抛体运动与电场中的类抛体运动 专项训练 -2027届高考物理一轮复习

**基本信息** 以运动分解为核心方法，系统整合抛体、类抛体及等效重力场问题，构建“模型识别-正交分解-临界分析”三阶解题体系，强化运动与相互作用观念及科学推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |抛体运动|6例+3变式|平抛运动正交分解、速度偏转角公式、轨迹相切临界条件|从基础平抛到斜面/圆弧约束，拓展运动分解应用场景| |类抛体运动|2例+8变式|恒力加速度计算、类平抛运动规律迁移|类比平抛，将电场力/斜面力等效为“重力”，构建类平抛模型| |等效重力场中的类抛体运动|1例+3变式|合力等效法、最小速度极值分析|重力与电场力合成，拓展至复杂场中曲线运动分析|

抛体运动与电场中的类抛体运动 类型一、抛体运动 例1.滑板运动是很多年轻人热爱的一项运动。如图所示为某一滑板的滑道，左侧是一个水平平台，在平台右侧有一倾角为53°的滑道AB。一滑板运动员（可视为质点）从平台边缘O点以某一水平速度冲出，恰好无碰撞的从A点进入倾斜滑道。已知OA的水平距离为1.2m，g取10m/s2，sin53°＝0.8，cos53°＝0.6，不计空气阻力，则运动员冲出O点时的速度大小为（　　） A．3m/s B．4m/s C．2m/s D．4m/s 变式1-1.一同学经过多次训练，从O点将小球以某一速度水平抛出，小球恰好落在倾角为θ的固定光滑斜面顶端，并刚好沿光滑斜面下滑，如图所示。不计空气阻力，若该同学改变初速度的大小，要使小球仍然恰好落在斜面顶端并刚好沿斜面下滑，则抛出点距P点的竖直高度h与水平距离x应满足的关系为（　　） A． B． C． D． 例2.如图所示，以v0＝10m/s的速度水平抛出的物体，飞行一段时间后垂直地撞在倾角θ＝30°的斜面上，下列说法正确的是（　　） A．物体飞行时间t＝3s B．物体撞击斜面时的速度大小v＝20m/s C．物体撞击斜面时的速度大小 D．物体下落的竖直距离h＝20m 例3.跑酷是以日常生活的环境为运动场所的极限运动。一跑酷运动员在水平高台上水平向右跑到高台边缘，以v0的速度从边缘上的A点水平向右跳出，运动t1＝0.6s后落在一倾角为53°的斜面上的B点，速度方向与斜面垂直。随后运动员迅速转身并调整姿势，以的速度从B点水平向左蹬出，刚好落到斜面的底端C点。D点为平台的下边缘点，假设该运动员可视为质点，不计空气阻力，重力加速度g取10m/s2，sin53°＝0.8，cos53°＝0.6。求： （1）运动员从高台边缘跳出时的水平速度v0的大小；（2）DC间的距离。 例4.如图所示，滑雪运动员从跳台a点处以初速度v0沿水平方向跳出，经过一段时间后在斜坡上的b点处着陆，运动到c点时离斜坡最远。其中斜坡上P点为c点在垂直斜坡方向的投影点。已知斜坡倾角θ＝30°，当地的重力加速度为g，则a点到P点的距离为（　　） A． B． C． D． 变式4-1跳台滑雪是一种勇敢者的运动。现有某运动员从跳台A处沿水平方向飞出，在斜坡B处着陆。如图所示，AB间可视为直坡面，如果已知斜坡与水平方向的夹角为θ，重力加速度为g，人可以看作质点且在A处的初速度为v0，不计空气阻力。根据以上信息，下列说法不正确的是（　　） A．可求出运动员在空中的飞行时间和位移 B．可求出运动员在空中离坡面的最大距离 C．若初速度减小为原来的，则飞行时间也变为原来的 D．若运动员飞出跳台时的水平速度变小，则他着陆时速度与水平方向夹角变小 例5.如图所示为固定的半圆形竖直轨道，AB为水平直径，O为圆心，哪吒和敖丙在A点同时水平踢出两个毽子（可视为质点），初速度分别为v1、v2，落在轨道上的C、D两点，OC、OD连线与竖直方向的夹角均为30°，忽略空气阻力，则（　　） A．两个毽子不会同时落到轨道上 B．v1：v2＝1：3 C．两个毽子速度变化量方向不相同 D．落在D点毽子的速度的反向延长线一定过O点 变式5-1（多选）如图，AB为竖直平面内圆轨道的直径，O为圆心。弹射器（图中未画）可沿水平线AB移动，第一次将小球在A点以某速度水平弹出，前移一段距离后，将相同的小球在C点以另一速度水平弹出，两次小球均落在圆轨道同一点D，其中有一次落在D点的速度方向沿OD方向，OD与竖直方向的夹角为30°。不计空气阻力，小球可视为质点，则下列说法正确的是（　　） A．前后两次下落过程中小球的速度变化量相等 B．从A点弹出的小球在D点的速度沿OD方向 C．A、C两点之间的距离为圆轨道半径的一半 D．