3.2 整式的加减（暑假预科讲义）-2026-2027学年北师大版数学七年级上册

暑季研思・七年级上册数学暑期培优专项讲义 3.2整式的加减 知识归纳与题型总结 考点01 同类项 一般地，所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫作同类项． 判断同类项主要看三点：①都是单项式；②所含字母相同；③相同字母的指数相同． 考向01 同类项的判断 【例1】下列属于同类项的是（     ） A．与 B．与 C．23与54 D．m2与 考向02 已知同类项求指数中字母或代数式的值 【例2】若单项式与的和是单项式，则的值是______． 【对点1】下列各式中，是同类项的是（     ） A．与 B． 与 C．与 D．与 【对点2】若与是同类项，则的值是（     ） A． B． C． D． 考点02 合并同类项 把多项式中的同类项合并成一项，叫作合并同类项．合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数的和，字母连同它的指数不变． 合并同类项的一般步骤： 考向01 合并同类项 【例1】化简：已知，，且，求的值． 【对点1】化简： 考点03 去括号 1. 去括号方法 一般地，一个数与一个多项式相乘，需要去括号，去括号就是用括号外的数乘括号内的每一项，再把所得的积相加．如果括号外的乘数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；如果括号外的乘数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反． 2. 依据：分配律a(b+c)=ab+ac. 3. 多层括号的去法：一般由内向外，先去小括号，再去中括号，最后去大括号． 考向01 去括号 【例1】先化简，再求值：，其中x，y满足． 考向02 添括号 【例2】已知，则代数式的值为___________． 【对点1】下列运算正确的是（     ） A． B． C． D． 【对点2】已知，则的值是________． 考点04 整式的加减 整式加减的运算法则：几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项． 应用整式加减的运算法则化简求值时，一般先去括号、合并同类项，再代入字母的值进行计算，简记为“一化、二代、三计算”．在具体运算中，也可以先将同类项合并，再去括号，但是要按运算顺序去做．例如，． 考向01 整式的加减运算 【例1】化简：． 考向02 整式加减中的化简求值 【例2】已知，则代数式的值为（     ） A． B． C． D． 考向03 整式加减中的无关型问题 【例3】已知：．（为常数） (1)若不含项，求出的值； (2)在（1）的基础上化简：． 考向04 整式加减的应用 【例4】两个连续自然数之和一定是______（填“奇数”或者“偶数”）． 考向05 带有字母的绝对值化简问题 【例5】实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ） A． B． C． D． 【对点1】化简的结果是________． 【对点2】先化简，再求值： ，其中，． 【对点3】当=______时，关于的多项式中不含有项． 【对点4】某校原来有学生x人，本学期开学时，转入学生人，转出学生人，则该校现有学生________人． 【对点5】有理数、、在数轴上的位置如图所示，则化简 1、 选择题 1．小宇设计了一套简易运算程序，对四边形的4个顶点和4条边赋值，使得每条边两个顶点上的数字之和等于这条边的数值．如图，已知三条边的值，那么第四条边的值“？”为（     ） A．16 B．20 C．24 D．28 2．图1是长为a，宽为b（）的小长方形纸片，将6张如图1的纸片按图2的方式不重叠地放在长方形内，已知的长度固定不变，的长度可以变化，图中阴影部分（即两个长方形）的面积分别表示为，，若，，则的值是（     ） A．8 B．16 C．32 D．64 3．在下列说法中，正确的是（     ） A．的系数为 B．的次数为6 C．是四次三项式 D．若与是同类项，则 4．a，b，c在数轴上对应的点的位置如图所示，则下列各式正确的个数有（     ） ①；②；③；④．    A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 5．某客户到商场购买夹克30件，T恤x件（）．商场有两种优惠方案：方案一，买一件夹克送一件T恤；方案二，夹克和T恤都按定价的九折付款．已知夹克每件200元，T恤每件40元．当时，选择方案一比方案二节省（     ） A．200元 B．240元 C．300元 D．400元 6．如果关于x的多项式中不含项，则k的值为（   ） A．0 B．3 C． D．3或 7．当时，化简的结果为（     ） A． B． C． D． 8．下列判断正确的是（     ） A．