26.4 实际问题与二次函数（应用题） 同步练 2026-2027学年人教版数学九年级上册

**基本信息** 聚焦二次函数实际应用，分层设计从基础表达式求解到综合动态问题，覆盖建筑、运动等多元情境，强化数学建模与应用能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|单一二次函数表达式与基本应用|如建筑拱檐（题1）、面碗截面（题11）直接应用，培养抽象能力| |情境应用|结合几何/经济/运动的情境问题|如乒乓球轨迹（题2）、灌溉装置（题3）需情境转化，发展推理意识| |综合探究|动态几何与多知识点综合|如动点与正方形重合面积（题9）需动态分析，提升创新意识|

26.4 实际问题与二次函数（应用题） 同步练 2026-2027学年上学期初中数学人教版（新教材）九年级上册 1．西安东站坐落于西安灞桥区，东依白鹿原、西邻浐河，是西北地区特大型综合交通枢纽，也是西安“米”字形高铁网核心枢纽之一，以“秦山渭水、丝路长安”为设计理念，如图①，其站房主门楼顶部采用大气、对称的抛物线形拱檐设计，线条流畅优美，其拱檐轮廓可近似看作开口向下的抛物线的一部分．如图②，现以拱檐对称轴与水平地面的交点为坐标原点，水平向右为轴，竖直向上为轴建立平面直角坐标系，结合东站实景真实比例：拱檐左右两端檐口水平总跨度为，檐口离地高度为，拱檐拱顶最高处离地高度为． (1)求该抛物线的表达式； (2)为美化夜景，需要在拱檐安装亮化灯带，要求灯带安装位置离地高度不低于，求灯带两端水平距离的最大长度． 2．乒乓球被誉为我国的“国球”，备受人们喜爱．已知标准乒乓球台（如图1）长为，小明购买了一台发球机辅助练习乒乓球，抛球口B距离台面，如图2，以所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系，收球口C距离台面，乒乓球从抛球口落到左台上的点处弹起越过球网（标准高度为），落在球台右侧点E处并弹起，则发球成功，乒乓球在空中的轨迹分别由三条抛物线的一部分，，组成，反弹后的抛物线与原抛物线关于过反弹点垂直于轴的直线成轴对称，其中段抛物线的对称轴是y轴． (1)求所在抛物线的解析式；（用含n的代数式表示） (2)若发球成功，求n的取值范围； (3)若乒乓球从点E处弹起后运动到点A的正上方F处，且F处的高度与C处的高度相同． ①求n的值； ②若小明在F处击球，使球落在球台左侧的台面上点处后弹起，正好进入收球口，若球在球网正上方距台面的高度h满足，直接写出t的取值范围． 3．如图①，有一移动灌溉装置喷出水柱的路径可近似地看作一条抛物线，该灌溉装置的喷水头到水平地面的距离为1米，喷出的抛物线形水柱对称轴为直线．用该灌溉装置灌溉一坡地草坪，其水柱的高度y（单位：米）与水柱落地处距离喷水头的距离x（单位：米）之间的函数关系式为，其图像如图②所示．已知坡地所在直线经过点．    (1)的值为______； (2)若，求水柱与坡面之间的最大铅直高度； (3)若点B横坐标为18，水柱能超过点B，则a的取值范围为______； (4)若时，到喷水头水平距离为16米的A处有一棵新种的银杏树需要被灌溉，园艺工人将灌溉装置水平向后移动4米，试判断灌溉装置能否灌溉到这棵树，并说明理由． 4．某食品厂生产一种半成品食材，产量p（百千克）与销售价格x（元/千克）满足函数关系式 ，从市场反馈的信息发现，该半成品食材的市场需求量q（百千克）与销售价格x（元/千克）满足一次函数关系，如下表： 销售价格x（元/千克） 2 4 10 市场需求量q/（百千克） 12 10 4 已知按物价部门规定销售价格x不低于2元/千克且不高于10元/千克 (1)求q与x的函数关系式； (2)当产量小于或等于市场需求量时，这种半成品食材能全部售出，求此时x的取值范围； (3)当产量大于市场需求量时，只能售出符合市场需求量的半成品食材，剩余的食材由于保质期短而只能废弃，若该半成品食材的成本是2元/千克． ①求厂家获得的利润y（百元）与销售价格x的函数关系式； ②当厂家获得的利润y（百元）随销售价格x的上涨而增加时，直接写出x的取值范围．（利润售价成本） 5．在开封古城墙遗址旁，考古队要保护一段城墙（长约），他们想用的围栏围出一个矩形保护区域，如图所示，一面利用现存城墙，设垂直于城墙的边长为，并在边上留一个宽为的门． (1)若矩形区域长比宽多，求此时长方形的长． (2)设长方形区域的长为，请写出y与x的函数关系式，并求出x的最小值． (3)求长方形区域的面积S的最大值． 