小球两次落在D点的速度大小之比为3：2 例6.如图所示为四分之一圆柱体OAB的竖直截面，半径为R，在B点正上方的C点水平抛出一个小球，小球轨迹恰好在D点与圆柱体相切，OD与OB的夹角为53°，（sin53°＝0.8，cos53°＝0.6），则C点到B点的距离为（　　） A．R B． C． D． 类型二、类抛体运动 例1.如图所示，固定在水平面上的光滑斜面长a＝5m，宽b＝4m，倾角θ＝30°，一可视为质点的小球从顶端B处水平向左射入，恰好从底端点A处射出，重力加速度g取10m/s2。则下列说法正确的是（　　） A．小球运动的加速度为10m/s2 B．小球从B运动到A所用时间为2s C．小球从B点水平射入时的速度为 D．若小球从B点以4m/s的速度水平向左射入，则恰能从底端A点离开斜面 变式1-1（多选）如图，一光滑宽阔的斜面，倾角为θ，高为h，现有一小球在A处以水平速度v0射出，最后从B处离开斜面，下列说法正确的是（　　） A．小球的运动轨迹可能为圆弧 B．小球的加速度为gsinθ C．小球从A处到达B处所用的时间为 D．小球到达B处的水平方向位移大小 例2.（多选）“风洞”实验是飞行器研制工作中的重要过程。一质量为m的小球在光滑的水平面上以初速度v0（沿x轴正方向）穿过一段风带，经过风带时风会给小球一个沿水平方向且与v0方向垂直（沿y轴正方向）的恒力作用，风带在0≤x≤l区域，其他区域无风。小球穿过风带过程的运动轨迹及穿过风带后的速度方向如图所示，已知小球在穿过风带过程中沿y轴正方向运动的位移为。下列说法正确的是（　　） A．小球穿过风带所需时间为 B．小球穿过风带过程中的加速度大小为 C．小球穿过风带时所受恒力的大小为 D．小球穿过风带后的速度大小为 变式2-1．如图所示，在光滑水平面上，一质量为m做匀速直线运动的小球，经过a点时受一水平恒力的作用，经过b点时速度方向偏转90°。已知经过a点的速度大小为v、方向与ab连线夹角为30°，ab连线长度为L。对小球从a到b的运动过程中，下列说法正确的是（　　） A．小球在b点的速度为v B．所用的时间为 C．最小速度大小为v D．若仅改变小球在a点的速度大小，小球下一次经过ab连线时的速度偏转角也发生变化 变式2-2．如图所示，长为L的平行板电容器水平放置，两极板带等量的异种电荷。一电荷量为q、质量为m的带正电粒子，以初速度v0紧贴上极板垂直于板间电场方向进入，刚好从下极板右边缘射出，射出时速度方向恰与水平方向成30°角。不计粒子重力，下列说法正确的是（　　） A．粒子离开电场时的速度为 B．板间匀强电场的电场强度为 C．两极板间的距离为 D．两极板间的电势差为 变式2-3．一带正电的粒子以初速度v0射入匀强电场，经时间t速度方向偏转了60°。已知匀强电场的场强大小为E，粒子质量为m、电荷量为q，不计粒子重力，则t的最小值为（　　） A． B． C． D． 变式2-4．如图，带电荷量之比为qA：qB＝2：1的带电粒子A、B以相等的速度v0从同一点出发，沿着与电场强度垂直的方向射入平行板电容器中，分别打在C、D点，若OC＝CD，忽略粒子重力的影响，则（　　） A．A和B在电场中运动的时间之比为1：1 B．A和B运动的加速度大小之比为1：4 C．A和B的质量之比为1：2 D．A和B的位移大小之比为1：1 变式2-5．现有一个带正电的粒子（质量为m）以一定速度v0从带电平行板间的P点（与下极板高度为1.5d）沿垂直电场方向射入电场（如图所示），电荷量为q。两个极板之间间隔为2d，长度为L，电场强度为E，轨迹如图中曲线所示，板间电场可视为匀强电场，可忽略粒子本身的重力和体积。若此时该带电粒子恰好从极板右侧射出，则该极板的长度L为（　　） A．v0 B．v0 C．v0 D．2v0 变式2-6（多选）．如图所示，电容器水平放置，板间距离为L，板长为3L。一质量为m、电荷量为q（q＞0）的小球以v0的速度水平抛出，随后紧靠电容器上极板边缘进入电容器，小球进入电容器时速度方向与极板夹角为45°，小球能从电容器中飞出，且运动过程中恰好与极板不碰撞，重力加速度为g，忽略边缘效应。下列说法正确的是（　　） A．电容器上极板带负电 B．小球抛出点到上极板左端的水平距离为 C．小球出电容器时速度一定与极板平行 D．两极板间的电压可能为或 变式2-7．喷墨打印机的简化结构如图所示，墨盒发出质量为m的微小墨滴，经带电室后所带电荷量由输入信号控制。随后以一定的初速度v0进入长为L、间距为d、电压为U的带电平行金属板，金属板右端与纸的距离为L1。忽略空气阻力、墨滴所受重力和偏转电场的边缘效应。