与不是同类项 B．不是整式 C．单项式的系数是 D．是二次三项式 9．将图①中周长为的长方形纸片剪成号、号、号、号正方形和号长方形，并将它们按图②的方式放入周长为的长方形中，则没有覆盖的阴影部分的周长是（    ） A． B． C． D． 10．由，，三个数字组成的进制数记作，例如．若，且，则以下关系中成立的是（     ） A． B． C． D． 2、 填空题 11．的结果是________． 12．“燕几”由两张同款长桌、两张同款中桌、三张同款小桌构成，七张桌面皆为长方形，桌宽均为尺．如图，将燕几拼成一个“回文”造型桌面，该桌面的周长为_______尺（用含的代数式表示）． 13．若单项式与的和是单项式，则_______． 14．若，且，则在数轴上表示，两数的对应点的距离为____． 15．已知a，b，c为有理数，且，，，，则______． 3、 解答题 16．如图，长为（），宽为（）的大长方形被分割为7小块，除阴影，外其余5块是形状、大小完全相同的小长方形，其较短的边长为． (1)小长方形的较长边为________________（用代数式表示）； (2)阴影的一条较短边和阴影的一条较短边之和为，是_____________的（填正确/错误）；阴影和阴影的周长值之和与_____________（填有关/无关），与_____________（填有关/无关）： 17．化简： (1)； (2)． 18．计算： (1)． (2)． 19．如图，在数轴上点表示数2，点是数轴上的一个动点，点表示数． (1)若，则点，间的距离是多少？ (2)若点在点的右侧： ①求的取值范围； ②表示数的点应落在 （填选项前的字母）． A．点左边    B．线段上    C．点右边 20．如果一个三位正整数（且），交换其个位上的数字与百位上的数字可得到一个新的三位数．若用原三位数减去新三位数所得的差为，那么我们称这个三位数为“行知数”．比如三位数，交换个位上的数字与百位上的数字后，得到新三位数．因为，所以三位数就是一个“行知数”．根据材料，回答下列问题： (1)判断和是否是“行知数”，并说明理由． (2)在所有三位正整数（且）中，“行知数”一共有多少个？并说明理由． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $暑季研思・七年级上册数学暑期培优专项讲义 3.2整式的加减 知识归纳与题型总结 考点01 同类项 一般地，所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫作同类项． 判断同类项主要看三点：①都是单项式；②所含字母相同；③相同字母的指数相同． 考向01 同类项的判断 【例1】下列属于同类项的是（     ） A．与 B．与 C．23与54 D．m2与 【答案】C 【分析】根据同类项定义：所含字母相同，且相同字母的指数也相同的单项式为同类项，所有常数项都是同类项，逐一判断选项即可． 【详解】选项A中，与，相同字母的指数分别为和，的指数分别为和，相同字母指数不同，故不是同类项； 选项B中，含字母，不含字母，所含字母不同，故不是同类项； 选项C中，与都是常数项，所有常数项都是同类项，故是同类项； 选项D中，含字母，含字母，所含字母不同，故不是同类项． 考向02 已知同类项求指数中字母或代数式的值 【例2】若单项式与的和是单项式，则的值是______． 【答案】9 【分析】两个单项式的和为单项式，说明这两个单项式是同类项，根据同类项的定义求出和的值，再根据有理数乘方的运算法则计算即可． 【详解】解：由题意得：单项式与是同类项， ∴，， 解得，， 则． 【对点1】下列各式中，是同类项的是（     ） A．与 B． 与 C．与 D．与 【答案】C 【详解】解：与所含字母不同，A错误； 与中相同字母的指数不相同，B错误； 与所含字母均为、，且相同字母指数均为1，C正确； 与中的指数不同，D错误． 【对点2】若与是同类项，则的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据同类项的定义解决此题． 【详解】解：由题意得：，． ． 考点02 合并同类项 把多项式中的同类项合并成一项，叫作合并同类项．合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数的和，字母连同它的指数不变． 合并同类项的一般步骤： 考向01 合并同类项 【例1】化简：已知，，且，求的值． 【答案】 【分析】计算，将和的表达式代入，展开括号后合并同类项，再代入已知条件，即可求解． 【详解】解： ， 代入，可得：． 【对点1】化简： 【答案】 【详解】解：原式． 考点03 去括号 1. 去括号方法 一般地，一个数与一个多项式相乘，需要去括号，去括号就是用括号外的数乘括号内的每一项，再把所得的积相加．