4.1指数课件-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学课件聚焦指数幂从整数到实数的拓展，课堂导入从初中整数指数幂出发，通过平方根、立方根推广到n次方根，构建根式与分数指数幂的联系，形成从已知到未知的学习支架。 其亮点在于以“探索新知”引导学生用数学眼光观察指数幂拓展过程，通过√2近似值逼近实例培养推理意识，例题与辨析强化数学语言表达，帮助学生深化理解，助力教师高效教学。

第四章指数函数与对数函数 4.1指数 人教A版 ( 2019) 必修第一册 1.理解实数指数幂的运算及其性质； 2.会用有理数指数幂逼近无理数指数幂. 学习目标 新课导入 之前幂函数里我们见过 1 这种带分数指数的形式，初中只学过整数指数幂 S² 这种分数指数幂的意义是什么?为了之后能顺利学习指数函数，我们要把指数 从整数拓展到全体实数，第一步就先从熟悉的平方根、立方根往外推广，得到 n次方根，再把根式改写成分数指数幂.今天我们就正式学习指数幂. 探索新知 如果x²=a, 那么x叫做a的平方根 .例如，±2就是4的平方根. 如果x³=a, 那么x叫做a的立方根 .例如，2就是8的立方根. 类似地，由于(±2)⁴=16,我们把±2叫做16的4次方根；由于 2⁵=32,2叫做32的5次方根 . 一般地，如果xᵐ=a ,那么x叫做a的n次方根，其中n>1, 且n ∈N* n次方根 (1) 正数a的偶次方根有两个，它们互为相反数，正、负偶次方根 分别表示为 √a,-√a(n∈N+ ,n 为偶数，a>0). (2) 负数没有偶次方根(负数的偶次方根无意义). n次方根的性质 (3) 正数的奇次方根是一个正数，负数的奇次方根是一个负数，都 表示为“√a( n∈N+, n>1,n 为奇数，a ∈R) (4) 0的任何次方根都是0,记作 √ 0=0( n ∈N+,n> 1) (5)正数a的正n次方根叫做a的n次算术根( n ∈N+,n> 1 n次方根的性质 根据n 次方根的意义，可得(Va "=a. 例如，( √ 5²=5,(-3)⁵=-3. 式子 √a叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数. 根式 思考 Van表示an的n次方根，"an=a 一定成立吗?如果不一定成立， 那么an 等于什么? (2)(Va)n=a(n ∈N+, 且n>1). 根式的性质 (1) √a" 是实数a"的n次方根，是一个恒有意义的式子，不受a的正 负限制，但这个式子的值受n的奇偶限制.其算法是对a先乘方，再开方 (都是n次),结果不一定等于a. 辨析比较 “Van 与( √a)” 的区别 (2)( Va)”是实数a的n次方根的n次幂，其中实数a的取值由n的奇 偶决定.其算法是对a先开方，再乘方(都是n次),结果恒等于a.(n 为偶数时，a≥0;n 为奇数时，a∈R) 辨析比较 “Van 与( √a)” 的区别 例 1 求下列各式的值： (1)³(-8)³; (3) 3-π)⁴ ; (2) √ (-10)2; (4)√a-b)² . 例题 例题 解 ：(1)³ (-8³=-8; (2) √ (-10)²=|-10|=10; (3)4 √ (3-π)⁴=|3- π |=π-3; 根据n 次方根的定义和数的运算，我们知道 a²=a5(a>0), .这就是说，当 根式的被开方数(看成幂的形式)的指数能被根指数整除时，根式可 以表示为分数指数幂的形式 . 探索新知 把根式表示为分数指数幂的形式时，例如，把 √a²,√ b,√5 等写 成下列形式：√ a²=a3(a>0),√b=b2(b>0) ,4c5=C4(c>0), 我们 希望整数指数幂的运算性质，如( ak)"=akn, 对分数指数幂仍然适用. 当根式的被开方数的指数不能被根指数整除时，根式是否也可以 表示为分数指数幂的形式? 思考 我们规定，正数的正分数指数幂的意义是an=”a m(a>0, m n∈N",n>1). 于是，在条件a>0 m n∈N,n>1下 ，根式都 可以写成分数指数幂的形式. 分数指数幂 正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿，我们规定， 分数指数幂 例如， 与0的整数指数幂的意义相仿，我们规定，0的正分数指数幂等于0, 0的负分数指数幂没有意义. 