下列操作中不能使纸上的文字尺寸放大的是（　　） A． 仅增大L1 B．仅增大d C．仅增大U D．仅增大q 变式2-8．如图，在极板A、B间加上恒定电压，φA＞φB，两极板的长度为2d。现有一带正电粒子以速度v0从两板正中间O点水平入射，C点为其运动轨迹上的一点且到OO′的距离为h，最终带电粒子恰好能从下极板射出。已知带电粒子的质量为m、电荷量为q，不计重力。则（　　） A．粒子在C点的速度大小为 B．两极板间的距离为6h C．两极板间的电场强度大小为 D．两极板间恒定电压的大小为 类型三、等效重力场中的类抛体运动 例1．在一个方向平行于纸面的匀强电场中，质量为m的带电小球从A点以水平速度v进入电场，经过一段时间到达B点，其速度竖直向下且大小为，小球的轨迹面为竖直平面。关于该带电小球的运动，下列说法正确的是（　　） A．小球受到的电场力方向一定水平向左 B．小球受到的电场力大小可能是 C．小球的初动能和最小动能的比值一定是4：3 D．小球运动的时间为 变式1-1．如图，空间中存在着水平向右的匀强电场，一带电小球以速度v从P点竖直向上射入电场，经过一段时间运动到Q点。已知小球质量为m，电荷量为+q，PQ连线与水平方向夹角为37°，场强大小，重力加速度大小为g，取sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，小球从P点运动到Q点的过程中，下列说法正确的是（　　） A．小球做变加速曲线运动 B．小球的动能先增大后减小 C．P、Q两点间的距离为 D．小球与PQ连线的最大距离为 变式1-2（多选）．在水平向右的匀强电场中，一质量为m、电荷量为+q的小球从A点以初速度v竖直向上抛出，其运动的轨迹如图所示。已知电场强度大小为，小球运动轨迹上A、B两点在同一水平线上，M为轨迹的最高点，不计空气阻力，已知重力加速度为g。下列说法正确的是（　　） A．小球水平位移x1：x2＝1：3 B．小球运动至M点时的速度为 C．运动过程中的最小速度为 D．到达B点时，小球的速度方向与水平方向夹角为 变式1-3．如图所示，两个完全相同的小球带等量同种正电荷，从水平向右的匀强电场中的同一高度以相同的速率分别向左和向右水平抛出。不计空气阻力和两个小球之间的库仑力，从抛出到落地的过程中，下列说法正确的是（　　） A．两个小球动量变化量相同 B．两个小球合外力的冲量不同 C．甲所受重力的冲量小于乙所受重力的冲量 D．两个小球落地时的动量相同 类型一、抛体运动 例1.滑板运动是很多年轻人热爱的一项运动。如图所示为某一滑板的滑道，左侧是一个水平平台，在平台右侧有一倾角为53°的滑道AB。一滑板运动员（可视为质点）从平台边缘O点以某一水平速度冲出，恰好无碰撞的从A点进入倾斜滑道。已知OA的水平距离为1.2m，g取10m/s2，sin53°＝0.8，cos53°＝0.6，不计空气阻力，则运动员冲出O点时的速度大小为（　　） A．3m/s B．4m/s C．2m/s D．4m/s 【解答】解：滑板运动员（可视为质点）从平台边缘O点以某一水平速度冲出，恰好无碰撞的从A点进入倾斜滑道，由 代入数据得h＝0.8m 由 代入数据得t＝0.4s 由x＝v0t代入数据得v0＝3m/s，故A正确，BCD错误。 故选：A。 变式1-1.一同学经过多次训练，从O点将小球以某一速度水平抛出，小球恰好落在倾角为θ的固定光滑斜面顶端，并刚好沿光滑斜面下滑，如图所示。不计空气阻力，若该同学改变初速度的大小，要使小球仍然恰好落在斜面顶端并刚好沿斜面下滑，则抛出点距P点的竖直高度h与水平距离x应满足的关系为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：设小球抵达P点时水平分速度、竖直分速度依次为vx、vy，如图所示： 设小球从O点运动到P点的时间为t，水平方向小球做匀速直线运动，位移x＝vxt；竖直方向小球做自由落体运动，竖直位移等于平均速度与时间的乘积，即 小球落地后刚好沿斜面下滑，说明落点处速度方向与斜面平行，速度偏角等于斜面倾角θ，因此满足 联立解得，故A正确，BCD错误。 故选：A。 例2.如图所示，以v0＝10m/s的速度水平抛出的物体，飞行一段时间后垂直地撞在倾角θ＝30°的斜面上，下列说法正确的是（　　） A．物体飞行时间t＝3s B．物体撞击斜面时的速度大小v＝20m/s C．物体撞击斜面时的速度大小 D．物体下落的竖直距离h＝20m 【解答】解：小球垂直撞在斜面上，小球的速度方向与水平方向的夹角为α＝90°﹣30°＝60°。 