如果括号外的乘数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；如果括号外的乘数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反． 2. 依据：分配律a(b+c)=ab+ac. 3. 多层括号的去法：一般由内向外，先去小括号，再去中括号，最后去大括号． 考向01 去括号 【例1】先化简，再求值：，其中x，y满足． 【答案】化简为，求值为12 【分析】先去括号、合并同类项化简代数式；再利用平方和绝对值的非负性：，，两个非负数相加等于，则各自为求出、的值，最后代入化简后的式子计算结果． 【详解】解： ， ，且， ， 解得：，， 把，代入： 原式． 考向02 添括号 【例2】已知，则代数式的值为___________． 【答案】 【分析】由已知方程整理得到的值，对所求代数式变形后整体代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴移项得， ∴， ， ， ． 【对点1】下列运算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据合并同类项法则、去括号法则，逐项分析判断即可得到答案． 【详解】解：选项A中，与不是同类项，不能合并，∴A错误，不符合题意； 选项B中，，计算正确，∴B正确，符合题意； 选项C中，，∴C错误，不符合题意； 选项D中，，∴D错误，不符合题意． 【对点2】已知，则的值是________． 【答案】 【详解】解：∵， ∴． 考点04 整式的加减 整式加减的运算法则：几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项． 应用整式加减的运算法则化简求值时，一般先去括号、合并同类项，再代入字母的值进行计算，简记为“一化、二代、三计算”．在具体运算中，也可以先将同类项合并，再去括号，但是要按运算顺序去做．例如，． 考向01 整式的加减运算 【例1】化简：． 【答案】 【详解】解：原式 考向02 整式加减中的化简求值 【例2】已知，则代数式的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由于都未知，因此将所求代数式变形为含已知等式的形式，整体代入计算即可． 【详解】， 将代入，得 ． 考向03 整式加减中的无关型问题 【例3】已知：．（为常数） (1)若不含项，求出的值； (2)在（1）的基础上化简：． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先代入A、B计算，合并同类项后，根据不含项即项的系数为0，求解的值； （2）将（1）得到的代入，计算，合并同类项得到化简结果． 【详解】（1）解： ， ∵不含项， ， 解得． （2）解：当时， ， ， ． 考向04 整式加减的应用 【例4】两个连续自然数之和一定是______（填“奇数”或者“偶数”）． 【答案】奇数 【分析】设出两个连续自然数，计算两数的和，根据奇数与偶数的定义判断和的奇偶性． 【详解】解：设较小的自然数为（为自然数），则另一个连续自然数为， 两数之和为， ∵是的整数倍， ∴是偶数， ∵偶数加为奇数， ∴是奇数，即两个连续自然数之和一定是奇数． 考向05 带有字母的绝对值化简问题 【例5】实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据数轴上点的位置确定， 的取值范围及正负性，结合绝对值的性质及有理数的大小比较法则进行判断． 【详解】解：由数轴可知，，， ∴，， A：∵，， ∴， ∴A不符合题意； B：∵， ∴， 又 ∵， ∴， ∴B不符合题意； C：∵，根据绝对值的性质可得 ， ∴C符合题意； D：∵，， ∴， ∴D不符合题意． 【对点1】化简的结果是________． 【答案】 【详解】解：原式． 【对点2】先化简，再求值： ，其中，． 【答案】化简结果为，值为. 【详解】解： ． 当，时， 原式． 【对点3】当=______时，关于的多项式中不含有项． 【答案】 【分析】当多项式不含某一项时，该项合并同类项后的系数为，先合并多项式中的同类项，再令项的系数为，即可求解的值。 【详解】解：对多项式合并同类项得： ， 多项式不含有项， 项的系数为，即， 解得． 【对点4】某校原来有学生x人，本学期开学时，转入学生人，转出学生人，则该校现有学生________人． 【答案】 【分析】根据原有学生人数+转入学生人数-转出学生人数列出代数式，再去括号、合并同类项即可得到结果． 【详解】解：根据题意得： ． 即该校现有学生人． 【对点5】有理数、、在数轴上的位置如图所示，则化简 【答案】 【分析】先根据数轴判断、、大小及、绝对值大小，进而判断各代数式正负，再利用绝对值性质去绝对值符号，最后合并同类项化简式子即可． 【详解】解：由图可知，，， ∴，，， ∴，，， ∴ ． 1、 选择题 1．小宇设计了一套简易运算程序，对四边形的4个顶点和4条边赋值，使得每条边两个顶点上的数字之和等于这条边的数值．