3.3 探索与表达规律 预习 2026-2027学年北师大版数学七年级上册

北师大版七年级上册预习 第三章 整式及其加减 第 3 节 探索与表达规律 📅 两日分段预习打卡安排 【Day1 预习任务（建议 25min・日历 & 数字规律模块）】 ✅ 达成目标：掌握日历各类框型的数字规律、两位数数字游戏原理、多位数整除规律推导 通读课本 P96-P97 日历、数字游戏内容，自主完成下文「核心知识点 1-3」「基本概念 1-3」的挖空填写。 熟记日历横向、纵向的日期差值规则，学会用中间量表示框内所有数字。 完成基础训练相关题目，对照答案订正错题。 打卡自检：能独立推导 3×3 方框、十字框的数字和规律，破解数字魔术背后的代数逻辑。 【Day2 预习任务（建议 30min・图形规律 & 综合拓展模块）】 ✅ 达成目标：掌握图形计数类规律推导、完整规律探究流程、多步骤操作类规律应用 通读课本 P97-P98 棋子摆放、餐桌排布、三堆棋子操作的内容，完成「核心知识点 4-6」「基本概念 4-5」剩余挖空填写 熟练掌握从特例归纳通项的方法，能处理等差型图形规律 完成基础训练相关题目，整理个人易错点 打卡自检：能写出第n个图形对应的数量代数式，解决多轮物品转移的规律问题 一、核心知识点梳理 知识点 1：日历的基础数字规律 日历中，同一行相邻两个数，右侧数比左侧大____；同一列相邻两个数，下方数比上方大____； 3×3 正方形方框框住 9 个数，设正中间的数为x，9 个数可表示为： 上排，中排，下排， 9 个数的总和 =____，是中间数x的____倍。 ⚠️易错提醒：纵向相邻日期差为 7，不是 1；算出中间数后，还要验证框内所有日期都在当月1∼31的合法范围内。 知识点 2：日历不同框型的规律拓展 十字形框框住 5 个数：5 个数总和 =____，是中间数的____倍； H 形等对称框的通用思路：以中间数为基准，利用行差 1、列差 7 表示所有数，最终总和和中间数成固定倍数关系。 知识点 3：探索规律的通用四步法 观察特例：至少列举____组连续特例，区分固定不变的量、每次发生变化的量； 字母建模：设核心变化量为____，用含该字母的代数式表示每一组特例的结果； 化简推导：通过整式加减化简代数式，提炼出通用规律； 验证规律：选取未参与归纳的新特例代入代数式，检验规律是否成立。 知识点 4：数字类规律（位值原理应用） 两位数：十位数字为a、个位数字为b，可表示为____； 三位数：百位a、十位b、个位c，可表示为____； 数字魔术、多位数整除问题，都可以把文字操作转化为整式化简，消去中间变量得到固定结论。 多位数能否被 3 整除的判定依据：多位数按位值拆解化简后，各位数字之和能被 3 整除，原数就能被 3 整除。 知识点 5：图形类规律推导方法 先统计前 3~4 个图形对应的数量，判断相邻两项的差值是否恒定（等差规律）； 等差规律的通项公式：第n项 = 初始基础量 + 单次增量 ×(n−1)，最终整理成关于n的代数式。 知识点 6：多步骤操作类规律 像三堆棋子多次转移这类问题，先设初始每堆物品数量为统一字母，分步写出每轮操作后各堆的数量，再通过____化简得到最终固定结果。 ⚠️ 高频易错点汇总（必看！） 易错类型 避坑提示 日历差值混淆 横向相邻差 1，纵向上下差 7，不要搞反 特例数量不足 至少观察 3 组以上特例再归纳规律，避免巧合得出错误结论 位值原理写错 十位数字要乘 10、百位数字要乘 100，不能直接把数位数字相加 忽略日期限制 算出日历方框中间数后，要检查所有日期都在1∼31区间内 代数式不化简 规律必须化到最简形式，才能看清固定倍数、差值关系 二、基本概念定义 规律探索：从有限个具体实例中，提炼出____的数量变化关系的数学探究过程。 位值原理：多位数的计数规则，某一位上的数字乘上该位对应的计数单位（个位为 1、十位为 10、百位为 100……），再求和得到原数。 等差规律：数列中后一项与前一项的____始终相等的变化规律，通项为一次整式形式。 规律验证：用未参与归纳的新实例代入代数式，检验规律的普适可靠，避免偶然特例造成的偏差。 代数建模：用____表示变化量，把图形、数字的变化规则转化为整式表达式的方法。 三、数学思想方法 1. 