专题19 带电粒子(体)在电场中运动的综合问题（重难点训练）（安徽专用）2027年高考物理一轮复习讲练测

**基本信息** 以“交变电场分段处理、等效重力场模型转化、力电综合三大观点”为核心方法体系，构建从单一模型到综合应用的递进式知识逻辑，强化科学思维与物理观念。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |知识解构|3个知识点|交变电场分段与图像法、等效重力场转化、动力学/能量/动量观点|从基础模型（交变电场）到复合场（等效重力场）再到综合应用（力电结合）递进| |基础演练|10道题|题型分类对应核心方法，如周期性运动分段、圆周运动极值分析|题型与方法一一对应，巩固知识应用| |重难创新|3道题|临界问题分析、速度极值条件推导|深化复杂情境下的模型建构与科学推理| |真题实战|3道高考题|高频考点（等效重力场、动能定理）针对性突破|对接考情，强化应试能力与物理观念|

专题19 带电粒子(体)在电场中运动的综合问题（重难点训练） 目 录 研判·考情前瞻 1 巩固·知识解构 2 知识点1 带电粒子在交变电场中的运动 2 知识点2 “等效重力场”中的圆周运动 2 知识点3 电场中的力电综合问题 3 模拟·基础演练 4 题型01 带电粒子在交变电场中的运动 4 题型02“等效重力场”中的圆周运动 5 题型03电场中的力电综合问题 7 重难·创新演练 9 真题·实战演练 11 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 研判·考情前瞻 核心考点 2026年 2025年 2024年 “等效重力场”中的圆周运动 河北T13、天津T11 电场中的力电综合问题 广东T15、贵州T14、河南T13、湖北T14、山东T10、云南T7 广东T15、湖南T14、河南T13、福建T4 辽黑吉T6、安徽T10 考情分析 题型与考向： 交变电场中的运动多考查周期性问题，核心在于将复杂的交变过程“分段”处理，抓住电场变化的“拐点”与粒子运动状态的对应关系，问题可分为直线运动型和偏转型两类。“等效重力场”中的圆周运动考查模型迁移能力， 把复杂的电场问题转化为竖直平面内圆周运动，主要找等效重力场中速度最小点和最大点。将电场与绳（杆）模型结合，判断小球能否做完整的圆周运动，或在某点对轨道压力的极值分析。力电综合问题运动情境复杂，常与弹簧、滑块、传送带等模型结合，必须灵活运用动力学、能量和动量三大观点。考查电势能、动能、内能等多种能量之间的转化与守恒，重点看电场力做功与电势能变化的关系。 情境与立意： 命题通过创设新颖情境，以静电喷漆、放射疗法、质谱仪、速度选择器等为背景，从实际设备中抽象出物理模型考查核心素养，考查信息获取与建模能力、推理论证与科学思维能力，例如“力与运动”、“功与能”关系的推理，常见考法是给出运动轨迹，反推受力、做功或电势能变化，考查逆向思维。 复习目标 1.掌握交变电场的特点。 2.会分析带电粒子在交变电场中的运动规律。 3.会用等效法分析带电粒子在电场和重力场中的圆周运动。 4.会用动力学、能量和动量观点分析带电粒子的力电综合问题。 巩固·知识解构 知识点1 带电粒子在交变电场中的运动 1.常见的交变电场 常见的产生交变电场的电压波形有方形波、锯齿波、正弦波等。 2.常见的题目类型 (1)粒子做单向直线运动。 (2)粒子做往返运动直线运动。 (3)粒子做类平抛曲线运动 3.思维方法 (1)注重全面分析(分析受力特点和运动规律)：抓住粒子的运动具有周期性和在空间上具有对称性的特征，求解粒子运动过程中的速度、位移、做功或确定与物理过程相关的临界条件。 (2)从两条思路出发：一是力和运动的关系，根据牛顿第二定律及运动学规律分析；二是功能关系。 4.解题技巧 (1)按周期性分段研究。 (2)将a－t图像v－t图像。 ( ⚠ 特别提醒 在画速度—时间图像时，要注意： (1)带电粒子进入电场的时刻。 (2)速度—时间图像的斜率表示加速度，因此加速度相同的运动的图像一定是平行的直线。 (3)图线与时间轴围成的“面积”表示位移，且在横轴上方所围成的“面积”为正，在横轴下方所围成的“面积”为负。 (4)注意对称性和周期性变化关系的应用。 ) 知识点2 “等效重力场”中的圆周运动 1.等效重力场 带电体处在匀强电场和重力场中，同时受到电场力和重力，可以将重力场与电场合二为一，用一个全新的“复合场”来代替，称之为“等效重力场”，将电场力和重力用“等效重力”替代。 2.“等效重力”相关概念 3.常见情景 对于重力场与电场垂直，等效重力的方向和大小分别为(见右上方图)： ( ✨ 得分速记 在等效重力场中列动能定理或能量守恒定律方程时，分别列出电场力做功和重力的功。若等效重力方向和物体位移方向较简单，也可以列等效重力做功。 ) 知识点3 电场中的力电综合问题 1.动力学的观点 (1)由于匀强电场中带电粒子所受静电力和重力都是恒力，可用正交分解法。 (2)综合运用牛顿运动定律和匀变速直线运动公式，注意受力分析要全面，特别注意重力是否需要考虑的问题。 2.能量的观点 (1)运用动能定理，注意过程分析要全面，准确求出过程中的所有力做的功，判断是对分过程还是对全过程使用动能定理。 (2)运用能量守恒定律，注意题目中有哪些形式的能量出现。 模拟·基础演练 考查重点：带电粒子交变电场中的运动、“等效重力”圆周运动、带电体力电综合应用 ⏳题型01 带电粒子在交变电场中的运动 1．（25-26高三上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）匀强电场的电场强度E随时间t变化的图像如图所示。当时。