如图，已知三条边的值，那么第四条边的值“？”为（     ） A．16 B．20 C．24 D．28 【答案】C 【分析】令左侧顶点的数为，表示出各顶点数，然后根据整式的加减求解． 【详解】解：令左侧顶点的数为，则上顶点的数为，下顶点的数为，右侧顶点的数为， ∴， ∴第四条边的值为． 2．图1是长为a，宽为b（）的小长方形纸片，将6张如图1的纸片按图2的方式不重叠地放在长方形内，已知的长度固定不变，的长度可以变化，图中阴影部分（即两个长方形）的面积分别表示为，，若，，则的值是（     ） A．8 B．16 C．32 D．64 【答案】D 【分析】设，根据题意得到，，进而作差，利用整式的加减运算法则求解即可． 【详解】解：设， 根据题意，，， ∴． 3．在下列说法中，正确的是（     ） A．的系数为 B．的次数为6 C．是四次三项式 D．若与是同类项，则 【答案】D 【分析】直接利用单项式的定义以及多项式的次数和项数的定义，同类项的概念分别分析得出答案即可． 【详解】解：A选项，的系数为，原说法错误，不符合题意； B选项，的次数为5，原说法错误，不符合题意； C选项，的最高次项次数为3，是三次三项式，原说法错误，不符合题意； D选项，∵与是同类项， ∴，， ∴，原说法正确，符合题意. 4．a，b，c在数轴上对应的点的位置如图所示，则下列各式正确的个数有（     ） ①；②；③；④．    A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】由数轴可得，由点到原点的距离可得，再结合有理数的减法法则、绝对值的性质逐项分析即可得出结果． 【详解】解：由数轴可得， 由点到原点的距离可得， ∴，，，，，故②正确； ∴，故①正确； ，故③正确； ，故④错误； 综上所述，正确的有①②③，共个． 5．某客户到商场购买夹克30件，T恤x件（）．商场有两种优惠方案：方案一，买一件夹克送一件T恤；方案二，夹克和T恤都按定价的九折付款．已知夹克每件200元，T恤每件40元．当时，选择方案一比方案二节省（     ） A．200元 B．240元 C．300元 D．400元 【答案】D 【分析】先求出方案一和方案二的总费用，求差即可解答． 【详解】解：方案一的总费用为（元）， 当时，（元）； 方案二的总费用为（元）， 当时，（元）， 方案一比方案二节省（元）． 6．如果关于x的多项式中不含项，则k的值为（   ） A．0 B．3 C． D．3或 【答案】D 【分析】根据不含项即该项系数为0，先合并同类项再列方程求解． 【详解】解：， ∵多项式不含项， ∴， ∴， ∴或． 7．当时，化简的结果为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】从最内层绝对值开始，根据已知判断每层绝对值内式子的正负，再利用绝对值的性质去掉绝对值符号逐步化简． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 将代入原式得， ∵ ， ∴ ， ∴ ， 因此化简结果为． 8．下列判断正确的是（     ） A．与不是同类项 B．不是整式 C．单项式的系数是 D．是二次三项式 【答案】C 【分析】根据同类项、整式、单项式系数、多项式次数与项数的相关定义，即可判断． 【详解】解：A、与是同类项，故选项不符合题意； B、是整式，故选项不符合题意； C、单项式的系数是，故选项符合题意； D、是三次三项式，故选项不符合题意． 9．将图①中周长为的长方形纸片剪成号、号、号、号正方形和号长方形，并将它们按图②的方式放入周长为的长方形中，则没有覆盖的阴影部分的周长是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设1号正方形边长为，2号正方形边长为，根据图①的拼接关系表示出其他图形的边长，利用图①周长求出的值，再通过平移法或分段计算法表示出图②中阴影部分的周长，代入求值即可． 【详解】解：设1号正方形的边长为，2号正方形的边长为， 由图可知，3号正方形的边长为，4号正方形的边长为，5号长方形的长为，宽为， 图①中长方形的周长为40， ， 即， ， 设图②中大长方形的长为，宽为，则， 阴影部分的周长由水平线段和竖直线段组成， 竖直线段之和：左侧边界长为，右侧边界长为，共， 水平线段之和：大长方形上下边未被覆盖部分长为，内部水平线段长为， 水平线段总长为， 阴影部分的周长为， 阴影部分的周长为． 10．由，，三个数字组成的进制数记作，例如．若，且，则以下关系中成立的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据进制定义展开各数，代入题中等式化简得到a，b，c的关系，再结合进制对数位数字的限制和的条件验证选项，得到正确结果． 【详解】解：根据进制数的展开规则，得：， ，， ∵ ∴， 整理得 该式正好对应选项C， 再结合条件验证合理性：∵ 6进制数的数位数字小于6，且，不为0， ∴ 由得， 又， 可得， 仅当时满足条件， 此时， 结合得或， 对应得或， 又， 故仅符合条件，代入验证得成立．