1.4.2　用空间向量研究距离、夹角问题(第2课时)线线角、线面角同步练-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 本同步练习通过“基础巩固-更上层楼-探究发现”三层设计，实现空间向量与立体几何知识从单一应用到综合创新的递进，适配新授课知识巩固与能力提升需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|方向向量、法向量、线线角、线面角的基本运算|10题，选择、填空、解答题结合，如正四棱柱异面直线成角计算，夯实概念应用| |更上层楼|复杂几何体（含折叠、垂直面）中角的综合求解|4题，增加证明题（如面面垂直），提升逻辑推理，如直二面角折叠问题| |探究发现|空间直角坐标系下平面与直线方程的新定义应用|1题，融合信息迁移，培养创新意识，如用平面方程求线面角正弦值|

课时作业(十一) 1．已知直线l1和l2的方向向量分别为s1＝(1，0，1)，s2＝(－1，2，－2)，则l1和l2夹角的余弦值为(　　) A.　　　　　　　　　 B. C. D. 答案　C 解析　因为s1＝(1，0，1)，s2＝(－1，2，－2)，所以cos〈s1，s2〉＝＝＝－.又两直线夹角的取值范围为，所以l1和l2夹角的余弦值为. 2．设直线l与平面α相交，且l的方向向量为a，α的法向量为n，若〈a，n〉＝，则l与α所成的角为(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　如图，直线l与平面α所成的角θ＝－＝. 3．已知在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB，E是AA1中点，则异面直线BE与CD1所成角的余弦值为(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　以DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图，设AB＝a，则AD＝a，AA1＝2a. 故B(a，a，0)，C(0，a，0)，D1(0，0，2a)，E(a，0，a)，则＝(0，－a，a)，＝(0，－a，2a)， ∴cos〈，〉＝＝＝. 4．在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝，PA⊥平面ABCD，PA＝1，则PC与平面ABCD所成角是(　　) A．30° B．45° C．60° D．90° 答案　A 解析　建立如图所示的空间直角坐标系，则P(0，0，1)，C(1，，0)，＝(1，，－1)，平面ABCD的一个法向量为n＝(0，0，1)， 所以cos〈，n〉＝＝－. 所以〈，n〉＝120°. 所以PC与平面ABCD的法向量所在直线所成角为60°. 即PC与平面ABCD所成角为30°.故选A. 5．【多选题】将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角，则(　　) A．AC⊥BD B．AB，CD所成的角为60° C．△ADC为等边三角形 D．AB与平面BCD所成角为60° 答案　ABC 解析　如图，取BD中点O，连接AO，CO，易知BD⊥平面AOC，故BD⊥AC，A正确；如图建立空间直角坐标系，设正方形边长为a，则A，B，C，D，故＝，＝，由两向量夹角公式得cos〈，〉＝－，故AB，CD所成的角为60°，B正确；在直角三角形AOC中，由AO＝CO＝a，解得AC＝AO＝a，所以三角形ADC为等边三角形，C正确；易知∠ABO即为直线AB与平面BCD所成的角，可求得∠ABO＝45°，D错误． 6．【多选题】正三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1＝AB，则(　　) A．AC1与底面ABC所成角的正弦值为 B．AC1与底面ABC所成角的正弦值为 C．AC1与侧面AA1B1B所成角的正弦值为 D．