2027届高考物理一轮复习专题训练 带电粒子在电场中运动的综合问题

**基本信息** 以等效重力场模型和功能关系为核心，系统整合复合场中粒子运动的解题方法，构建“概念-规律-应用”的逻辑链条。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |等效重力场|5题|重力与电场力合成等效重力，确定临界位置|从场的叠加到等效模型建构，简化圆周运动分析| |电场功能关系|4方法|4种电场力做功计算，3类能量守恒规律|功与能的概念推导，建立力学与电学能量联系| |综合题型|3类16题|等效场临界分析、径向电场向心力、运动分解法|题型与方法对应，覆盖高考高频考法与核心素养|

一轮复习专题——带电粒子在电场中运动的综合问题 · “等效重力场” 在匀强电场和重力场的共存区域，可以将重力场与电场合二为一，称之为“等效重力场”。 · 电场中的功能关系 1.电场中的功能关系 (1)若只有静电力做功，电势能与动能之和保持不变。 (2)若只有静电力和重力做功，电势能、重力势能、动能之和保持不变 (3)除重力之外，其他各力对物体做的功等于物体机械能的变化。 (4)所有外力对物体所做的功口等于物体动能的变化。 2.电场力做功的计算方法 (1)WAB=qUAB(普遍适用) (2)W=qExcosθ(适用于匀强电场) (3)WAB=−ΔEp=EpA−EpB(从能量角度求解) (4)W电+W非电=ΔEk(由动能定理求解) 目 录 题型一、带电粒子在等效重力场中的运动 2 题型二、带电粒子在径向电场中的运动 8 题型三、带电粒子在电场中的一般运动 13 题型四、解答题 21 题型一、带电粒子在等效重力场中的运动 1. （多选）（25-26高三上·福建龙岩·阶段检测）如图所示，竖直绝缘光滑圆环处于水平向右的匀强电场中，直径与竖直方向夹角，和分别为竖直和水平半径。一视为质点质量为的带电小球，在点时给小球一个初速度，使其恰能在圆环内侧做完整的圆周运动，到点时对环压力最大。已知，，。则小球做圆周运动的过程中，（　　） A．圆环的半径为1m B．在C点处的电势能最小 C．在B点处的动量最小 D．小球所受电场力的大小0.6N，方向水平向右 【答案】BD 【难度】0.65 【知识点】带电物体（计重力）在匀强电场中的圆周运动 【详解】A．因在点时对环压力最大，可知电场力与重力的合力即等效重力方向一定沿方向，大小为，等效重力加速度，在点，根据牛顿第二定律，在点，根据牛顿第二定律，从到过程中，根据动能定理可得可知，值无法计算，故A错误； B．电场力与重力的合力即等效重力方向一定沿方向，可得小球受到的电场力水平向右，小球带正电，点为光滑圆环最右端，电势最低，带电小球电势能最小，故B正确； C．在等效重力场中，为最高点，带电小球在点的速度最小，点的动量最小，故C错误； D．小球所受电场力的大小，方向水平向右，故D正确。故选BD。 2. （多选）（24-25高三上·福建福州·阶段检测）如图所示，在地面上方的水平匀强电场中，一个质量为m、电荷量为+q的小球，系在一根长为d的绝缘细线一端，可以在竖直平面内绕O点做圆周运动。AB为圆周的水平直径，CD为竖直直径。已知重力加速度为g，电场强度，下列说法正确的是（　　） A．若小球恰能在竖直平面内绕O点做圆周运动，则它运动的最小速度为 B．若将细线剪断，再将小球在A点以大小为的速度竖直向上抛出，小球将能到达B点 C．若小球在竖直平面内绕O点做圆周运动，则小球运动到B点时的机械能最大 D．若将小球在A点由静止开始释放，则小球沿AC圆弧到达C点的速度为 【答案】AC 【难度】0.65 【知识点】带电物体（计重力）在匀强电场中的圆周运动 【详解】A．小球受到水平向右的电场力，合力为，方向斜向右下方，与竖直方向夹角为，设小球在竖直平面内做匀速圆周运动，最小速度为v，有，联立解得，故A正确； B．小球将在竖直方向上做竖直上抛运动，水平方向做匀加速直线运动，当竖直方向位移为0时，有，水平位移有，由牛顿第二定律，解得，故小球将不能到达B点，故B错误； C．由功能关系知，小球机械能的变化等于除重力或弹力之外的力所做的功，小球在竖直平面内绕O点做圆周运动，运动到B点时，静电力做功最多，故运动到B点时小球的机械能最大，故C正确； D．设合力方向与电场线方向夹角为，有，解得，故将小球静止释放，小球将沿合力方向做匀加速直线运动，故D错误。故选AC。 3. （多选）（2026·河南南阳·模拟预测）如图所示，竖直平面内有水平向右的匀强电场和垂直于纸面向里的匀强磁场，磁场的磁感应强度大小为0.4T。长为0.4m的绝缘轻绳一端固定在O点，另一端系着的带正电小球（可视为点电荷）。小球恰能绕O点沿顺时针方向在竖直平面内做完整的圆周运动，小球经过a点时速度最大，a、O两点连线与竖直方向的夹角θ的正弦值sinθ=0.6，直线cOd和电场线平行，取重力加速度大小，不计空气阻力。下列说法正确的是（     ） A．电场的电场强度大小E=0.3N/C B．小球运动过程中的最小速度为m/s C．小球经过c点时机械能最大 D．小球经过a点时的速度大小为m/s 【答案】AD 【难度】0.42 【知识点】绳/单层轨道模型、动能定理的初步应用、带电物体（计重力）在匀强电场中的圆周运动、带电粒子在叠加场中的变速圆周运动、带电粒子在叠加场中的一般曲线运动 【详解】A．小球经过点时速度最大，可知点为等效重力场的等效最低点，等效重力方向沿Oa方向，设等效重力加速度为g'，根据几何关系有，代入已知数据解得，可知电场的电场强度大小为，故A正确； B．由几何关系可知等效重力加速度大小为，解得，小球恰能绕点沿顺时针方向做完整的圆周运动，可知在等效最高点（设为点）绳子拉力恰好为零，此时小球速度最小。根据左手定则可知，带正电的小球沿顺时针方向运动时受到的洛伦兹力方向始终背离圆心向外，在点根据牛顿第二定律有，代入数据解得，可知小球运动过程中的最小速度为，故B错误； C．小球运动过程中除重力外只有电场力做功，由于电场力做正功等于小球机械能的增加量，当电场力做正功最多时机械能最大。因为电场方向水平向右，所以小球运动到最右端点时，电场力做正功最多，此时机械能最大，故C错误； D．小球从等效最高点运动到等效最低点的过程，根据动能定理有，解得，可知小球经过点时的速度大小为，故D正确。故选AD。 4. （2025高三·全国·专题练习）如图所示，一半径为R的绝缘光滑圆环竖直固定，MQ是圆环的竖直直径，M为最高点，Q为最低点，P与N等高，且，圆环所在平面内存在一匀强电场。一带电荷量为、质量为m的小球套在圆环上，从P点静止释放，已知小球运动到N点时速度最大，重力加速度为g，则下列说法可能正确的是（     ） A．电场方向水平向右 B．电场方向由O指向N C．电场强度大小为 D．电场强度大小为 【答案】C 【难度】0.4 【知识点】带电物体（计重力）在匀强电场中的圆周运动 【详解】AB．将匀强电场与重力场合成为一等效重力场，由于小球运动到N点时速度最大，所以N点为等效最低点，则等效重力场的方向为由O指向N，作出等效重力场的合成示意图，如图所示，可知电场的方向不可能由O指向N，也不可能水平向右，故A错误，B错误； CD．由题意可知，则，当电场方向垂直于ON时，电场强度最小，则根据几何关系有，解得，故C正确，D错误。故选C。 5. （25-26高三上·福建福州·阶段检测）水平面上竖直固定一个圆形光滑绝缘轨道，圆心为，半径为。其中A、C是圆弧上水平直径上的两点，B为最低点，D为最高点。在竖直平面分布着与水平方向夹角的匀强电场。一个质量为、带电荷量为的绝缘小球从点以某一速度竖直向下沿轨道内侧运动，恰好不离开轨道并从点水平向右做直线运动，重力加速度为。下列说法正确的是（　　） A．绝缘小球在点对轨道的压力 B．绝缘小球在点对轨道的压力 C．绝缘小球沿轨道从B到C电势能的变化量 D．匀强电场的电场强度 【答案】A 【难度】0.4 【知识点】带电物体（计重力）在匀强电场中的圆周运动 【详解】D．小球从D点水平向右做直线运动，则有，解得，D错误； AB．结合上述可知，小球等效最高点在C点，小球恰好不离开轨道，则在轨道点有，小球从A到C过程，根据动能定理有，小球在A点，根据牛顿第二定律有，解得，A正确，B错误； C．小球沿轨道从B到C过程，根据功能关系有，解得，C错误。故选A。 6. （多选）（2026·山东聊城·三模）如图甲所示，在与竖直平面平行的匀强电场中，有一质量为、带电量为的小球（可视为质点），小球在半径的竖直固定光滑圆轨道上，从与圆心等高的点以初速度沿轨道切线向下运动，恰好能做完整的圆周运动。为小球从点起转过的圆心角，点为轨道最低点。已知小球在运动过程中电势能随角度的变化图像如图乙所示，，取重力加速度。下列判断正确的是（     ） A．电场强度大小为，方向水平向右 B．小球在运动过程中速度的最大值为 C．小球在从点运动到点的过程中速度先增大后减小 D．小球在运动过程中对轨道压力的最大值为 【答案】CD 【难度】0.4 【知识点】匀强电场中电势差与电场强度的关系、带电物体（计重力）在匀强电场中的圆周运动 【详解】A．由电势能变化图像可知，起始位置点对应电势能取最小值，为，当时，电势能增加量，小球的水平位移为，由，代入数据解得，时，电势能最大；小球带正电，由可知右侧电势更高，电场方向沿水平向左，故A错误； B．小球所受电场力方向水平向左，满足，重力竖直向下，满足，合力（等效重力）方向左偏下，大小，可知合力方向与竖直方向成角，等效最低点为点沿方向指向圆周的点，等效最高点为其反方向的点。恰好做完整圆周运动的条件为：小球在等效最高点时，轨道弹力为0，等效重力提供向心力，即，得小球在等效最高点的动能，小球在运动过程中速度的最大值出现在等效最低点，从等效最高点到等效最低点，由动能定理，代入数据，解得小球在等效最低点的速度的最大值为，故B错误； C．由B选项分析可知，等效最低点的位置在圆弧之间，且与竖直方向成角。因此，小球从到的过程中，先经过等效重力最低点再通过点，因此小球的速度先增大后减小，故C正确； D．在等效最低点，轨道对小球的支持力满足，代入，，，解得，由牛顿第三定律，小球在运动过程中对轨道压力的最大值为，故D正确。故选CD。 题型二、带电粒子在径向电场中的运动 7. （2024·山东潍坊·模拟预测）为了模拟净化空气的过程，有人设计了含有灰尘空气的密封玻璃圆柱桶（圆柱桶的高和直径相等），第一种除尘方式是：在圆柱筒顶和底面的金属电极间加上电压U，沿圆柱筒的轴线方向形成一个匀强电场，灰尘颗粒的运动方向如图甲所示；第二种除尘方式是：在圆柱筒轴线处放一直导线，在导线与圆柱筒内壁的金属电极间也加上电压U，形成沿半径方向的辐射状电场，灰尘运动方向如图乙所示。假设每个灰尘颗粒带电荷量均为q，未加电场前均处于静止状态，灰尘颗粒的重力、空气阻力均忽略不计，则下列说法正确的（　　） A．两种方式中灰尘颗粒受到的电场力大小相等 B．第二种方式中灰尘颗粒做直线运动 C．两种方式中电场对灰尘颗粒做功相同，均为 D．两种方式中电场对单个灰尘颗粒做功的最大值不相等 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】带电粒子在径向电场中的运动 【详解】A．由U＝Ed可知，由于距离d不同，电场强度不相同，每个尘粒受电场力大小不相等，故A错误； B．在图乙中，虽然电场是发散的，但是粒子初速度为零，粒子受力方向不变，则第二种方式中灰尘颗粒做直线运动，故B正确； CD．电场对单个尘粒做功的最大值都等于Uq，但由于颗粒位置不同，所以做功可能不同，故CD错误；故选B。 8. （多选）（25-26高三上·湖北武汉·期末）某带电粒子转向器的横截面如图所示，转向器中有均匀分布的辐向电场，电场线沿半径方向指向圆心。粒子从点射入后，恰好能沿圆弧虚线运动，并从点射出。粒子仅受电场力，下列说法正确的是（　　） A．粒子带负电 B．圆弧虚线是等势线 C．粒子射出时的速度大于射入时的速度 D．增大电场强度，可使粒子转向半径减小 【答案】BD 【难度】0.85 【知识点】带电粒子在径向电场中的运动 【详解】ABC．粒子仅受电场力作用，恰好能沿圆弧虚线运动，则粒子做匀速圆周运动,由电场力提供向心力，所受电场力指向圆心，电场力方向与电场强度的方向相同，故粒子带正电，粒子做匀速圆周运动，速度大小不变，运动过程中电场力不做功，则圆弧虚线是等势线，AC错误，B正确； D．由电场力提供向心力有，可知增大电场强度，粒子所受电场力增大，速度大小不变，则粒子转向半径减小，D正确。故选BD。 9. （2025·福建·高考真题）角分辨光电子能谱仪是现代科学研究的先进仪器，其核心装置中有两个同心半球极板。垂直半球底面且过球心O的截面如图所示。极板间存在一径向电场，其等势线为一系列以O为圆心的半圆。电子A以初动能，从入口M点垂直半球底面入射，从N点射出，电子b也从M点垂直半球底面入射，经P点后从Q点射出。两电子的运动轨迹如图所示，已知电子a轨迹为一以O为圆心的半圆，与OP交于H点，H、P两点间的电势差为U，，，电子电荷量大小为，重力不计。则（　　） A．P点的电场强度 B．电子a在H点受到的电场力大小为 C．电子b在P点动能小于在Q点动能 D．电子b从M点运动到Q点的过程中，克服电场力所做的功小于2eU 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】判断非匀强电场中等距的两点电势差大小、带电粒子在径向电场中的运动 【详解】AB．a粒子入射动能为Ek，根据动能的表达式有，粒子恰好做圆周运动，则，联立解得，根据电场强度的分布可知P点的电场强度小于，故AB错误； C．已知|NQ|=2|HP|，因为HN在同一等势线上，且沿电场方向电势降低，则Q点电势小于P点，电子在电势低处电势能大，则b粒子在Q点电势能大，根据能量守恒可知，b粒子在Q点动能较小，故C错误； D．由电场线密度分布情况可知，沿径向向外电场强度减小，则HP之间平均电场强度大小大于NQ之间的平均电场强度大小，根据，可知，则b粒子全程的克服电场力做功，故D正确。故选 D。 10. （多选）（2025·河南南阳·模拟预测）如图所示的装置由加速电场、辐射电场组成。一质量为m、带电量为+q的粒子（忽略重力）从加速电场的下孔飘入加速电场，从J点以竖直向上的速度进入辐射电场，沿圆弧虚线运动到P点时以水平向右的速度离开电场。已知圆弧虚线处的电场强度大小为E，圆弧虚线的半径为R，下列说法正确的是（　　） A．粒子在J点的速度大小为 B．加速电场两极板间的电压为 C．粒子从J点到P点的运动时间 D．粒子从J点运动到P点的平均加速度的大小为 【答案】BD 【难度】0.65 【知识点】带电粒子在径向电场中的运动 【详解】AB．粒子在辐射电场中，由电场力提供向心力，则有，粒子在加速电场运动，由动能定理可得，综合解得，，故A错误，B正确； C．粒子从J点到P点的运动时间为，故C错误； D．速度的变化量大小，平均加速度的大小为，故D正确。故选BD。 11. （多选）（2026·天津河西·二模）如图所示，某静电分析器的两电极之间存在指向圆心O的辐向电场。三个带电粒子有相同的动能从A点垂直端面射入，仅在静电力作用下，甲粒子从B射出，乙粒子做圆周运动从C射出，丙粒子从D射出。已知甲、乙、丙的电荷量大小分别为、、，，。下列说法正确的是（     ） A．甲、乙、丙粒子均带正电 B． C．乙粒子经过的位置电场强度大小均为 D．甲粒子动能变化的绝对值大于丙粒子动能变化的绝对值 【答案】AD 【难度】0.56 【知识点】电场力做功和电势能变化的关系、带电粒子在径向电场中的运动 【详解】ABC．三个带电粒子都做近似圆周运动,所受电场力(向心力)与场强方向相同，故三个粒子都带正电，因，故易知乙粒子做匀速圆周运动从C射出，根据牛顿第二定律，乙粒子经过的位置电场强度大小均为，甲粒子做向心运动 ，丙粒子离心运动，则，故BC错误， A正确； D．因为BC间平均场强比CD平均场强大，又，故，则 故甲粒子动能的增加量大于丙粒子动能的变化量的绝对值，故D正确。故选AD。 题型三、带电粒子在电场中的一般运动 12. （多选）（2025·福建福州·模拟预测）如图所示，纸面为竖直面，为竖直线段，之间的距离为，空间存在平行于纸面的足够宽广的匀强电场，其大小和方向均未知（图中未画出）。一带电量为，质量为的小球从点在纸面内以的速度水平向左开始运动，之后恰好以大小为的速度通过点。已知重力加速度为，不计空气阻力。则（　　） A． B．小球从点到点过程的时间为 C．电场强度方向斜向右上与水平方向成30° D．电场力大小为 【答案】AD 【难度】0.65 【知识点】带电物体（计重力）在匀强电场中的一般运动 【详解】A．小球从M到N的运动过程，根据动能定理有，解得，故A正确； B．小球在水平方向的运动具有对称性，故到达N点时，水平分速度大小为，所以在竖直方向的分速度大小为，小球从M到N的运动过程，竖直方向根据运动学公式可得，解得小球从点到点过程的时间为，故B错误； CD．