规定了分数指数幂的意义以后，幂ax中指数x的取值范围就从整数拓展到 了有理数. 0的分数指数幂 整数指数幂的运算性质对于有理数指数幂也同样适用，即对于任意有 理数r,s, 均有下面的运算性质. (1) aa⁵=ar+ s(a>0,r,s∈Q); (2) (aT)⁵=arS(a>0,r,s∈Q); (3) (ab)=arbr(a>0,b>0, r∈Q). 有理数指数幂的运算性质 ! :厚本 乙「 ): 魏 例题 例3 用分数指数幂的形式表示并计算下列各式(其中a >0) (1)a².³√a²; (2)√a³a. 解 (1) a² √a² =a ²ai=a²+3=a 例题 例 4 计算下列各式(式中字母均是正数): (3)(³a²-√a³)=a² (2) 例题 √ 2的不足近似值x 5×的近似值 √ 2的过剩近似值y 5的近似值 1.4 9.518269694 1.5 11.18033989 1.41 9.672669973 1.42 9.829635328 1.414 9.735171039 1.415 9.750851808 1.4142 9.738305174 1.4143 9.73987262 1.41421 9.738461907 1.41422 9.738618643 探索新知 根据 √2的不足近似值x 和过剩近似值 y( 如下表),利用计算工具计算相 应的5×,5 的近似值并填入表中，观察它们的变化趋势，你有什么发现? √ 2的不足近似值x 5*的近似值 √ 2的过剩近似值y 5)的近似值 1.414213 9.738508928 1.414214 9.738524602 1.4142135 9.738516765 1.4142136 9.738518332 1.41421356 9.738517705 1.41421357 9.738517862 1.414213562 9.738517736 1.414213563 9.738517752 … · ·… … · 探索新知 探索新知 可以发现，当 √2的不足近似值x 和过剩近似值y 逐渐逼近 √2时，5×和5y 都趋向于同一个数，这个数就是5 √2.也就是说，5 √2是一串逐渐增大的有理数 指数幂51.4,51.41,51.414,51.4142,…和另一串逐渐减小的有理数指数幂515, 51.42,51.415,51.4143,…逐步逼近的结果，它是一个确定的实数.这个过程可以 用下图表示. 51.4 5 1. 41 51.414 51.4142 5√2 51.4143 5 1.415 5 1.42 51.5 参照以上过程，你能再给出一个无理数指数幂，如2 √³,说明它也是一 个确定的实数吗? (1)当 √3的不足近似值从小于 √3的方向逼近 √3时，2 √3的近似值从 小于23的方向逼近2 √3. (2)当 √3的过剩近似值从大于 √3的方向逼近 √3时，2 √3的近似值从 大于23的方向逼近2 √3,故23是一个确定的实数. 思考 一般地，无理数指数幂a(a>0,α 为无理数)是一个确定的实数.这 样，我们就将指数幂aˣ(a>0) 中指数x的取值范围从整数逐步拓展到了实 数.实数指数幂是一个确定的实数. 无理数指数幂 整数指数幂的运算性质也适用于实数指数幂，即对于任意实数 r,s, 均有下面的运算性质. (1)afa⁵=a+S(a> 0, r, s ∈ R); (2)(ar)⁵=arS(a>0,r,s∈R); (3) (ab)r=arbr(a>0,b>0, r∈R). 无理数指数幂的运算性质 当 堂 检 测 1. 已知a>0, 则 A. B C D.a 答案：D 解析： .故选：D 当 堂 检 测 2. 已知a>0, 则3a²√a³ 的分数指数幂的形式为( ) A. B C D 答案：A 解析： .故选：A. 当 堂 检 测 3. 式子 √(π-4)²+3(3-π³的值为( ) A.7-2π B.2π-7 C.-1 D.1 答案：A 解析： ,故选：A. 当 堂 检 测 4. 计算： 答案： π 解析： .故答案为：π. 当 堂 检 测 5. 计算： ;(22 √2-3 当 堂 检 测 答案(1) 解析： 课堂总结 1.n 次方根及其性质 2.根式及其性质 3.分数指数幂及其运算性质 4.无理数指数幂及其运算性质 $