从特殊到一般再回归特殊（核心思想） 先观察日历、图形的特殊例子（特殊）→抽象出含字母的通用整式规律（一般）→用新场景验证、应用规律（回到特殊），贯穿整节课的探究逻辑。 2. 数形结合思想 把日历表格、棋子摆造型、餐桌排布的图形结构，转化为数字、代数式的数量关系，用代数运算解释图形的变化规律。 3. 数学建模思想 把数字魔术、棋子转移、日历框选、桌椅摆放等生活场景，抽象为整式加减的数学模型，通过化简揭示背后隐藏的固定规律。 4. 转化思想 把多步复杂操作、繁琐枚举计数，转化为分步列代数式再化简，大幅降低推理和计算的难度。 5. 分类讨论思想 对日历不同框型、桌椅不同摆放模式分开分类探究，避免不同结构的规律互相混淆。 四、预习训练 一、选择题 1.有一组数为：，，，，．．．，找规律得到第个数是（       ） A. B. C. D. 2.填在下面各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据规律，的值是（       ） A. B. C. D. 3.如图，在探究“幻方”、“幻圆”的活动课上，学生们感悟到我国传统数学文化的魅力．一个小组尝试将数字这个数填入“六角幻星”图中，使条边上四个数之和都相等．部分数字已填入圆圈中，则的值为（       ） A. B. C. D. 4.如图，圆的周长为个单位长度，在该圆的等分点处分别标上，，，，先让圆周上表示数字的点与数轴上表示的点重合，再将圆沿着数轴向右滚动，则数轴上表示的点与圆周上表示哪个数字的点重合？（       ） A. B. C. D. 5.用同样大小的黑色棋子按如图所示的规律摆放，第个图形有颗棋子，第个图形有颗棋子，第个图形有颗棋子，第个图形有颗棋子……，以此类推，第（       ）个图形有颗棋子． A. B. C. D. 6.程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》，在如图的运算程序中，若开始输入的值为，我们发现第一次输出的结果为，第二次输出的结果为，则第次输出的结果为（       ） A. B. C. D. 7.中国古代算筹计数法可追溯到公元前5世纪，算筹（小棍形状的记数工具）有纵式和横式两种摆法（如图）．计数方法是摆个位为纵，十位为横，百位为纵，千位为横这样纵横依次交替，零以空格表示，则“”所表示的数是（       ） A.402 B.411 C.398 D.389 8.将长方形区域分割成三角形的过程是：在长方形内取一定数量的点，连同长方形的4个顶点，逐步连接这些点，保证所有连线不再相交产生新的点，直到长方形内所有区域都变成三角形．如图，当长方形内有1个点时，可分得4个三角形；当长方形内有2个点时，可分得6个三角形，当长方形内有3个点时，可分得8个三角形（不计被分割的三角形），当长方形内有2026个点时，可分得三角形的个数为（       ） A.个 B.个 C.4054个 D.4052个 9.如图，无人机编队的造型均是由若干个基本图形组成的有规律的图案，第个图案由个基本图形组成，第个图案由个基本图形组成，第个图案由个基本图形组成，第个图案由个基本图形组成…按照这一规律，第个图案中基本图形的个数是（       ） A. B. C. D.  10.如图，已知的面积为1，分别倍长（延长一倍）边，，得到，再分别倍长边，，得到…按此规律，倍长次后得到的的面积为（        ） A. B. C. D.  二、填空题 11.观察下列一组数的规律： 则第2026个数为________ 12.学校“数学乐园”展厅的密码被设计成如图所示的数学问题．小明在参观时认真思索，输入密码后成功地连接到网络．他输入的密码a是________．   13.算筹是我国古代的记数工具之一，摆法有纵式和横式两种，如下表所示．古人用横式与纵式交替表示每个数位上的数，用空位来代替“0”，在个位数上划上斜线来表示负数，如“”表示．则“”所表示的数是________． 14.如图，鸡蛋饼的表面可以看作是一个圆面，分割的每一刀都可以看作一条直线．切5刀最多可以将鸡蛋饼分成________块． 15.如图，将棋盘上的棋子用折线隔开，第1层有1个棋子，第2层有3个棋子，第3层有5个棋子，……依此规律，则第________层有35个棋子． 16.希望小组的同学在求式子的值（结果用和表示）时遇到了困难．