17.3 课时2 勾股定理的应用课件 2026—2027学年冀教版 数学八年级上册

该初中数学课件聚焦勾股定理的应用，以伦敦土地拍卖历史问题导入，通过探究活动逐步展开，从实际测量（湖岸距离）、几何计算（厂房三脚架、零件圆孔）到最短路径（易拉罐缠绕、蚂蚁爬正方体），构建“实际问题—数学转化—模型构建—定理应用”的学习支架，衔接前后知识。 其亮点在于融合历史情境与现实问题，通过提示引导和问题探究，培养学生数学眼光（抽象直角三角形模型）、数学思维（逻辑推理与运算）。如“引葭赴岸”问题、圆柱侧面展开求最短路径等实例，结合应用步骤总结，帮助学生形成结构化认知，提升解决实际问题能力，也为教师提供丰富教学案例与清晰思路。

17.3 课时2 勾股定理的应用 历史上伦敦克里斯蒂拍卖行贴出了一个土地拍卖广告:如图所示,有面积为560英亩的土地拍卖,土地共分三个正方形,面积分别为74英亩、116英亩、370英亩.三个正方形恰好围着一个池塘,如果有人能计算出池塘的准确面积,则池塘不计入土地价钱白白奉送.英国数学家巴尔教授曾经巧妙地解答了这个问题,你能解决吗? 勾股定理能解决直角三角形的许多问题,因此在现实生活中有着广泛的应用. 370 74 116 池塘 如图，为了测得湖边上点A和点C间的距离，一观测者在点B设立了一根标杆，使∠ACB=90°.测得AB=200 m，BC=160 m. 根据测量结果，求点A和点C间的距离. 提示1：本题属于什么模型？ 提示2：在勾股定理中，勾、股、弦哪些是已知，求哪些？ 活动1.利用勾股定理解决实际问题. 探究一：勾股定理的应用. 解：在△ABC中， ∵∠ACB=90°， ∴AC2+BC2=AB2(勾股定理). ∵AB=200 m，BC=160 m， 答：点A和点C间的距离是120 m. 解决这类实际问题的关键是根据题意，画出图形，建立数学模型，用数学知识解答，把复杂问题简单化、明朗化. 如图所示的是某厂房屋顶的三脚架的示意图. 已知AB=AC=17 m，AD⊥BC，垂足为D，AD=8 m，求BC的长. ∟ A B C D 解：在Rt△ABD中， ∵AB=17 m，AD=8 m， ∴BD2=AB2-AD2=172-82=225， ∴BD=15 m， ∵AB=AC，AD⊥BC， ∴BC=2BD=30 m. 提示1：A和B间的距离|AB|在什么几何模型中？提示2：根据该模型，应该用什么方法求解？ C A B 26 15 18 10 如图，在长为50 mm，宽为40 mm的长方形零件上有两个圆孔，与孔中心A，B相关的数据如图所示.求孔中心A和B间的距离. 活动2.利用勾股定理解决几何问题. 解：∵△ABC是直角三角形， ∴ AB2=AC2+BC2.∵AC=50－15－26=9(mm)， BC=40－18－10=12(mm)， 答：孔中心A和B间的距离是15 mm. 1.如图所示，水池中有水，水面是一个边长为10尺的正方形，水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边，那么它的顶端恰好到达池边的水面.水的深度和这根芦苇的长度分别是多少? 解：设水深为x尺，则芦苇长度为(x+1)尺， 根据勾股定理得x2+ =(x+1)2， 解得x=12，x+1=12+1=13. 答：水深为12尺，芦苇的长度为13尺. 勾股定理的应用的一般步骤： 实际问题 转化 数学问题 构建 直角三角形 利用 勾股定理 解决 如图，小红想用一条彩带缠绕易拉罐，正好从A点绕到正上方B点共四圈，已知易拉罐底面周长是12 cm，高是20 cm，那么所需彩带最短的是多少？ 提示1：彩带以怎样的方式缠绕最短？ 提示2：它与勾股定理有怎样的关系？ 活动3.利用勾股定理求最小值问题. 解：由图可知，彩带从易拉罐底端的 A处绕易拉罐 4 圈后到达顶端的B处，将易拉罐表面切开展开呈长方形，则螺旋线长为四个长方形并排后的长方形的对角线长，设彩带最短长度为x，则易拉罐底 面周长是12 cm，高是20 cm， ， 解得：x=52 所以彩带最短是52 cm. 最短路径问题关键：化曲面为平面； 例如，圆柱的侧面展开图是一个矩形，此矩形的长等于圆柱底面周长，高等于圆柱的高，本题就是把圆柱的侧面展开呈矩形，，用勾股定理解决. 1.如图，一只蚂蚁沿着棱长为2的正方体表面从点A出发，经过3个面爬到点B，如果它运动的路径是最短的，则AC的长为________． 1. 在《九章算术》中有一个问题(如图)：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？它的意思是有一根竹子原高1丈(1丈＝10尺)，中间有一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺(1尺＝ 米)，试问折断处离地面(　D　) D A. 4尺 B. 3.6尺 C. 4.5尺 D. 4.55尺 2 .如图，有两棵树，一棵高10米，另一棵高4米，两树相距8米，一只小鸟从一棵树的树顶飞到另一棵树的树顶，小鸟至少飞行(　　) A．8米 B．10米 C．12米 D．14米 B 3. 《九章算术》中有一道“引葭赴岸”问题：今有池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何？题意是：有一个池塘，其池面是边长为10尺的正方形，一棵芦苇 AC 生长在它的中央，高出水面部分 BC 为1尺，如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部 C 恰好碰到岸边的C'处(如图)，问水深和芦苇长各多少尺？则该问题中的水深是 尺. 12　 4. 如图，圆柱形玻璃杯的杯高为9 cm，底面周长为16 cm，在杯内壁离杯底4 cm的点 A 处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在杯外壁上，它在离杯上沿1 cm，且与蜂蜜相对的点 B 处，则蚂蚁从外壁 B 处到内壁 A 处所走的 最短路程为 cm.(杯壁厚度不计) 10　 5.如图，在△ABC中，AB=AC=12，BC=16. 求△ABC的面积. A B C 解：过点A作AD⊥BC，交BC于点D. ∵AB=AC，∴AD是△ABC底边BC上的中线， ∴BD=CD= BC= ×16=8. 在Rt△ABD中，由勾股定理， 得AD2=AB2－BD2=122－82=80，AD= . ∴S△ABC = BC·AD= ×16× = . D 勾股定理的实际应用 勾股定理的 应用 思想方法 数形结合 $