专题5.5 平面向量之向量极化恒等式和三角形四心 讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习讲义聚焦平面向量极化恒等式及三角形重心、内心、外心、垂心四大核心考点，按“概念梳理-结论推导-例题精讲-分层练习”逻辑架构整合知识，通过考点溯源（如极化恒等式平行四边形与三角形模型关联）、方法提炼（如解题步骤“找共起点向量-作中线转化”）、真题演练（精选12道典型例题及配套练习题），帮助学生构建系统知识网络，突破向量与几何综合应用难点。 资料以数学思维培养为核心，创新采用“模型化教学”策略，如用矩形大法推导极化恒等式推论，结合奔驰定理证明四心向量关系，引导学生从几何直观中抽象数量规律。设置基础巩固（如重心坐标计算）、能力提升（如外心轨迹问题）、综合应用（如垂心与外心联动题）三级练习，配合结论推导过程展示（如重心向量表达式推导），助力学生在短时间内掌握解题通法，为教师精准把控复习进度、提升学生应考能力提供实用教学工具。

专题5.5 平面向量之向量极化恒等式和三角形四心 5.5.1 向量极化恒等式 1.平行四边形模型：如图所示：以AB，AD为一组邻边构造平行四边形ABCD，，，则，，由，得.即“从平行四边形一个顶点出发的两个边向量的数量积是和对角线与差对角线长平方差的”. 推论（中线定理）：. 2.三角形模型（最常用）：，D为BC中点，可以用平行四边形模型结论推导,但做题时这样推导更简单： . 3.解题步骤：（1）找出共起点向量数量积.（2）作中线，利用极化恒等式表达. 4.矩形大法： 如图，在矩形ABCD中，若对角线AC和BD交于点O，P为平面内任意一点，有以下两个重要的向量关系：①；②. ①证明：中线定理可知：，，又AO=BO. 所以. ②证明：极化恒等式可知： ，，又AO=BO. 所以. 例1.设向量满足,,则（ ） A.1 B.2 C.3 D.5 解：因为， ，故选A. 例2.已知是边长为2的等边三角形，为平面内一点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 解：法一：建立如图所示的坐标系，以中点为坐标原点， 则，设， 则,， 则 当时，取得最小值，故选：. 法二：极化恒等式，取中点，取中点，则， 等边， 为动点..故选：. 例3.已知是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量满足，则的最大值是（ ） A.1 B.2 C. D. 解：法一：由于垂直，不妨设，， 则. ，表示到原点的距离， 表示圆心，为半径的圆，因此的最大值，故答案为C. 法二：如图所示构造矩形CADB，令，矩形大法可知. 例4.已知是边长为2正三角形，为线段上一点（包含端点），则的取值范围为( ) A. B. C. D. 解：法一：以中点为坐标原点，正方向为轴可建立如下图所示平面直角坐标系， 则,,,设, ∴,,∴, 则当时，；当时，； 的取值范围为.故选：A. 法二：以为邻边构造矩形，矩形大法可知 由图易知在时取到最大值为2，在中点时取到最小值为， ∴的取值范围为.故选：A. 1.在中，是中点，，，则= . 解：由三角形中线版极化恒等式：， .故答案为：-5. 2.已知向量满足，，则= . 解：通用极化恒等式：. 故答案为：8. 3.在平行四边形中，，，，则= . 解：先求数量积：， 由，则.故答案为：24. 4.中，，，为中点，，则中线的长为 . 解：由向量中线公式：，两边平方， 代入：， .故答案为：. 5.已知矩形，，，对角线交于，为平面内一点，满足，则= . 解：矩形对角线，， 由极化恒等式：，代入条件：， .故答案为：. 6.在中，，点为线段上一动点，若最小值为，则的面积为 . 解：法一：由题意，设，在三角形中，由余弦定理变形可得： ，因为点为线段上一动点，再设， 此时，即. 因为， 所以， 令关于的二次函数， 所以其最小值为：. 解得，所以， 三角形的面积：.故答案为：. 法二：极化恒等式，取中点，则令，， 时，， ，作，， 所以.故答案为：. 7.如图，在四边形中，，且，则实数的值为    ，若是线段上的动点，且，则的最小值为 . 