经过合作探究他们想出了如图所示的图形来解释这个式子：设△ABC的面积为，取BC的中点，则有△ABD的面积为，再取AD的中点E，则有△ACE的面积为，再取CE的中点F，则有△DEF的面积为，……照此思路持续取下去．就可利用这个图形求得 的值＝________． 三、解答题  17.观察下列三行数： （1）请直接写出： ①每一行的第个数； ②第三行的第个数． （2）第一行连续三个数中最大数与最小数的差为，求这三个数中最大数与最小数的和； （3）用如图的“”形框圈起个数，从上到下分别记为，，，，求的值． 18.如图，将连续的奇数，，，，…按图中的方式排成一个数表，用一个十字框框住个数，这样框出的任意个数. （1）若十字框中的中间一个数为，其它四个数与的关系分别是：左边的一个为 ；右边的一个为________； 上边的一个为________；下边的一个为________. （2）计算十字框里的个数的和，它与是什么关系？ （3）移动十字框，可以框出另外的个数，如果中间一个为，则这个数的和为______； （4） 再次移动十字框，框出的个数的和可能为吗？若能，写出这个数中间的一个，若不能，简单说明理由  19.从开始，连续的偶数相加，它们的和的情况如下表： 加数的个数 连续偶数的和 （1）如果时，那么的值为 ； （2）根据表中的规律猜想：用的代数式表示的公式为： ； （3）由上题的规律计算的值.  20.如图是一组有规律的图案，第1个图案中有4个基本图形，第2个图案中有7个基本图形，第3个图案中有10个基本图形，…… 观察图案，回答下列问题： （1）按这样的规律继续排列下去，第5个图案中有_____个基本图形． （2）请你用含n的代数式表示第n个图案中的基本图形个数． （3）是否存在一个图案，使其中含有的基本图形的个数是2025？请说明理由． 21.如图是用大小相等的小五角星按一定规律拼成的一组图案，第个图案中有颗五角星，第个图案中有颗五角星，第个图案中有颗五角星，…，请根据你的观察完成下列问题． （1）根据上述规律，分别写出第个图案和第个图案中小五角星的颗数； （2）按如图所示的规律，直接写出第个图案中小五角星的颗数；（用含的代数式表示） （3）第个图案中有多少颗五角星？ 22.综合与实践【问题情境】 “一笔画图形”是指笔尖不离纸，且不走重复路线，能够一笔画出的图形．我们把画图时，笔尖的起点、终点以及所画出的线与线的交点叫做“一笔画图形”的“点”，把由“点”分成的每一条线叫做“边”，把“边”将平面分成的每一部分叫做“区域”．图①、②、③、④都是“一笔画图形”，图①的“点”是、，“边”是、、、，“区域”是I、II、III、IV． 【探索活动】 （1）完成下面表格； 序号 “点”数 “边”数 “区域”数 图① 2 4 4 图② 3 3 2 图③ 3 6 _____ 图④ 1 _____ 5 （2）写出、、之间的关系式； 【解决问题】 （3）图⑤是“一笔画图形”．已知该图形中有62个“区域”，除了“起点”连着3条边和“终点”连着5条边，其余每个“点”都连着4条“边”，求该图形有多少条“边”？ 学科网（北京）股份有限公司 $ 北师大版七年级上册预习 第三章 整式及其加减 第 3 节 探索与表达规律 📅 两日分段预习打卡安排 【Day1 预习任务（建议 25min・日历 & 数字规律模块）】 ✅ 达成目标：掌握日历各类框型的数字规律、两位数数字游戏原理、多位数整除规律推导 通读课本 P96-P97 日历、数字游戏内容，自主完成下文「核心知识点 1-3」「基本概念 1-3」的挖空填写。 熟记日历横向、纵向的日期差值规则，学会用中间量表示框内所有数字。 完成基础训练相关题目，对照答案订正错题。 打卡自检：能独立推导 3×3 方框、十字框的数字和规律，破解数字魔术背后的代数逻辑。 【Day2 预习任务（建议 30min・图形规律 & 综合拓展模块）】 ✅ 达成目标：掌握图形计数类规律推导、完整规律探究流程、多步骤操作类规律应用 通读课本 P97-P98 棋子摆放、餐桌排布、三堆棋子操作的内容，完成「核心知识点 4-6」「基本概念 4-5」剩余挖空填写 熟练掌握从特例归纳通项的方法，能处理等差型图形规律 完成基础训练相关题目，整理个人易错点 打卡自检：能写出第n个图形对应的数量代数式，解决多轮物品转移的规律问题 一、核心知识点梳理 知识点 1：日历的基础数字规律 日历中，同一行相邻两个数，右侧数比左侧大__1__；同一列相邻两个数，下方数比上方大__7__； 3×3 正方形方框框住 9 个数，设正中间的数为x，9 个数可表示为： 上排，中排，下排， 9 个数的总和 =__9x__，是中间数x的__9__倍。 ⚠️易错提醒：纵向相邻日期差为 7，不是 1；算出中间数后，还要验证框内所有日期都在当月1∼31的合法范围内。 知识点 2：日历不同框型的规律拓展 十字形框框住 5 个数：5 个数总和 =__5x__，是中间数的__5__倍； H 形等对称框的通用思路：以中间数为基准，利用行差 1、列差 7 表示所有数，最终总和和中间数成固定倍数关系。 知识点 3：探索规律的通用四步法 观察特例：至少列举__3__组连续特例，区分固定不变的量、每次发生变化的量； 字母建模：设核心变化量为__字母__，用含该字母的代数式表示每一组特例的结果； 化简推导：通过整式加减化简代数式，提炼出通用规律； 验证规律：选取未参与归纳的新特例代入代数式，检验规律是否成立。 知识点 4：数字类规律（位值原理应用） 两位数：十位数字为a、个位数字为b，可表示为__10a+b__； 三位数：百位a、十位b、个位c，可表示为__100a+10b+c__； 数字魔术、多位数整除问题，都可以把文字操作转化为整式化简，消去中间变量得到固定结论。 多位数能否被 3 整除的判定依据：多位数按位值拆解化简后，各位数字之和能被 3 整除，原数就能被 3 整除。 知识点 5：图形类规律推导方法 先统计前 3~4 个图形对应的数量，判断相邻两项的差值是否恒定（等差规律）； 等差规律的通项公式：第n项 = 初始基础量 + 单次增量 ×(n−1)，最终整理成关于n的代数式。 知识点 6：多步骤操作类规律 像三堆棋子多次转移这类问题，先设初始每堆物品数量为统一字母，分步写出每轮操作后各堆的数量，再通过__整式加减__化简得到最终固定结果。 ⚠️ 高频易错点汇总（必看！） 易错类型 避坑提示 日历差值混淆 横向相邻差 1，纵向上下差 7，不要搞反 特例数量不足 至少观察 3 组以上特例再归纳规律，避免巧合得出错误结论 位值原理写错 十位数字要乘 10、百位数字要乘 100，不能直接把数位数字相加 忽略日期限制 算出日历方框中间数后，要检查所有日期都在1∼31区间内 代数式不化简 规律必须化到最简形式，才能看清固定倍数、差值关系 二、基本概念定义 规律探索：从有限个具体实例中，提炼出_通用___的数量变化关系的数学探究过程。 位值原理：多位数的计数规则，某一位上的数字乘上该位对应的计数单位（个位为 1、十位为 10、百位为 100……），再求和得到原数。 等差规律：数列中后一项与前一项的__差__始终相等的变化规律，通项为一次整式形式。 规律验证：用未参与归纳的新实例代入代数式，检验规律的普适可靠，避免偶然特例造成的偏差。 代数建模：用__代数式__表示变化量，把图形、数字的变化规则转化为整式表达式的方法。 三、数学思想方法 1. 从特殊到一般再回归特殊（核心思想） 先观察日历、图形的特殊例子（特殊）→抽象出含字母的通用整式规律（一般）→用新场景验证、应用规律（回到特殊），贯穿整节课的探究逻辑。 2. 数形结合思想 把日历表格、棋子摆造型、餐桌排布的图形结构，转化为数字、代数式的数量关系，用代数运算解释图形的变化规律。 3. 数学建模思想 把数字魔术、棋子转移、日历框选、桌椅摆放等生活场景，抽象为整式加减的数学模型，通过化简揭示背后隐藏的固定规律。 4. 转化思想 把多步复杂操作、繁琐枚举计数，转化为分步列代数式再化简，大幅降低推理和计算的难度。 5. 分类讨论思想 对日历不同框型、桌椅不同摆放模式分开分类探究，避免不同结构的规律互相混淆。 四、预习训练 一、选择题 1.有一组数为：，，，，．．．，找规律得到第个数是（       ） A. B. C. D. 【答案】 A 【解析】 本题主要考查了数字规律探索，认清规律是解题的关键．通过观察，按照排列顺序，第奇数个都是负数，偶数个都是正数，分母就是它们的序数，分子都是． 【解答】 解：第个数，是奇数， 应该是负数，即． 故选：． 2.填在下面各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据规律，的值是（       ） A. B. C. D. 