，所以， ，，所以. 故选：C 3．（25-26高一下·重庆·阶段检测）如图，设，线段DE与BC交于点，且，则的最小值为（    ） A．8 B．9 C． D． 【答案】D 【分析】根据向量的线性运算，结合向量共线定理可得，即可利用基本不等式求解最值. 【详解】解：由，，又，故，所以. 因为，所以，又三点共线， 所以. 因此，当，时，， 当且仅当，即时取等号，所以最小值为. 4．（25-26高三上·湖南长沙·阶段检测）如图，在中，点是的中点，过点的直线分别交直线，于不同的两点，，若 则 的最小值为（    ）    A．2 B．9 C．10 D．18 【答案】B 【分析】根据向量共线的知识和基本不等式的性质进行求解即可. 【详解】因为是的中点，所以. 因为，所以. 由于三点共线，所以可以表示为的线性组合， 即. 所以，即. 因为，所以. 当且仅当时，即时等号成立. 由于，所以解得，此时最小值为9. 故选：B. 5．（25-26高三·全国·一轮复习）在中，，P是BN上的一点，若，则实数m的值为______.    【答案】 【分析】先根据得到，从而可得，再根据共线定理的推论，即可得到的值. 【详解】因为，所以，又， 所以， 因为点三点共线，所以，解得. 故答案为： 6．（25-26高三上·江苏宿迁·期末）已知点为的外心，且向量，，若向量在向量上的投影向量为，则的值为______. 【答案】 【分析】由题可得，从而得到为直角三角形，由投影向量的概念求解. 【详解】因为， 所以，即， 所以在上， 又因为点为的外心， 所以的外接圆以为圆心，为直径， 所以为直角三角形，且，为中点，    因为向量在向量上的投影向量为， 所以，即， 又，所以 由于为锐角，所以 故答案为： 7．（2023·天津河西·二模）窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图l是一个正八边形窗花隔断，图2是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图．如图2，正八边形ABCDEFGH中，若，则的值为______；若正八边形ABCDEFGH的边长为2，P是正八边形ABCDEFGH八条边上的动点，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】以点为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立平面直角坐标系，由，列出方程组，求得，从而得到；设，则，由线性规划可求得的取值范围. 【详解】 ，以点为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立平面直角坐标系， 正八边形内角和为，则， 不妨设边长为2，所以, , 因为，则， 所以，解得， 所以； 设，则，则， 令，即，由线性规划知平行移动直线，当此直线经过时有最小值, 当此直线经过时有最大值, 所以， 取值范围 . 故答案为：，. 【点睛】方法点睛：在解决向量数量积、向量的模、向量的夹角等有关问题，以及在求有关最大、最小值问题时，常常会碰到某些难以突破的几何关系.在题目所给出的几何条件、几何关系或所隐藏的几何关系相对较难寻找的情况下，运用数量积的定义、向量的几何意义难以完成解题思路时，可建立直角坐标系、运用坐标法解决问题的意识、运用向量的坐标运算、寻找出变量与变量之间的关系、运用函数与方程求最值的方法、基本不等式等解决问题的方法是一种非常好的思想方法. 8．（2026·天津和平·二模）已知边长为3的正方形，F为边上靠近点B的三等分点，E为线段上一点，M为线段上一点，若，则__________；若以为底边作等腰三角形，则当点E在边上运动时，的取值范围为__________. 【答案】 【分析】以为原点建立坐标系，设，由三点共线，，结合列方程组求解即可；根据即可求解． 【详解】解：如图，以为原点建立坐标系， 则，设， 三点共线，则， 又， ，解得， ； 设的中点为， ， ， 又E为线段上一点， ， ． 9．（2026高三·全国·专题练习）如图，正六边形的边长为，半径为的圆的圆心为正六边形的中心，若点在正六边形的边上运动，动点、在圆上运动且关于圆心对称，则的最大值为______ 【答案】11 【详解】连接、、、，则为的中点，利用平面向量数量积的运算性质得出，数形结合求出的最大值，即可得出的最大值. 如下图所示，连接、、、，则为的中点， 则，且，故是边长为的等边三角形， 易知，则 ， 当且仅当与正六边形的顶点重合时，取最大值11. 10．（2026·天津红桥·一模）四边形中，，则实数___________；若是线段上的动点，且，则的最小值为___________． 【答案】 / 【分析】（1）根据和向量的数量积定义式计算. （2）建立平面坐标系，设，用表示出，根据二次函数性质得出最小值． 【详解】 因为，所以， 又因为，所以， 所以， 所以； 过作，垂足为， 所以为直角三角形，， 所以，， 由勾股定理可得，， 以为原点，以，所在直线为坐标轴建立平面坐标系如图所示： 由，可知，， 则，设， 由可得：，， 所以，， 所以， 当时，取得最小值. 2 学科网（北京）股份有限公司 $