根据平抛运动规律，水平方向上有：vx＝v0＝10m/s 竖直方向上有：vy＝gt 又有：tanα 整理得：tan60° 代入数据解得ts 故A错误； BC、物体的竖直分速度为：vy＝gt＝10m/sm/s 则物体撞击斜面时的速度大小为：vm/s＝20m/s 故B正确，C错误； D、物体下降的距离是hm＝15m 故D错误。故选：B。 例3.跑酷是以日常生活的环境为运动场所的极限运动。一跑酷运动员在水平高台上水平向右跑到高台边缘，以v0的速度从边缘上的A点水平向右跳出，运动t1＝0.6s后落在一倾角为53°的斜面上的B点，速度方向与斜面垂直。随后运动员迅速转身并调整姿势，以的速度从B点水平向左蹬出，刚好落到斜面的底端C点。D点为平台的下边缘点，假设该运动员可视为质点，不计空气阻力，重力加速度g取10m/s2，sin53°＝0.8，cos53°＝0.6。求： （1）运动员从高台边缘跳出时的水平速度v0的大小（2）DC间的距离。 【解答】解：（1）设运动员刚落在B点时竖直方向的速度为vy，运动员从A点落到B点时间为t1，有vy＝gt1运动员到达B点时速度方向与斜面垂直，再次进行速度合成与分解，如图所示： 则到达B点的速度与竖直方向的夹角为53°，则v0＝vytan53° 解得：v0＝8m/s； （2）运动员从A点落到B点，水平位移：x1＝v0t1＝8×0.6m＝4.8m 运动员从B点落到C点做平抛运动，设时间为t2，水平位移和竖直位移分别为：x2v0t2，y2 又tan53° 联立解得：x2＝2.4m DC间的距离为：x＝x1﹣x2＝4.8m﹣2.4m＝2.4m。 答：（1）运动员从高台边缘跳出时的水平速度v0的大小为8m/s；（2）DC间的距离为2.4m。 例4.如图所示，滑雪运动员从跳台a点处以初速度v0沿水平方向跳出，经过一段时间后在斜坡上的b点处着陆，运动到c点时离斜坡最远。其中斜坡上P点为c点在垂直斜坡方向的投影点。已知斜坡倾角θ＝30°，当地的重力加速度为g，则a点到P点的距离为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：滑雪运动员从跳台a点处以初速度v0沿水平方向跳出后在空中做平抛运动，将其运动沿平行于斜坡的方向与垂直于斜坡的方向正交分解，如下图所示： 初速度沿平行于与垂直于斜坡的方向的分量分别为：vx＝v0cos30°，vy＝v0sin30° 加速度沿平行于与垂直于斜坡的方向的分量分别为gsin30°、gcos30° 运动员运动到c点时离斜坡最远，则在c点的速度方向平行于斜坡，即在c点垂直于斜坡方向的分速度为零。设由a点到c点的运动时间为t，沿垂直于斜坡的方向，得：vy＝gcos30°•t 沿平行于斜坡的方向，由运动学公式可得a点到P点的距离为：xaP＝vxtgsin30°•t2 联立解得：xaP，故ACD错误，B正确。故选：B。 变式4-1．跳台滑雪是一种勇敢者的运动。现有某运动员从跳台A处沿水平方向飞出，在斜坡B处着陆。如图所示，AB间可视为直坡面，如果已知斜坡与水平方向的夹角为θ，重力加速度为g，人可以看作质点且在A处的初速度为v0，不计空气阻力。根据以上信息，下列说法不正确的是（　　） A．可求出运动员在空中的飞行时间和位移 B．可求出运动员在空中离坡面的最大距离 C．若初速度减小为原来的，则飞行时间也变为原来的 D．若运动员飞出跳台时的水平速度变小，则他着陆时速度与水平方向夹角变小 【解答】解：A、运动员从A到B做平抛运动，由平抛运动规律可得：在水平方向有：x＝v0t，竖直方向有：，根据几何关系可得：，解得运动员在空中的飞行时间为：，则运动员的位移为：，故A正确； B、将运动员的运动分解为垂直坡面和平行坡面，当垂直坡面的分速度减为0时，运动员在空中离坡面最远，则有：，故B正确； C、根据可知，若初速度减小为原来的，则飞行时间也变为原来的，故C正确； D、若运动员飞出跳台时的水平速度变小，则运动员一定在坡面上着陆，位移偏向角θ不变，根据tanα＝2tanθ可知他着陆时速度与水平方向夹角不变，故D错误。 本题是选择不正确的，故选：D。 例5.如图所示为固定的半圆形竖直轨道，AB为水平直径，O为圆心，哪吒和敖丙在A点同时水平踢出两个毽子（可视为质点），初速度分别为v1、v2，落在轨道上的C、D两点，OC、OD连线与竖直方向的夹角均为30°，忽略空气阻力，则（　　） A．两个毽子不会同时落到轨道上 B．v1：v2＝1：3 C．两个毽子速度变化量方向不相同 D．落在D点毽子的速度的反向延长线一定过O点 【解答】解：A．