4.2.2 指数函数的图象和性质（二）课件-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学课件聚焦指数函数图像与性质，涵盖象限分布、底数与升降关系、“底大图高”规律及单调性等核心知识点。通过“思维燃烧”问题链导入，衔接指数函数定义旧知，搭建从图像观察到性质应用的学习支架。 其亮点在于以问题驱动培养数学眼光，通过图像辨析（如例1比较底数大小）发展几何直观，题型解析中逻辑推理（如比较0.2^0.3与0.3^0.2）强化数学思维，总结“中间值法”“八字真言”等，用数学语言规范表达。助力学生提升抽象能力与推理意识，为教师提供探究式教学资源，提升课堂效率。

4.2.2 指数函数的图像与性质（二） 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 1 必备知识点　指数函数的图象和性质 R (0，＋∞) (0，1) 0 1 增函数 减函数 y>1 0<y<1 0<y<1 y>1 让你的思维燃烧起来吧！ 1.指数函数图象不可能出现在第几象限？ 答：指数函数的图象只能出现在第一、二象限， 不可能出现在第三、四象限. 2.指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象“升”“降”主要取决于什么？ 答：指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象“升”“降”主要取决于底数a. 当a>1时，图象具有上升趋势； 当0<a<1时，图象具有下降趋势. 3.指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)图象的高低与a的取值有何关系？ 答：指数函数y＝ax的图象如图所示.在第一象限内，底数a自上向下依次递减. 图中底数的大小关系为0＜a4＜a3＜1＜a2＜a1. 在第一象限的图象可简记为“底大图高”. 题型一 ——指数函数的图像 例1　(1)如图所示，曲线C1，C2，C3，C4分别是指数函数y＝ax，y＝bx，y＝cx，y＝dx的图象，则a，b，c，d与1的大小关系是_____________. c>d>1>a>b (2)已知实数a，b满足等式2a＝5b，给出下列五个关系式：①0<b<a；②a<b<0；③0<a<b；④b<a<0；⑤a＝b.其中，可能成立的关系式有(　　) A.1个　　　　 B.2个 C.3个 D.4个 √ 【解析】在同一个坐标系中画出函数y＝2x与y＝5x的图象如图所示， 结合图象可知： 若2a＝5b>1，如图1，则0<b<a，①可能成立； 若2a＝5b＝1，则0＝b＝a，⑤可能成立； 若2a＝5b<1，如图2，则a<b<0，②可能成立. 综上，可能成立的关系式有3个. 巩固训练1 (1)指数函数①f(x)＝mx，②g(x)＝nx满足不等式1>n>m>0，则它们的图象是(　　) √ 【解析】此题应首先根据底数的范围判断图象的升降性，再根据两个底数的大小比较判断对应的曲线.由0<m<n<1可知①②应为两条下降的曲线，故只可能是C或D，进而再判断①②与n和m的对应关系，此时判断的方法很多，不妨选特殊点法，令x＝1，f(1)＝m，g(1)＝n，由m<n可知应选C. 巩固训练2 √ 巩固训练3 函数y＝xa(x≥0)和函数y＝ax(x≥0)在同一坐标系下的图象可能是(　　) √ 【解析】y＝xa(x≥0)必过(0，0)，y＝ax(x≥0)必过(0，1)，D错误；A中，由y＝ax图象知a>1，由y＝xa图象可知0<a<1，故A错误；B中，由y＝ax图象知0<a<1，由y＝xa图象可知a>1，故B错误；C中，由y＝ax图象知0<a<1，由y＝xa图象可知0<a<1，故C正确.故选C. 题型二 ——利用单调性比较大小（可以画图解释） (5)0.20.3，0.30.2. 【解析】　(5)因为0<0.2<0.3<1， 所以指数函数y＝0.2x与y＝0.3x在定义域R上均是减函数，且在区间(0，＋∞)上函数y＝0.2x的图象在函数y＝0.3x的图象的下方， 所以0.20.2<0.30.2. 又根据指数函数y＝0.2x在R上是减函数， 可得0.20.3<0.20.2，所以0.20.3<0.30.2. 探究 比较幂的大小的常用方法： (1)当底数相同，指数不同时，利用指数函数的单调性来判断. (2)当底数不同，指数相同时，利用指数函数图象的变化规律来判断，也可利用幂函数的单调性来判断. (3)当底数不同，且指数也不同时，可通过中间值来比较. 巩固训练1 巩固训练2 巩固训练3 √ 题型三 ——指数函数图像的应用 例3　(1)若函数f(x)＝2ax＋m－n(a>0，且a≠1)的图象恒过点(－1，4)，则m＋n等于(　　) A.3 B.1 C.－1 D.－2 √ 【解析】　由函数f(x)＝2ax＋m－n(a>0，且a≠1)的图象恒过(－1，4)，得m－1＝0，2·am－1－n＝4，解得m＝1，n＝－2，∴m＋n＝－1. (2)利用函数y＝f(x)＝2x的图象，作出下列各函数的图象： ①f(x－1)；②f(|x|)；③f(x)－1；④－f(x)；⑤|f(x)－1|. 【解析】　利用指数函数y＝2x的图象及变换作图法可作出所要作的函数图象.如下图所示. 探究 (1)定点问题：令函数解析式中的指数为0，即可求出横坐标，再求纵坐标即可. (2) 探究 ①对平移问题要牢记八字真言：“左加右减，上加下减”. ②函数y＝a|x|的图象关于y轴对称. ③函数y＝|ax－b|的图象可由函数y＝ax－b的图象保持在x轴上及x轴上方的部分不动，把x轴下方的部分翻折到x轴上方得到. 巩固训练 　(1)不论a(a>0，且a≠1)为何值，函数f(x)＝ax－2＋1的图象一定经过点P，则点P的坐标为________. (2，2) 【解析】　方法一：∵当x－2＝0，即x＝2时，f(x)＝f(2)＝2， ∴点P的坐标为(2，2). 方法二：∵y＝ax(a>0，且a≠1)的图象过定点(0，1)， 而f(x)＝ax－2＋1的图象可由y＝ax的图象先向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度而得到，则点(0，1)先向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度后得到点(2，2). √ 小试牛刀 √ 小试牛刀 2.在同一平面直角坐标系中，函数f(x)＝ax与g(x)＝ax(a＞0，且a≠1)的图象可能是(　　) √ 小试牛刀 3.已知关于x的方程|2x－1|＝a有两个不等实根，则实数a的取值范围是(　　) A.(－∞，0) B.(1，2) C.(0，＋∞) D.(0，1) √ 小试牛刀 4.已知a＝0.80.7，b＝0.80.9，c＝1.20.8，则a，b，c的大小关系是________.(用“>”连接) c>a>b 解析　∵y＝0.8x在定义域上是减函数，∴a＝0.80.7>b＝0.80.9，且1>a>b，又c＝1.20.8>1，∴c>a>b. 小试牛刀 5.若函数f(x)＝(2a－1)x－3－2，且f(x)在R上是减函数，则实数a的取值范围是________，y＝f(x)的图象恒过定点________. (3，－1) 感谢观看与聆听 THANKS a>1 0<a<1 图象 性质 定义域 _____ 值域 __________ 过定点 过定点_______，即x＝____时，y＝_____ 单调性 在R上是________ 在R上是________ 函数值 的变化 当x>0时，_______；当x<0时，_______ 当x>0时，________；当x<0时，_____ 对称性 y＝ax与y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a))) eq \s\up19(x)的图象关于y轴对称 函数y＝ax－eq \f(1,a)(a>0，且a≠1)的图象可能是(　　) 【解析】当a>1时，y＝ax－eq \f(1,a)在定义域R上为增函数，当x＝0时，y＝1－eq \f(1,a)<1，且y＝1－eq \f(1,a)>0，故A、B不符合. 当0<a<1时，y＝ax－eq \f(1,a)在定义域R上为减函数，当x＝0时，y＝1－eq \f(1,a)<0，故C不符合，D符合.故选D. 例2　比较下列各组数的大小. (1)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))eq \s\up19(－1.8)与eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))eq \s\up19(－2.6)；　 (1)∵0<eq \f(3,4)<1， ∴y＝ 在定义域R上是减函数. 又∵－1.8>－2.6，∴ < (2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,8))) eq \s\up19(－\f(2,3))与1； (2)∵0<eq \f(5,8)<1， ∴y＝ 在定义域R上是减函数. 又∵－eq \f(2,3)<0，∴ > ＝1. ∴ >1. (3)0.6－2与eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3))) eq \s\up19(－\f(2,3))； 【解析】　(3)∵0.6－2>0.60＝1，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3))) eq \s\up19(－\f(2,3))<eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3))) eq \s\up19(0)＝1， ∴0.6－2>eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3))) eq \s\up19(－\f(2,3)). (4)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq \s\up19(0.3)与3－0.2； 【解析】　(4)∵eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3))) eq \s\up19(0.3)＝3－0.3，且－0.3<－0.2， ∴3－0.3<3－0.2，∴eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3))) eq \s\up19(0.3)<3－0.2. (2)若指数函数f(x)的图象过点(3，8)，则f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝________. eq \f(\r(2),2) 【解析】　设f(x)＝ax(a>0，且a≠1)，则由f(3)＝8得a3＝8，∴a＝2，∴f(x)＝2x. ∴f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝2eq \s\up19(－\f(1,2))＝eq \f(\r(2),2). 比较下列各题中两个值的大小： ① ， ；②1.70.3，0.93.1. 【解析】①因为0<eq \f(5,7)<1， 所以函数y＝ 在其定义域R上单调递减，又－1.8>－2.5， 所以 < . ②因为1.70.3>1.70＝1，0.93.1<0.90＝1， 所以1.70.3>0.93.1. 比较下列各值的大小： ，2eq \s\up19(\f(2,3))， ， . 