其它选项均不成立． 2、 填空题 11．的结果是________． 【答案】 【分析】先去括号，再合并即可； 【详解】解： ． 12．“燕几”由两张同款长桌、两张同款中桌、三张同款小桌构成，七张桌面皆为长方形，桌宽均为尺．如图，将燕几拼成一个“回文”造型桌面，该桌面的周长为_______尺（用含的代数式表示）． 【答案】 【分析】分析得造型桌面的长、宽分别为，则可求得该桌面的周长． 【详解】解：造型桌面的长为，宽为， 则该造型桌面的周长为． 13．若单项式与的和是单项式，则_______． 【答案】18 【分析】根据合并同类项法则得出且，求出m、n的值，再代入求出即可． 【详解】解：∵单项式与的和是单项式， ∴且， 解得：，， ∴． 14．若，且，则在数轴上表示，两数的对应点的距离为____． 【答案】或 【分析】根据题意，得到方程组，解得，从而得到，的值，即可求解． 【详解】解：由题意得，解得， ∴，， ∴当，或，时，； 当，或，时，， 综上可知，，两数对应点的距离为或． 15．已知a，b，c为有理数，且，，，，则______． 【答案】 【分析】由题意可得a，b，c中有两个负数，一个正数，不妨设，则，，由得出，，，再结合绝对值的性质求出、的值，即可得出结果． 【详解】解：∵a，b，c为有理数，且，， ∴a，b，c中有两个负数，一个正数， 不妨设，则，， ∵， ∴，，， ∴，， ∴． 3、 解答题 16．如图，长为（），宽为（）的大长方形被分割为7小块，除阴影，外其余5块是形状、大小完全相同的小长方形，其较短的边长为． (1)小长方形的较长边为________________（用代数式表示）； (2)阴影的一条较短边和阴影的一条较短边之和为，是_____________的（填正确/错误）；阴影和阴影的周长值之和与_____________（填有关/无关），与_____________（填有关/无关）： 【答案】(1) (2)正确，有关，无关 【分析】（1）分析图形，已知小长方形较短边为，大长方形总长为，大长方形的长 小长方形较长边 3个小长方形较短边，计算即可； （2）分别根据图形计算阴影的一条较短边和阴影的一条较短边，再计算两者之和，最后再计算阴影和阴影的周长值之和即可． 【详解】（1）∵大长方形的长 小长方形较长边 3个小长方形较短边， ∴小长方形的较长边为； （2）阴影的较短边（竖直边）：大长方形宽为，左侧两个空白小长方形的竖直高度各为， ∴的较短边为 ， 阴影的较短边（竖直边）：大长方形宽为， ∴的较短边为 ； ∴两者和为：，因此题目说法正确； 阴影：长为，宽为， ∴周长为； 阴影：长为，宽为， ∴周长为； 周长和为：； ∵ 结果中仅含，不含， ∴周长之和与有关，与无关． 17．化简： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 18．计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 19．如图，在数轴上点表示数2，点是数轴上的一个动点，点表示数． (1)若，则点，间的距离是多少？ (2)若点在点的右侧： ①求的取值范围； ②表示数的点应落在 （填选项前的字母）． A．点左边    B．线段上    C．点右边 【答案】(1)8 (2)①；②C 【分析】（1）将代入求出点表示的数，利用“数轴上两点之间的距离等于右边的数减去左边的数”求解； （2）①根据“数轴上右边的点表示的数大于左边的点表示的数”求解； ②根据求出的的取值范围，代入到运算即可． 【详解】（1）解：当时，点表示数， ∵点表示数， ∴点，间的距离是． （2）解：①∵点在点的右侧， ∴ ， 解得． ②由①知， ∴， ∴， ∴表示数的点在右侧， 作差法： ， ∴表示数的点在右边． 20．如果一个三位正整数（且），交换其个位上的数字与百位上的数字可得到一个新的三位数．若用原三位数减去新三位数所得的差为，那么我们称这个三位数为“行知数”．比如三位数，交换个位上的数字与百位上的数字后，得到新三位数．因为，所以三位数就是一个“行知数”．根据材料，回答下列问题： (1)判断和是否是“行知数”，并说明理由． (2)在所有三位正整数（且）中，“行知数”一共有多少个？并说明理由． 【答案】(1)是“行知数”，不是“行知数”． 理由：， 是一个“行知数”； ， 不是一个“行知数”； (2)个， 理由：设一个三位正整数（且）是“行知数”， 则， ， 且， ，，有个值， ，，有个值， ，，有个值， ，，有个值， ，，有个值， ， 所以所有三位正整数（且）中，“行知数”一共有个 【分析】（1）根据题中新定义判断； （2）根据题中新定义，用字母表示它们的差，验证求解． 【详解】（1）略 （2）略 1 / 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