两个毽子均做平抛运动，结合几何关系可得，两毽子竖直方向下落位移相等，为；由平抛竖直分运动公式，可知下落高度相同则运动时间t1＝t2，所以两个毽子会同时落到轨道上，故A错误。 B．平抛运动水平方向为匀速直线运动，位移x＝vt，可知运动时间t相等时速度之比等于水平位移之比。可得，故B正确。 C．平抛运动全过程只受重力，加速度恒为竖直向下的重力加速度g，速度变化量Δv＝gΔt，可知速度变化量方向与加速度方向一致，所以两个毽子速度变化量方向相同，故C错误。 D．由平抛运动推论可知，末速度的反向延长线与x轴的交点为水平位移的中点。由几何关系可知O点不是水平位移中点，所以落在D点毽子的速度的反向延长线一定不过O点，D错误。故选B 变式5-1（多选）．如图，AB为竖直平面内圆轨道的直径，O为圆心。弹射器（图中未画）可沿水平线AB移动，第一次将小球在A点以某速度水平弹出，前移一段距离后，将相同的小球在C点以另一速度水平弹出，两次小球均落在圆轨道同一点D，其中有一次落在D点的速度方向沿OD方向，OD与竖直方向的夹角为30°。不计空气阻力，小球可视为质点，则下列说法正确的是（　　） A．前后两次下落过程中小球的速度变化量相等 B．从A点弹出的小球在D点的速度沿OD方向 C．A、C两点之间的距离为圆轨道半径的一半 D．小球两次落在D点的速度大小之比为3：2 【解答】解：A、由于前后两次小球均做平抛运动且下落的高度相同，小球速度的变化量等于gt，t为下落的时间，故A正确； B、若从A点弹出的小球在D点的速度沿OD方向，根据平抛运动的推论可知，AD之间的水平距离应为直径的大小，这与题意不合，故B错误； C、根据题意，从C点弹出的小球在D点的速度沿OD方向，所以水平距离为 根据推论可知CO也为 所以，故C正确； D、由于且运动的时间相同，所以，小球从A、C两点平抛的初速度之比为3：2，但小球落到D点的竖直方向的速度均为，所以，小球两次落到D点的速度大小之比不会为3：2，故D错误。 故选：AC。 例6.如图所示为四分之一圆柱体OAB的竖直截面，半径为R，在B点正上方的C点水平抛出一个小球，小球轨迹恰好在D点与圆柱体相切，OD与OB的夹角为53°，（sin53°＝0.8，cos53°＝0.6），则C点到B点的距离为（　　） A．R B． C． D． 【解答】解：设小球平抛运动的初速度为v0，小球轨迹恰好在D点与圆柱体相切，将小球在D点的速度沿竖直方向和水平方向分解，则有 解得： 根据几何关系和平抛运动规律可得小球平抛运动的水平位移：x＝Rsin53°，x＝v0t， 设平抛运动的竖直位移为y， 解得：， 则，故B正确，ACD错误。 故选：B。 类型二、类抛体运动 例1.如图所示，固定在水平面上的光滑斜面长a＝5m，宽b＝4m，倾角θ＝30°，一可视为质点的小球从顶端B处水平向左射入，恰好从底端点A处射出，重力加速度g取10m/s2。则下列说法正确的是（　　） A．小球运动的加速度为10m/s2 B．小球从B运动到A所用时间为2s C．小球从B点水平射入时的速度为 D．若小球从B点以4m/s的速度水平向左射入，则恰能从底端A点离开斜面 【解答】解：A、依据曲线条件，初速度与合力方向垂直，且合力大小恒定，物体做匀变速曲线运动， 再根据牛顿第二定律得，物体的加速度为：g′gsinθ＝10m/s2＝5m/s2，故A错误； BC、根据ag′t2，有：tss 根据b＝v0t，有：v0m/s＝2m/s，故B错误，C正确； D．若小球从B点以4m/s的速度水平向左射入，因水平位移不变，则下落的时间会减小，则不能从底端A点离开斜面，故D错误；故选：C。 变式1-1（多选）如图，一光滑宽阔的斜面，倾角为θ，高为h，现有一小球在A处以水平速度v0射出，最后从B处离开斜面，下列说法正确的是（　　） A．小球的运动轨迹可能为圆弧 B．小球的加速度为gsinθ C．小球从A处到达B处所用的时间为 D．小球到达B处的水平方向位移大小 【解答】解：A．小球在光滑斜面上运动时，受重力和斜面支持力两个力的作用，合力沿斜面向下，大小恒定不变，且合力方向与初速度方向垂直，所以小球做类平抛运动，运动轨迹为抛物线，故A错误； B．对小球受力分析，沿斜面方向由牛顿第二定律可得mgsinθ＝ma，解得小球的加速度a＝gsinθ，故B正确； C．小球沿斜面方向上的位移为，根据匀变速直线运动规律可得，解得运动时间，故C正确； D．小球沿初速度方向做匀速直线运动，到达B处的水平方向位移大小，故D错误。 故选：BC。 例2.（多选）“风洞”实验是飞行器研制工作中的重要过程。一质量为m的小球在光滑的水平面上以初速度v0（沿x轴正方向）穿过一段风带，经过风带时风会给小球一个沿水平方向且与v0方向垂直（沿y轴正方向）的恒力作用，风带在0≤x≤l区域，其他区域无风。小球穿过风带过程的运动轨迹及穿过风带后的速度方向如图所示，已知小球在穿过风带过程中沿y轴正方向运动的位移为。下列说法正确的是（　　） A．小球穿过风带所需时间为 B．小球穿过风带过程中的加速度大小为 C．小球穿过风带时所受恒力的大小为 D．小球穿过风带后的速度大小为 【解答】解：A．小球在x轴方向以速度v0做匀速运动，由题意可知水平位移为l，小球穿过风带所需时间 故A错误； B．小球在y轴方向做初速度为0的匀加速运动，有 解得 故B错误； C．由牛顿第二定律得 故C正确； D．小球在y轴方向做初速度为0的匀加速运动，由运动学公式得 解得vy＝v0 小球穿过风带后的速度大小为 故D正确。 故选：CD。 变式2-1．如图所示，在光滑水平面上，一质量为m做匀速直线运动的小球，经过a点时受一水平恒力的作用，经过b点时速度方向偏转90°。已知经过a点的速度大小为v、方向与ab连线夹角为30°，ab连线长度为L。对小球从a到b的运动过程中，下列说法正确的是（　　） A．小球在b点的速度为v B．所用的时间为 C．最小速度大小为v D．若仅改变小球在a点的速度大小，小球下一次经过ab连线时的速度偏转角也发生变化 【解答】解：小球在恒力作用下做类平抛运动，其加速度为恒矢量。根据匀变速运动的位移公式与速度公式，联立可得，这表明平均速度的方向与ab连线方向相同。 A、由于，速度矢量、构成直角三角形的两直角边，其合矢量为斜边。已知与ab连线夹角为30°，根据几何关系有，解得：，故A错误； B、合矢量的大小为，代入，解得：。根据位移公式，代入数据解得：，故B错误； C、在速度矢量图中，由于加速度方向固定，速度矢量的终点在一条直线上运动。当速度矢量与加速度方向（即方向）垂直时，速度大小最小。在由、构成的直角三角形中，最小速度即为原点到斜边的垂线长度，由面积关系可得，代入va＝v，，解得：，故C正确； D、根据抛体运动的规律，小球再次经过ab连线时的速度方向仅由初速度方向与恒力方向的夹角决定，与初速度大小无关，因此其偏转角不会随初速度大小变化，故D错误。 故选：C。 变式2-2.如图所示，长为L的平行板电容器水平放置，两极板带等量的异种电荷。一电荷量为q、质量为m的带正电粒子，以初速度v0紧贴上极板垂直于板间电场方向进入，刚好从下极板右边缘射出，射出时速度方向恰与水平方向成30°角。不计粒子重力，下列说法正确的是（　　） A．粒子离开电场时的速度为 B．板间匀强电场的电场强度为 C．两极板间的距离为 D．两极板间的电势差为 【解答】A．粒子离开电场时，速度方向与水平方向夹角为30°，得 故A错误； B．粒子在电场中做类平抛运动，水平方向上，有L＝v0t 竖直方向上，有vy＝at＝v0tan30° 根据牛顿第二定律qE＝ma 联立解得 故B错误； C．粒子在匀强电场中做类平抛运动，竖直方向上，有 解得 故C错误； D．根据两极板间的电势差 则两极板间的电势差为 故D正确。故选：D。 变式2-3．一带正电的粒子以初速度v0射入匀强电场，经时间t速度方向偏转了60°。已知匀强电场的场强大小为E，粒子质量为m、电荷量为q，不计粒子重力，则t的最小值为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：粒子在匀强电场中加速度大小为，恒定不变。设电场方向与初速度v0的夹角为θ，将加速度分解为：沿初速度方向分量a∥＝acosθ 该方向分速度 垂直初速度方向分量a⊥＝asinθ 该方向分速度 速度偏转角为60°，满足 代入沿初速度方向速度分量vx、沿垂直初速度方向分量vy，整理得 利用辅助角公式化简分母：，其最大值为2（当θ＝150°时取最大值），此时t最小： 故B正确，ACD错误； 故选：B。 变式2-4．如图，带电荷量之比为qA：qB＝2：1的带电粒子A、B以相等的速度v0从同一点出发，沿着与电场强度垂直的方向射入平行板电容器中，分别打在C、D点，若OC＝CD，忽略粒子重力的影响，则（　　） A．A和B在电场中运动的时间之比为1：1 B．A和B运动的加速度大小之比为1：4 C．A和B的质量之比为1：2 D．A和B的位移大小之比为1：1 【解答】解：A、A和B两个粒子垂直射入电场中均做类平抛运动，水平方向做匀速直线运动，则有x＝v0t，因初速度相等，故A和B在电场中运动的时间之比，故A错误； B、粒子竖直方向做初速度为零的匀加速直线运动，则有，y相同，则A和B运动的加速度大小之比为，故B错误； C、根据牛顿第二定律得qE＝ma，则粒子的质量为，可得A和B的质量之比为，故C正确； D、根据几何关系可知，A、B的位移大小之比为，故D错误。