13.2.1　三角形的边 教学设计 2026--2027学年人教版八年级数学上册

该初中数学教学设计聚焦“三角形的边”核心内容，涵盖三边关系（两边和大于第三边、两边差小于第三边）及稳定性。课堂导入通过问题串复习三角形定义、边数、分类等旧知，搭建学习支架，衔接新知探究。 资料亮点在于探究环节引导学生从线路选择自主发现三边关系，结合“两点之间线段最短”证明，培养数学思维（推理能力）。应用举例（等腰三角形边长计算）和实践作业（测量生活三角形），体现数学眼光（几何直观）与数学语言（模型意识），助力学生提升探究与应用能力，为教师提供结构化教学资源。

13.2.1　三角形的边　　　　　　　 教学目标 1.理解三角形三边之间的关系. 2.能够利用三角形三边之间的关系解决相关的计算和推理问题. 3.学会用数学知识解决实际问题,发展应用和自主探究意识,并培养学生的动手实践能力. 教学重点 三角形三边之间关系的探究与应用. 教学难点 三角形三边之间关系的应用. 教学活动 教学步骤 师生活动 设计意图 活动一: 创设情境 导入新课 【课堂引入】 学生思考并回答以下问题: (1)什么叫三角形? (2)三角形有几条边?几个内角?几个顶点? (3)三角形有哪几种分类方法?分别是什么? (4)三角形的三边之间有怎样的关系? 　　以问题串的形式复习、巩固学生已有知识,为进一步研究、学习三角形的性质做铺垫. 活动二: 探究 与 应用 【探究1】 三角形三边之间的关系 任意画一个△ABC(如图),从点B出发,沿三角形的边到点C,有几条线路可以选择?各条线路的长有什么关系?这说明三角形的边之间有什么关系?能证明你的结论吗? 在从点B到点C的线路中,由点B先到点A再到点C的线路,比由点B直接到点C的线路长,即BA+AC>BC,这利用了在小学我们学过的“三角形两边的和大于第三边”的结论.下面对这个结论进行证明. 　　1.问题引申,引导学生探索三角形三边之间的关系. 2.让学生思考、交流三角形三边之间的关系.教师要注意引导学生探究三角形三边之间的关系,进而进行归纳. 活动 二: 探究 与 应用 对于任意一个△ABC,如果把其中任意两个顶点(例如B,C)看成定点,由“两点之间,线段最短”,可得AB+AC>BC,① 同理有AC+BC>AB,②　AB+BC>AC.③ 这样,我们就证明了,三角形两边的和大于第三边. 进一步,由不等式②③,移项可得BC>AB-AC,BC>AC-AB.这就是说,三角形两边的差小于第三边. 结论: 1.三角形两边的和大于第三边. 2.三角形两边的差小于第三边. 思考:上面的结论表明了三角形三边之间的关系.反过来,对于三条线段,当它们满足什么条件时,这三条线段能组成三角形? 一般地,如果三条线段中任意两条线段的和大于第三条线段,那么这三条线段能组成三角形;如果三条线段中有两条线段的和小于或等于第三条线段,那么这三条线段不能组成三角形. 【探究2】 三角形的稳定性 思考：在生活中，我们会遇见很多物品都是由三角形构成，比如（如下图），为什么这些物品中大量使用三角形，而不用其他形状呢？工程建筑中也经常采用三角形的结构，如图中的屋顶钢架结构等，其中的道理是什么？ 答：当三角形的三条边长度确定后，它的形状和大小就完全确定了，即三角形具有稳定性. 而在工程建筑中，三角形结构能将外力分散传递，保持自身结构的稳定，不会轻易发生形状改变，从而保障建筑的安全性和稳定性. 提问：如图，将三根木条用钉子钉成一个三角形木架，然后扭动它，它的形状会改变吗？ 答：可以发现，三角形木架的形状不会改变，这就是说，三角形是具有稳定性的图形. 思考：三角形的稳定性有着广泛的应用，除了前面提到的桥梁和自行车，你还能举一些例子吗？ 答：输电塔、起重机、相机三脚架等。 　　3.教师要注意引导学生利用符号语言描述三角形三边之间的关系,注意揭示图形语言与文字语言之间的联系. 4.通过扭动三角形木架和四边形木架,使数学活动充满了探索性和趣味性,引导学生观察、分析并解决问题. 5.通过这些问题的设置,吸引了学生的注意力,以此来引起学生探究问题的积极性. 【应用举例】 例1　用一条长为18 cm的细绳围成一个等腰三角形. (1)如果腰长是底边长的2倍,那么各边的长是多少? (2)能围成有一边的长是4 cm的等腰三角形吗?