在此匀强电场中由静止释放一个带正电的粒子，带电粒子只受静电力的作用，下列说法正确的是（ ） A．带电粒子将做往复运动 B．3s末带电粒子回到原出发点 C．3s末带电粒子的速度不为零 D．前3s内，静电力做的总功为零 2．（25-26高三上·安徽亳州·阶段检测）如图甲所示，两个平行金属板P、Q正对竖直放置，两板间加上如图乙所示的交变电压。t=0时，Q板比P板电势高U0，在两板的正中央M点有一电子在电场力作用下由静止开始运动（电子所受重力可忽略不计）。已知电子在0～4t0时间内未与两板相碰。则电子速度方向向左且速度大小逐渐增大的时间是（ ） A．0<t<t0 B．t0<t<2t0 C．2t0<t<3t0 D．3t0<t<4t0 3.（25-26高三上·安徽马鞍山·阶段检测）（多选）如图甲，两平行金属板MN、PQ的板长和板间距离比为2∶1，板间存在如图乙所示的随时间周期性变化的电场，电场方向与两板垂直，在t=0时刻，一不计重力的带电粒子以速度v0沿板间中线垂直电场方向射入电场，t=T时刻粒子恰好从MN板右边缘射出电场。下列说法正确的是（ ） A．在t=时刻，该粒子的速度大小为 B．该粒子射出电场时的速度方向与电场方向垂直 C．若该粒子在时刻以速度v0进入电场，则粒子会打在板上 D．若该粒子的入射速度变为，则该粒子在t=2T时刻射出电场 ⏳题型02“等效重力场”中的圆周运动 4．（2026·湖南衡阳·模拟预测）如图所示，水平面存在水平向左的匀强电场。一不可伸长的不导电细线的一端连着一个质量为m的带电小球，另一端固定于O点，把小球拉起直至细线与场强方向平行，然后无初速度静止释放。已知小球摆到最低点的另一侧，细线与竖直方向的最大夹角为30°，重力加速度为g，则小球经过最低点时细线对小球的拉力为（ ） A．（）mg B．（）mg C．（）mg D．（）mg 5．（2026·黑龙江双鸭山·一模）如图所示，竖直平面内的固定光滑圆形绝缘轨道的半径为R，A、B两点分别是圆形轨道的最低点和最高点，圆形轨道上C、D两点的连线过圆心O且OC与竖直向下方向的夹角为60°。空间存在方向水平向右且平行圆形轨道所在平面的匀强电场，一质量为m的带负电小球（视为质点）恰好能沿轨道内侧做完整的圆周运动，且小球通过D点时的速度最小。重力加速度大小为g。下列说法正确的是（ ） A．小球受到的电场力大小为2mg B．小球通过D点时的速度大小为 C．小球在运动过程中的最大速度为 D．小球通过C点时所受轨道的作用力大小为12mg 6．（25-26高三上·安徽六安·期末）长为的绝缘轻细线一端连接质量为、电荷量为的带正电小球，另一端固定在光滑绝缘水平桌面上的点，整个空间内存在着平行于桌面的匀强电场，带电小球恰好能在桌面内沿顺时针做圆周运动，俯视图如图甲所示，为轨迹圆的一条直径。以点为起始点，小球运动过程中的电势能与小球运动的路程之间的关系如图乙所示，其中。下列说法正确的是（ ） A．小球做匀速圆周运动 B．电势差 C．小球运动过程中动能最大值 D．小球运动过程中所受细线拉力的最大值与最小值之差 7.（25-26高三下·安徽·开学考试）如图，空间内存在方向水平向左，范围足够大的匀强电场。用一长为L的不可伸长的绝缘轻绳将一质量为m的带电小球悬挂在O点，平衡时小球停止于A点，此时轻绳与竖直方向夹角，B在O点正下方。现把小球拉到O点正右方的C处，此时轻绳刚好处于水平状态，将小球无初速度释放，不计空气阻力，带电小球可视为质点，重力加速度为g，，求： (1)小球运动到B点时的速度大小； (2)小球运动过程中轻绳受到的最大拉力的大小； (3)小球运动到B点时剪断轻绳，在以后的运动过程中，小球运动到P点（图中未画出）时速度会有一个最小值，则小球从B点运动到P点的时间是多少？ ⏳题型03电场中的力电综合问题 8.(2022·海南卷·) (多选)如图，带正电q＝3×10－5 C的物块A放在水平桌面上，利用细绳通过光滑的滑轮与B相连，A处在水平向左的匀强电场中，E＝4×105 N/C，从O开始，A与桌面的动摩擦因数μ随x的变化如图所示，取O点电势能为零，A、B质量均为1 kg，B离滑轮的距离足够长，重力加速度g取10 m/s2，则( ) A.它们运动的最大速度为1 m/s B.它们向左运动的最大位移为1 m C.当速度为0.6 m/s时，A的电势能可能是－2.4 J D.当速度为0.6 m/s时，绳子的拉力可能是9.2 N 9.（25-26高三上·安徽六安·阶段检测）竖直平面内有一匀强电场，质量为m的带电小球由M点斜向上抛出，速度大小为v、方向与水平面成60°角，经过时间t到达N点，速度大小仍为v、方向水平向右。已知小球运动轨迹在该竖直平面内，重力加速度大小为g，。下列说法正确的是（ ） A．电场强度方向水平向右 B．小球受电场力大小为2 mg C．从M到N的过程，电场力做功为 D．从M到N的过程，小球的电势能先减少后增大 10.（2026·安徽亳州·模拟预测）如图所示，水平地面上方存在一匀强电场（大小、方向可调节），一个质量为m，电荷量为q带正电的小球，仅受重力和电场力作用，且这两个力合力沿图中虚线方向，虚线与水平地面的夹角为30°，重力加速度为g。 (1)若小球从虚线上某处静止释放，沿虚线向下运动，求满足该条件下电场强度的最小值； (2)若小球的初速度方向垂直于虚线向右上方，大小为，从图示位置出发到最高点的过程中，小球重力势能增加了E0，求该电场电场强度的大小和方向； (3)求在上述（2）中从图示位置出发到最高点的过程，小球电势能的改变量。 重难·创新演练 设题创新:电场偏转临界问题(T1)、重力场和电场中的速度极值条件(T2) 1．（2026·安徽淮南·一模）如图甲所示，电子加速器的加速电压为，大量电子由静止加速后，不断地从两板正中间沿水平方向射入偏转电场。