AC1与侧面AA1B1B所成角的正弦值为 答案　BC 解析　取A1C1中点E，AC中点F，连接EF，EB1，则EB1，EC1，EF三条直线两两垂直，则分别以，，的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系(图略)．设AB＝2，则AA1＝2，所以A1(0，－1，0)，C1(0，1，0)，A(0，－1，2)，B1(，0，0)．所以＝(0，2，－2)，底面ABC的一个法向量为m＝(0，0，2)，所以AC1与底面ABC所成角的正弦值为|cos〈m，〉|＝＝＝，所以A错误、B正确．取A1B1的中点K，连接C1K，易知K，所以侧面AA1B1B的一个法向量为＝，所以AC1与侧面AA1B1B所成角的正弦值为|cos〈，〉|＝＝＝，故C正确、D错误． 7.如图，长方体ABCD－A1B1C1D1的底面是边长为1的正方形，高为2，则异面直线BC1与DB1所成的角的余弦值是________；DB1与平面BDC1所成角的正弦值是________． 答案　　 解析　由题意以D为原点，DA所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，DD1所在直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则D(0，0，0)，B(1，1，0)，B1(1，1，2)，C1(0，1，2)，所以＝(－1，0，2)，＝(1，1，2)，＝(0，1，2)，＝(1，1，0)．设异面直线BC1与DB1的夹角为θ，则cos θ＝＝＝，则异面直线BC1与DB1所成的角的余弦值为.设平面BDC1的一个法向量为n＝(x，y，z)，则由得令x＝2，得y＝－2，z＝1，则n＝(2，－2，1)，设DB1与平面BDC1所成角为α，则sin α＝|cos〈，n〉|＝＝＝. 8.如图，平面ABCD⊥平面ABEF，四边形ABCD是正方形，四边形ABEF是矩形，且AF＝AD＝a，G是EF的中点，则GB与平面AGC所成角的正切值为________． 答案　 解析　如图，以A为原点建立空间直角坐标系，则A(0，0，0)，B(0，2a，0)，C(0，2a，2a)，G(a，a，0)，故＝(a，a，0)，＝(0，2a，2a)，＝(a，－a，0)，设平面AGC的法向量为n1＝(x1，y1，z1)，由得令x1＝1，则n1＝(1，－1，1)．设GB与平面AGC所成的角为θ，sin θ＝＝＝，则cos θ＝＝.所以tan θ＝. 9.如图，在长方体AC1中，AB＝BC＝2，AA1＝，点E，F分别是底面A1B1C1D1，侧面BCC1B1的中心．以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．试用向量方法解决下列问题： (1)求异面直线AF和BE所成的角； (2)求直线AF和平面BEC所成角的正弦值． 解析　(1)由题意得A(2，0，0)，F，B(2，2，0)，E(1，1，)，C(0，2，0)． ∴＝，＝(－1，－1，)， ∴·＝1－2＋1＝0. ∴直线AF和BE所成的角为90°. (2)设平面BEC的法向量为n＝(x，y，z)，由＝(－2，0，0)，＝(－1，－1，)，得n·＝－2x＝0，n·＝－x－y＋z＝0，∴x＝0，取z＝1，则y＝， ∴平面BEC的一个法向量为n＝(0，，1)． ∴cos〈，n〉＝＝＝. 设直线AF和平面BEC所成的角为θ，则sin θ＝，即直线AF和平面BEC所成角的正弦值为. 10.如图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝4，AA1＝，点D是BC的中点，点E在AC上，且DE⊥A1E. (1)求证：平面A1DE⊥平面ACC1A1； (2)求直线AD和平面A1DE所成角的正弦值． 解析　(1)证明：由正三棱柱ABC－A1B1C1的性质知AA1⊥平面ABC. 又DE⊂平面ABC，所以DE⊥AA1. 又DE⊥A1E，AA1∩A1E＝A1，AA1，A1E⊂平面ACC1A1，所以DE⊥平面ACC1A1. 又DE⊂平面A1DE， 故平面A1DE⊥平面ACC1A1. (2)方法一：如图，过点A作AF⊥A1E于点F，连接DF.