3.3幂函数课件-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学课件聚焦幂函数的概念、图象与性质，课堂导入先回顾函数定义、定义域等旧知及“抽象→画图→分析性质”的研究套路，再通过购买蔬菜、正方形面积等实际情境抽象出幂函数，搭建新旧知识衔接的学习支架。 其亮点在于以实际情境抽象概念培养数学眼光，通过列表描点画图、分析定义域等性质体现数形结合的数学思维，例题练习涵盖判断、比较大小等层次，帮助学生用数学语言表达问题。学生能理解概念形成过程，教师可提升教学效率。

第三章函数的概念与性质 3.3幂函数 人教A版 ( 2019) 必修第一册 1.理解幂函数的概念，会判断幂函数； 2.掌握幂函数的图象在第一象限的特征，会利 用幂函数的图象和性质来解题. 学习目标 新课导入 前面我们已经系统学习了函数的定义、定义域和值域求解，还通过 图象研究了函数的单调性、奇偶性这些性质，掌握了"从实际情境抽象 函数→画图象→分析性质”的研究套路.今天我们就用这套成熟的方法， 来认识生活里很常见的一类新函数——幂函数. 探索新知 观察下面的几个实例： (1)如果张红以1元/kg的价格购买了某种蔬菜w kg, 那么她需要支 付p=w 元，这里p是w的函数； (2)如果正方形的边长为a, 正方形的面积S=a², 这里S是a的函数； (3)如果立方体的棱长为b, 立方体的体积V=b³, 这里V是b的函数； 探索新知 (4如果一个正方形场地的面积为S 那么这个正方形的边长c=√S, 这里c是S的函数； (5)如果某人ts 内骑车行进了1km, 那么他骑车的平均速度 v= km/s , 即v=t-1, 这里”是 t的函数 思考 观察(1)～(5)中的函数解析式，它们有什么共同特征? (1)解析式具有幂的形式； (2)幂的底数为自变量，指数是常数. 实际上，这些函数的解析式都具有幂的形式，而且都是以幂的底 数为自变量；幂的指数都是常数，分别是1,2,3 是形如y=x 的函数 . 系数为1 y=x“ 自变量 常数 注意：判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y=x“ (α为常数)的形式.反过来，若一个函数为幂函数，则该函数也必具 有这一形式，这也是我们解决某些问题的一个隐含条件. 一般地，函数y=x “ 叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数. 幂函数 (1) x 的系数为1; (2) x"的底数是自变量； (3) x"的指数为常数 (牢记三个特征，能快速判断一个函数是否为幂函数) 注意：只有同时满足这三个条件的函数才是幂函数.对于形如y= (2x)“, y=2x“, y=x“+6 等的函数都不是幂函数 幂函数的特征 例题1、下列哪些函数是幂函数 ②y=4x²; ⑤y=(x-1²; v=2*; ④y =x⁵+1; 练习巩固 1. 指出下列函数是否为幂函数，并说明理由 y=x²+x y=1 幂的指数除了可以取整数之外，还可以取其他实数，当它们取其 他实数时幂也具有各自的含义，这些会在后面学习. 1 对于幂函数，我们只研究α=1,2,3, ,-1时的图象与性质. 2 探索新知 思考 观察：结合以往学习函数的经验，你认为应该如何研究这些函数? 通常可以先根据函数解析式求出函数的定义域，画出函数的图象 再利用图象和解析式，讨论函数的值域、单调性、奇偶性等问题. 研究方法： 数形结合——画函数图像 (列表描点) 研究内容： 定义域值域 单调性奇偶性 定点 探索新知 探索新知 如何画出y=x³函数图像? y=x³是奇函数、增函数 X 0 1 2 利用图象和解析式讨 论函数的值域、单调 性、奇偶性等问题 y=x³ 0 1二8 1 8 根据函数解 析式求出函 数的定义域 画出 函数的图象 1 一 2 探索新知 如何画出y=x2 函数图像? 定义域为(0,+∞)、在定义域上是增函数 1 x 0 1 2 0 1 √2 当α>0时，图象都过点(0,0)和 点 (1,1)在(0,+∞)上是增函数； 当α<0时，图象都过点(1,1)且在 (0,+∞)上是减函数； 当a>1时，向下凸； 当0<a<1, 向上凸. 