3.3幂函数课件-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学课件聚焦幂函数的定义、图像、性质及应用，课堂导入通过回顾初中指数幂定义，结合购物支付、正方形面积等五个生活实例引出幂函数，搭建从指数运算到函数概念的学习支架，衔接函数概念与性质的前期知识。 其亮点在于以数学眼光抽象实例共性得出定义，用数学思维探究五个幂函数的定义域、奇偶性、单调性并归纳规律，通过数学语言规范证明与解题步骤。分层练习与系统小结帮助学生构建知识网络，提升探究能力，教师可直接用于教学，提高效率。

第三章 函数的概念与性质 3.3 幂函数 人民教育出版社 必修一 A版 高一 数学 3.1 函数的概念 3.2 函数的性质 3.3幂函数 函数的概念 定义域 值域 解析式 幂函数的定义 幂函数的性质及其应用 函数的表示方法 函数的单调性 函数的最值问题 函数的奇偶性 3.3 幂函数 第三章 函数的概念与性质 一 二 三 学习目标 了解幂函数的定义，体会研究一类具体函数的内容与方法 会画的图像，归纳总结它们的性质 总结归纳幂函数的性质，并且会判断幂函数的性质 学习目标 新课导入 问题1 在初中，我们学过“指数幂”，谁能回顾一下它的定义： 幂 指数 底数 读作“a的n次方”或“a的n次幂” 求n个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂。 这和我们今天要学习的幂函数有何关联呢，开始探究吧？ 新知探究 问题2 观察下列的5个实例，概括出它们的解析式有什么异同点？ （1）如果张红以1元的价格购买了某种蔬菜，那么她需要支付元，这里是的函数; （2）如果正方形的边长为,那么正方形的面积,这里是的函数; （3）如果立方体的棱长为，那么立方体的体积,这里是的函数; （4）如果一个正方形场地的面积为，那么这个正方形场地的边长,这里是的函数; （5）如果某人内骑车行进了，那么他骑车的平均速度,即,这里是的函数. 若将它们的自变量全部用x来表示,函数值用y来表示,则它们的函数关系式将是: 问题3：概括出以上5个的解析式的共同点？ 新知探究 （1）______是常数 ； （2）______是变量 ； （3）都是_______的形式 （4） 系数是___ 指数 底数 1 它们都是形如 “ ”的函数. 幂函数 一般地，函数 叫做幂函数，其中x是　　　，α是　　. y＝xα 自变量 常数 幂函数的特征 y＝xα y＝xα 新知探究 问题4 结合前面学习函数的经验，应该如何研究这五个幂函数？ 提示：先求函数的定义域 画出函数图象 研究函数的 单调性、最值、值域、奇偶性、对称性等. 问题5 同一坐标系下函数：y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝　，y＝x－1的图象是怎样的？ (1)定义域：R (2)值域：R 新知探究 问题6 如何画出 的图象？ (1)定义域：R (2)值域：R 问题6 如何画出 的图象？ 新知探究 (1)定义域：R (3) 为奇函数. (2)值域：R 且 有 因为 , 所以 故在R上 是增函数 问题6 如何画出 的图象？ 新知探究 (1)定义域：R (3) 为奇函数. (2)值域：R (4)在 上 是增函数 问题6 如何画出 的图象？ 新知探究 结合函数图象并结合解析式，将你发现的结论填写在下表. 新知探究 y=x y=x2 y=x3 y y=x-1 定义域 值 域 奇偶性 单调性 R [0，＋∞) {x|x≠0} R [0，＋∞) R [0，＋∞) {y|y≠0} 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶函数 奇函数 R R 增函数 在(－∞,0]上单调递减, 在[0,＋∞)上单调递增 增函数 在[0,＋∞)上单调递增 在(－∞,0）上单调递减, 在（0,＋∞)上单调递减 公共点: (1,1) (0,0) (1)幂函数图象不过第几象限,恒过哪些定点？ (2)幂函数的单调性如何？ (3)幂函数的奇偶性如何？ (4)在第一象限内，函数 的图象向上与y轴无限接近，向右与x轴无限接近. 当为奇数时，幂函数为奇函数； 当为偶数时，幂函数为偶函数。 ,指大图高 不过第四象限，都过定点(1，1)； 当α>0，过(0,0) 当α>0时，幂函数在[0,+∞)上单调递增； 当α<0时，幂函数在(0,+∞)上单调递减； ,图象下凹,图象上凸。 新知探究 典例解析 例1 证明幂函数是增函数. 证明: 练习1在函数① ；② ；③ ；④ ； ⑤ ；⑥ 中，是幂函数的是（ ） ①③ 【c】 的系数为1 【b】 的底数为自变量 【a】 的指数为常数 只有同时满足这三个条件的，才是幂函数. 能力提升 题型一 幂函数的概念 AC 练习2 已知，则等于（ ） 解：∵为幂函数 ∴， 即 即 的系数为1 能力提升 题型一 幂函数的概念 练习3 题型一 幂函数的概念 能力提升 题型二：幂函数的图象及应用 能力提升 练习2 如图，曲线是幂函数y＝xα在第一象限内的图象，已知α分别取 －1,1，，2四个值，则图象C1，C2，C3，C4对应的α依次为________。 2，1，，－1 ,指大图高 解：由图可知： C4<0，0<C3<0.5，0.5<C2<C1 题型二：幂函数的图象及应用 能力提升 解：a＜0时，AD选项错误，a>1时，B选项错误，故选C. 练习3 在同一坐标系内，和函数的图象 可能是( ) C 题型二：幂函数的图象及应用 能力提升 解： (1)∵幂函数在上是单调递减的，又， ∴ (2)∵,幂函数在上是单调递增的，且， ∴即 练习1 比较下列各组数中两个数的大小. 与 直接法 当幂指数相同时，可直接利用幂函数的单调性来比较 转化法 当幂指数不同时，可以先转化为相同的幂指数，再利用单调性来比较大小 中间量法 当底数不同且幂指数也不同时，不能运用单调性比较大小，可选取适当的中间值，从而达到比较大小的目的 题型三：利用幂函数的单调性比较大小 能力提升 解：(1)∵幂函数在上是单调递增的，又，∴>. (2)∵幂函数在上是单调递减的，又，∴. (3)∵幂函数在上是单调递增的，又，∴ > 又∵在上是单调递增的，且,∴ ∴ 练习2 比较下列各组数中两个数的大小. 与； 与 与. 题型四：根据单调性求参数值(或范围) 能力提升 课堂练习 课本P91 解：设幂函数 ∵该函数图象经过点,，即 . 又由，得 解得 ∴实数的取值范围为 变式： 已知幂函数图象经过点，， 求实数的取值范围？ 课堂练习 课堂练习 课本P91 （1） 在R上是增函数 且 （2） 在 上是减函数 且 3.画出函数 的图象，并判断函数的奇偶性，讨论函数的单调性. 是偶函数. 解：函数 的定义域为 课堂练习 课本P91 3.画出函数 的图象，并判断函数的奇偶性，讨论函数的单调性. 解： 且 课堂练习 课本P91 ，所以在 单调递减. 幂函数 性质 定义 应用 一般地，形如的函数叫做幂函数， 其中是自变量，是常数. 的系数为1，“”是单项式的形式 定义域由具体值决定; 当α>0时，幂函数在[0,+∞)上单调递增； 单调性： 当α<0时，幂函数在(0,+∞)上单调递减； ,图象下凹,图象上凸。 奇偶性：当为奇数时，幂函数为奇函数； 当为偶数时，幂函数为偶函数。 ,指大图高 比较幂的大小的3种基本方法(单调性法，转化法，中间值法) 课堂小结 必做题：课时分层作业（二十四） 选做题：课本习题3.3，2、3 作业布置 谢 谢！ 练习1 函数 的图象大致是（    ） A．   B．   C．   D．   【解析】由幂函数性质知： 的定义域为 ， 且在第一象限内单调递减， ABC错误，D正确.故选：D. 练习1 已知幂函数f(x)＝x9－3m(m∈N＋)的图象关于原点对称， 且在R上函数值随x的增大而增大． ①求f(x)的解析式； ②求满足f(a＋1)＋f(3a－4)<0的a的取值范围． 【解析】①由题可知，函数在R上单调递增， ∴9－3m>0，解得m<3.又m∈N＋，∴m＝1，2. 又函数图象关于原点对称，∴9－3m为奇数，故m＝2.∴f(x)＝x3. ②∵f(a＋1)＋f(3a－4)<0，∴f(a＋1)<－f(3a－4)． ∵f(x)为奇函数，∴f(a＋1)<f(4－3a)．又函数在R上单调递增， ∴a＋1<4－3a，∴a<eq \f(3,4).∴a的取值范围是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(3,4))). $