由(1)知，平面A1DE⊥平面ACC1A1，又平面A1DE∩平面ACC1A1＝A1E，AF⊂平面ACC1A1，所以AF⊥平面A1DE.故∠ADF是直线AD和平面A1DE所成的角． 因为DE⊥平面ACC1A1，AC⊂平面ACC1A1，所以DE⊥AC. 而△ABC是边长为4的正三角形， 于是AD＝2，AE＝4－CE＝4－CD＝3. 又因为AA1＝， 所以A1E＝＝＝4， AF＝＝，sin∠ADF＝＝. 即直线AD和平面A1DE所成角的正弦值为. 方法二：如图，设O是AC的中点，以O为原点建立空间直角坐标系， 则A(2，0，0)，A1(2，0，)，D(－1，，0)，易知E(－1，0，0)． 所以＝(－3，，－)，＝(0，－，0)，＝(－3，，0)． 设n＝(x，y，z)是平面A1DE的一个法向量， 则 解得x＝－z，y＝0.故可取n＝(，0，－3)． 于是|cos〈n，〉|＝＝＝. 故直线AD和平面A1DE所成角的正弦值为. 11．PA，PB，PC是从P引出的三条射线，每两条的夹角都是60°，则直线PC与平面PAB夹角的余弦值为(　　) A. B. C. D. 答案　D 12.已知PD垂直于正方形ABCD所在平面，AB＝2，E为PB的中点，cos〈，〉＝，若建立如图所示的空间直角坐标系，则点E的坐标为(　　) A．(1，1，2) B．(2，2，1) C．(1，1，1) D. 答案　C 解析　设P(0，0，t)(t>0)，由题意得D(0，0，0)，A(2，0，0)，B(2，2，0)，则E，所以＝(0，0，t)，＝.所以·＝，||＝t，||＝.因为cos〈，〉＝，所以＝，解得t＝2，所以E(1，1，1)． 13.如图，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面边长为2，直线CC1与平面ACD1所成角的正弦值为，则正四棱柱的高为________． 答案　4 14.如图，平面ABDE⊥平面ABC，△ABC是等腰直角三角形，AC＝BC＝4，四边形ABDE是直角梯形，BD∥AE，BD⊥BA，BD＝AE＝2，O，M分别为CE，AB的中点． (1)求异面直线AB与CE所成角的大小； (2)求直线CD与平面ODM所成角的正弦值． 解析　(1)∵DB⊥BA，平面ABDE⊥平面ABC，平面ABDE∩平面ABC＝AB，DB⊂平面ABDE，∴DB⊥平面ABC. ∵BD∥AE，∴EA⊥平面ABC. 如图所示，以C为坐标原点，分别以CA，CB所在直线为x轴、y轴，以过点C且与EA平行的直线为z轴，建立空间直角坐标系． ∵AC＝BC＝4，BD＝AE＝2， ∴C(0，0，0)，A(4，0，0)，B(0，4，0)，E(4，0，4)， ∴＝(－4，4，0)，＝(4，0，4)． ∴cos〈，〉＝＝－， ∴异面直线AB与CE所成角的大小为. (2)由(1)知O(2，0，2)，D(0，4，2)，M(2，2，0)， ∴＝(0，4，2)，＝(－2，4，0)，＝(－2，2，2)． 设平面ODM的法向量为n＝(x，y，z)， 则由可得 令x＝2，则y＝1，z＝1， ∴n＝(2，1，1)． 设直线CD与平面ODM所成的角为θ， 则sin θ＝|cos〈n，〉|＝＝， ∴直线CD与平面ODM所成角的正弦值为. 15．空间直角坐标系Oxyz中，经过点P(x0，y0，z0)，且法向量为m＝(A，B，C)的平面方程为A(x－x0)＋B(y－y0)＋C(z－z0)＝0，经过点P(x0，y0，z0)且一个方向向量为n＝(μ，υ，ω)(μυω≠0)的直线l的方程为＝＝.阅读上面的材料并解决下面问题：现给出平面α的方程为3x－5y＋z－7＝0，经过(0，0，0)的直线l的方程为＝＝，则直线l与平面α所成角的正弦值为(　　) A.　 　 B.　 　 C.　 　 D. 答案　B 解析　因为平面α的方程为3x－5y＋z－7＝0，故其法向量为m＝(3，－5，1)．因为直线l的方程为＝＝，故其方向向量为n＝(3，2，－1)，故直线l与平面α所成角的正弦值为＝＝＝. 7 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $ 课时作业(十一) 1．已知直线l1和l2的方向向量分别为s1＝(1，0，1)，s2＝(－1，2，－2)，则l1和l2夹角的余弦值为(　　) A.　　　　　　　　　 