两板不带电时，电子通过两板的时间为，当在两板间加如图乙所示的周期为最大值为未知）的变化电压时，偏移量最大的电子恰从两极板右边缘射出。时刻，上极板带正电，两极板间距为，电子的电荷量为，质量为，不计电子重力和它们之间相互作用力。 (1)求偏转电场的板长。 (2)求偏转电压的最大值； (3)在时刻进入偏转电场的电子，求离开偏转电场时竖直方向偏移量。 2．（2026·重庆渝中·一模）如图所示，在竖直平面内有水平向右、电场强度大小的匀强电场，从点水平向左以速度抛出一个质量、电荷量的带正电小球（可视为质点），小球经过一段时间运动到点正下方的点处，取重力加速度大小，不计空气阻力，求： (1)A、B两点间的距离； (2)小球的速度最小时，小球距、所在直线的距离。 3．（25-26高三上·湖南·阶段检测）如图所示，空间存在水平向右的匀强电场，由水平粗糙轨道AB与光滑圆弧轨道BC组成的绝缘轨道固定在竖直面内，圆弧轨道与水平轨道在B点相切，AB部分轨道足够长，圆弧轨道的半径为R，OC与水平方向的夹角为45°。将一个质量为m、电荷量为的带电小物块在水平轨道上某处由静止释放，物块沿轨道由C点滑出，当物块的速度为零时位置刚好在O点正上方。已知重力加速度为g，匀强电场的电场强度，物块与水平轨道间的动摩擦因数为0.5，物块可视为质点，求： (1)物块开始释放的位置离B点的距离为多少； (2)物块在BC轨道上运动时，对轨道的最大压力为多少； (3)物块在AB轨道上运动的总路程为多少。 真题·实战演练 高频考点：“等效重力”场圆周运动、牛顿第二定律、动能定理 1.（2026·广东·高考真题）如图（a）所示，两竖直放置且足够大的平行金属板、，两板间距为，在两板正中间竖直平面内固定有一水平绝缘横杆，一质量为、电荷量为的小球通过两根等长且不可伸长的绝缘轻绳悬挂于横杆下方，小球与横杆的距离为，两绳的夹角为直角，如图（b），接通电源，使板间电压由0开始缓慢增大，小球缓慢向靠近，在此过程中每个时刻小球都受力平衡，当小球接触的瞬间，电荷量变为，板间电压停止增大并在此后保持恒定，在此恒定电压下，小球每次与或接触后瞬间，速度均减为0，带电荷量变化满足“电性反转、大小不变”，从而在两板间沿着圆弧往复运动，重力加速度为，小球可视为质点，每次与板碰撞均不影响两板间电压，忽略空气阻力和电场的边缘效应，忽略小球所带电荷对板间电场的影响。 （1）求、间的恒定电压； （2）求小球第一次碰撞前瞬间，单根轻绳的拉力大小； （3）若某次小球碰撞时，、间的电压突变为原恒定电压的倍（），其他条件不变，此后小球仍能沿着圆弧往复运动，求的取值范围，并求出该范围内不同值对应的小球最大动能。 2.(2026·贵州·高考真题)在竖直平面内，一带电荷量为（）的小球在重力作用下从点由静止开始下落，运动过程中始终受到与运动方向相反的空气阻力作用，其大小与速率满足（为常量）。小球第一次经过点正下方的点时达到最大速率，此时，施加竖直向上的恒定匀强电场，小球做变速运动。经过一段时间后，小球在点正上方的点再次达到最大速率，此后匀速上升。已知小球速率从第一次到再次达到的过程中，克服空气阻力做功为，重力加速度大小为。求： （1）小球的质量和电场强度大小； （2）小球的最大加速度大小； （3）施加电场后，、两点间的电势差。 3.(2024·河北·高考真题)如图，竖直向上的匀强电场中，用长为L的绝缘细线系住一带电小球，在竖直平面内绕O点做圆周运动。图中A、B为圆周上的两点，A点为最低点，B点与O点等高。当小球运动到A点时，细线对小球的拉力恰好为0，已知小球的电荷量为q(q>0)、质量为m，A、B两点间的电势差为U，重力加速度大小为g，求： (1)电场强度E的大小； (2)小球在A、B两点的速度大小。 $ 专题19 带电粒子(体)在电场中运动的综合问题（重难点训练） 模拟·基础演练 题号 1 2 3 4 5 6 8 9 答案 D C AB B D D ACD C 7. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）对小球受力分析，可知小球带负电，根据共点力平衡有： 解得： 小球从C点到B点的过程，根据动能定理有： 联立解得： （2）对小球受力分析可知，小球运动到A点（等效最低点）时，轻绳对小球的拉力最大，小球从C到A，根据动能定理有 小球在A点，由牛顿第二定律得 联立解得： 由牛顿第三定律可知轻绳受到的最大拉力的大小为： （3）将小球受到的重力与电场力的合力视为一个新的等效场力G'，根据力的合成有 等效重力加速度大小： 将小球在B点的速度沿等效场力方向和垂直于等效场力方向分解，其在等效场力方向的分速度： 根据运动规律有小球从B点运动到P点的时间： 解得： 10. 【答案】(1)，与竖直方向夹角30°斜向右上方 (2)，水平向右 (3)-5E0 【详解】（1）如图所示 由电场力与重力的合力沿虚线方向可知，当电场力与合力垂直时电场强度最小，则 所以 方向与竖直方向夹角30°，斜向右上方； （2）由题可知带电粒子做匀变速曲线运动，竖直方向，有，， 可得 因此电场只能沿水平方向，则 方向水平向右； （3）由题意可知，水平方向，有，， 竖直方向，有 所以， 根据功能关系可得，小球电势能的改变量 重难·创新演练 1. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）根据动能定理有 粒子进入偏转电场后，水平方向有 联立得 （2）时刻入射的电子 根据牛顿第二定律 联立得 （3）粒子进入偏转电场后向上运动 速度减为零后，向下运动 时间段内的总偏移 由（2） 联立得 2. 【答案】(1)80m (2)15 m 【详解】（1）小球竖直方向做自由落体 水平方向匀变速直线运动，， 解得 （2）对小球受力分析，小球受重力和水平向右的电场力， 合力方向与轴正方向的夹角为，根据 可得 设经过时间时，小球的速度有最小值，此时速度方向与合力方向垂直，即速度方向与轴负方向的夹角为，根据速度关系 解得 水平位移（距 A、B 直线的距离） 3. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）由于OC与水平方向夹角为45°，且 重力与电场力的合力方向与OB的夹角为45°，因此物块从C点滑出后，在电场中做类竖直上抛运动，根据几何关系，C点到最高点运动的距离 最高点离水平轨道的高度 设开始释放位置到点距离为，从释放到最高点，根据动能定理有 解得 （2）设物块第一次运动到圆弧轨道上D点时物块对轨道的压力最大。由（1）分析可知，OD与竖直方向的夹角为，设在D点时速度为v，根据动能定理 解得 在D点，根据牛顿第二定律 解得 根据牛顿第三定律，物块对圆弧轨道的最大压力 （3）当物块运动到B点速度为零时，物块最终在BC轨道上做往复运动，设物块在AB轨道上运动的总路程为，根据动能定理 解得 真题·实战演练 1. 【答案】（1） （2） （3）当时，；当时， 【详解】 【小问1详解】 当小球刚好到金属板时，受力分析如图所示 根据几何关系可得 可得 根据平衡条件有 其中 联立可得 【小问2详解】 小球从金属板到金属板过程，根据动能定理 小球第一次碰撞前瞬间，受力分析如图所示 对小球根据牛顿第二定律 联立解得 【小问3详解】 如图所示 要使小球仍能沿着圆弧往复运动，即绳子拉力大于零，需要满足 解得 根据（2）分析可知当时，小球到达金属板时，电场力和重力的合力与绳子的合力方向相同，当时，小球所受的重力和电场力的合力相对于小球到达金属板时绳子合力的方向偏上，如图所示 绳子拉力对小球不做功，可知小球所受的重力和电场力的合力与小球位移的夹角一直为锐角，当小球到达金属板时，动能最大，根据动能定理有 可得 当时，小球所受的重力和电场力的合力相对于小球到达金属板时绳子合力的方向偏下，如图所示 当小球速度与小球所受的重力和电场力的合力方向垂直时，速度最大，该点为等效最低点，设此时与竖直方向的夹角为，根据几何关系有 根据数学知识可得， 根据动能定理有 解得 2. 【答案】（1）， （2） （3） 【详解】 【小问1详解】 小球第一次达到最大速率时，受力平衡，根据平衡条件有 解得小球的质量为 小球再次到达最大速率时，受力平衡，小球到达M点上方N点，速度方向竖直向上，则空气阻力竖直向下，根据力的平衡条件有 解得电场强度大小为 【小问2详解】 对小球从P点运动到M点的过程，由牛顿第二定律有 可知小球做加速度减小的加速运动，从M点运动到最低点的过程，由牛顿第二定律有 可知小球做加速度减小的减速运动，小球从最低点运动到N点的过程，由牛顿第二定律有 可知小球做加速度减小的加速运动，小球从静止释放时加速度为g，小球运动到M点加恒定匀强电场时有 解得 则小球的最大加速度大小为。 【小问3详解】 对小球从M点运动到N点的过程，由动能定理有 其中 联立解得M、N两点间的电势差为 3. 【答案】(1) (2) 【详解】 (1)由匀强电场中电势差与电场强度的关系，电场强度E＝ (2)在A点细线对小球的拉力为0， 根据牛顿第二定律得Eq－mg＝m A到B过程根据动能定理得 qU－mgL＝mm 联立解得vA＝，vB＝。 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题19 带电粒子(体)在电场中运动的综合问题（重难点训练） 目 录 研判·考情前瞻 1 巩固·知识解构 2 知识点1 带电粒子在交变电场中的运动 2 知识点2 “等效重力场”中的圆周运动 2 知识点3 电场中的力电综合问题 3 模拟·基础演练 4 题型01 带电粒子在交变电场中的运动 4 题型02“等效重力场”中的圆周运动 6 题型03电场中的力电综合问题 11 重难·创新演练 14 真题·实战演练 17 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 研判·考情前瞻 核心考点 2026年 2025年 2024年 “等效重力场”中的圆周运动 河北T13、天津T11 电场中的力电综合问题 广东T15、贵州T14、河南T13、湖北T14、山东T10、云南T7 广东T15、湖南T14、河南T13、福建T4 辽黑吉T6、安徽T10 考情分析 题型与考向： 交变电场中的运动多考查周期性问题，核心在于将复杂的交变过程“分段”处理，抓住电场变化的“拐点”与粒子运动状态的对应关系，问题可分为直线运动型和偏转型两类。“等效重力场”中的圆周运动考查模型迁移能力， 把复杂的电场问题转化为竖直平面内圆周运动，主要找等效重力场中速度最小点和最大点。将电场与绳（杆）模型结合，判断小球能否做完整的圆周运动，或在某点对轨道压力的极值分析。力电综合问题运动情境复杂，常与弹簧、滑块、传送带等模型结合，必须灵活运用动力学、能量和动量三大观点。考查电势能、动能、内能等多种能量之间的转化与守恒，重点看电场力做功与电势能变化的关系。 情境与立意： 命题通过创设新颖情境，以静电喷漆、放射疗法、质谱仪、速度选择器等为背景，从实际设备中抽象出物理模型考查核心素养，考查信息获取与建模能力、推理论证与科学思维能力，例如“力与运动”、“功与能”关系的推理，常见考法是给出运动轨迹，反推受力、做功或电势能变化，考查逆向思维。 复习目标 1.掌握交变电场的特点。 2.会分析带电粒子在交变电场中的运动规律。 3.会用等效法分析带电粒子在电场和重力场中的圆周运动。 4.