为什么? [答案:三边的长分别为3.6 cm,7.2 cm,7.2 cm　(2)能　理由略] 变式　若等腰三角形的两边长分别为7 cm和14 cm,则它的周长为　35　cm.  　　1.应用迁移,巩固提高,培养学生解决问题的能力. 2.体会分类讨论思想的应用. 【拓展提升】 例2　若a,b,c是△ABC的三边长,化简:|a-b-c|+|b-c-a|+|c+a-b|. 解:根据三角形三边之间的关系,得a-b-c<0,b-c-a<0,c+a-b>0, ∴|a-b-c|+|b-c-a|+|c+a-b| =b+c-a+c+a-b+c+a-b =3c+a-b. 例3 若三角形三边长为a，a+1，a+2，且周长小于30，求a的最大整数值. 分析：由周长与三角形三边关系即两边的和大于第三边可以列出方程组. 注意，我们只需要令最小的两条边相加大于最大的那条边即可满足任意两边的和大于第三边. 答：周长C=a+(a+1)+(a+2)<30；两边的和大于第三边：a+(a+1)>a+2. 移项求解可得 所以a的取值范围是1<a<9，故a的最大整数值是8. 　　利用三角形三边之间的关系化简,综合考查学生对知识的灵活应用能力. 活动 三: 课堂 总结 反思 【教材练习】 1.下列长度的三条线段能否组成三角形？为什么？ (1)3，4，8； (2)5，6，11； (3)5，6，10. 解：(1)不能，3+4=7<8； (2)不能，5+6=11； (3)能，5+6=11>10. 2.一根 4 dm 长的木条和两根 1 dm长的木条，能否组成一个等腰三角形？ 两根 4 dm 长的木条和一根 1 dm 长的木条呢？ 答：前者不能，1+1=2<4；后者能，1+4=5>4. 【限时训练】 1.等腰三角形一边长为6，周长为20，求其他两边长. 答：若6为底边，则腰长为(20-6)÷2=7，此时6+7=13>7能够组成三角形； 若6为腰长，则底边为20-2×6=8，此时6+6=12>5能够组成三角形. 综上所述，其他两边长为7和7或6和8. 2.若三角形两边长为3和7，且第三边为偶数，求第三边长. 答：设第三边长为x，则7-3<x<3+7，即4<x<10，因为第三边为偶数，所以x=6或x=8.所以第三边长为6或8. 3.用长度为20cm的铁丝围成三角形，最长边最长可以为多少？(边长为整数) 答：设最长边为x，则另两边之和为20-x，根据两边的和大于第三边可知： 20-x>x.所以x<10. 又因为x为整数，故最长边最大为9cm. 4.如图，D是等腰三角形ABC腰上的中点，CD将周长分为12和9两部分，求腰长和底边长. 答：设等腰三角形腰长为2x，底边长为y，由题，会出现如上图两种情况 则 因为8+5>8，而6+6>9，所以两种情况都符合. 所以该等腰三角形的腰长为8，底边长为5或腰长为6，底边长为9. 让学生进一步巩固所学知识，加强学生对三角形的分析能力，培养应用意识，锻炼运用能力和解题能力. 【课堂总结】 本节课我们研究了三角形三边之间的关系及三角形的稳定性. (1)从三角形三边之间的关系的研究中可知,三角形的三边相互制约——任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边. (2)判断a,b,c三条线段能否组成一个三角形,应注意:a+b>c,b+c>a,a+c>b,当这三个条件均满足时,a,b,c才能组成一个三角形.当a是a,b,c三条线段中最长的一条时,只要b+c>a就有任意两条边的和大于第三边. 　　培养学生概括的能力,使知识形成体系,并渗透数学思想方法. 【知识网络】 【布置作业】 习题13.2 P9 第1.2.5.6题 【实践作业】 任务：测量并记录生活中的三角形，探究三边关系 要求：将测量的三角形物体按比例绘制在纸上，标明三边长度，分别计算并比较任意两边的和与第三边的大小关系、任意两边的差与第三边的大小关系. 示例：某篮球架的边长分别为1.5m、2m、2.5m 计算两边的和与第三边的关系：1.5+2=3.5>2.5；1.5+2.5=4>2 ； 2+2.5=4.5>2 计算两边的差与第三边的关系：2.5-2=0.5<1.5； 2.5-1.5=1<2； 2-1.5=0.5<2.5 　　 框架图式总结,更容易形成知识网络. 学科网（北京）股份有限公司 $