【答案】 A 【解析】 先看每个图形中的左上的数字：，，，，依次增加；同理得出每个图形右上角和左下角的数字也是依次增加；有以上规律可以求出第四个图形的右上角和左下角的数；再看右下角的数与其它三个数的关系：；，；右下角的数右上角的数左下角的数+左上角的数；由此求解即可． 【解答】 解：第四图右上角的数是：； 左下角的数是：； 那么右下角的数就是：； 即 故选：． 3.如图，在探究“幻方”、“幻圆”的活动课上，学生们感悟到我国传统数学文化的魅力．一个小组尝试将数字这个数填入“六角幻星”图中，使条边上四个数之和都相等．部分数字已填入圆圈中，则的值为（       ） A. B. C. D. 【答案】 B 【解析】 共有个数，每一条边上个数的和都相等，共有六条边，所以每个数都加了两遍，这个数共加了两遍后和为，所以每条边的和为，然后利用这个原理将剩余的数填入圆圈中，即可得到结果． 【解答】 解：因为共有个数，每一条边上个数的和都相等，共有六条边，所以每个数都加了两遍，这个数共加了两遍后和为，所以每条边的和为，所以这一行最后一个圆圈数字应填， 则所在的横着的一行最后一个圈为， 这一行第二个圆圈数字应填， 目前数字就剩下， 这一行剩下的两个圆圈数字和应为，则取中的， 这一行剩下的两个圆圈数字和应为，则取中的， 这两行交汇处是最下面那个圆圈，应填， 所以这一行第三个圆圈数字应为， 则所在的横行，剩余个圆圈里分别为，要使和为，则为 故选： 4.如图，圆的周长为个单位长度，在该圆的等分点处分别标上，，，，先让圆周上表示数字的点与数轴上表示的点重合，再将圆沿着数轴向右滚动，则数轴上表示的点与圆周上表示哪个数字的点重合？（       ） A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】 根据圆的周长为个单位长度，先求出此圆在数轴上向右滚动的距离，再除以，然后根据余数判断与圆周上哪个数字重合． 【解答】 解：， ， 所以数轴上表示的点与圆周上的数字重合， 故选：． 5.用同样大小的黑色棋子按如图所示的规律摆放，第个图形有颗棋子，第个图形有颗棋子，第个图形有颗棋子，第个图形有颗棋子……，以此类推，第（       ）个图形有颗棋子． A. B. C. D. 【答案】 A 【解析】 根据题目中的图形，可以写出前几个图形中棋子的个数，从而可以发现棋子个数的变化规律，进而求得第多少个图形中有 颗棋子． 【解答】 解：由图可得， 第个图形中有：颗棋子， 第个图形中有：颗棋子， 第个图形中有：颗棋子， 第个图形中有：棋子， … 则第个图形中有：颗棋子， 令 解得， 故选：． 6.程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》，在如图的运算程序中，若开始输入的值为，我们发现第一次输出的结果为，第二次输出的结果为，则第次输出的结果为（       ） A. B. C. D. 【答案】 B 【解析】 本题主要考查了数字类的规律探索，根据流程图分别计算出前六次的输出结果，进而总结规律求解即可． 【解答】 解：输入时，输出的结果为， 输入时，输出的结果为， 输入时，输出的结果为， 输入时，输出的结果为， 输入时，输出的结果为， 输入时，输出的结果为， ……， 由此可知，从第三次输入开始，每两次输出为一个循环，输出的结果依次为，， ， 第次输出的结果为， 故选：． 7.中国古代算筹计数法可追溯到公元前5世纪，算筹（小棍形状的记数工具）有纵式和横式两种摆法（如图）．计数方法是摆个位为纵，十位为横，百位为纵，千位为横这样纵横依次交替，零以空格表示，则“”所表示的数是（       ） A.402 B.411 C.398 D.389 【答案】 C 【解析】 本题考查算筹计数，掌握已知图示是解题关键．由对应已知图示，可直接得出答案. 【解答】 解：由已知得：所表示的数分别为3、9、8， 所以所表示的数为398， 故选：C. 8.将长方形区域分割成三角形的过程是：在长方形内取一定数量的点，连同长方形的4个顶点，逐步连接这些点，保证所有连线不再相交产生新的点，直到长方形内所有区域都变成三角形．如图，当长方形内有1个点时，可分得4个三角形；当长方形内有2个点时，可分得6个三角形，当长方形内有3个点时，可分得8个三角形（不计被分割的三角形），当长方形内有2026个点时，可分得三角形的个数为（       ） A.个 B.个 C.4054个 D.4052个 【答案】 C 【解析】 本题主要考查了图形类的规律探索,观察可知长方形内每增加一个点,那么分得的三角形数量增加2,据此规律求解即可. 【解答】 解：当长方形内有1个点时，可分得 个三角形； 当长方形内有2个点时，可分得 个三角形， 当长方形内有3个点时，可分得 个三角形， 1 以此类推, 可知当长方形内有 个点时, 可分得 个三角形, 当长方形内有2026个点时,可分得三角形的个数为 个, 故选：C. 9.如图，无人机编队的造型均是由若干个基本图形组成的有规律的图案，第个图案由个基本图形组成，第个图案由个基本图形组成，第个图案由个基本图形组成，第个图案由个基本图形组成…按照这一规律，第个图案中基本图形的个数是（       ） A. B. C. D. 【答案】 A 【解析】 观察图形中基本图形个数的变化，发现后一个图案比前一个图案多3个基本图形，从而归纳出第n个图案中基本图形个数的通项公式，代入n=8求解即可. 【解答】 解：由题意可知：第1个图案由2个基本图形组成，即； 第2个图案由5个基本图形组成，即； 第3个图案由8个基本图形组成，即； 第4个图案由11个基本图形组成，即； … 第n个图案中基本图形的个数为； 当n=8时，基本图形的个数为. 故选：A.  10.如图，已知的面积为1，分别倍长（延长一倍）边，，得到，再分别倍长边，，得到…按此规律，倍长次后得到的的面积为（        ） A. B. C. D. 【答案】 A 【解析】 利用等底同高的三角形面积相等的性质，找出每次倍长后三角形面积的递推规律，进而求出倍长2026次后三角形的面积. 【解答】 解：如图，连接 由题意可得， 同理可得， ，即倍长1次后，面积变为原来的7倍， 倍长2次后，面积变为原来的 倍， 倍长2026次后，面积变为原来的 倍. 故选：A.  二、填空题 11.观察下列一组数的规律： 则第2026个数为________ 【答案】 【解析】 考查了数字的变化类问题,解题的关键是仔细观察数据并认真找到规律,难度不大. 观察数列规律,分子与序号相同,分母比分子大1,符号由序号的奇偶性决定：序号为奇数时为正,偶数时为负. 【解答】 解：观察这组数发现：各个数的分子等于序号数,分母等于序号+1,奇数项是正数,偶数项是负数, 所以第 个数是 , 所以当 时， ， 故答案为：   12.学校“数学乐园”展厅的密码被设计成如图所示的数学问题．小明在参观时认真思索，输入密码后成功地连接到网络．他输入的密码a是___103272_____． 【答案】 103272 【解析】 本题考查了数字类规律探究，有理数的混合运算，根据前几个的规律可得密码为3个算式的结果组成，分别为上面一个数字和左下的数字的和，上面和右下的数字的乘积，上面的数字与右下的数字的和乘以左下的数字，即可求解. 【解答】 解： 故答案为：103272.  13.算筹是我国古代的记数工具之一，摆法有纵式和横式两种，如下表所示．古人用横式与纵式交替表示每个数位上的数，用空位来代替“0”，在个位数上划上斜线来表示负数，如“”表示．则“”所表示的数是___-6208_____． 【答案】 -6208 【解析】 本题主要考查了正负数的认识，根据摆法可知是个四位的负数，再根据每一个摆法得出答案即可. 【解答】 解：图中的摆法是个四位负数，千位数字是6，百位数字是2，十位数字是0，个位数是8，所表示的数是-6208. 故答案为：-6208. 14.如图，鸡蛋饼的表面可以看作是一个圆面，分割的每一刀都可以看作一条直线．切5刀最多可以将鸡蛋饼分成___16_____块． 【答案】 16 【解析】 根据所给图形，依次求出鸡蛋饼被分成的最多块数，即切n刀最多可将鸡蛋饼分成的块数为：，再结合n=5，代入计算，即可解决问题。 【解答】 解：由题知，切1刀可将鸡蛋饼分成的块数为：； 切2刀最多可将鸡蛋饼分成的块数为：； 切3刀最多可将鸡蛋饼分成的块数为：； ... 切n刀最多可将鸡蛋饼分成的块数为：； 当n=5时，（块）． 即切5刀最多可将鸡蛋饼分成的块数为16块。 15.