小球从M到N的运动过程，水平方向有，，解得电场力的水平分力为，方向水平向右；竖直方向有，，解得电场力的竖直分力为，方向竖直向下；则电场力大小为，根据，可知电场力方向斜向右下与水平方向成30°，由于小球带正电，所以电场强度方向斜向右下与水平方向成30°，故C错误，D正确。故选AD。 13. （多选）（2025·天津·一模）真空中存在空间范围足够大的、水平向右的匀强电场。在电场中，若将一个质量为m、带正电的小球由静止释放，运动中小球的速度与竖直方向夹角为37°。现将该小球从电场中A点以初速度竖直向上抛出，经过最高点B后回到与A在同一水平线上的C点，已知：，，则（　　） A．小球所受的电场力为 B．小球在最高点B的动能为 C．小球从B到C的电势能减少量是从A到B的电势能减少量的3倍 D．小球在C点的机械能比在A点多 【答案】CD 【难度】0.65 【知识点】带电物体（计重力）在匀强电场中的一般运动 【详解】A．小球由静止释放，小球在重力与电场力作用下做匀加速直线运，由于运动中小球的速度与竖直方向夹角为37°，则有，故A错误； B.小球竖直方向做竖直上抛运动，小球从A运动到B过程有，小球在水平方向做匀加速直线运动，则有，小球在最高点B的动能，解得 故B错误； C．小球竖直方向做竖直上抛运动，根据对称性可知，小球从A到B的时间等于从B到C的时间，小球水平方向做初速度为0的匀加速直线运动，根据相邻相等时间内的位移比例关系可知，水平方向上A到B的分位移与B到C的分位移之比为1:3，则电场力做正功的比值也为1:3，即小球从B到C的电势能减少量是从A到B的电势能减少量的3倍，故C正确； D．结合上述可知，小球从A到C水平方向的分位移，电场力做正功为，结合上述解得，电场力做正功，电势能减小，则小球在C点的机械能比在A点多，故D正确。故选CD。 14. （多选）（2026·湖北省直辖县级单位·模拟预测）如图所示，在竖直平面xOy内存在大小、方向未知的匀强电场。一质量为m的小球从y轴上P点以水平速度v进入第一象限，速度方向沿x轴正方向，经过x轴上Q点时的速度大小也为v，方向与x轴夹角为37°。已知sin37°=0.6，cos37°=0.8，重力加速度大小为g。不计空气阻力，小球从P点运动到Q点的过程中（　　） A．速度的最小值为 B．所受电场力的最小值为 C．动能与电势能之和一直减小 D．水平位移与竖直位移的大小之比为2:1 【答案】AB 【难度】0.4 【知识点】带电物体（计重力）在匀强电场中的一般运动 【详解】D．将小球在Q点的速度v分解为水平分量vcos37°和竖直分量vsin37°。由位移时间公式可得：小球水平分位移为，小球竖直分位移为，解得，故D错误； A．根据题中所述，可知小球水平方向先向右做匀减速直线运动，小球水平向右方向的分加速度大小为，小球竖直向下方向的分加速度大小为，设小球合加速度方向与竖直方向夹角为θ，则有可知，小球在空中做类斜抛运动，可以将该运动分解为垂直于合加速度方向的匀速直线运动与沿合加速度方向的匀加速直线运动，可知匀速直线运动的分速度即为速度的最小值，则有vmin=vcosθ，结合上述解得，故A正确； B．根据上述小球所受电场力与重力的合力大小为F=ma，该合力方向与竖直方向夹角亦为θ，可知，当电场力方向与合力方向垂直时，电场力达到最小值，则有最小电场力 可求得，从而求得，故B正确； C．根据上述可知，小球从P点运动到Q点的过程中重力一直做正功，重力势能一直减小，小球运动过程中只有重力势能、动能与电势能的转化，可知动能与电势能之和一直增大，故C错误。故选AB。 15. （多选）（2025·陕西渭南·一模）如图，空间存在一匀强电场，一质量为的带电小球仅在重力和电场力的作用下运动，重力加速度为，虚线与水平地面之间的夹角为。若小球从虚线上某处静止释放，恰好沿虚线向下做加速度为的匀加速运动。现将小球以大小为、方向与虚线之间的夹角为的初速度从图示位置抛出，则小球运动到最高点的过程中（　　） A．小球水平向右移动的距离为 B．小球竖直上升的高度为 C．重力和电场力做的总功为 D．小球所受合力的冲量大小为 【答案】BD 【难度】0.4 【知识点】动量定理的内容、带电物体（计重力）在匀强电场中的一般运动 【详解】AB．小球从虚线上某处静止释放，恰好沿虚线向下做加速度为的匀加速运动，则电场方向与方向相同，如图所示 由几何关系有，竖直方向上加速度，小球竖直上升到最高点的高度为，上升时间为，水平方向有，故A错误，B正确； CD．设小球到达最高点时的速度大小为，方向水平向右，从抛出到最高点过程中小球速度的变化量大小为，其方向由可知，的方向与的方向一致，即沿虚线向下，根据矢量三角形法则做出速度三角形，如图所示 由几何关系可得，，由动能定理可得，重力和电场力做的总功为，由动量定理可得，小球所受合力的冲量大小为，故C错误，D正确。故选BD。 16. （多选）（2025·福建泉州·一模）如图，在竖直平面内有一圆心为O、半径为R的圆形区域，圆内有一场强大小为E的水平匀强电场，方向与该区域平面平行，圆的直径MN与水平方向夹角。质量为m、电荷量为q的带正电微粒从M点以不同水平速度向右射入电场，微粒通过圆形区域的过程中，电势能增加量最大值为，动能增加量最大值为。已知速度大小为v的微粒恰能运动到N点且速度大小也为v，重力加速度大小为g。下列等式成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】AC 【难度】0.4 【知识点】带电物体（计重力）在匀强电场中的一般运动 【详解】A．已知速度大小为v的微粒恰能运动到N点且速度大小也为v，微粒在重力场和电场组成的等效重力场中做类斜抛运动，则等效重力场方向与方向垂直斜向左下方，则 ，得，故A正确； B．已知速度大小为v的微粒恰能运动到N点，则竖直方向，得，故B错误； C．过O点做的垂线交圆形区域下方交点为等效重力场的最低点，从M点运动到该最低点时，等效重力，做功最大，动能增加量最大，故，故C正确； D．从M点运动到圆形区域最右侧时克服电场力做功最多，电势能增加量最大，故 ，故D错误。故选AC。 17. （2026·河南郑州·模拟预测）由太阳能板阵列产生的人工可控匀强电场，主要用于偏转太空尘埃和微小碎片。为了测试电场对带电微粒的偏转效果，工程师将一个足够长、倾角为的固定斜面置于电场强度大小、方向水平向右的匀强电场中，并向该区域发射了一质量为、电荷量为的小球，小球以初速度从斜面底端斜向上抛出，初速度方向与水平方向间的夹角为，如图所示。重力加速度为，不计空气阻力。从抛出到落回斜面的过程中，小球机械能的增加量为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.4 【知识点】带电物体（计重力）在匀强电场中的一般运动 【详解】小球落到斜面上时的水平位移，其中，竖直方向，其中，解得，，小球机械能的增加量为，故选D。 18. （25-26高三下·山西太原·阶段检测）如图所示，地面上方某区域存在着水平向右的匀强电场，一个质量为m、电荷量为q的带负电小球（可视为质点）以水平向右的初速度由O点射入该区域，刚好竖直向下通过P点，已知OP与初速度方向的夹角为45°，重力加速度为g，以下说法正确的是（　　） A．小球由O点到P点用时为 B．小球的最小动能为 C．小球所受电场力的冲量为 D．小球的机械能增加了 【答案】B 【难度】0.38 【知识点】常见力做功与相应的能量转化、动量定理的内容、带电物体（计重力）在匀强电场中的一般运动 【详解】A．设O点为坐标原点，P点坐标为 ， ，即小球水平位移和竖直位移大小相等，水平位移，将代入，得，竖直位移，由可得，解得运动时间，故A错误； B．小球水平加速度，小球在任意时刻的速度分量为， ，动能 ，这是一个关于的二次函数，当时，动能有最小值。将代入动能表达式，故B正确； C．电场力 ，冲量 ，联立得 ，故C错误 D．机械能的变化量等于电场力做的功，电场力方向与水平位移方向相反，做负功，故D错误。故选B。 题型四、解答题 19. （2026·北京房山·二模）如图所示，一质量为m、电荷量为+q的小球，用长为l的绝缘细线悬挂于O点。小球静止时位于图中的Q点。若将该装置放在水平方向匀强电场中，小球静止于图中的P点，此时细线与竖直方向的夹角θ=37°。已知重力加速度为g，sin 37°=0.6，cos 37°=0.8。 (1)判断电场方向，计算该匀强电场的电场强度的大小E。 (2)若规定Q点位置电势为零，求P点电势φ。 (3)若带电小球从Q点由静止释放，求小球再次到达P点时的速度的大小。 【答案】(1)电场方向水平向左，(2)(3) 【难度】0.75 【知识点】匀强电场中电势差与电场强度的关系、带电物体（计重力）在匀强电场中的圆周运动、带电物体（计重力）在电场中的平衡问题 【详解】（1）小球带正电，静止时偏在竖直方向左侧，电场力与电场方向同向，因此电场方向水平向左。 对P点小球受力平衡：竖直方向 水平方向 联立解得 （2）P、Q沿电场方向的距离 沿电场方向电势降低，因此电势差满足 已知，代入 得 （3）从Q到P由动能定理 代入数值化简 解得 20. （25-26高三上·福建漳州·阶段检测）如图所示，光滑绝缘轨道abc固定在竖直面内，ab为水平直轨道，bc是半径为R的四分之一圆弧轨道，整个空间中均有水平向右的匀强电场。质量为m、电荷量为的小球从P点由静止释放，Pb的距离也为R。已知匀强电场的场强，重力加速度大小为g，，。求： (1)小球运动到b点时（b点属于圆弧轨道），小球的速度多大？ (2)小球在b点时轨道对小球的支持力多大？ (3)运动过程中小球的最大速度为多大？ 【答案】(1)(2)(3) 【难度】0.65 【知识点】拱桥和凹桥模型、应用动能定理解决多段过程问题、带电物体（计重力）在匀强电场中的圆周运动 【详解】（1）小球从P到b的过程，根据动能定理 解得小球运动到b点时的速度大小为 （2）根据牛顿第二定律 解得轨道对小球的支持力大小为 （3）根据题意可知 重力与电场力的合力为 根据数学知识可知，此时合力与水平方向的夹角为37°，则轨道上等效物理最低点位于圆弧上，与圆心连线与水平方向的夹角为37°处，该点轨道所受压力最大，根据牛顿第二定律可得此点速度最大，根据动能定理可得 解得 21. （2026高三下·福建厦门·专题练习）如图所示，在光滑水平轨道AB的末端处，平滑连接一个半径R=0.4m的光滑半圆形轨道，半圆形轨道与水平轨道相切，C点为半圆形轨道的中点，D点为半圆形轨道的最高点，A、B两点间的距离L=1.2m，整个轨道处在电场强度水平向右、大小E=1×107N/C的匀强电场中。用固定的弹射装置锁定一个质量m=1kg、带电量q=+1×10−6C的小物块（可视为质点），某时刻解除锁定，小物块运动到D点时对轨道的压力为30N。取重力加速度大小为g=10m/s2。求： (1)弹射装置锁定时具有的弹性势能； (2)小物块在水平轨道AB上的落点到B点的距离； (3)小物块在空中的最小动能。 【答案】(1)4J(2)0.8m(3)4J 【难度】0.65 【知识点】带电物体（计重力）在匀强电场中的圆周运动 【详解】（1）（1）小物块在D点时对轨道的压力为30N，由牛顿第二定律可知 代入数据解得vD=4m/s 从A点到D点，由动能定理得 代入数据解得Ep=4J （2）小物块离开D点，在竖直方向上做自由落体运动，则 在水平方向上做匀变速直线运动，由牛顿第二定律得qE=ma 由位移−时间公式得 代入数据解得x=0.8m （3）易知物块在空中运动的初速度水平，电场力与重力的合力与水平方向的夹角θ=45° 且 将合力看成等效重力，那么物块在空中的运动为斜抛运动，当速度与等效重力垂直时速度最小，此时vmin=vDcosθ 解得 所以最小动能 22. （2025·福建泉州·一模）如图，竖直面内固定一足够长斜面与一半圆弧轨道abc，两者相切于a点，空间中存在水平向右的匀强电场。一质量为m、电荷量为q的带正电小球静止在斜面上，现给小球一沿斜面向上的初速度后，沿圆弧轨道abc运动恰能通过c点。运动过程中小球带电量保持不变，不计一切摩擦。已知斜面倾角为37°，圆弧轨道半径为R，重力加速度大小为g，取sin37°=0.6，cos37°=0.8。 (1)求电场的场强大小E； (2)求小球第一次落在斜面上的位置到a的距离x； (3)若小球从c点飞出时，在空间加上垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小，不考虑磁场突变引起的电磁感应现象，求小球运动过程中离斜面的最小距离d。 【答案】(1)(2)(3) 【难度】0.15 【知识点】带电物体（计重力）在匀强电场中的圆周运动、带电粒子在叠加场中的一般曲线运动 【详解】（1）小球恰能静止在斜面上，根据平衡条件可得 解得 （2）小球受到的重力合电场力的合力大小为 方向沿方向；小球恰能通过c点，说明刚到c点时，轨道对小球的弹力为零，则在c点时 从c点运动到斜面的过程，小球做类平抛运动，则，， 联立，解得 （3）由（2）可得 小球从c点离开后的运动可分解为以速率沿方向的匀速直线运动和以速率的匀速圆周运动，如图 令， 可得， 根据牛顿第二定律 则小球运动过程中离斜面的最小距离为 联立，解得 23. （25-26高三上·河南驻马店·期末）如图所示，离子源产生的质量为m、电荷量为q的离子经小孔进入加速电场，初速度可忽略不计，加速后的离子竖直向上进入电场分析器内的圆弧辐射状电场，离子沿半径为R的圆弧做匀速圆周运动，离子从小孔射出后进入另一电场分析器（与左侧分析器关于某竖直线对称）内的圆弧辐射状电场，离子偏转后沿的方向竖直向下射入水平向左的匀强偏转电场，最终打在水平放置的晶圆（硅片）上。已知加速电场两水平极板间的电压为U，偏转电场的上边界MN和下边界PQ间的距离为L，水平方向足够宽。晶圆半径为R，圆心为O，其上表面到PQ边界的距离为d。不计重力及离子间相互作用，忽略边缘效应。 (1)求电场分析器内离子所经位置的电场强度大小E； (2)求离子在两个电场分析器中运动的总时间t； (3)若离子需恰好打在晶圆上表面的边缘处，求偏转电场的电场强度大小。 【答案】(1)(2)(3) 【难度】0.65 【知识点】带电粒子在匀强电场中做类抛体运动的相关计算、带电粒子在径向电场中的运动 【详解】（1）在加速电场中，有 在电场分析器中，有 解得 （2）在电场分析器中，有 离子在两个电场分析器中运动的总时间 解得 （3）在偏转电场中，竖直方向上有 水平方向上有 由几何关系有 解得 24. （25-26高三上·全国·阶段检测）如图甲所示，在坐标系的第Ⅱ象限内放置了射线管，射线管由平行于轴的平行金属板、和平行于金属板的细管C组成，细管C到两板的距离相等，且开口在轴上（图中C与两板绝缘），粒子源在极板的左端，可以斜向下朝、两极板间沿特定方向发射质量为、电荷量为（为元电荷）、初速度为的粒子。极板长度和两板间距均为，当、板间加上某一电压时，粒子刚好能以某一速度水平进入细管C，且以相同速度水平射出然后进入位于第Ⅰ象限的静电分析器中做匀速圆周运动，之后粒子垂直轴进入第Ⅳ象限。已知静电分析器中电场线的方向均沿半径方向指向圆心，粒子经过处的电场强度大小均为；第Ⅳ象限内存在电场强度大小不变、方向平行于轴且随时间呈周期性变化的电场，从粒子进入第Ⅳ象限开始计时为时刻，电场强度随时间变化关系如图乙所示（图中为已知值，规定沿轴正方向为电场正方向）。粒子的重力不计。求： (1)粒子从细管C水平射出时的速度大小； (2)粒子在静电分析器中运动的轨迹半径； (3)当时，粒子的坐标。 【答案】(1)(2)(3)（，） 【难度】0.65 【知识点】带电粒子在径向电场中的运动 【详解】（1）α粒子在金属板内运动过程，沿金属板方向有 垂直金属板方向有 又 解得 （2）α粒子在静电分析器中做匀速圆周运动，由电场力提供向心力可得 解得 （3）α粒子在第Ⅳ象限，内有 t=2T时，α粒子的横坐标为 纵坐标为 在t=2T时，α粒子的坐标为 25. （2026·陕西榆林·一模）如图所示，在xOy坐标系中，在第Ⅱ象限放置了粒子射线管，粒子射线管由平行于x轴的平行金属板A、B和平行于金属板的细管C组成。细管C到两板的距离相等，且开口在y轴上（图中细管C与两板绝缘）。粒子源P靠近在A极板下方的最左端，可以斜向下沿某一方向发射初速度为的带电粒子。A、B板长为L，当A、B板加上某一电压时，带电粒子刚好能以的速度水平进入细管C且保持速度水平射出。然后进入位于第Ⅰ象限的静电分析器中做半径为的匀速圆周运动，静电分析器中电场线的方向均沿半径方向指向圆心O，且粒子经过处的电场强度大小均为。已知带电粒子的质量为m，电子电量为e，重力不计。忽略电场的边缘效应，求： (1)金属板A、B间的电势差； (2)粒子从A板最左边到C点入口处所用时间t。 