会用动力学、能量和动量观点分析带电粒子的力电综合问题。 巩固·知识解构 知识点1 带电粒子在交变电场中的运动 1.常见的交变电场 常见的产生交变电场的电压波形有方形波、锯齿波、正弦波等。 2.常见的题目类型 (1)粒子做单向直线运动。 (2)粒子做往返运动直线运动。 (3)粒子做类平抛曲线运动 3.思维方法 (1)注重全面分析(分析受力特点和运动规律)：抓住粒子的运动具有周期性和在空间上具有对称性的特征，求解粒子运动过程中的速度、位移、做功或确定与物理过程相关的临界条件。 (2)从两条思路出发：一是力和运动的关系，根据牛顿第二定律及运动学规律分析；二是功能关系。 4.解题技巧 (1)按周期性分段研究。 (2)将a－t图像v－t图像。 ( ⚠ 特别提醒 在画速度—时间图像时，要注意： (1)带电粒子进入电场的时刻。 (2)速度—时间图像的斜率表示加速度，因此加速度相同的运动的图像一定是平行的直线。 (3)图线与时间轴围成的“面积”表示位移，且在横轴上方所围成的“面积”为正，在横轴下方所围成的“面积”为负。 (4)注意对称性和周期性变化关系的应用。 ) 知识点2 “等效重力场”中的圆周运动 1.等效重力场 带电体处在匀强电场和重力场中，同时受到电场力和重力，可以将重力场与电场合二为一，用一个全新的“复合场”来代替，称之为“等效重力场”，将电场力和重力用“等效重力”替代。 2.“等效重力”相关概念 3.常见情景 对于重力场与电场垂直，等效重力的方向和大小分别为(见右上方图)： ( ✨ 得分速记 在等效重力场中列动能定理或能量守恒定律方程时，分别列出电场力做功和重力的功。若等效重力方向和物体位移方向较简单，也可以列等效重力做功。 ) 知识点3 电场中的力电综合问题 1.动力学的观点 (1)由于匀强电场中带电粒子所受静电力和重力都是恒力，可用正交分解法。 (2)综合运用牛顿运动定律和匀变速直线运动公式，注意受力分析要全面，特别注意重力是否需要考虑的问题。 2.能量的观点 (1)运用动能定理，注意过程分析要全面，准确求出过程中的所有力做的功，判断是对分过程还是对全过程使用动能定理。 (2)运用能量守恒定律，注意题目中有哪些形式的能量出现。 模拟·基础演练 考查重点：带电粒子交变电场中的运动、“等效重力”圆周运动、带电体力电综合应用 ⏳题型01 带电粒子在交变电场中的运动 1．（25-26高三上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）匀强电场的电场强度E随时间t变化的图像如图所示。当时。在此匀强电场中由静止释放一个带正电的粒子，带电粒子只受静电力的作用，下列说法正确的是（ ） A．带电粒子将做往复运动 B．3s末带电粒子回到原出发点 C．3s末带电粒子的速度不为零 D．前3s内，静电力做的总功为零 【答案】D 【详解】A．带电粒子由静止释放后，在时间内，由牛顿第二定律可知粒子的加速度大小为 在时间内，粒子的加速度大小为 可知粒子由静止先以加速度大小加速2s，再以加速度大小减速1s，由于，可知3s末粒子速度为零，同理在时间内由静止又以加速度大小加速2s，再以加速度大小减速1s，此时粒子速度是零，因此粒子在时间内，带电粒子将始终向同一个方向运动，其速度时间图像如图所示 A错误； B．由带电粒子的速度时间图像可知，带电粒子将始终向同一个方向运动，因此3s末带电粒子回不到原出发点，B错误； C．由带电粒子的速度时间图像可知，3s末带电粒子的速度是零，C错误； D．在前3s内，由动能定理可知 前3s内，静电力做的总功是零，D正确。 故选D。 2．（25-26高三上·安徽亳州·阶段检测）如图甲所示，两个平行金属板P、Q正对竖直放置，两板间加上如图乙所示的交变电压。t=0时，Q板比P板电势高U0，在两板的正中央M点有一电子在电场力作用下由静止开始运动（电子所受重力可忽略不计）。已知电子在0～4t0时间内未与两板相碰。则电子速度方向向左且速度大小逐渐增大的时间是（ ） A．0<t<t0 B．t0<t<2t0 C．2t0<t<3t0 D．3t0<t<4t0 【答案】C 【详解】A．在，电子所受电场力方向向右，电子向右做匀加速直线运动，速度逐渐增大，A错误； B．在 ，电子所受的电场力方向向左，电子向右做匀减速直线运动，2t时速度为零，B错误； C．在，电子所受电场力方向向左，电子向左做匀加速直线运动，C正确； D．在，电子所受电场力向右，电子向左做匀减速直线运动，D错误； 故选C。 3.（25-26高三上·安徽马鞍山·阶段检测）（多选）如图甲，两平行金属板MN、PQ的板长和板间距离比为2∶1，板间存在如图乙所示的随时间周期性变化的电场，电场方向与两板垂直，在t=0时刻，一不计重力的带电粒子以速度v0沿板间中线垂直电场方向射入电场，t=T时刻粒子恰好从MN板右边缘射出电场。下列说法正确的是（ ） A．在t=时刻，该粒子的速度大小为 B．该粒子射出电场时的速度方向与电场方向垂直 C．若该粒子在时刻以速度v0进入电场，则粒子会打在板上 D．若该粒子的入射速度变为，则该粒子在t=2T时刻射出电场 【答案】AB 【详解】AB．粒子射入电场在水平方向上做匀速直线运动，在竖直方向上前半个周期内先做匀加速直线运动，电场力做正功；在后半个周期内做匀减速直线运动，电场力做负功，竖直速度又减小为零，所以从MN边缘离开电场时速度是水平方向的，与电场方向垂直，设板长为2L，粒子在水平方向上则有 在竖直方向上则有 解得在t=时刻，粒子在竖直方向上的速度为 则粒子的合速度为，故AB正确； C．当该粒子在时刻以速度v0进入电场，则此时粒子竖直方向上在电场力的作用下，先做匀加速，再匀减速，接着再匀加速和匀减速后回到中线位置，其两板间最大偏移量为 粒子不会打在板上，故C错误； D．若该粒子的入射速度变为，此时粒子通过金属板的时间为 则在电场力不变的情况下，根据粒子运动的对称性可知，粒子偏转的位移将会为L，所以粒子在不会射出电场，故D错误。 故选AB。 ⏳题型02“等效重力场”中的圆周运动 4．（2026·湖南衡阳·模拟预测）如图所示，水平面存在水平向左的匀强电场。一不可伸长的不导电细线的一端连着一个质量为m的带电小球，另一端固定于O点，把小球拉起直至细线与场强方向平行，然后无初速度静止释放。已知小球摆到最低点的另一侧，细线与竖直方向的最大夹角为30°，重力加速度为g，则小球经过最低点时细线对小球的拉力为（ ） A．（）mg B．（）mg C．（）mg D．（）mg 【答案】B 【详解】设细线长为，由动能定理可知 解得电场力大小为，方向水平向右。 设小球摆到最低点时速度大小为由动能定理 在最低点 拉力大小 故选B。 5．（2026·黑龙江双鸭山·一模）如图所示，竖直平面内的固定光滑圆形绝缘轨道的半径为R，A、B两点分别是圆形轨道的最低点和最高点，圆形轨道上C、D两点的连线过圆心O且OC与竖直向下方向的夹角为60°。空间存在方向水平向右且平行圆形轨道所在平面的匀强电场，一质量为m的带负电小球（视为质点）恰好能沿轨道内侧做完整的圆周运动，且小球通过D点时的速度最小。重力加速度大小为g。下列说法正确的是（ ） A．小球受到的电场力大小为2mg B．小球通过D点时的速度大小为 C．小球在运动过程中的最大速度为 D．小球通过C点时所受轨道的作用力大小为12mg 【答案】D 【详解】A．小球在通过D点时的速度最小，则在该点电场力与重力的合力沿半径方向，则小球受到的电场力大小为，故A错误； B．小球在通过D点时的速度最小，则D点为竖直平面内圆周运动的等效最高点，恰好能完整的做圆周运动，在等效最高点有最小速度，此时电场力与重力的合力刚好提供向心力，则有 解得，故B错误； CD．小球在等效最低点C点的速度最大，故小球从D到C的过程中，由动能定理得 解得 在C点，由牛顿第二定律得 解得，故C错误，D正确。 故选D。 6．（25-26高三上·安徽六安·期末）长为的绝缘轻细线一端连接质量为、电荷量为的带正电小球，另一端固定在光滑绝缘水平桌面上的点，整个空间内存在着平行于桌面的匀强电场，带电小球恰好能在桌面内沿顺时针做圆周运动，俯视图如图甲所示，为轨迹圆的一条直径。以点为起始点，小球运动过程中的电势能与小球运动的路程之间的关系如图乙所示，其中。下列说法正确的是（ ） A．小球做匀速圆周运动 B．电势差 C．小球运动过程中动能最大值 D．小球运动过程中所受细线拉力的最大值与最小值之差 【答案】D 【详解】A．小球在运动过程中，只有电场力做功，动能与电势能之和不变，由图可知，在运动过程中，小球的电势能在周期性变化，则其动能也在周期性变化，小球的运动为变速圆周运动，A错误； B．由图乙可知，小球由P点开始做圆周运动的路程为时小球的电势能最大，此时小球转过的圆心角为，小球沿电场方向的位移最大，过该点做圆的切线，则电场的方向与切线垂直，如图所示 该过程中电场力所做的功等于小球电势能的减少量，即 可得 电势差，B错误； C．小球电势能最大时位于等效最高点，因小球恰好能在桌面内沿顺时针做圆周运动， 小球电势能最小时位于等效最低点，小球的速度最大，根据动能定理 解得最大动能，C错误； D．小球位于等效最高点时，细线的拉力最小为0；当小球位于等效最低点时，拉力有最大值。 根据牛顿第二定律 因最小值为0，最大值与最小值之差就等于拉力的最大值，D正确。 故选D。 7.（25-26高三下·安徽·开学考试）如图，空间内存在方向水平向左，范围足够大的匀强电场。用一长为L的不可伸长的绝缘轻绳将一质量为m的带电小球悬挂在O点，平衡时小球停止于A点，此时轻绳与竖直方向夹角，B在O点正下方。现把小球拉到O点正右方的C处，此时轻绳刚好处于水平状态，将小球无初速度释放，不计空气阻力，带电小球可视为质点，重力加速度为g，，求： (1)小球运动到B点时的速度大小； (2)小球运动过程中轻绳受到的最大拉力的大小； (3)小球运动到B点时剪断轻绳，在以后的运动过程中，小球运动到P点（图中未画出）时速度会有一个最小值，则小球从B点运动到P点的时间是多少？ 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）对小球受力分析，可知小球带负电，根据共点力平衡有： 解得： 小球从C点到B点的过程，根据动能定理有： 联立解得： （2）对小球受力分析可知，小球运动到A点（等效最低点）时，轻绳对小球的拉力最大，小球从C到A，根据动能定理有 小球在A点，由牛顿第二定律得 联立解得： 由牛顿第三定律可知轻绳受到的最大拉力的大小为： （3）将小球受到的重力与电场力的合力视为一个新的等效场力G'，根据力的合成有 等效重力加速度大小： 将小球在B点的速度沿等效场力方向和垂直于等效场力方向分解，其在等效场力方向的分速度： 根据运动规律有小球从B点运动到P点的时间： 解得： ⏳题型03电场中的力电综合问题 8.(2022·海南卷·) (多选)如图，带正电q＝3×10－5 C的物块A放在水平桌面上，利用细绳通过光滑的滑轮与B相连，A处在水平向左的匀强电场中，E＝4×105 N/C，从O开始，A与桌面的动摩擦因数μ随x的变化如图所示，取O点电势能为零，A、B质量均为1 kg，B离滑轮的距离足够长，重力加速度g取10 m/s2，则( ) A.它们运动的最大速度为1 m/s B.它们向左运动的最大位移为1 m C.当速度为0.6 m/s时，A的电势能可能是－2.4 J D.