6．如图，在矩形中，，，点P从点A出发沿以的速度向点B匀速移动；同时，点Q从点B出发沿以的速度向点C匀速移动．设点P运动的时间为． (1)___________，___________（用含t的代数式表示） (2)记的面积为，的面积为． ①试判断是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． ②求的最小值． 7．【背景介绍】某公园准备在一个圆形水池内建一个“音乐喷泉”，圆形水池中心点设为点，其正上方米处安装一个音乐喷泉的喷头（如图）．在忽略空气阻力的情况下，假设喷头喷出的水流运动轨迹呈抛物线型，且水流始终在同一竖直平面内． 【数学建模】以水池中心为原点，建立如图所示的平面直角坐标系（轴在水面水平方向，轴竖直向上），其中为喷泉的喷头位置．在某一固定音乐节奏下，测得喷出的水流到达最高点时的坐标为，随后水流落回水面上的点． (1)【建立模型】求该抛物线的函数表达式； (2)【数据计算】求音乐喷泉水洒落的半径的长（结果保留根号）； (3)【优化设计】公园设计师认为，当水流落点距离中心恰好为5米时，视觉效果最好．在不改变抛物线形状和对称轴情况下，为达到设计师的要求，要把喷泉喷头升高多少米？ 8．多地新能源汽车充电站迎来升级改造，遮阳棚成为标配设施，为车主提供更舒适、安全的充电环境．图①是某弧形遮阳棚横截面的示意图，其中棚顶的横截面可以看作是抛物线的一部分，棚顶的端点为该抛物线的最高点，点到地面的距离为3米，棚顶与立柱的交点到地面的距离为2米，且点和点的水平距离为6米． (1)按如图所示的平面直角坐标系，求抛物线的函数解析式； (2)现有一辆观光车需要充电，如图②是观光车的截面图，已知车身长约5米，车厢最高点与遮阳棚接触点离地面高约米，请通过计算说明这辆观光车是否可以完全停进遮阳棚正下方． 9．综合与实践 为了更好地培养学生的思考与探究能力，张老师以“图形的运动”为主题来开展如下数学活动．如图1，在等腰中，，，动点，同时从点出发，分别沿射线和射线的方向匀速运动，且均以的速度运动．当点停止运动时，点也随之停止运动．连接．以为边向下作正方形，设点的运动时间为（），正方形和四边形重合部分图形的面积为． (1)【直观感知】的长为________（用含的代数式表示）． (2)【初步探究】如图2，当落在上时，求的值． (3)【深入研究】如图3．当在的下方时，求与之间函数关系式． (4)【问题解决】在点，的运动过程中，正方形和四边形重合部分图形的面积的最大值是多少？（直接写出结果） 10．如图1是我国著名建筑“东方之门”，它通过简单的几何曲线处理，将传统文化与现代建筑融为一体，最大程度地传承了中国的历史文化．“门”的内侧曲线呈抛物线形，如图2，已知其底部宽度为80米，高度为200米，求离地面150米处的水平宽度（即的长）．                             11．兰州牛肉面以其独特的风味火遍全围，是行走的兰州历史文化代表，如图，是一个面碗的截面图，碗身可近似看作抛物线，以碗底O为原点建立平面直角坐标系，已知碗口宽28cm，碗深，则当满碗汤面的竖直高度下降6.6cm时，求碗中汤面的水平宽度为多少？（碗的厚度不计）． 12．有心理学家研究发现，学生对某类概念的接受能力y与讲授概念所用时间x（min）之间满足函数关系．y值越大，表示接受能力越强．根据这一结论回答下列问题： (1)将二次函数关系式化成顶点式； (2)x在什么范围内，学生的接受能力逐步增强？在什么范围内，学生的接受能力逐渐降低？ 参考答案 1．(1)该抛物线的表达式为 (2)灯带两端水平距离的最大长度为 （1）设抛物线表达式为：，根据题意可得点坐标为，代入求解即可； （2）要求离地高度不低于，即，将代入抛物线表达式求解即可． （1）解：由题意可知，抛物线对称轴为轴，顶点坐标为， 设该抛物线表达式为， ，， 由对称性得点的坐标为， 将代入表达式得：， 解得， 该抛物线的表达式为． （2）解：要求离地高度不低于，即， 令代入抛物线表达式得 ， 整理得， 解得，， 两个交点的水平距离为：， 因此灯带两端水平距离的最大长度为． 2．(1) (2) (3)①或  ② （1）先利用待定系数法求出所在抛物线的解析式，再根据题意可知所在抛物线与所在抛物线关于直线对称，求出其顶点坐标，即可求出所在抛物线的解析式． （2）由题意得，在所在的抛物线上，求出时y的值为．