解：法一：∵，∴，∴. 则，解得，以点为坐标原点，所在直线为轴建立如下图所示的平面直角坐标系， ∵，∴，∵，∴A的坐标为. ∵,则，设，则(其中)， 则， 则，所以，当时，取得最小值.故答案为： 第二空法二：极化恒等式，取中点，则， 时，DP取最小值，，， . 8.在中，.为所在平面内的动点，且，则的取值范围是( ) A. B. C. D. 解：方法一：解：依题意如图建立平面直角坐标系， 则.因为，所以在以为圆心，1为半径的圆上运动. 设,,所以,, 所以 ,其中 因为,所以,即.故选：D 方法二：以为邻边构造矩形，矩形大法可知由图易知共线时取到最值，简单计算可知.故选：D. 9.已知直角三角形中，，点在以为圆心且与边相切的圆上，则的最大值为( ) A. B. C. D. 解：法一：以为原点建系，, ,即,故圆的半径为. ∴圆,设中点为. ∴. ∴，∴.故选：D. 法二：以为邻边构造矩形,矩形大法可知. 由图易知共线时取到最值，简单计算可知.故选：D. 10.在直角三角形中，点是斜边的中点，点为线段的中点，则( ) A.2 B.4 C.5 D.10 解：如图所示构造矩形,矩形大法可知. 故选：D. 11.已知向量满足，则的最大值是 . 解：如图所示构造矩形 ，令 , 矩形大法可知 . .故答案为：6. 12.如图，已知圆半径为2，是圆内一定点，，圆上的两动点满足，存在点使构成矩形，则的取值范围是 . 解：首先证明在 为矩形 平面内的任意一点，则，如图所示：设, , , 则, , 故. 故, 故, 设, 故. 故答案为：. 5.5.2 三角形的重心 1.重点概念：中线的交点，重心将中线长度分成，既是每个中线的三等分点. 2.相关结论：已知的顶点，，，重心. （1）. 推导过程：. （2）用坐标表达(1)即可得. （3）. 推导过程：由（1）可知：，，. 由这几个式子可得. （4）. （5）平面内任意一点，则. 例1.在中，为重心，，，，求. 解：由重心向量公式：， 两边平方：， 模长取正值：. 例2.已知和点满足.若存在实数使得成立，则 . 解：因为和点满足，所以,又,故.故答案为：3. 例3.在中，过重心的直线交边于点，交边于点(为不同两点)，且，，则的取值范围为 . 解：由题意，延长交于，则是中点， ， 又，所以， 又三点共线，所以， ，设，则， 时，递减，时，递增， ，又，即， 所以的取值范围是，故答案为：. 1.已知顶点，，重心，则顶点的坐标为 . 解：设，由重心坐标公式列方程：. 故答案为：. 2.在中，为重心，设，，用表示= . 解：，则. 故答案为：. 3.为重心，已知，，，则= . 解：由重心性质，得. 两边平方：. 向量模长为正，故.故答案为：2. 4.已知，，点满足，为的重心，则的取值范围（为坐标原点）为 . 解：设，重心，由重心坐标公式：， 则，.将其代入点轨迹方程：， 整理得：，即. 即重心的轨迹是以为圆心、半径的圆. 原点到圆心距离，由圆上点到定点距离范围： .故取值范围为.故答案为：. 5.如图所示，中为重心，过点，，，则 . 解：设，根据题意，， 三点共线，则存在,使得,即,即, ,整理得,所以.故答案为：3. 6.在平行四边形中，为的重心，，则（ ） A. B.2 C. D.3 解：如图， 设与相交于点,由为的重心，可得为的中点，,则 ,可得,故.故选：C. 7.边长为2的正中，为重心，为线段上一动点，则（ ） A.1 B.2 C. D. 解：如图：以所在直线为轴，线段的垂直平分线所在直线为轴， 建立如图所示直角坐标系， 由题意可知：, 因为为的重心，所以,因为点为线段上一动点，设点,所以,则.故选：B. 8.在中，为重心，为边上近点四等分点，，则（ ） A. B. C. D. 解：连接延长交于点，则点为的中点，连接, 所以 ，所以，.故选：B. 5.5.3 三角形的内心 1.内心概念：角平分线的交点（内切圆的圆心），角平分线上的任意点到角两边的距离相等. 2.已知内心，且为所对边，则有如下相关结论： （1）初中知识：修正：； （2）或（可用（1）和奔驰定理证明）； （3）动点满足（），则直线平分； 推导：令和分别为和方向上的单位向量， 是以和为一组邻边的平行四边形且从出发的一条对角线向量， 由此平行四边形为菱形，故在平分线上， 而，即在平分线上，得证. （4）动点满足（），则直线平分的邻补角； （5）（由（4）可推导）； （6）平面内任意一点，则. 推导：；代入即证， 易得 例1.在内部，满足，则（ ） A.平分 B. C.平分 D.平分 解：沿外角平分线；因为，则外角平分线； 同一顶点内、外角平分线互相垂直，故是内角平分线.故选：A. 例2.顶点，三角形三边长分别为：，求内心坐标. 解：分母总长：， 故横坐标：. 纵坐标：. 故内心坐标为. 例3.（多选），，为内心，下列正确的是（ ） A. B. C.，则过内心 D. 解：A：错误；标准比例，； B：正确；内心核心奔驰等式； C：正确；是内角平分线，内心在角平分线上； D：错误；由正弦定理可推出.故选：BC. 例4.是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足，则的轨迹一定通过的( ) A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心 解：∵，∴，令，则是以为始点， 向量与为邻边的菱形的对角线对应的向量，即在的平分线上. ∵，∴共线，故点的轨迹一定通过的内心，故选：B. 1.已知三边，内心为，下列恒成立的是（ ） A. B. C. D. 解：奔驰定理：三角形内一点满足； 内心到三边距离均为，； 面积比，代入奔驰定理约去，得. 故选：A. 2.顶点，则内心坐标为 . 解：求三边：； 代入内心坐标公式：， ，故内心为.故答案为：. 3.动点满足，则是的（ ） A.内角平分线 B.外角平分线 C.中线 D.高 解：是反向单位向量，与模长相等； 二者构成菱形邻边，对角线平分的补角（外角）； 与该对角线共线，故平分外角.故选：B. 5.平面内及一点满足，则是的( ) A.重心 B.内心 C.外心 D.垂心 解：由知，， 即，即，则是的角平分线. 同理，即，则是的角平分线，则点是 的内心.故选：B. 6.已知点是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足，则点的轨迹一定通过的( ) A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心 解：分别表示方向的单位向量，令，， 则，即.又，以为一组邻边作一个菱形，则点在该菱形的对角线上，所以点在，即的平分线上， 故动点的轨迹一定通过的内心.故选：B. 7.已知非零向量和满足，且，则为( ) A.等边三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.三边均不相等的三角形 解：即方向上的单位向量，即方向上的单位向量，向量与的平分线共线.又由可知的平分线与对边垂直，则是等腰三角形，即.，. ，，为等边三角形.故选：A. 8.在中，，点分别在线段上，且为中点，，若，则直线经过的( ) A.内心 B.外心 C.重心 D.垂心 解：因为,且为中点，，则. 又因为，则可得四边形为菱形，即为菱形的对角线，所以平分，即直线经过的内心.故选：A. 9.中，为内心，则= . 解：边长：；取中点，等腰三角形，，；面积，半周长； 由得内切圆半径；，故； 向量夹角：沿向上，水平向右，； 数量积：.故答案为：. 5.5.4 三角形的外心 1.外心概念：中垂线的交点（外接圆的圆心），外心到三角形各顶点的距离相等. 2.相关结论： （1）；定义即证. （2）. 推导：第一行正弦定理即证，第二行利用圆心角和圆周角二倍关系即证. （3）；证：奔驰定理和(2)即证. （4）. （5）平面内任意一点，动点满足，取中点，则直线垂直平分，（ ）. 推导：， 则. 例1.若为外心，内角，下列等式恒成立的是（ ） A. B. C. D. 解：A：原图核心结论，结合奔驰定理与外心面积比直接推导，恒成立； B：型等式为内心正弦形式恒等式； C：无对应几何定理，不成立； D：边长加权等式为内心奔驰定理.故选：A. 例2.的外心满足，，则的面积为（ ） A. B. C. D. 解：设的中点为，则可化为，即，∴三点共线且，为等腰三角形，由垂径定理得，代入数据得，解之：. ∴.故选：B. 例3.在中，设，那么动点的轨迹必通过的（ ） A.垂心 B.内心 C.外心 D.重心 解：设的中点是，， 即，所以，所以动点在线段的中垂线上， 故动点的轨迹必通过的外心，故选：C. 例4.中，为边上的高且，动点满足，则点的轨迹一定过的（ ） A.外心 B.内心 C.垂心 D.重心 解：设，，以为原点，、方向为、轴正方向如图建立空间直角坐标系： ∵，∴，，则，，，，则，设，则，∵，∴，即，即点的轨迹方程为，而直线平分线段，即点的轨迹为线段的垂直平分线，根据三角形外心的性质可得点的轨迹一定过的外心，故选：A. 1.若是的外心，则下列等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 解：A：外心为外接圆圆心，到三顶点距离均等于外接圆半径，恒成立； B：是重心向量等式，与外心无关； C：是内心奔驰定理等式； D：仅等边三角形满足，普通三角形不成立.故选：A. 2.若是外心，则面积比（ ） A. B. C. D. 解：圆心角与圆周角关系：； 三角形面积公式（为两边夹角）： . 约去公共系数，面积比为.故选：B. 3.在中，为中点，动点满足， 则直线满足（ ） A. B. C.中线 D. 解：中点向量变形：，原式化为； 两边点乘可证，即；为中点，直线垂直平分.故选：B. 4.已知是的外心，且满足，若在上的投影向量为，则（ ） A. B. C. D. 解：由题知，，所以，即，所以三点共线，且是的中点，因为是的外心，所以是圆的直径，故是以为直角顶点的直角三角形，过向作垂线，垂足为，如图所示： 因为在上的投影向量为，所以在上的投影向量为：，而，则.故选：C. 5.已知是的外心，且，则（ ） A. B. C.或 D.或 解：因为是的外心，所以， 由题知，两边平方得：. 即， 即，所以， 则，又由，得， 因为，则与外心在的异侧，即在劣弧上，所以为钝角，即. 故选：B. 6.已知是平面上的一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足，，则动点的轨迹一定通过的（ ） A.重心 B.外心 C.内心 D.垂心 解：设的中点为，因为， 所以，即，两端同时点乘， 所以 ，所以，所以点在的垂直平分线上，即经过的外心.故选：B. 7.已知为锐角三角形的外心，，则的值为（ ） A. B. C. D. 解：设锐角三角形的外接圆的半径为，即， ， ，显然是锐角，因为为锐角三角形的外心，所以在锐角三角形内部，由圆的性质可知：，显然是锐角，，或舍去，故选：A. 8.（多选）0若为外心，内角，下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 解：A：正确；外心到三顶点距离等于外接圆半径； B：正确；原图标准面积比例结论； C：错误；仅与垂直，和无垂直关系； D：正确；外心二倍角奔驰向量恒等式.故选：ABD. 9.已知是外心，求证：. 证明：奔驰定理：对三角形内任意一点，满足 . 外心面积公式：设外接圆半径，圆心角， 则 面积比例：； 将面积代入奔驰定理，约去公共系数，得：. 原式得证. 10.若为边中点，平面内任意一点. 动点满足. 求证：直线垂直平分. 证明：中点向量变形：，原式移项得 ， 等式两边同时点乘：， 向量夹角化简：与夹角为，故； 与夹角为，故； 代入约分： ，又是中点，因此直线垂直平分. 5.5.5 三角形的垂心 1.垂心概念：高线的交点，高线与对应边垂直. 2.已知垂心，垂心的相关结论： （1）. 推导：由垂心易知，，. （2）. 推导其中一组，其余同理： 作. . （3）.（奔驰定理和(2)可证） （4）. 推导其中一组，其余同理： 得证. （5）动点满足，则直线垂直. 推导：. （6）外心，垂心，则. 推导：由外心O得：. 垂心，则，则. （7）外心，重心，垂心则共线；且. 推导：重心. 则，由结论(6)可得：. 例1.（多选）点在所在的平面内，则以下说法正确的有（ ） A.已知平面向量满足，且，则是等边三角形 B.若，则点为的垂心 C.若，则点为的外心 D.若，则点为的内心 解：解：选项A，平面向量满足， 且，，∴， 即，则， ∴的夹角为，同理的夹角也为，∴是等边三角形，故A正确； 选项B，向量分别表示在边和上的单位向量，设为和，则它们的差是向量，则当，即时，点在的平分线上，同理由，知点在的平分线上，故为的内心而不一定是垂心，故B错误； 选项C，是以为邻边的平行四边形的一条对角线，而是该平行四边形的另一条对角线，表示对角线垂直，从而这个平行四边形是菱形，即，同理有，于是为的外心，故C正确； 选项D，由得， ，即，，同理可证， ，即点是的垂心而不定时内心，故D错误.故选：AC. 例2.是所在平面上一点，若，则是的（ ） A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心 解：因为，则，所以，同理可得，，故是的垂心.故选：D. 例3.动点满足，求证： 证明：计算向量数量积：， 根据向量夹角公式：， ， 代入化简得：， 因为，故，得证. 例4.（多选）对于给定的，其外心为，重心为，垂心为，内心为，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D.若三点共线，则存在实数使 解：对于A：给定的，其外心为，所以，故A不正确； 对于B：因为为给定的的垂心，故， 即， 解得：，故B正确； 对于C：因为重心为，则有， 所以，故C正确； 对于D：由于点在的平分线上，和为单位向量，所以与的平分线对应向量共线，所以存在实数使，故D正确.故选：BCD. 1.锐角垂心为，，求= . 解：垂心面积结论：，直接代入正切值得比值. 故答案为：. 2.为垂心，求证： 证明：平面向量奔驰定理：对内一点，有， 代入垂心，结合， 设， 代入奔驰等式，两边同除以即得：. 3.已知点是所在平面内一点，且满足，则直线必经过的（ ） A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心 解：两边同乘以向量，得，，即点在边的高线上，所以的轨迹过的垂心，故选D. 4.点在所在的平面内，则以下说法正确的有（ ） A.若，则点为的重心 B.若，则点为的垂心 C.若，则点为的外心 D.若，则点为的内心 解：对于A，设边、、的中点分别为、、，，则，所以，所以、、三点共线，即点在中线上，同理点在中线、上，则是的重心，故A正确. 对于B，若，则，所以为的外心，故B错误. 对于C，设边、、的中点分别为点、、，则，所以为线段的中垂线，同理、分别为线段、的中垂线，所以是的外心，故C正确. 对于D，由已知，，即垂直，也即点在边的高上；同理，点也在边、的高上，所以则是的垂心，故D错误. 故选：AC. 5.若为所在平面内一点，且则点是的（ ） A.重心 B.外心 C.内心 D.垂心 解：， 得，即； ，得，即； ， ，即，所以为的垂心.故选：D. 6.锐角中，为垂心，，，，求. 解：利用三角形三角恒等式：. 由得，代入：， 整理解得：. 垂心面积比例：， 设比例系数为，则，得. 总面积求和：. 7.顶点，完成以下问题： (1)求垂心坐标； (2)验证； (3)验证. 解：（1）求垂心坐标： ，高线斜率为，过，方程：； ，高线斜率为，过，方程：； 联立两条高线方程，解得垂心. （2）验证向量数量积： 求出坐标，分别计算数量积，可得，结论成立. （3）验证平方恒等式：分别计算，代入得，恒等式成立. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题5.5 平面向量之向量极化恒等式和三角形四心 5.5.1 向量极化恒等式 1.平行四边形模型：如图所示：以AB，AD为一组邻边构造平行四边形ABCD，，，则，，由，得.即“从平行四边形一个顶点出发的两个边向量的数量积是和对角线与差对角线长平方差的”. 推论（中线定理）：. 2.三角形模型（最常用）：，D为BC中点，可以用平行四边形模型结论推导,但做题时这样推导更简单： . 3.解题步骤：（1）找出共起点向量数量积.（2）作中线，利用极化恒等式表达. 4.矩形大法： 如图，在矩形ABCD中，若对角线AC和BD交于点O，P为平面内任意一点，有以下两个重要的向量关系：①；②. ①证明：中线定理可知：，，又AO=BO. 所以. ②证明：极化恒等式可知： ，，又AO=BO. 所以. 例1.设向量满足,,则（ ） A.1 B.2 C.3 D.5 例2.已知是边长为2的等边三角形，为平面内一点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 例3.已知是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量满足，则的最大值是（ ） A.1 B.2 C. D. 例4.已知是边长为2正三角形，为线段上一点（包含端点），则的取值范围为( ) A. B. C. D. 1.在中，是中点，，，则= . 2.已知向量满足，，则= . 3.在平行四边形中，，，，则= . 4.中，，，为中点，，则中线的长为 . 5.已知矩形，，，对角线交于，为平面内一点，满足，则= . 6.在中，，点为线段上一动点，若最小值为，则的面积为 . 7.如图，在四边形中，，且，则实数的值为    ，若是线段上的动点，且，则的最小值为 . 8.在中，.为所在平面内的动点，且，则的取值范围是( ) A. B. C. D. 9.已知直角三角形中，，点在以为圆心且与边相切的圆上，则的最大值为( ) A. B. C. D. 10.在直角三角形中，点是斜边的中点，点为线段的中点，则( ) A.2 B.4 C.5 D.10 11.已知向量满足，则的最大值是 . 12.如图，已知圆半径为2，是圆内一定点，，圆上的两动点满足，存在点使构成矩形，则的取值范围是 . 5.5.2 三角形的重心 1.重点概念：中线的交点，重心将中线长度分成，既是每个中线的三等分点. 2.相关结论：已知的顶点，，，重心. （1）. 推导过程：. （2）用坐标表达(1)即可得. （3）. 推导过程：由（1）可知：，，. 由这几个式子可得. （4）. （5）平面内任意一点，则. 例1.在中，为重心，，，，求. 例2.已知和点满足.若存在实数使得成立，则 . 例3.在中，过重心的直线交边于点，交边于点(为不同两点)，且，，则的取值范围为 . 1.已知顶点，，重心，则顶点的坐标为 . 2.在中，为重心，设，，用表示= . 3.为重心，已知，，，则= . 4.已知，，点满足，为的重心，则的取值范围（为坐标原点）为 . 5.如图所示，中为重心，过点，，，则 . 6.在平行四边形中，为的重心，，则（ ） A. B.2 C. D.3 7.边长为2的正中，为重心，为线段上一动点，则（ ） A.1 B.2 C. D. 8.在中，为重心，为边上近点四等分点，，则（ ） A. B. C. D. 5.5.3 三角形的内心 1.内心概念：角平分线的交点（内切圆的圆心），角平分线上的任意点到角两边的距离相等. 2.已知内心，且为所对边，则有如下相关结论： （1）初中知识：修正：； （2）或（可用（1）和奔驰定理证明）； （3）动点满足（），则直线平分； 推导：令和分别为和方向上的单位向量， 是以和为一组邻边的平行四边形且从出发的一条对角线向量， 由此平行四边形为菱形，故在平分线上， 而，即在平分线上，得证. （4）动点满足（），则直线平分的邻补角； （5）（由（4）可推导）； （6）平面内任意一点，则. 推导：；代入即证， 易得 例1.在内部，满足，则（ ） A.平分 B. C.平分 D.平分 例2.顶点，三角形三边长分别为：，求内心坐标. 例3.（多选），，为内心，下列正确的是（ ） A. B. C.，则过内心 D. 例4.是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足，则的轨迹一定通过的( ) A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心 1.已知三边，内心为，下列恒成立的是（ ） A. B. C. D. 2.顶点，则内心坐标为 . 3.动点满足，则是的（ ） A.内角平分线 B.外角平分线 C.中线 D.高 5.平面内及一点满足，则是的( ) A.重心 B.内心 C.外心 D.垂心 6.