当速度为0.6 m/s时，绳子的拉力可能是9.2 N 【答案】ACD 【详解】由题知Ff＝μmg＝2x，设A向左移动x后速度为零，对A、B系统有，qEx－mgx－Ffx＝0(此处Ffx前面的是因为摩擦力是变力，其做功可以用平均力)，可得x＝2m，A向左运动是先加速后减速，当x＝2m时，摩擦力变成静摩擦力，系统受力平衡，处于静止状态。设A向左运动x'后速度为v，对系统则有qEx'－mgx'－Ffx'＝×2mv2，得mv2＝－(x'－1)2＋1，即当x'＝1m时，v最大为1m/s，故A正确，B错误；当v＝0.6m/s时，可得x'为0.2m或1.8m，当x'＝0.2m时，静电力做功qEx'＝2.4J，则电势能减小2.4J，由于EpO＝0，则A的电势能为－2.4J，当x'＝1.8m时，A的电势能为－21.6J，故C正确；根据牛顿第二定律qE－Ff－mg＝2ma，当x'＝0.2m时，系统加速度a＝0.8m/s2，对B有FT－mg＝ma，得FT＝10.8N，当x'＝1.8m时，系统加速度a＝－0.8m/s2，对B分析可得FT＝9.2N，故D正确。 9.（25-26高三上·安徽六安·阶段检测）竖直平面内有一匀强电场，质量为m的带电小球由M点斜向上抛出，速度大小为v、方向与水平面成60°角，经过时间t到达N点，速度大小仍为v、方向水平向右。已知小球运动轨迹在该竖直平面内，重力加速度大小为g，。下列说法正确的是（ ） A．电场强度方向水平向右 B．小球受电场力大小为2 mg C．从M到N的过程，电场力做功为 D．从M到N的过程，小球的电势能先减少后增大 【答案】C 【详解】AB．对带电小球受力分析，可知带电小球受重力和电场力作用，两个力是恒力，故两个力的合力也是恒力，根据牛顿第二定律可知带电小球的加速度也是恒定的，故带电小球在电场中做匀变速曲线运动，以M点为坐标原点，水平向右为x轴正方向，竖直向上为y轴正方向，竖直方向的加速度 水平方向的加速度 设电场力为，其水平方向的分力 其竖直方向的分力为，则有 解得 故电场力大小 电场力方向与水平方向的夹角满足 解得，即电场力与x正方向成30°斜向上，因小球带电性质未知，故不能判断电场强度方向，故AB错误； C．从M到N的过程，竖直方向的高度 设电场力做功为，根据动能定理有 解得，故C正确； D．由AB选项分析可知，电场力与x正方向成30°斜向上，M点电场力和速度方向垂直，从M到N的过程，电场力与速度方向为锐角，故电场力一直做正功，小球的电势能一直减小，故D错误。 故选C。 10.（2026·安徽亳州·模拟预测）如图所示，水平地面上方存在一匀强电场（大小、方向可调节），一个质量为m，电荷量为q带正电的小球，仅受重力和电场力作用，且这两个力合力沿图中虚线方向，虚线与水平地面的夹角为30°，重力加速度为g。 (1)若小球从虚线上某处静止释放，沿虚线向下运动，求满足该条件下电场强度的最小值； (2)若小球的初速度方向垂直于虚线向右上方，大小为，从图示位置出发到最高点的过程中，小球重力势能增加了E0，求该电场电场强度的大小和方向； (3)求在上述（2）中从图示位置出发到最高点的过程，小球电势能的改变量。 【答案】(1)，与竖直方向夹角30°斜向右上方 (2)，水平向右 (3)-5E0 【详解】（1）如图所示 由电场力与重力的合力沿虚线方向可知，当电场力与合力垂直时电场强度最小，则 所以 方向与竖直方向夹角30°，斜向右上方； （2）由题可知带电粒子做匀变速曲线运动，竖直方向，有，， 可得 因此电场只能沿水平方向，则 方向水平向右； （3）由题意可知，水平方向，有，， 竖直方向，有 所以， 根据功能关系可得，小球电势能的改变量 重难·创新演练 设题创新:电场偏转临界问题(T1)、重力场和电场中的速度极值条件(T2) 1．（2026·安徽淮南·一模）如图甲所示，电子加速器的加速电压为，大量电子由静止加速后，不断地从两板正中间沿水平方向射入偏转电场。两板不带电时，电子通过两板的时间为，当在两板间加如图乙所示的周期为最大值为未知）的变化电压时，偏移量最大的电子恰从两极板右边缘射出。时刻，上极板带正电，两极板间距为，电子的电荷量为，质量为，不计电子重力和它们之间相互作用力。 (1)求偏转电场的板长。 (2)求偏转电压的最大值； (3)在时刻进入偏转电场的电子，求离开偏转电场时竖直方向偏移量。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）根据动能定理有 粒子进入偏转电场后，水平方向有 联立得 （2）时刻入射的电子 根据牛顿第二定律 联立得 （3）粒子进入偏转电场后向上运动 速度减为零后，向下运动 时间段内的总偏移 由（2） 联立得 2．（2026·重庆渝中·一模）如图所示，在竖直平面内有水平向右、电场强度大小的匀强电场，从点水平向左以速度抛出一个质量、电荷量的带正电小球（可视为质点），小球经过一段时间运动到点正下方的点处，取重力加速度大小，不计空气阻力，求： (1)A、B两点间的距离； (2)小球的速度最小时，小球距、所在直线的距离。 【答案】(1)80m (2)15 m 【详解】（1）小球竖直方向做自由落体 水平方向匀变速直线运动，， 解得 （2）对小球受力分析，小球受重力和水平向右的电场力， 合力方向与x轴正方向的夹角为，根据 可得 设经过时间t1时，小球的速度有最小值，此时速度方向与合力方向垂直，即速度方向与x轴负方向的夹角为，根据速度关系 解得 水平位移（距 A、B 直线的距离） 3．（25-26高三上·湖南·阶段检测）如图所示，空间存在水平向右的匀强电场，由水平粗糙轨道AB与光滑圆弧轨道BC组成的绝缘轨道固定在竖直面内，圆弧轨道与水平轨道在B点相切，AB部分轨道足够长，圆弧轨道的半径为R，OC与水平方向的夹角为45°。