【答案】(1)(2) 【难度】0.52 【知识点】带电粒子在匀强电场中做类抛体运动的相关计算、带电粒子在径向电场中的运动 【详解】（1）带电粒子从P点运动到C入口的过程中，由动能定理可得 带电粒子在分析器中做匀速圆周运动，电场力提供圆周运动的向心力，则有 联立解得， 则金属板A、B间的电势差 （2）根据上述分析可知，粒子带正电，粒子在A、B间做类平抛运动，粒子在水平方向做匀速直线运动，结合题意可得 解得粒子从A板最左边到C点入口处所用时间 26. （25-26高二上·湖南长沙·阶段检测）如图甲所示，在平面直角坐标系xOy的第二象限内存在沿-y方向的匀强电场；第一象限内存在指向O点的辐向电场，r=L处电场强度大小为E0（未知）；第四象限内存在电场强度大小不变、方向沿x轴方向且随时间呈周期性变化的电场E'，从粒子进入第四象限开始计时（此时E'沿x轴正方向），电场变化关系如图乙（图中E0与第一象限r=L处电场强度大小相等，T=，规定沿x轴正方向为电场正方向）。一带电量为q（q>0），质量为m的粒子从x轴上的P点以某一速度进入第二象限，经电场偏转后从y轴上的Q点沿x轴正方向进入第一象限做匀速圆周运动，速度大小为v0，不计粒子重力。求∶ (1)第二象限内匀强电场的电场强度大小及粒子在P点入射的速度大小； (2)第一象限内r=L处的电场强度大小E0； (3)粒子进入第四象限时，当t=4T时，粒子的位置坐标。 【答案】(1)v0(2)(3) 【难度】0.4 【知识点】带电粒子在匀强电场中做类抛体运动的相关计算、带电粒子在周期性变化的电场运动（初速度垂直电场） 【详解】（1）粒子在电场中做类平抛运动，根据牛顿第二定律可知qE=ma 沿y轴方向有L=at2，vy=at x方向匀速，有L=v0t 联立解得E=，vy=v0 粒子在P点入射的速度大小v= 解得v=v0 （2）带电粒子在第一象限做匀速圆周运动，电场力指向圆心，由牛顿第二定律可得qE0= 解得E0= （3）带电粒子进入第四象限后，沿x轴正方向做单方向周期性的匀加速、匀减速直线运动，沿y轴负方向做匀速直线运动。 x轴方向上，前内做匀加速直线运动，此段时间内的位移大小x1=a 电场力提供合外力qE0=ma 结合E0=、T= 解得x1= 由对称性可得，t=4T时间内，粒子沿x轴正方向总位移为Δx=8x1 故t=4T时，粒子的横坐标x=r+Δx 解得x= y方向上，粒子做匀速直线运动，t=4T时间内粒子的位移大小y=4T×v0 解得y=2L 在t=4T时，粒子的坐标为 27. （2026·江苏扬州·模拟预测）一种能谱仪的核心装置是由两个同心半球形极板构成的静电分析器，垂直半球底面且过球心的截面如图所示，极板间存在径向电场，该区域电场可认为是由位于球心的等效点电荷产生。直线加速器由5个金属圆筒依次排列，相邻圆筒分别接交流电源的两极。质量为，电荷量为的粒子从点沿轴线进入圆筒A时速度为，在圆筒内做匀速直线运动、在圆筒间被电场加速，加速电压视为不变。粒子从圆筒E射出后，从点垂直于进入静电分析器，沿半径为的圆轨道做匀速圆周运动，已知半径为处的电场强度大小均为。 (1)求粒子圆周运动的速度大小v； (2)求交流电源的电压； (3)调节加速电压大小，求恰能从点射出的粒子从点运动到点的时间，已知距离为。并说明粒子从范围内射出时的速度共同特征。 【答案】(1)(2) (3)；粒子从范围内射出时，速度方向均垂直于 【难度】0.38 【知识点】开普勒第三定律、带电粒子在周期性变化电场中做直线运动、带电粒子在径向电场中的运动 【详解】（1）根据牛顿第二定律可得 解得 （2）由题意可知，粒子进入圆筒A后被电场加速4次，根据动能定理 解得 （3）若粒子沿轴线方向运动，则粒子在电场中运动的周期为 设恰能从点射出的粒子在电场中运动的周期为，在此过程中，电场力始终指向点，类比开普勒第三定律可得 解得 粒子从点运动到点为椭圆的一半，所以所用时间为 粒子从范围内射出时，与恰能从点射出的粒子类似，轨迹均为椭圆的一半，所以粒子从范围内射出时，速度方向均垂直于。 28. （2025·福建厦门·二模）图示，足够长的倾角的光滑斜面固定在水平面上，斜面底端固定有垂直挡板。一劲度系数的轻弹簧一端与挡板连接，另一端连接绝缘物块A，A的上方放置着物块B，A、B质量均为且都可视为质点，A不带电，B带电量。初始时A、B均处于静止状态，某时刻起在空间施加方向平行斜面向上、大小为的匀强电场，A、B开始一起运动，一段时间后A、B分离。已知弹簧的弹性势能（x为弹簧的形变量），重力加速度大小取。求： (1)施加电场的瞬间，物块B的加速度大小； (2)两物块从开始运动到分离时沿斜面上滑的距离； (3)物块A的最大动能。 【答案】(1)(2)(3) 【难度】0.65 【知识点】机械能守恒定律在弹簧类问题中的应用、带电物体（计重力）在匀强电场中的直线运动 【详解】（1）对AB整体，由牛顿第二定律得 解得 （2）初始时，设弹簧的形变量为，对AB整体，由平衡关系得 解得 分离时，设弹簧形变量为，此时AB之间无挤压，加速度大小相等，对B有 对A有 联立解得 故物体上滑距离 （3）对A、B以及弹簧组成的系统，设AB分离时速度大小为。由功能关系得 解得 AB分离后，当A的加速度为零时有最大动能，设此时弹簧的形变量为， 对A有 得 则 对A和弹簧组成的系统，由机械能守恒得 解得 29. （2025·福建·模拟预测）如图所示，A、B两物块用一根轻绳跨过光滑轻质定滑轮相连，其中A带负电，电荷量大小为q。空间中有一个平行于斜面向下的匀强电场，A恰好静止于倾角为37°的光滑斜面上，轻绳拉直而无形变，不带电的B、C通过一根轻弹簧拴接在一起，均处于静止状态，A、B、C质量均为m，重力加速度为g。弹簧劲度系数为k，sin37°=0.6，cos37°=0.8。求： (1)电场强度E的大小为多少； (2)现突然将电场的方向改变180°，A、B开始运动起来，请求出当B速度达到最大时，此时B的位移大小； (3)继续保持（2）问中的条件，请求出当C刚好要离开地面时，B的速度大小。 【答案】(1)(2)(3) 【难度】0.65 【知识点】带电物体（计重力）在匀强电场中的直线运动 【详解】（1）根据平衡条件可得 解得 （2）初始时，对B有 所以 当B物块速度达到最大时，加速度为零，对A有 对B有 解得 所以B的位移大小为 （3）C刚要离开地面时有 所以 因为弹簧初末形变量一致，弹簧弹力刚好没做功，对AB系统有 解得 30. （2025·福建福州·模拟预测）如图所示，光滑水平桌面距水平地面高为。桌面上放着质量为的物块A和质量为的物块B，A与B均可看成质点。物块A靠在竖直墙壁上，物块B带正电，电荷量为。A与B通过一轻质弹簧拴接在一起。用手挡住物块B不动，此时弹簧的弹性势能为。放手后物块B向右运动，当弹簧最长时，物块B与弹簧的拴接自动解除，物块B离开弹簧，拿走物块A与弹簧，之后物块B从P点冲出桌面，水平桌面右侧区域存在一方向水平向左的匀强电场，电场强度为，，整个运动过程中物块B的电荷量不变。 (1)求弹簧原长时，物块B的速度大小。 (2)求弹簧拉伸到最长时的弹性势能。 (3)求B落在水平地面时与P点的水平距离x及落地的动能。 【答案】(1)(2)(3)， 【难度】0.65 【知识点】机械能守恒定律在弹簧类问题中的应用、带电物体（计重力）在匀强电场中的一般运动 【详解】（1）弹簧恢复原长的过程中，A不动，由能量守恒得 解得 （2）弹簧从恢复原长到拉伸至最长的过程中，对AB组成的系统由动量守恒和能量守恒得 解得， （3）B从P点冲出桌面后竖直方向做自由落体运动 解得 水平方向受到电场力的作用做匀减速运动 由动能定理得 解得 31. （2025·福建宁德·三模）如图所示，光滑绝缘的轻质三角形框架OAB，OA杆竖直且O、A相距为，OB杆与OA杆夹角为，B点与A点高度相同。A点固定一带电小球，绝缘轻质弹簧一端固定于O点，另一端与套在OB杆上质量为的带电小球P相连，初始时，小球静止于OB中点且对杆无压力。现驱动该装置以OA为轴转动，使小球缓慢移动至B点，此时弹簧恰好恢复原长，此后维持角速度不变。已知重力加速度为，不计空气阻力，求： (1)初始时小球P所受的静电力大小； (2)小球到达B点后的角速度大小； (3)整个过程驱动力所做的功。 【答案】(1)(2)(3) 【难度】0.65 【知识点】向心力的计算、动能定理的初步应用、共线的自由电荷的平衡问题 【详解】（1）方法1：小球受到弹簧弹力F、库仑力、重力mg而平衡，如图 几何关系可知 由平衡条件有 联立解得 方法2：对小球，由平衡条件有， 联立解得 （2）方法1：设此时库仑力为，杆对球弹力为N，如图 几何关系可知AB=AP，故 由牛顿第二定律有 且 联立解得 方法2：由牛顿第二定律有 几何关系可知 联立解得 （3）小球做周运动的速度大小为 解法一：根据动能定理 联立解得 解法二：由功能关系得 解得 解法三：由功能关系得 且  ，，   联立解得 32. （2026·福建南平·一模）如图，两半径近似相等的光滑绝缘环形挡板固定在光滑水平面内，组成一圆心为、半径为的圆形轨道。、为轨道上两点，为的中点，点在延长线上、与点距离为，且。在点固定一电荷量为的负点电荷，在点固定一电荷量为的正点电荷。一带正电小球在轨道内做匀速圆周运动，经过点时对内、外侧挡板均无压力。已知小球质量为、电荷量为q，小球可视为质点且运动过程中电荷量保持不变，静电力常量为。求： (1)、两处的电荷产生的电场在点的合场强大小； (2)小球做匀速圆周运动的速度大小； (3)小球经过点时对挡板压力的大小和方向。 【答案】(1)(2)(3)大小为，方向沿方向 【难度】0.6 【知识点】向心力的计算、电场强度的叠加法则 【详解】（1）处的电荷在点产生的方向沿方向，大小为 处的电荷在点产生的方向沿方向，大小为 、两处的电荷产生的电场在点的合场强大小 （2）小球经过A点时，小球所受库仑力的合力提供向心力，有 求得 （3）由数学知识可知，，，， 小球经过B点时，M处的点电荷对小球的库仑力沿半径方向的分力与挡板对小球支持力的合力提供向心力，有 求得 根据牛顿第三定律可知，小球经过点时对挡板压力大小 方向沿方向。 33. （2026·福建厦门·模拟预测）如图所示，等量异种点电荷分别固定在同一水平线上间距为的、两点处，其中处点电荷带正电，点为、连线中点，点、、分别位于、、正下方处。一长为的轻质绝缘细杆一端固定一质量为、电荷量为（）的带电小球，另一端位于点，轻杆可绕点在所在竖直平面内自由转动。小球从点由静止释放，到达点的速度大小与到达最低点的速度大小相等，取点电势为零，不计空气阻力及一切摩擦，重力加速度为，求： (1)小球到达点时的速度大小； (2)等量异种点电荷形成的电场中点的电势； (3)已知等量异种点电荷所带电荷量大小均为，静电力常量为，求带电小球运动到点时轻杆对小球的作用力大小。 【答案】(1)(2)(3) 【难度】0.42 【知识点】杆/管道模型、动能定理的初步应用、等量异种电荷周围电势的分布、静电力做功与电势差的关系 【详解】（1）根据等量异种点电荷的电势分布特征可知、两点电势均为零，小球从到只有重力做功，由动能定理得 解得 （2）小球到达点和点的速度大小相等，即 点电势为零，由动能定理有 解得 因 解得 （3）根据等量异种点电荷电场对称性可知 小球从到，由动能定理有 解得 由牛顿第二定律可知，小球到达位置时沿杆方向合力满足 小球在位置时沿杆方向的合力为零，其中处点电荷对小球的库仑力沿竖直方向，不影响沿杆方向受力；故处点电荷对小球库仑力沿杆方向分量与轻杆对小球作用力等大反向，满足 其中， 联立解得轻杆对小球的作用力大小 学科网（北京）股份有限公司 $ 一轮复习专题——带电粒子在电场中运动的综合问题 · “等效重力场” 在匀强电场和重力场的共存区域，可以将重力场与电场合二为一，称之为“等效重力场”。 · 电场中的功能关系 1.电场中的功能关系 (1)若只有静电力做功，电势能与动能之和保持不变。 (2)若只有静电力和重力做功，电势能、重力势能、动能之和保持不变 (3)除重力之外，其他各力对物体做的功等于物体机械能的变化。 (4)所有外力对物体所做的功口等于物体动能的变化。 2.电场力做功的计算方法 (1)WAB=qUAB(普遍适用) (2)W=qExcosθ(适用于匀强电场) (3)WAB=−ΔEp=EpA−EpB(从能量角度求解) (4)W电+W非电=ΔEk(由动能定理求解) 题型一、带电粒子在等效重力场中的运动 1. （多选）（25-26高三上·福建龙岩·阶段检测）如图所示，竖直绝缘光滑圆环处于水平向右的匀强电场中，直径与竖直方向夹角，和分别为竖直和水平半径。一视为质点质量为的带电小球，在点时给小球一个初速度，使其恰能在圆环内侧做完整的圆周运动，到点时对环压力最大。已知，，。则小球做圆周运动的过程中，（　　） A．圆环的半径为1m B．在C点处的电势能最小 C．在B点处的动量最小 D．小球所受电场力的大小0.6N，方向水平向右 2. （多选）（24-25高三上·福建福州·阶段检测）如图所示，在地面上方的水平匀强电场中，一个质量为m、电荷量为+q的小球，系在一根长为d的绝缘细线一端，可以在竖直平面内绕O点做圆周运动。AB为圆周的水平直径，CD为竖直直径。已知重力加速度为g，电场强度，下列说法正确的是（　　） A．若小球恰能在竖直平面内绕O点做圆周运动，则它运动的最小速度为 B．若将细线剪断，再将小球在A点以大小为的速度竖直向上抛出，小球将能到达B点 C．若小球在竖直平面内绕O点做圆周运动，则小球运动到B点时的机械能最大 D．若将小球在A点由静止开始释放，则小球沿AC圆弧到达C点的速度为 3. （多选）（2026·河南南阳·模拟预测）如图所示，竖直平面内有水平向右的匀强电场和垂直于纸面向里的匀强磁场，磁场的磁感应强度大小为0.4T。长为0.4m的绝缘轻绳一端固定在O点，另一端系着的带正电小球（可视为点电荷）。小球恰能绕O点沿顺时针方向在竖直平面内做完整的圆周运动，小球经过a点时速度最大，a、O两点连线与竖直方向的夹角θ的正弦值sinθ=0.6，直线cOd和电场线平行，取重力加速度大小，不计空气阻力。下列说法正确的是（     ） A．电场的电场强度大小E=0.3N/C B．小球运动过程中的最小速度为m/s C．小球经过c点时机械能最大 D．小球经过a点时的速度大小为m/s 4. （2025高三·全国·专题练习）如图所示，一半径为R的绝缘光滑圆环竖直固定，MQ是圆环的竖直直径，M为最高点，Q为最低点，P与N等高，且，圆环所在平面内存在一匀强电场。一带电荷量为、质量为m的小球套在圆环上，从P点静止释放，已知小球运动到N点时速度最大，重力加速度为g，则下列说法可能正确的是（     ） A．电场方向水平向右 B．电场方向由O指向N C．电场强度大小为 D．电场强度大小为 5. （25-26高三上·福建福州·阶段检测）水平面上竖直固定一个圆形光滑绝缘轨道，圆心为，半径为。其中A、C是圆弧上水平直径上的两点，B为最低点，D为最高点。在竖直平面分布着与水平方向夹角的匀强电场。一个质量为、带电荷量为的绝缘小球从点以某一速度竖直向下沿轨道内侧运动，恰好不离开轨道并从点水平向右做直线运动，重力加速度为。下列说法正确的是（　　） A．绝缘小球在点对轨道的压力 B．绝缘小球在点对轨道的压力 C．绝缘小球沿轨道从B到C电势能的变化量 D．匀强电场的电场强度 6. （多选）（2026·山东聊城·三模）如图甲所示，在与竖直平面平行的匀强电场中，有一质量为、带电量为的小球（可视为质点），小球在半径的竖直固定光滑圆轨道上，从与圆心等高的点以初速度沿轨道切线向下运动，恰好能做完整的圆周运动。为小球从点起转过的圆心角，点为轨道最低点。已知小球在运动过程中电势能随角度的变化图像如图乙所示，，取重力加速度。下列判断正确的是（     ） A．电场强度大小为，方向水平向右 B．小球在运动过程中速度的最大值为 C．小球在从点运动到点的过程中速度先增大后减小 D．小球在运动过程中对轨道压力的最大值为 题型二、带电粒子在径向电场中的运动 7. （2024·山东潍坊·模拟预测）为了模拟净化空气的过程，有人设计了含有灰尘空气的密封玻璃圆柱桶（圆柱桶的高和直径相等），第一种除尘方式是：在圆柱筒顶和底面的金属电极间加上电压U，沿圆柱筒的轴线方向形成一个匀强电场，灰尘颗粒的运动方向如图甲所示；第二种除尘方式是：在圆柱筒轴线处放一直导线，在导线与圆柱筒内壁的金属电极间也加上电压U，形成沿半径方向的辐射状电场，灰尘运动方向如图乙所示。假设每个灰尘颗粒带电荷量均为q，未加电场前均处于静止状态，灰尘颗粒的重力、空气阻力均忽略不计，则下列说法正确的（　　） A．两种方式中灰尘颗粒受到的电场力大小相等 B．第二种方式中灰尘颗粒做直线运动 C．两种方式中电场对灰尘颗粒做功相同，均为 D．两种方式中电场对单个灰尘颗粒做功的最大值不相等 8. （多选）（25-26高三上·湖北武汉·期末）某带电粒子转向器的横截面如图所示，转向器中有均匀分布的辐向电场，电场线沿半径方向指向圆心。