B. C. D. 2．设直线l与平面α相交，且l的方向向量为a，α的法向量为n，若〈a，n〉＝，则l与α所成的角为(　　) A. B. C. D. 3．已知在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB，E是AA1中点，则异面直线BE与CD1所成角的余弦值为(　　) A. B. C. D. 4．在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝，PA⊥平面ABCD，PA＝1，则PC与平面ABCD所成角是(　　) A．30° B．45° C．60° D．90° 5．【多选题】将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角，则(　　) A．AC⊥BD B．AB，CD所成的角为60° C．△ADC为等边三角形 D．AB与平面BCD所成角为60° 6．【多选题】正三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1＝AB，则(　　) A．AC1与底面ABC所成角的正弦值为 B．AC1与底面ABC所成角的正弦值为 C．AC1与侧面AA1B1B所成角的正弦值为 D．AC1与侧面AA1B1B所成角的正弦值为 7.如图，长方体ABCD－A1B1C1D1的底面是边长为1的正方形，高为2，则异面直线BC1与DB1所成的角的余弦值是________；DB1与平面BDC1所成角的正弦值是________． 8.如图，平面ABCD⊥平面ABEF，四边形ABCD是正方形，四边形ABEF是矩形，且AF＝AD＝a，G是EF的中点，则GB与平面AGC所成角的正切值为________． 9.如图，在长方体AC1中，AB＝BC＝2，AA1＝，点E，F分别是底面A1B1C1D1，侧面BCC1B1的中心．以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．试用向量方法解决下列问题： (1)求异面直线AF和BE所成的角； (2)求直线AF和平面BEC所成角的正弦值． 10.如图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝4，AA1＝，点D是BC的中点，点E在AC上，且DE⊥A1E. (1)求证：平面A1DE⊥平面ACC1A1； (2)求直线AD和平面A1DE所成角的正弦值． 11．PA，PB，PC是从P引出的三条射线，每两条的夹角都是60°，则直线PC与平面PAB夹角的余弦值为(　　) A. B. C. D. 12.已知PD垂直于正方形ABCD所在平面，AB＝2，E为PB的中点，cos〈，〉＝，若建立如图所示的空间直角坐标系，则点E的坐标为(　　) A．(1，1，2) B．(2，2，1) C．(1，1，1) D. 13.如图，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面边长为2，直线CC1与平面ACD1所成角的正弦值为，则正四棱柱的高为________． 14.如图，平面ABDE⊥平面ABC，△ABC是等腰直角三角形，AC＝BC＝4，四边形ABDE是直角梯形，BD∥AE，BD⊥BA，BD＝AE＝2，O，M分别为CE，AB的中点． (1)求异面直线AB与CE所成角的大小； (2)求直线CD与平面ODM所成角的正弦值． 15．空间直角坐标系Oxyz中，经过点P(x0，y0，z0)，且法向量为m＝(A，B，C)的平面方程为A(x－x0)＋B(y－y0)＋C(z－z0)＝0，经过点P(x0，y0，z0)且一个方向向量为n＝(μ，υ，ω)(μυω≠0)的直线l的方程为＝＝.阅读上面的材料并解决下面问题：现给出平面α的方程为3x－5y＋z－7＝0，经过(0，0，0)的直线l的方程为＝＝，则直线l与平面α所成角的正弦值为(　　) A.　 　 B.　 　 C.　 　 D. 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $