17.2 直角三角形课件 2026—2027学年冀教版 数学八年级上册

该初中数学课件聚焦直角三角形，涵盖概念、性质（两锐角互余、斜边上中线等于斜边一半、含30°角直角边等于斜边一半）及判定定理，通过回顾等腰与等边三角形自然过渡，以观察图形、折叠操作、小组讨论等探究活动搭建学习支架。 其亮点在于以探究式教学为主线，结合几何直观（如折叠发现中线性质）、推理能力（全等证明推导定理）、应用意识（公路距离计算实例），例题兼顾基础与综合，小结系统梳理知识。助力学生培养数学思维，教师可高效实施结构化教学。

17.2 直角三角形 等腰三角形 性质 判定 两边相等(定义) 等边对等角 三线合一(1条) 两边相等(定义) 等角对等边 特 例 等边三角形 性质 判定 三边相等(定义) 三个角都相等,都等于60° 三线合一(3条) 三边相等(定义) 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形. 三个角都相等 A C B 有一个角等于90°的三角形叫做直角三角形. 直角三角形可以用符号“Rt△”表示，如图，直角三角形ABC可以表示为“Rt△ABC”. 直角三角形的概念 1.观察图中的三角形，∠C=90°，从∠A+∠B的度数，能说明什么?为什么? A B C ∠A +∠B =90° 活动1.观察下列等腰三角形，回答相应问题 探究一：直角三角形的性质定理与判定定理. 2. 反过来，如果一个三角形的两个角互余，那么这个三角形是直角三角形吗？ 在△ABC中，因为 ∠A +∠B+∠C=180°， 又因为∠A +∠B=90°， 所以∠C=90°. 于是可知△ABC是直角三角形. 直角三角形的判定定理： 如果一个三角形的两个角互余，那么这个三角形是直角三角形. 直角三角形的性质定理：直角三角形的两个锐角互余. 1.如图，已知∠A＝32°，∠ADC＝110°，BE⊥AC于点E，求∠B的度数． B D C E A 解：， . 又为直角三角形， (直角三角形的两个锐角互余)． 直角三角形是特殊的三角形，直角三角形的两锐角互余的本质是三角形内角和定理，是三角形内角和定理的一种简化应用，利用这一性质，在直角三角形中已知一锐角可求另一锐角． 2.如图，AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于点E，F，∠BEF的平分线与∠DFE的平分线相交于点P.试说明△EFP为直角三角形． A P E B C D F 解：， 为的平分线，为的平分线， ∴△EFP为直角三角形． B A C (1) A C B (2) B A C E F (3) (B) E F 活动1.在一张半透明的纸上画出Rt△ABC，∠C=90°，如图(1)；将∠B折叠，使点B与点C重合，折痕为EF，=沿BE画出虚线CE， 如图(2)；将纸展开，如图(3) 探究二：直角三角形斜边上的中线性质. 1.∠ECF与∠B有怎样的关系？线段EC与线段EB有怎样的关系？ 2.∠ACE与∠A的大小关系吗？线段AE与线段CE呢? 3你发现了什么结论？将你的结论与大家交流. ，即是的中线，且. . 已知：如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB = 90°， CD为斜边AB上的中线. 求证：. 证明：如图，过点D，作DE∥BC，交AC于点E；作DF∥AC，交BC于点F. 在△AED 和△DFB 中， ∠A=∠FDB(两直线平行，同位角相等)， ∵ AD=DB(中线的概念)， ∠ADE=∠B(两直线平行，同位角相等)， B A C D E F 活动2.小组讨论，证明直角三角形斜边上的中线性质. ∴△AED≌△DFB (ASA). ∴AE=DF，ED=FB. (全等三角形的对应边相等） 同理可证，△CDE≌△DCF. 从而，ED=FC，EC=FD. ∴ AE=EC，CF=FB.(等量代换) 又∵DE⊥AC，DF⊥BC，(两直线平行，同位角相等) ∴DE为AC的垂直平分线，DF为BC的垂直平分线. ∴AD=CD=BD(线段垂直平分线的性质定理). ∴CD=AB. B A C D E F 直角三角形的性质定理： 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 如图，公路AC，BC互相垂直，公路AB的中点M与点C被湖隔开，若测得AM的长为1.2 km，则M，C两点间的距离为(　　) A．0.5 km B．0.6 km C．0.9 km D．1.2 km D 若题目中出现了一边的中点，往往需要用到中 线，若又有直角，往往需要用到直角三角形斜边上 的中线等于斜边的一半． 证明：在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半. (1)根据文字命题将其转化为数学命题； 活动1.小组讨论，证明含30°角的直角三角形的性质. 探究三：含30°角的直角三角形的性质. 已知：在Rt△ABC中，∠A＝30°，∠ACB＝90°. 求证：BC＝AB. (2)小组讨论，对(1)中的命题进行证明. 已知：在Rt△ABC中，∠A＝30°，∠ACB＝90°. 求证：BC＝ AB. 证明：如图所示： 延长BC到D,使CD＝BC，连接AD， 此时AC是线段BD的垂直平分线， 易证AD＝AB，∠BAD＝60°， ∴△ABD为等边三角形， ∴AB＝BD ∴BC＝CD＝ BD＝ AB，即BC＝ AB. A C B D 要点精析：(1)适用条件——含30°角的直角三角形． (2)揭示的关系——30°角所对的直角边与斜边的关系． 拓展：在直角三角形中，若一直角边等于斜边的一半， 则该直角边所对的角为30°. 作用：应用于证明线段的倍数关系和计算角度． 直角三角形的性质定理： 在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半． 如图，在等边三角形ABC 中，点D，E分别在边BC，AC上，DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F. (1)求∠F的度数； (2)若CD＝2，求DF的长． 利用含角的直角三角形的性质的关键： (1)的角； (2)直角三角形． 根据这两个元素可建立直角三角形中斜边与一条直角边之间的关系． 1. 如图，已知 AB ∥ CD ，点 E 在直线 AB 上，点 F ， G 在直线 CD 上， EG ⊥ EF 于点 E ，∠ AEF ＝40°，则∠ EGF 的度数是(　C　) A. 40° B. 45° C. 50° D. 60° (第1题) C 2. 如图，在△ ABC 中，∠ B ＝∠ A ＋10°，∠ ACB ＝∠ A ＋20°， CD ⊥ AB 于点 D ，则∠ ACD 的度数为 ⁠. 40°　 3. 《周礼·考工记》中记载有：“…半矩谓之宣(xuān)，一宣有半谓之欘(zhú)…”. 意思是：“…直角的一半的角叫做宣，一宣半的角叫做欘…”即：1宣＝ 矩，1欘＝1 宣(其中，1矩＝90°). 问题：图①为中国古代一种强弩图，图②为这种强弩图的部分组件的示意图，若∠ A ＝1矩，∠ B ＝1欘，则∠ C ＝ 度. 22.5　 4.如图，BD，CE是△ABC的两条高，M，N分别是BC，DE的中点．求证：MN⊥DE. A D E N B C M 证明：连接，如图. 为△ABC的两条高， . 在Rt△BEC中，为斜边的中点， 在中，为斜边的中点， .又∵N为DE的中点，∴MN⊥DE. 直角三角形 性质定理 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半． 直角三角形的两个锐角互余. 判定定理 如果一个三角形的两个角互余，那么这个三角形是直角三角形. $