将一个质量为m、电荷量为的带电小物块在水平轨道上某处由静止释放，物块沿轨道由C点滑出，当物块的速度为零时位置刚好在O点正上方。已知重力加速度为g，匀强电场的电场强度，物块与水平轨道间的动摩擦因数为0.5，物块可视为质点，求： (1)物块开始释放的位置离B点的距离为多少； (2)物块在BC轨道上运动时，对轨道的最大压力为多少； (3)物块在AB轨道上运动的总路程为多少。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）由于OC与水平方向夹角为45°，且 重力与电场力的合力方向与OB的夹角为45°，因此物块从C点滑出后，在电场中做类竖直上抛运动，根据几何关系，C点到最高点运动的距离 最高点离水平轨道的高度 设开始释放位置到B点距离为x，从释放到最高点，根据动能定理有 解得 （2）设物块第一次运动到圆弧轨道上D点时物块对轨道的压力最大。由（1）分析可知，OD与竖直方向的夹角为45°，设在D点时速度为v，根据动能定理 解得 在D点，根据牛顿第二定律 解得 根据牛顿第三定律，物块对圆弧轨道的最大压力 （3）当物块运动到B点速度为零时，物块最终在BC轨道上做往复运动，设物块在AB轨道上运动的总路程为，根据动能定理 解得 真题·实战演练 高频考点：“等效重力”场圆周运动、牛顿第二定律、动能定理 1.（2026·广东·高考真题）如图（a）所示，两竖直放置且足够大的平行金属板、，两板间距为，在两板正中间竖直平面内固定有一水平绝缘横杆，一质量为、电荷量为的小球通过两根等长且不可伸长的绝缘轻绳悬挂于横杆下方，小球与横杆的距离为，两绳的夹角为直角，如图（b），接通电源，使板间电压由0开始缓慢增大，小球缓慢向靠近，在此过程中每个时刻小球都受力平衡，当小球接触的瞬间，电荷量变为，板间电压停止增大并在此后保持恒定，在此恒定电压下，小球每次与或接触后瞬间，速度均减为0，带电荷量变化满足“电性反转、大小不变”，从而在两板间沿着圆弧往复运动，重力加速度为，小球可视为质点，每次与板碰撞均不影响两板间电压，忽略空气阻力和电场的边缘效应，忽略小球所带电荷对板间电场的影响。 （1）求、间的恒定电压； （2）求小球第一次碰撞前瞬间，单根轻绳的拉力大小； （3）若某次小球碰撞时，、间的电压突变为原恒定电压的倍（），其他条件不变，此后小球仍能沿着圆弧往复运动，求的取值范围，并求出该范围内不同值对应的小球最大动能。 【答案】（1） （2） （3）当时，；当时， 【详解】 【小问1详解】 当小球刚好到金属板N时，受力分析如图所示 根据几何关系可得 可得 根据平衡条件有 其中 联立可得 【小问2详解】 小球从金属板N到金属板M过程，根据动能定理 小球第一次碰撞M前瞬间，受力分析如图所示 对小球根据牛顿第二定律 联立解得 【小问3详解】 如图所示 要使小球仍能沿着圆弧往复运动，即绳子拉力大于零，需要满足 解得 根据（2）分析可知当时，小球到达金属板时，电场力和重力的合力与绳子的合力方向相同，当时，小球所受的重力和电场力的合力相对于小球到达金属板时绳子合力的方向偏上，如图所示 绳子拉力对小球不做功，可知小球所受的重力和电场力的合力与小球位移的夹角一直为锐角，当小球到达金属板时，动能最大，根据动能定理有 可得 当时，小球所受的重力和电场力的合力相对于小球到达金属板时绳子合力的方向偏下，如图所示 当小球速度与小球所受的重力和电场力的合力方向垂直时，速度最大，该点为等效最低点，设此时与竖直方向的夹角为，根据几何关系有 根据数学知识可得， 根据动能定理有 解得 2.(2026·贵州·高考真题)在竖直平面内，一带电荷量为（）的小球在重力作用下从点由静止开始下落，运动过程中始终受到与运动方向相反的空气阻力作用，其大小与速率满足（为常量）。小球第一次经过点正下方的点时达到最大速率，此时，施加竖直向上的恒定匀强电场，小球做变速运动。经过一段时间后，小球在点正上方的点再次达到最大速率，此后匀速上升。已知小球速率从第一次到再次达到的过程中，克服空气阻力做功为，重力加速度大小为。求： （1）小球的质量和电场强度大小； （2）小球的最大加速度大小； （3）施加电场后，、两点间的电势差。 【答案】（1）， （2） （3） 【详解】 【小问1详解】 小球第一次达到最大速率时，受力平衡，根据平衡条件有 解得小球的质量为 小球再次到达最大速率时，受力平衡，小球到达M点上方N点，速度方向竖直向上，则空气阻力竖直向下，根据力的平衡条件有 解得电场强度大小为 【小问2详解】 对小球从P点运动到M点的过程，由牛顿第二定律有 可知小球做加速度减小的加速运动，从M点运动到最低点的过程，由牛顿第二定律有 可知小球做加速度减小的减速运动，小球从最低点运动到N点的过程，由牛顿第二定律有 可知小球做加速度减小的加速运动，小球从静止释放时加速度为g，小球运动到M点加恒定匀强电场时有 解得 则小球的最大加速度大小为。 【小问3详解】 对小球从M点运动到N点的过程，由动能定理有 其中 联立解得M、N两点间的电势差为 3.(2024·河北·高考真题)如图，竖直向上的匀强电场中，用长为L的绝缘细线系住一带电小球，在竖直平面内绕O点做圆周运动。图中A、B为圆周上的两点，A点为最低点，B点与O点等高。当小球运动到A点时，细线对小球的拉力恰好为0，已知小球的电荷量为q(q>0)、质量为m，A、B两点间的电势差为U，重力加速度大小为g，求： (1)电场强度E的大小； (2)小球在A、B两点的速度大小。 【答案】(1) (2) 【详解】 (1)由匀强电场中电势差与电场强度的关系，电场强度E＝ (2)在A点细线对小球的拉力为0， 根据牛顿第二定律得Eq－mg＝m A到B过程根据动能定理得 qU－mgL＝mm 联立解得vA＝，vB＝。 $