根据题意可得，若发球成功，则n应满足，求出不等式的解集即可． （3）①由所在抛物线与所在抛物线关于直线对称，可求出所在抛物线的解析式，再将F点的坐标代入表达式中，即可求出n的值． ②设所在抛物线的解析式为，则可得所在的抛物线的解析式为，将、代入中，将代入中，将m、a、k都用含有t的代数式表示出来，即可得到所在的抛物线的解析式．将代入解析式中，求出h的表达式，最后根据，且列不等式组，即可求出t的范围． （1）解：由题知：所在抛物线的顶点为，对称轴为y轴． 设所在抛物线的解析式为， 将代入， 得 ∴所在抛物线的解析式为． 由题知：所在抛物线与所在抛物线关于直线对称， ∴其顶点为， ∴所在抛物线的解析式为：． （2）∵E点和关于直线对称， ∴， ∵，M是的中点， ∴， ∴． 由得， 时，． 若发球成功，则n应该满足， 由②得， 由③得， ∴n的取值范围为． （3）解：①由题意得所在抛物线与所在抛物线关于直线对称， ∴其顶点为， ∴所在抛物线的解析式为：． 由题意得， ∴， 整理得， 解得，， ∴n的值为或． ②设所在抛物线的解析式为，顶点为， 由题知，所在的抛物线与所在的抛物线关于直线对称， ∴其顶点为， ∴所在的抛物线的解析式为． 由题知，经过、，经过 ， ∴， 解得，，． ∴所在的抛物线的解析式为 ， 当时，， 由题意得， 由①得， 由②得， 由③得， ∴t的范围是． 【点睛】本题考查了二次函数与一元二次方程及不等组的综合，难度较大．读懂题意，正确的求出二次函数的表达式，以及正确的列不等组是解题的关键． 3．(1)1 (2)水柱与坡面之间的最大铅直高度为米 (3) (4)水平向后移动4米，不能灌溉到这棵树，理由见解析 （1）代入抛物线与y轴的交点的坐标即可求解； （2）根据已知条件求出抛物线解析式及直线解析式，设抛物线上一点P点横坐标为t，作作轴交于点Q，用t表示P点和Q点的坐标，并计算的长度，建立关于t的二次函数，在取值范围内求最大值即可； （3）代入B点横坐标到一次函数解析式，求出对应纵坐标；代入点、抛物线对称轴及B点横坐标到二次函数解析式，建立不等式进行求解； （4）根据平移求得平移后的抛物线解析式，代入到抛物线解析式和直线解析式进行对比即可． （1）代入到抛物线解析式，得：； 故答案为：1； （2）设抛物线的解析式为 将点代入，得 抛物线的解析式为 即 坡地经过点 的解析式为 如解图，    设抛物线上一点，过点P作轴交于点Q， 则，的长为 ， 函数图像开口向下，d有最大值 根据顶点公式当时，有最大值 水柱与坡面之间的最大铅直高度为米； 故答案为：水柱与坡面之间的最大铅直高度为米； （3）由（2）知，直线的解析式为， 时， ， 抛物线的解析式为，即， 当时，，要使水柱能超过点B则， 解得 故答案为：； （4）不能； 当灌溉装置水平向后移动4米时，由（2）可得平移后的抛物线解析式为． 将代入抛物线解析式，得， 将代入直线OB解析式，得 水平向后移动4米，不能灌溉到这棵树． 【点睛】本题考查二次函数的实际应用，掌握待定系数法求解二次函数解析式和直线解析式、平移规律求二次函数解析式、根据坐标关系及二次函数求线段最大值是解题的关键． 4．(1) (2) (3)① ；② 本题考查了待定系数法求一次函数解析式以及二次函数最值求法等知识，正确得出二次函数解析式是解题的关键． （1）直接利用待定系数法求出一次函数解析式进而得出答案； （2）由题意可得，进而得出x的取值范围； （3）①利用顶点式求出函数最值得出答案；②利用二次函数的增减性得出答案即可． （1）解：设（k，b为常数且），当时，，当时，，代入解析式得：， 解得： ， ∴q与x的函数关系式为：． （2）解：当产量小于或等于市场需求量时，有， ， 解得：， 又， ∴； （3）解：①当产量大于市场需求量时，可得，由题意得：厂家获得的利润是： ； ②∵当时，y随x的增加而增加． 又∵产量大于市场需求量时，有， ∴当 时，厂家获得的利润y随销售价格x的上涨而增加． 5．(1)此时长方形的长为； (2)y与x的函数关系式为，x的最小值为61； (3)长方形区域的面积S的最大值为． （1）根据题意列式，据此计算即可求解； （2）根据题意得，再根据长为，求得，据此计算即可求解； （3）得到二次函数，结合，利用二次函数的性质求解即可． （1）解：设长方形的宽为，则长为， 由题意得：， 解得：, 所以长， 答：此时长方形的长为； （2）解：由题意得：， 所以， 因为城墙长为， 所以，即， 解得：， 所以x的最小值为61， 答：y与x的函数关系式为，x的最小值为61； （3）解：由题意得： ， ∵，， ∴当时，随的增大而减小， ∴当时，有最大值，最大值为4880． 