如图，将棋盘上的棋子用折线隔开，第1层有1个棋子，第2层有3个棋子，第3层有5个棋子，……依此规律，则第____18____层有35个棋子． 【答案】 18 【解析】 本题考查数字规律探究，找到相邻两层的棋子数量变化规律是解题关键．通过观察可知每层棋子数的数列，进而得出每层棋子数的变化规律，当2n-1=35时，解方程即可求解． 【解答】 解：据图可知，第1层有1个棋子，第2层有3个棋子，第3层有5个棋子，…… 依此规律，第n层有(2n-1)个棋子， 当2n-1=35时，解得：n=18， 故答案为：18． 16.希望小组的同学在求式子的值（结果用和表示）时遇到了困难．经过合作探究他们想出了如图所示的图形来解释这个式子：设△ABC的面积为，取BC的中点，则有△ABD的面积为，再取AD的中点E，则有△ACE的面积为，再取CE的中点F，则有△DEF的面积为，……照此思路持续取下去．就可利用这个图形求得 的值＝________． 【答案】 【解析】 设，两边都乘以2得，然后两式相减即可． 【解答】 三、解答题  17.观察下列三行数： （1）请直接写出： ①每一行的第个数； ②第三行的第个数． （2）第一行连续三个数中最大数与最小数的差为，求这三个数中最大数与最小数的和； （3）用如图的“”形框圈起个数，从上到下分别记为，，，，求的值． 【答案】 ，， （表达式不唯一） 【解析】 （1）根据题目中的数据总结出其规律，即可求解； （2）设这连续的三个数从左到到右依次为，，，列出式子进行求解即可； （3）依据题中规律可知：，，，再代入原式计算即可． 【解答】 （1）解： ， 第个数为， 第一行第个数为； 第二行比第一行的数都多， 第二行第个数为； 第三行是第一行数的倍， 第三行第个数为； 第三行是第一行数的倍，第一行第个数为， 第三行第个数为：（表达式不唯一）； （2）依第一行数的规律可设这连续的三个数从左到到右依次为，，， 若，则最大与最小差为，即； 若，则最大与最小差为，即； 因为第一行中只有，没有， 所以这三个连续的数为，，， 所以最大与最小数的和为：； （3）依据题中规律可知：，，， ． 18.如图，将连续的奇数，，，，…按图中的方式排成一个数表，用一个十字框框住个数，这样框出的任意个数. （1）若十字框中的中间一个数为，其它四个数与的关系分别是：左边的一个为 ；右边的一个为________； 上边的一个为________；下边的一个为________. （2）计算十字框里的个数的和，它与是什么关系？ （3）移动十字框，可以框出另外的个数，如果中间一个为，则这个数的和为____85____； （4） 再次移动十字框，框出的个数的和可能为吗？若能，写出这个数中间的一个，若不能，简单说明理由 【答案】 ,, ， ， 所以十字框里的个数的和是的倍. 不能等于，理由如下： 设中间的数为，则这五个数字的和为， 当时，， ∵ 为偶数，而数表中的所有数为奇数， ∴ 不能等于． 【解析】 （1）由可找出、、、的值，将其相加即可得出结论； （2）根据图形即可得出、、、与之间的关系； （3）由（2）的结论，将、、、相加即可得出结论； （4）根据，代入求出的值，根据的奇偶性即可得出的值不能等于． 【解答】 （1）解：由题意得，若十字框中的中间一个数为，其它四个数与的关系分别是：左边的一个为 ；右边的一个为； 上边的一个为；下边的一个为. 故答案为：. （2）， ， 所以十字框里的个数的和是的倍. （3）由题意可得，任意十字框里的里的五个数字的和是中间数字的五倍； 所以若中间数字是，则五个数字的和是. 故答案为：. （4）不能等于，理由如下： 设中间的数为，则这五个数字的和为， 当时，， ∵ 为偶数，而数表中的所有数为奇数， ∴ 不能等于．  19.从开始，连续的偶数相加，它们的和的情况如下表： 加数的个数 连续偶数的和 （1）如果时，那么的值为 72 ； （2）根据表中的规律猜想：用的代数式表示的公式为： ； （3）由上题的规律计算的值. 【答案】 ； 【解析】 （1）根据表中的式子可得与之间的关系为：，再把代入计算即可； （2）根据（1）得出的规律可直接得出 （3）首先确定有几个加数，由上述可得规律：加数的个数为最后一个加数，然后根据（1）得出的规律先把 算出来，再减去，即可得出答案． 【解答】 （1）第一个加数的个数是时， 第二个加数的个数是时， 第三个加数的个数是时，．．. 