故选：C。 变式2-5．现有一个带正电的粒子（质量为m）以一定速度v0从带电平行板间的P点（与下极板高度为1.5d）沿垂直电场方向射入电场（如图所示），电荷量为q。两个极板之间间隔为2d，长度为L，电场强度为E，轨迹如图中曲线所示，板间电场可视为匀强电场，可忽略粒子本身的重力和体积。若此时该带电粒子恰好从极板右侧射出，则该极板的长度L为（　　） A．v0 B．v0 C．v0 D．2v0 【解答】解：该粒子在电场中做类平抛运动，在垂直于电场方向做匀速直线运动，在平行于电场方向做匀加速直线运动，得：L＝v0t 1.5dat2 联立解得：L，故C正确，ABD错误。故选：C。 变式2-6（多选）．如图所示，电容器水平放置，板间距离为L，板长为3L。一质量为m、电荷量为q（q＞0）的小球以v0的速度水平抛出，随后紧靠电容器上极板边缘进入电容器，小球进入电容器时速度方向与极板夹角为45°，小球能从电容器中飞出，且运动过程中恰好与极板不碰撞，重力加速度为g，忽略边缘效应。下列说法正确的是（　　） A．电容器上极板带负电 B．小球抛出点到上极板左端的水平距离为 C．小球出电容器时速度一定与极板平行 D．两极板间的电压可能为或 【解答】解：小球进入电容器前做平抛运动，水平速度为v0，进入时速度方向与极板夹角为45°，则进入时的竖直速度vy＝v0tan45°＝v0。根据vy＝gt1可得平抛时间，抛出点到极板左端的水平距离，竖直高度。 A、小球进入电容器时有向下的初速度v0，若要小球不与极板碰撞并飞出，电场力必须向上且大于重力，即qE＞mg。由于q＞0，电场强度E方向向上，故上极板带负电，故A正确； B、由前述分析可知，抛出点到上极板左端的水平距离为，故B错误； C、若出电容器时速度与极板平行，则竖直速度需减为0，此时经历时间，加速度，此时竖直位移。由于1.5L＞L，说明小球在速度减为0前已撞击下极板，故飞出时速度不可能与极板平行，故C错误； D、“恰好不碰撞”有两种临界情况：一是轨迹最低点恰好与下极板相切，此时，解得：。由解得：。二是小球刚好从上极板右边缘飞出，此时x＝3L时y＝0，根据解得：。由得：，D正确。选：AD。 变式2-7．喷墨打印机的简化结构如图所示，墨盒发出质量为m的微小墨滴，经带电室后所带电荷量由输入信号控制。随后以一定的初速度v0进入长为L、间距为d、电压为U的带电平行金属板，金属板右端与纸的距离为L1。忽略空气阻力、墨滴所受重力和偏转电场的边缘效应。下列操作中不能使纸上的文字尺寸放大的是（　　） A．仅增大L1 B．仅增大d C．仅增大U D．仅增大q 【解答】解：粒子进入偏转电场时水平方向L＝v0t 竖直方向 出离电场后速度的反向延长线经过两板中点，可知 联立解得 要使纸上的文字尺寸不放大，则Y变小，故仅增大d，故B正确，ACD错误。 故选：B。 变式2-8.如图，在极板A、B间加上恒定电压，φA＞φB，两极板的长度为2d。现有一带正电粒子以速度v0从两板正中间O点水平入射，C点为其运动轨迹上的一点且到OO′的距离为h，最终带电粒子恰好能从下极板射出。已知带电粒子的质量为m、电荷量为q，不计重力。则（　　） A．粒子在C点的速度大小为 B．两极板间的距离为6h C．两极板间的电场强度大小为 D．两极板间恒定电压的大小为 【解答】解：B．根据题意可知，带电粒子在匀强电场中做类平抛运动， 从O点到C点，水平位移为：d＝v0t 竖直位移为： 粒子恰好从下极板离开，水平位移：2d＝v0t′ 竖直方向： 其中H为两极板间距离，联立解得H＝8h 故B错误； A．从O点到C点，根据动能定理： 解得 故A错误； C．由牛顿第二定律qE＝ma 解得 故C正确； D．根据电场强度与电势差的关系式再结合B选项的分析有： 解得故D错误。 故选：C。 类型三、等效重力场中的类抛体运动 例1.在一个方向平行于纸面的匀强电场中，质量为m的带电小球从A点以水平速度v进入电场，经过一段时间到达B点，其速度竖直向下且大小为，小球的轨迹面为竖直平面。关于该带电小球的运动，下列说法正确的是（　　） A．小球受到的电场力方向一定水平向左 B．小球受到的电场力大小可能是 C．小球的初动能和最小动能的比值一定是4：3 D．