粒子从点射入后，恰好能沿圆弧虚线运动，并从点射出。粒子仅受电场力，下列说法正确的是（　　） A．粒子带负电 B．圆弧虚线是等势线 C．粒子射出时的速度大于射入时的速度 D．增大电场强度，可使粒子转向半径减小 9. （2025·福建·高考真题）角分辨光电子能谱仪是现代科学研究的先进仪器，其核心装置中有两个同心半球极板。垂直半球底面且过球心O的截面如图所示。极板间存在一径向电场，其等势线为一系列以O为圆心的半圆。电子A以初动能，从入口M点垂直半球底面入射，从N点射出，电子b也从M点垂直半球底面入射，经P点后从Q点射出。两电子的运动轨迹如图所示，已知电子a轨迹为一以O为圆心的半圆，与OP交于H点，H、P两点间的电势差为U，，，电子电荷量大小为，重力不计。则（　　） A．P点的电场强度 B．电子a在H点受到的电场力大小为 C．电子b在P点动能小于在Q点动能 D．电子b从M点运动到Q点的过程中，克服电场力所做的功小于2eU 10. （多选）（2025·河南南阳·模拟预测）如图所示的装置由加速电场、辐射电场组成。一质量为m、带电量为+q的粒子（忽略重力）从加速电场的下孔飘入加速电场，从J点以竖直向上的速度进入辐射电场，沿圆弧虚线运动到P点时以水平向右的速度离开电场。已知圆弧虚线处的电场强度大小为E，圆弧虚线的半径为R，下列说法正确的是（　　） A．粒子在J点的速度大小为 B．加速电场两极板间的电压为 C．粒子从J点到P点的运动时间 D．粒子从J点运动到P点的平均加速度的大小为 11. （多选）（2026·天津河西·二模）如图所示，某静电分析器的两电极之间存在指向圆心O的辐向电场。三个带电粒子有相同的动能从A点垂直端面射入，仅在静电力作用下，甲粒子从B射出，乙粒子做圆周运动从C射出，丙粒子从D射出。已知甲、乙、丙的电荷量大小分别为、、，，。下列说法正确的是（     ） A．甲、乙、丙粒子均带正电 B． C．乙粒子经过的位置电场强度大小均为 D．甲粒子动能变化的绝对值大于丙粒子动能变化的绝对值 题型三、带电粒子在电场中的一般运动 12. （多选）（2025·福建福州·模拟预测）如图所示，纸面为竖直面，为竖直线段，之间的距离为，空间存在平行于纸面的足够宽广的匀强电场，其大小和方向均未知（图中未画出）。一带电量为，质量为的小球从点在纸面内以的速度水平向左开始运动，之后恰好以大小为的速度通过点。已知重力加速度为，不计空气阻力。则（　　） A． B．小球从点到点过程的时间为 C．电场强度方向斜向右上与水平方向成30° D．电场力大小为 13. （多选）（2025·天津·一模）真空中存在空间范围足够大的、水平向右的匀强电场。在电场中，若将一个质量为m、带正电的小球由静止释放，运动中小球的速度与竖直方向夹角为37°。现将该小球从电场中A点以初速度竖直向上抛出，经过最高点B后回到与A在同一水平线上的C点，已知：，，则（　　） A．小球所受的电场力为 B．小球在最高点B的动能为 C．小球从B到C的电势能减少量是从A到B的电势能减少量的3倍 D．小球在C点的机械能比在A点多 14. （多选）（2026·湖北省直辖县级单位·模拟预测）如图所示，在竖直平面xOy内存在大小、方向未知的匀强电场。一质量为m的小球从y轴上P点以水平速度v进入第一象限，速度方向沿x轴正方向，经过x轴上Q点时的速度大小也为v，方向与x轴夹角为37°。已知sin37°=0.6，cos37°=0.8，重力加速度大小为g。不计空气阻力，小球从P点运动到Q点的过程中（　　） A．速度的最小值为 B．所受电场力的最小值为 C．动能与电势能之和一直减小 D．水平位移与竖直位移的大小之比为2:1 15. （多选）（2025·陕西渭南·一模）如图，空间存在一匀强电场，一质量为的带电小球仅在重力和电场力的作用下运动，重力加速度为，虚线与水平地面之间的夹角为。若小球从虚线上某处静止释放，恰好沿虚线向下做加速度为的匀加速运动。现将小球以大小为、方向与虚线之间的夹角为的初速度从图示位置抛出，则小球运动到最高点的过程中（　　） A．小球水平向右移动的距离为 B．小球竖直上升的高度为 C．重力和电场力做的总功为 D．小球所受合力的冲量大小为 16. （多选）（2025·福建泉州·一模）如图，在竖直平面内有一圆心为O、半径为R的圆形区域，圆内有一场强大小为E的水平匀强电场，方向与该区域平面平行，圆的直径MN与水平方向夹角。质量为m、电荷量为q的带正电微粒从M点以不同水平速度向右射入电场，微粒通过圆形区域的过程中，电势能增加量最大值为，动能增加量最大值为。已知速度大小为v的微粒恰能运动到N点且速度大小也为v，重力加速度大小为g。下列等式成立的是（　　） A． B． C． D． 17. （2026·河南郑州·模拟预测）由太阳能板阵列产生的人工可控匀强电场，主要用于偏转太空尘埃和微小碎片。为了测试电场对带电微粒的偏转效果，工程师将一个足够长、倾角为的固定斜面置于电场强度大小、方向水平向右的匀强电场中，并向该区域发射了一质量为、电荷量为的小球，小球以初速度从斜面底端斜向上抛出，初速度方向与水平方向间的夹角为，如图所示。重力加速度为，不计空气阻力。从抛出到落回斜面的过程中，小球机械能的增加量为（     ） A． B． C． D． 18. （25-26高三下·山西太原·阶段检测）如图所示，地面上方某区域存在着水平向右的匀强电场，一个质量为m、电荷量为q的带负电小球（可视为质点）以水平向右的初速度由O点射入该区域，刚好竖直向下通过P点，已知OP与初速度方向的夹角为45°，重力加速度为g，以下说法正确的是（　　） A．小球由O点到P点用时为 B．小球的最小动能为 C．小球所受电场力的冲量为 D．小球的机械能增加了 题型四、解答题 19. （2026·北京房山·二模）如图所示，一质量为m、电荷量为+q的小球，用长为l的绝缘细线悬挂于O点。小球静止时位于图中的Q点。若将该装置放在水平方向匀强电场中，小球静止于图中的P点，此时细线与竖直方向的夹角θ=37°。已知重力加速度为g，sin 37°=0.6，cos 37°=0.8。 (1)判断电场方向，计算该匀强电场的电场强度的大小E。 (2)若规定Q点位置电势为零，求P点电势φ。 (3)若带电小球从Q点由静止释放，求小球再次到达P点时的速度的大小。 20. （25-26高三上·福建漳州·阶段检测）如图所示，光滑绝缘轨道abc固定在竖直面内，ab为水平直轨道，bc是半径为R的四分之一圆弧轨道，整个空间中均有水平向右的匀强电场。质量为m、电荷量为的小球从P点由静止释放，Pb的距离也为R。已知匀强电场的场强，重力加速度大小为g，，。求： (1)小球运动到b点时（b点属于圆弧轨道），小球的速度多大？ (2)小球在b点时轨道对小球的支持力多大？ (3)运动过程中小球的最大速度为多大？ 21. （2026高三下·福建厦门·专题练习）如图所示，在光滑水平轨道AB的末端处，平滑连接一个半径R=0.4m的光滑半圆形轨道，半圆形轨道与水平轨道相切，C点为半圆形轨道的中点，D点为半圆形轨道的最高点，A、B两点间的距离L=1.2m，整个轨道处在电场强度水平向右、大小E=1×107N/C的匀强电场中。用固定的弹射装置锁定一个质量m=1kg、带电量q=+1×10−6C的小物块（可视为质点），某时刻解除锁定，小物块运动到D点时对轨道的压力为30N。取重力加速度大小为g=10m/s2。求： (1)弹射装置锁定时具有的弹性势能； (2)小物块在水平轨道AB上的落点到B点的距离； (3)小物块在空中的最小动能。 22. （2025·福建泉州·一模）如图，竖直面内固定一足够长斜面与一半圆弧轨道abc，两者相切于a点，空间中存在水平向右的匀强电场。一质量为m、电荷量为q的带正电小球静止在斜面上，现给小球一沿斜面向上的初速度后，沿圆弧轨道abc运动恰能通过c点。运动过程中小球带电量保持不变，不计一切摩擦。已知斜面倾角为37°，圆弧轨道半径为R，重力加速度大小为g，取sin37°=0.6，cos37°=0.8。 (1)求电场的场强大小E； (2)求小球第一次落在斜面上的位置到a的距离x； (3)若小球从c点飞出时，在空间加上垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小，不考虑磁场突变引起的电磁感应现象，求小球运动过程中离斜面的最小距离d。 