则第个加数的个数是时， 如果时，那么 故答案为：； （2）根据（1）得出的规律可得： 故答案为： （3）根据题意可得： 共有个加数，共有个加数， ．   20.如图是一组有规律的图案，第1个图案中有4个基本图形，第2个图案中有7个基本图形，第3个图案中有10个基本图形，…… 观察图案，回答下列问题： （1）按这样的规律继续排列下去，第5个图案中有____16__个基本图形． （2）请你用含n的代数式表示第n个图案中的基本图形个数． （3）是否存在一个图案，使其中含有的基本图形的个数是2025？请说明理由． 【答案】 16 不存在, 理由见解析 【解析】 （1）根据前三个图形中基本图形的个数得出第 个图案中基本图形的个数, 然后把 代入求解即可; （2）利用 (1) 的结论直接求解即可; （3）假设存在, 设第 个图形含有的基本图形的个数是 2025 , 然后根据 (2) 中结论列方程求解即可. 【解答】 （1）解：观察图形,可知, 第1个图案由4个基本图形组成，即 第2个图案由7个基本图形组成，即 第3个图案由10个基本图形组成，即 ·· 第 个图案的基本图形的个数为: , 当 时，第5个图案中有 （个）基本图形， 故答案为：16； （2）解: 由 (1) 知: 第 个图案的基本图形的个数为: , 故答案为： （3）解：不存在，理由如下： 设第 个图案含有的基本图形的个数是2025,其中 为正整数, 根据题意，得 解得 又 为正整数, 不符合题意，舍去. 不存在. 21.如图是用大小相等的小五角星按一定规律拼成的一组图案，第个图案中有颗五角星，第个图案中有颗五角星，第个图案中有颗五角星，…，请根据你的观察完成下列问题． （1）根据上述规律，分别写出第个图案和第个图案中小五角星的颗数； （2）按如图所示的规律，直接写出第个图案中小五角星的颗数；（用含的代数式表示） （3）第个图案中有多少颗五角星？ 【答案】 第个图案颗；第个图案颗； 颗； 颗 【解析】 （1）观察图形，观察图形发现图形的规律，然后利用规律可找出第个图案和第个图案中小五角星的颗数； （2）根据各图形中五角星个数的变化，可找出第个图案中有颗五角星； （3）代入即可求出结论． 【解答】 （1）第个图案中有颗五角星， 第个图案中有颗五角星， 第个图案中有颗五角星， 则第个图案中小五角星的颗数 第个图案中小五角星的颗数 （2）（1）第个图案中有颗五角星， 第个图案中有颗五角星， 第个图案中有颗五角星， 则第个图案中小五角星的颗数 第个图案中小五角星的颗数 则第几个图案中有颗五角星． （3）当时， 第个图案中有颗五角星． 22.综合与实践【问题情境】 “一笔画图形”是指笔尖不离纸，且不走重复路线，能够一笔画出的图形．我们把画图时，笔尖的起点、终点以及所画出的线与线的交点叫做“一笔画图形”的“点”，把由“点”分成的每一条线叫做“边”，把“边”将平面分成的每一部分叫做“区域”．图①、②、③、④都是“一笔画图形”，图①的“点”是、，“边”是、、、，“区域”是I、II、III、IV． 【探索活动】 （1）完成下面表格； 序号 “点”数 “边”数 “区域”数 图① 2 4 4 图② 3 3 2 图③ 3 6 __5___ 图④ 1 __4___ 5 （2）写出、、之间的关系式； 【解决问题】 （3）图⑤是“一笔画图形”．已知该图形中有62个“区域”，除了“起点”连着3条边和“终点”连着5条边，其余每个“点”都连着4条“边”，求该图形有多少条“边”？ 【答案】 5，4； ； 该图形有120条“边” 【解析】 （1）观察图形，得出结论，填表即可； （2）观察上表格，即可得出结论； （3）设共有x个点，则由（2）得， ，由于起点连3条边，终点连5条边，其余每个“点”都连着4条“边”，则 ，继而建立方程求解. 【解答】 （1）完成表格如下： 序号 “点”数V “边”数E “区域”数F 图① 2 4 4 图② 3 3 2 图③ 3 6 5 图④ 1 4 5 故答案为：5，4； （2）由表格中数据可得，中间列数据等于两边列数据之和减去2， 、E、F之间的关系式为： （3）解：设共有 个点，则由（2）得， 起点连3条边，终点连5条边，其余每个“点”都连着4条“边” 解得： 该图形有120条“边”． 学科网（北京）股份有限公司 $