【解析】　分类： ①负数：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3))) eq \s\up19(3). ②大于0且小于1的数：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4))) eq \s\up19(\f(1,2)). ③大于1的数：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3))) eq \s\up19(\f(1,3))，2eq \s\up19(\f(2,3)). ∵eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3))) eq \s\up19(\f(1,3))<2eq \s\up19(\f(1,3))<2eq \s\up19(\f(2,3))， ∴eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3))) eq \s\up19(3)<eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4))) eq \s\up19(\f(1,2))<eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3))) eq \s\up19(\f(1,3))<2eq \s\up19(\f(2,3)). (3)若a＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))eq \s\up19(\f(2,5))，b＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)))eq \s\up19(\f(3,5))，c＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)))eq \s\up19(\f(2,5))，则(　　) A.b<c<a B.c<b<a C.a<c<b D.b<a<c 【解析】　因为y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)))eq \s\up19(x)在(0，＋∞)上单调递减，所以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)))eq \s\up19(\f(3,5))<eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)))eq \s\up19(\f(2,5))，即b<c. 因为y＝xeq \s\up19(\f(2,5))在(0，＋∞)上单调递增，所以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))eq \s\up19(\f(2,5))>eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)))eq \s\up19(\f(2,5))，即a>c. 综上，b<c<a.故选A. (2)关于x的方程eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq \s\up19(|x|)－a－1＝0有解，则a的取值范围是(　　) A.(0，1] B.(－1，0] C.[1，＋∞) D.(0，＋∞) 【解析】　方法一：根据题意，结合指数函数的性质，得0<y＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq \s\up19(|x|)≤1，故由方程eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq \s\up19(|x|)－a－1＝0有解，可知a＋1∈(0，1]，故a的取值范围是－1<a≤0.故选B. 方法二：原方程化为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq \s\up19(|x|)＝a＋1.分别作出y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq \s\up19(|x|)和y＝a＋1的图象，知当0<a＋1≤1时，图象有交点，即方程有解，此时－1<a≤0. 1.函数f(x)＝πx与g(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,π))) eq \s\up19(x)的图象关于(　　) A.原点对称　　　　　 B.x轴对称 C.y轴对称 D.直线y＝－x对称 解析　设点(x，y)为函数f(x)＝πx的图象上任意一点，则点(－x，y)为g(x)＝π－x＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,π))) eq \s\up19(x)的图象上的点.因为点(x，y)与点(－x，y)关于y轴对称，所以函数f(x)＝πx与g(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,π))) eq \s\up19(x)的图象关于y轴对称. 解析　函数y＝|2x－1|＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x－1，x≥0，,－2x＋1，x<0，))其图象如图所示.方程|2x－1|＝a有两个不等实根等价于直线y＝a与y＝|2x－1|的图象有两个交点，由图可知0<a<1.故选D. 解析　由函数f(x)＝(2a－1)x－3－2在R上是减函数，故有0<2a－1<1，解得eq \f(1,2)<a<1. 对于函数f(x)＝(2a－1)x－3－2，令x－3＝0，得x＝3，则f(3)＝(2a－1)0－2＝1－2＝－1，可得y＝f(x)的图象恒过定点(3，－1). eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1)) $