探索新知 画出函数y=x,y=x²,y=x³,y=x2 和y=x-1 的图象(如图). y=x³ y=x y=x -1 4 x -2 -3 -4 5 4 3 2 -3-2 ×-1 项 目 y=x y=x² y=x³ 定义域 R R R (0,(+∞)) {x|x≠ 0} 值域 R (0,(+o)) R (0,(+o)) {yly≠0} 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 单调性 增 (- ,(0)减 [0,(+∞o)增 增 增 (-∞, 减 (0,+○)减 探索新知 观察函数图象并结合函数解析式，将你发现的结论写在下表内. 通过图表，我们得到： (1)函数 y=x,y=x²,y=x³,y=x2 和 y=x-1 的图象都通过点(1,1); (2)函数y=x,y=x³,y=x-¹ 是奇函数，函数 y=x² 是偶函数； (3)在区间(0,+∞)上，函数y=x,y=x², y=x³, 单调递增，函数 y =x -¹ 单调递减； (4)在第一象限内，函数y=x-¹ 的图象向上与y 轴无限接近，向右与x 轴 无限接近. 探索新知 例题 例证明幂函数f(x)= √x是增函数. 证明：函数的定义域是[0,+∞]. V x₁,x₂ ∈[0,+∞],且x₁ <x₂, 因为x₁-x₂ <0, √ x1+ √ x₂ >0, 所以f(x₁)<f(x₂),即幂函数f(x)= √ x是增函数. 例题 例2 如图所示，图中的曲线是幂函数y=xn 在第一象限的图象，已知n取 ±2, ± 个值，则相应于C₁,C₂,C₃,C₄ 的n依次为 A.一2, B2, D.2, 跟踪训练2若幂函数y=xm与y=x”在第一象限内的图象如图所示，则 A.-1<n<0<m<1 B.nk-1,0<m<1 C.—1<n<0,m>1 D.n<—1,m>1 y=x" y=x" y=x-¹ 0 X 当 堂 检 测 1.已知f(x) 为幂函数，m>1,g(x)=f(x)+m ³²-的图像一定经过( B) A.(1,1) B.(1,2) C.(-1,1) D(-1,2) 答案：B 解析：因为幂函数的图像一定经过点(1,1, 而当x=1时，m²¹=1 所以一定经过点1,2) 当 堂 检 测 2. 下列函数既是幂函数又是奇函数的是( ) A.y=√x B.y=|x| C.y=x⁻² D.y=x³ 当 堂 检 测 答案：D 解析：对于A, 定义域为[0,+∞],不关于原点对称，非奇非偶，故A 错误； 对于B,y=x| 不属于幂函数，故B 错误； 对于C, 定义域为(-∞,0) U(0,+∞ )关于原点对称， f(-x)=(-x)²=x²=f(x), 为偶函数，故C 错误； 对于D, 定义域为R, f(-x)=(-x)³=-x³=-f(x), 为奇函数，故选D. 当 堂 检 测 3. 已知函数 是幂函数，且在(0,+∞)上单调 递减，则实数m 的值为( ) A.2 B.-1 C.4 D.2或-1 当 堂 检 测 答案：A 解析：由幂函数定义知m²-m-1=1, 解得m=-1 或m=2, 当m=-1 时 ，m²-2m-3=0 ,则f(x )在(0,+0)上为常数函数，不符合题意， 当m=2 时 ，m²-2m-3=-3, 则f(x)=x³, 在(0,+∞)上单调递减，符合题 意.故m=2. 故选：A. 5.已知幂函数f(x) 的图象经过点(3. √3),且f(-a)>f(a+1), 则实数 a 的取值范围是 当 堂 检 测 4、 已知幂函数y=f(x) 的图象经过点(2,√2),求f(x)的解析式f(x)=区 答案： 解析：设幂函数的解析式为f(x)=x°,由题意可得3= √3 即幂函数的解析式为：f(x)= √x,则f(-a)>f(a+1)即： √-a> √a+1, 求解不等式组可得实 得 ： 数a的取值范围是 故答案为： 当 堂 检测 当 堂 检测 6、(多选)已知幂函数y=(m²-3m+3)xm²-m-3的图象不过原 取值可以为(BC ) A.5 B.1 C.2 D.4 7、如图所示，C₁,C₂,C₃为幂函数y=x“在第一象限内的图象， 点，则实数m的 则解析式中的指数α依次可以取(C) 当 堂 检 测 8.利用幂函数的性质，判断下列各值的大小。 (1) 5.20.5与5.30.5 (2) 0.2-3.5与 0.3-3.5 解：(1)y=x⁰.5在(0,+∞)内是增函数， ∵5.2<5.3 ∴5.20.5<5.30.5 (2)y=x-3.5在(0,+∞)内是减函数 ∵0.2<0.3.0.2-3.5>0.3-3.5 知识上：幂函数的定义、幂函 数的图像与性质； 方法上：数学结合、由特殊到 一般； 研究新函数的步骤：明确函数 的概念及定义域 探究函数的 图象与性质 函数的应用。 课堂总结 1.幂函数的定义 2.幂函数的图象及性质 $