已知点是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足，则点的轨迹一定通过的( ) A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心 7.已知非零向量和满足，且，则为( ) A.等边三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.三边均不相等的三角形 8.在中，，点分别在线段上，且为中点，，若，则直线经过的( ) A.内心 B.外心 C.重心 D.垂心 9.中，为内心，则= . 5.5.4 三角形的外心 1.外心概念：中垂线的交点（外接圆的圆心），外心到三角形各顶点的距离相等. 2.相关结论： （1）；定义即证. （2）. 推导：第一行正弦定理即证，第二行利用圆心角和圆周角二倍关系即证. （3）；证：奔驰定理和(2)即证. （4）. （5）平面内任意一点，动点满足，取中点，则直线垂直平分，（ ）. 推导：， 则. 例1.若为外心，内角，下列等式恒成立的是（ ） A. B. C. D. 例2.的外心满足，，则的面积为（ ） A. B. C. D. 例3.在中，设，那么动点的轨迹必通过的（ ） A.垂心 B.内心 C.外心 D.重心 例4.中，为边上的高且，动点满足，则点的轨迹一定过的（ ） A.外心 B.内心 C.垂心 D.重心 1.若是的外心，则下列等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 2.若是外心，则面积比（ ） A. B. C. D. 3.在中，为中点，动点满足， 则直线满足（ ） A. B. C.中线 D. 4.已知是的外心，且满足，若在上的投影向量为，则（ ） A. B. C. D. 5.已知是的外心，且，则（ ） A. B. C.或 D.或 6.已知是平面上的一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足，，则动点的轨迹一定通过的（ ） A.重心 B.外心 C.内心 D.垂心 7.已知为锐角三角形的外心，，则的值为（ ） A. B. C. D. 8.（多选）0若为外心，内角，下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 9.已知是外心，求证：. 10.若为边中点，平面内任意一点. 动点满足. 求证：直线垂直平分. 5.5.5 三角形的垂心 1.垂心概念：高线的交点，高线与对应边垂直. 2.已知垂心，垂心的相关结论： （1）. 推导：由垂心易知，，. （2）. 推导其中一组，其余同理： 作. . （3）.（奔驰定理和(2)可证） （4）. 推导其中一组，其余同理： 得证. （5）动点满足，则直线垂直. 推导：. （6）外心，垂心，则. 推导：由外心O得：. 垂心，则，则. （7）外心，重心，垂心则共线；且. 推导：重心. 则，由结论(6)可得：. 例1.（多选）点在所在的平面内，则以下说法正确的有（ ） A.已知平面向量满足，且，则是等边三角形 B.若，则点为的垂心 C.若，则点为的外心 D.若，则点为的内心 例2.是所在平面上一点，若，则是的（ ） A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心 例3.动点满足，求证： 例4.（多选）对于给定的，其外心为，重心为，垂心为，内心为，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D.若三点共线，则存在实数使 1.锐角垂心为，，求= . 2.为垂心，求证： 3.已知点是所在平面内一点，且满足，则直线必经过的（ ） A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心 4.点在所在的平面内，则以下说法正确的有（ ） A.若，则点为的重心 B.若，则点为的垂心 C.若，则点为的外心 D.若，则点为的内心 5.若为所在平面内一点，且则点是的（ ） A.重心 B.外心 C.内心 D.垂心 6.锐角中，为垂心，，，，求. 7.顶点，完成以下问题： (1)求垂心坐标； (2)验证； (3)验证. 1 学科网（北京）股份有限公司 $