答：长方形区域的面积S的最大值为． 6．(1)， (2)①是，；② 本题主要考查列代数式、三角形的面积和二次函数的性质，正确理解题意是解答本题的关键． （1）根据题意列出相关代数式即可； （2）分别计算出和，①求得是定值；②求得，运用二次函数的性质可得结论． （1）解：∵点P的速度是，运动时间为，所以； 点Q的速度是，运动时间为，所以； ∵， ∴； 故答案为：t，； （2）解：①，， ∴；； ∴； 又矩形的面积为， ； ； ∴ ∴，是定值； ② ∵， ∴当时，取得最小值． 7．(1) (2)米 (3)要把喷泉喷头升高2米． （1）理解题意，先设该抛物线的函数表达式为，再运用待定系数法求出解析式，即可作答． （2）理解题意，把代入计算，再结合在轴的正半轴，故半径的长为米． （3）理解题意，设要把喷泉喷头升高米，得出升高后的抛物线的解析式为，把整理得出的代入计算，即可作答． （1）解：依题意，， ∵最高点时的坐标为， ∴设该抛物线的函数表达式为， 把代入，得 解得， ∴ （2）解：由（1）得， 依题意，把代入， 得 整理得 解得， ∵在轴的正半轴， ∴． ∴半径的长为米． （3）解：由（1）得， 设要把喷泉喷头升高米， 依题意，升高后的抛物线的解析式为 ∵水流落点距离中心恰好为5米， ∴ 把代入， 得 整理得 解得 ∴要把喷泉喷头升高2米． 8．(1)，； (2)解：不可以，理由如下： 根据题意：设点的坐标为， 将代入中， 得， 解得（舍去），． ， ， ， 这辆观光车不可以完全停进遮阳棚正下方． （1）由题可得：抛物线的顶点的坐标为．设与的函数解析式为，再进一步利用待定系数法求解即可． （2）设点的坐标为，代入抛物线的解析式求解，再进一步判断即可． （1）解：由题可得：抛物线的顶点的坐标为． 设与的函数解析式为， 抛物线的函数解析式为． 点的坐标为， 将点代入函数解析式中，得， 解得． 抛物线的函数解析式为，． （2）略 9．(1) (2)2 (3) (4) （1）易得为等腰直角三角形，进行求解即可； （2）易得为等腰直角三角形，得到，再根据，列出方程进行求解即可； （3）设，分别交于点，则为等腰直角三角形，四边形为矩形，求出的长，根据题意，得到重叠部分的面积即为矩形的面积，进行求解即可； （4）分两种情况，进行讨论，求出最值即可. （1）解：由题意，， ∵， ∴； （2）解：∵等腰中，，， ∴， ∵正方形，落在上 ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴； （3）解：当时，设，分别交于点， 则为等腰直角三角形，四边形为矩形， ∵，； ∴， ∴， ∴； （4）解：当时，重叠部分的面积即为正方形的面积， ∴， ∴当时，值最大为； 当时，由（3）可知：； ∴当时，值最大为； ∵， ∴正方形和四边形重合部分图形的面积的最大值是. 10．40 本题主要考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的解析式，是解题的关键．以底部所在的直线为x轴，以线段的垂直平分线所在的直线为y轴建立平面直角坐标系，求出内侧抛物线的解析式为，将代入求出，然后求出即可． 解：以底部所在的直线为x轴，以线段的垂直平分线所在的直线为y轴建立平面直角坐标系，如图所示： 则，， 设内侧抛物线的解析式为：， 将代入得：， 解得：， 内侧抛物线的解析式为， 将代入得：， 解得：， ，， （米）． 11． 本题考查二次函数的应用，根据题意，求出抛物线表达式为，进而根据题得出，代入进行计算即可求解． 解：根据题意得抛物线经过点， 设抛物线表达式为，代入得， 解得： ∴抛物线表达式为， ∵当满碗汤面的竖直高度下降时， ∴碗中汤面高度为， 当时， 解得：， ∴碗中汤面的水平宽度为， 12．(1) (2)当时，学生的接受能力逐步增强；当时，学生的接受能力逐渐降低 本题考查了二次函数的应用，掌握配方法和二次函数的性质是解题的关键． （1）根据配方法求解； （2）根据二次函数的性质求解． （1）解：； （2）解：∵，对称轴为直线， ∴当时，学生的接受能力逐步增强； 当时，学生的接受能力逐渐降低． 学科网（北京）股份有限公司 $