23. （25-26高三上·河南驻马店·期末）如图所示，离子源产生的质量为m、电荷量为q的离子经小孔进入加速电场，初速度可忽略不计，加速后的离子竖直向上进入电场分析器内的圆弧辐射状电场，离子沿半径为R的圆弧做匀速圆周运动，离子从小孔射出后进入另一电场分析器（与左侧分析器关于某竖直线对称）内的圆弧辐射状电场，离子偏转后沿的方向竖直向下射入水平向左的匀强偏转电场，最终打在水平放置的晶圆（硅片）上。已知加速电场两水平极板间的电压为U，偏转电场的上边界MN和下边界PQ间的距离为L，水平方向足够宽。晶圆半径为R，圆心为O，其上表面到PQ边界的距离为d。不计重力及离子间相互作用，忽略边缘效应。 (1)求电场分析器内离子所经位置的电场强度大小E； (2)求离子在两个电场分析器中运动的总时间t； (3)若离子需恰好打在晶圆上表面的边缘处，求偏转电场的电场强度大小。 24. （25-26高三上·全国·阶段检测）如图甲所示，在坐标系的第Ⅱ象限内放置了射线管，射线管由平行于轴的平行金属板、和平行于金属板的细管C组成，细管C到两板的距离相等，且开口在轴上（图中C与两板绝缘），粒子源在极板的左端，可以斜向下朝、两极板间沿特定方向发射质量为、电荷量为（为元电荷）、初速度为的粒子。极板长度和两板间距均为，当、板间加上某一电压时，粒子刚好能以某一速度水平进入细管C，且以相同速度水平射出然后进入位于第Ⅰ象限的静电分析器中做匀速圆周运动，之后粒子垂直轴进入第Ⅳ象限。已知静电分析器中电场线的方向均沿半径方向指向圆心，粒子经过处的电场强度大小均为；第Ⅳ象限内存在电场强度大小不变、方向平行于轴且随时间呈周期性变化的电场，从粒子进入第Ⅳ象限开始计时为时刻，电场强度随时间变化关系如图乙所示（图中为已知值，规定沿轴正方向为电场正方向）。粒子的重力不计。求： (1)粒子从细管C水平射出时的速度大小； (2)粒子在静电分析器中运动的轨迹半径； (3)当时，粒子的坐标。 25. （2026·陕西榆林·一模）如图所示，在xOy坐标系中，在第Ⅱ象限放置了粒子射线管，粒子射线管由平行于x轴的平行金属板A、B和平行于金属板的细管C组成。细管C到两板的距离相等，且开口在y轴上（图中细管C与两板绝缘）。粒子源P靠近在A极板下方的最左端，可以斜向下沿某一方向发射初速度为的带电粒子。A、B板长为L，当A、B板加上某一电压时，带电粒子刚好能以的速度水平进入细管C且保持速度水平射出。然后进入位于第Ⅰ象限的静电分析器中做半径为的匀速圆周运动，静电分析器中电场线的方向均沿半径方向指向圆心O，且粒子经过处的电场强度大小均为。已知带电粒子的质量为m，电子电量为e，重力不计。忽略电场的边缘效应，求： (1)金属板A、B间的电势差； (2)粒子从A板最左边到C点入口处所用时间t。 26. （25-26高二上·湖南长沙·阶段检测）如图甲所示，在平面直角坐标系xOy的第二象限内存在沿-y方向的匀强电场；第一象限内存在指向O点的辐向电场，r=L处电场强度大小为E0（未知）；第四象限内存在电场强度大小不变、方向沿x轴方向且随时间呈周期性变化的电场E'，从粒子进入第四象限开始计时（此时E'沿x轴正方向），电场变化关系如图乙（图中E0与第一象限r=L处电场强度大小相等，T=，规定沿x轴正方向为电场正方向）。一带电量为q（q>0），质量为m的粒子从x轴上的P点以某一速度进入第二象限，经电场偏转后从y轴上的Q点沿x轴正方向进入第一象限做匀速圆周运动，速度大小为v0，不计粒子重力。求∶ (1)第二象限内匀强电场的电场强度大小及粒子在P点入射的速度大小； (2)第一象限内r=L处的电场强度大小E0； (3)粒子进入第四象限时，当t=4T时，粒子的位置坐标。 27. （2026·江苏扬州·模拟预测）一种能谱仪的核心装置是由两个同心半球形极板构成的静电分析器，垂直半球底面且过球心的截面如图所示，极板间存在径向电场，该区域电场可认为是由位于球心的等效点电荷产生。直线加速器由5个金属圆筒依次排列，相邻圆筒分别接交流电源的两极。质量为，电荷量为的粒子从点沿轴线进入圆筒A时速度为，在圆筒内做匀速直线运动、在圆筒间被电场加速，加速电压视为不变。粒子从圆筒E射出后，从点垂直于进入静电分析器，沿半径为的圆轨道做匀速圆周运动，已知半径为处的电场强度大小均为。 (1)求粒子圆周运动的速度大小v； (2)求交流电源的电压； (3)调节加速电压大小，求恰能从点射出的粒子从点运动到点的时间，已知距离为。并说明粒子从范围内射出时的速度共同特征。 28. （2025·福建厦门·二模）图示，足够长的倾角的光滑斜面固定在水平面上，斜面底端固定有垂直挡板。一劲度系数的轻弹簧一端与挡板连接，另一端连接绝缘物块A，A的上方放置着物块B，A、B质量均为且都可视为质点，A不带电，B带电量。初始时A、B均处于静止状态，某时刻起在空间施加方向平行斜面向上、大小为的匀强电场，A、B开始一起运动，一段时间后A、B分离。已知弹簧的弹性势能（x为弹簧的形变量），重力加速度大小取。求： (1)施加电场的瞬间，物块B的加速度大小； (2)两物块从开始运动到分离时沿斜面上滑的距离； (3)物块A的最大动能。 29. （2025·福建·模拟预测）如图所示，A、B两物块用一根轻绳跨过光滑轻质定滑轮相连，其中A带负电，电荷量大小为q。空间中有一个平行于斜面向下的匀强电场，A恰好静止于倾角为37°的光滑斜面上，轻绳拉直而无形变，不带电的B、C通过一根轻弹簧拴接在一起，均处于静止状态，A、B、C质量均为m，重力加速度为g。弹簧劲度系数为k，sin37°=0.6，cos37°=0.8。求： (1)电场强度E的大小为多少； (2)现突然将电场的方向改变180°，A、B开始运动起来，请求出当B速度达到最大时，此时B的位移大小； (3)继续保持（2）问中的条件，请求出当C刚好要离开地面时，B的速度大小。 30. （2025·福建福州·模拟预测）如图所示，光滑水平桌面距水平地面高为。桌面上放着质量为的物块A和质量为的物块B，A与B均可看成质点。物块A靠在竖直墙壁上，物块B带正电，电荷量为。A与B通过一轻质弹簧拴接在一起。用手挡住物块B不动，此时弹簧的弹性势能为。放手后物块B向右运动，当弹簧最长时，物块B与弹簧的拴接自动解除，物块B离开弹簧，拿走物块A与弹簧，之后物块B从P点冲出桌面，水平桌面右侧区域存在一方向水平向左的匀强电场，电场强度为，，整个运动过程中物块B的电荷量不变。 (1)求弹簧原长时，物块B的速度大小。 (2)求弹簧拉伸到最长时的弹性势能。 (3)求B落在水平地面时与P点的水平距离x及落地的动能。 31. （2025·福建宁德·三模）如图所示，光滑绝缘的轻质三角形框架OAB，OA杆竖直且O、A相距为，OB杆与OA杆夹角为，B点与A点高度相同。A点固定一带电小球，绝缘轻质弹簧一端固定于O点，另一端与套在OB杆上质量为的带电小球P相连，初始时，小球静止于OB中点且对杆无压力。现驱动该装置以OA为轴转动，使小球缓慢移动至B点，此时弹簧恰好恢复原长，此后维持角速度不变。已知重力加速度为，不计空气阻力，求： (1)初始时小球P所受的静电力大小； (2)小球到达B点后的角速度大小； (3)整个过程驱动力所做的功。 32. （2026·福建南平·一模）如图，两半径近似相等的光滑绝缘环形挡板固定在光滑水平面内，组成一圆心为、半径为的圆形轨道。、为轨道上两点，为的中点，点在延长线上、与点距离为，且。在点固定一电荷量为的负点电荷，在点固定一电荷量为的正点电荷。一带正电小球在轨道内做匀速圆周运动，经过点时对内、外侧挡板均无压力。已知小球质量为、电荷量为q，小球可视为质点且运动过程中电荷量保持不变，静电力常量为。求： (1)、两处的电荷产生的电场在点的合场强大小； (2)小球做匀速圆周运动的速度大小； (3)小球经过点时对挡板压力的大小和方向。 33. （2026·福建厦门·模拟预测）如图所示，等量异种点电荷分别固定在同一水平线上间距为的、两点处，其中处点电荷带正电，点为、连线中点，点、、分别位于、、正下方处。一长为的轻质绝缘细杆一端固定一质量为、电荷量为（）的带电小球，另一端位于点，轻杆可绕点在所在竖直平面内自由转动。小球从点由静止释放，到达点的速度大小与到达最低点的速度大小相等，取点电势为零，不计空气阻力及一切摩擦，重力加速度为，求： (1)小球到达点时的速度大小； (2)等量异种点电荷形成的电场中点的电势； (3)已知等量异种点电荷所带电荷量大小均为，静电力常量为，求带电小球运动到点时轻杆对小球的作用力大小。 学科网（北京）股份有限公司 $