小球运动的时间为 【解答】解：B、将小球运动分解为水平方向和竖直方向，设水平向右为x正方向，竖直向下为y正方向，初速度vx0＝v，vy0＝0 B点速度vx＝0， 设运动时间为t，加速度分量， 受力：电场力分量， 电场力大小 整理电场力大小得 由二次函数性质得电场力最小值 而，故B错误； A、电场力一定有水平向左的分量，但可以同时有竖直分量，方向不一定是水平向左，故A错误； C、t1时刻动能 整理为关于t1的二次函数 可得最小动能 初动能 故 故C正确； D、只有当电场力竖直分量Fy＝0时，才有 即 若电场力存在竖直分量，时间不为该值，故D错误；故选：C。 变式1-1．如图，空间中存在着水平向右的匀强电场，一带电小球以速度v从P点竖直向上射入电场，经过一段时间运动到Q点。已知小球质量为m，电荷量为+q，PQ连线与水平方向夹角为37°，场强大小，重力加速度大小为g，取sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，小球从P点运动到Q点的过程中，下列说法正确的是（　　） A．小球做变加速曲线运动 B．小球的动能先增大后减小 C．P、Q两点间的距离为 D．小球与PQ连线的最大距离为 【解答】解：A.小球水平方向的加速度，做匀加速运动，竖直方向做加速度为g的匀减速运动，则合运动为匀加速曲线运动，故A错误； B.小球所受的合外力方向与水平方向的夹角为45°方向指向右下方，合加速度大小为，可知小球抛出后，合力先做负功后做正功，则小球的动能先减小后增大，故B错误； C.从P到Q，水平方向，竖直方向，其中 解得P、Q两点间的距离为，故C错误； D.将小球的速度和加速度都分解在垂直于PQ连线方向，则小球与PQ连线的最大距离为，故D正确。故选：D。 变式1-2（多选）．在水平向右的匀强电场中，一质量为m、电荷量为+q的小球从A点以初速度v竖直向上抛出，其运动的轨迹如图所示。已知电场强度大小为，小球运动轨迹上A、B两点在同一水平线上，M为轨迹的最高点，不计空气阻力，已知重力加速度为g。下列说法正确的是（　　） A．小球水平位移x1：x2＝1：3 B．小球运动至M点时的速度为 C．运动过程中的最小速度为 D．到达B点时，小球的速度方向与水平方向夹角为 【解答】解：A．对小球进行受力分析，小球在竖直方向仅受重力的作用，所以小球在竖直方向上做竖直上抛运动，根据竖直上抛的特点可知从A到M的时间与从M到B的时间相等；小球在水平方向仅受电场力作用，小球做初速度为零的匀加速直线运动，由题图可知水平方向的两段位移x1、x2所用的时间相等，根据初速度为零的匀变速直线运动规律，小球水平位移x1：x2＝1：3，故A正确； B．结合A选项的分析可知，小球从A点运动至M点的过程中，竖直方向做竖直上抛运动，小球运动至M点时竖直方向的速度为零，则运动时间为 故小球运动至M点只有水平方向的速度，而小球在水平方向做初速度零的匀加速直线运动，故小球运动至M点的速度为，故B正确； C．将重力与电场力合成一个合力，设合力与水平方向的夹角为α，则有 解得α＝37° 将小球初速度沿垂直合力方向分解为 故小球沿垂直合力方向做匀速直线运动；沿平行合力方向分解为 其方向与合力方向相反，故小球沿平行方向的速度先减小再增大；当运动过程中速度最小时，沿平行合力方向的速度为0，此时只有沿垂直合力方向的分速度，故最小速度为，故C错误； D．到达B点时，在竖直方向，根据对称性原理，可知小球沿竖直方向的速度大小为v，方向竖直向下，小球沿水平方向的速度为 设小球的速度方向与水平方向夹角为θ，则小球的速度方向与水平方向夹角的正切值为，故D正确。 变式1-3．如图所示，两个完全相同的小球带等量同种正电荷，从水平向右的匀强电场中的同一高度以相同的速率分别向左和向右水平抛出。不计空气阻力和两个小球之间的库仑力，从抛出到落地的过程中，下列说法正确的是（　　） A．两个小球动量变化量相同 B．两个小球合外力的冲量不同 C．甲所受重力的冲量小于乙所受重力的冲量 D．两个小球落地时的动量相同 【解答】解：AB、根据题意分析可知，水平方向受电场力相同，根据竖直方向的分运动可知两个小球同时落地，电场力的冲量相同，两个小球合力的冲量相同，动量变化量相同，故A正确，B错误； C、根据题意分析可知，不计空气阻力和两个小球之间的库仑力，竖直方向只受重力，根据竖直方向的分运动可知两个小球同时落地，两个小球重力大小相等，方向相同，所以两个小球重力的冲量相同，故C错误； D、根据题意分析可知，两个小球落地时竖直方向的速度相同，水平速度不同，落地时合速度不同，所以两个小球落地时的动量不同，故D错误；故选：A。 第 1 页 共 26 页 学科网（北京）股份有限公司 $