2.4 有理数的乘方（暑假预科讲义）-2026-2027学年北师大版数学七年级上册

暑季研思・七年级上册数学暑期培优专项讲义 2.4有理数的乘方 知识归纳与题型总结 考点01 有理数的乘方 1. 一般地，n个相同的乘数ɑ相乘，即，记作．求n个相同乘数的积的运算，叫作乘方，乘方的结果叫作幂． 2. 中，a叫作底数，n叫作指数，读作a的n次方（或a的n次幂）． 幂 底数 指数 3. 乘方运算的结果及符号的规律 考向01 有理数幂的概念理解 【例1】下面为小亮某次测试的答卷，每小题分，他的得分应是（   ） (1)的绝对值为3 (2)倒数等于本身的有理数只有1 (3)的底数是4 (4)的倒数是 (5)绝对值等于本身的有理数为非负有理数 A．分 B．分 C．分 D．分 考向02 有理数的乘方运算 【例2】下列各组数中，相等的一组是（　　） A．与 B．与 C．与 D．与 考向03 有理数乘方逆运算 【例3】若，，且，则等于（ ） A． B． C．1 D． 考向04 乘方运算的符号规律 【例4】计算的结果是（   ） A． B． C． D． 考向05 乘方的应用 【例5】一根长的木棍，第1次截取，接下来每次截取剩余部分的一半，第5次截取的长度是（　　） A． B． C． D． 【对点1】下列结论：①的底数是；②若有理数a，b互为相反数，那么；③绝对值等于本身的数是0；④倒数等于本身的数是1；⑤式子的最小值是6．其中正确的个数有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【对点2】若一个正整数，将其拆分为两半后，两数之和的平方恰好等于原数，则称这个数为雷劈数．如3025，拆分为两半30和25，而，，则称3025为雷劈数．下列哪个数是雷劈数（    ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 【对点3】若有理数，z满足，，，且，，则的值为（    ） A．或 B．或6 C．或0 D．4或 【对点4】观察下列算式：，，，，，，…通过观察，用你发现的规律写出的末位数字是（    ） A．2 B．6 C．4 D．8 【对点5】下列代数式的值，一定是正数的是（    ） A． B． C． D． 考点02 科学记数法 1.定义：把一个大于10的数表示成的形式（其中a大于或等于1且小于10，n是正整数），这种记数方法叫作科学记数法．对于小于10的数也可以类似表示．例如． 考向01 用科学记数法表示绝对值大于1的数 【例1】近期上映的《疯狂动物城》备受观众喜爱，截至年月日《疯狂动物城》票房突破亿，亿可用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 考向02 将用科学记数法表示的数变回原数 【例2】2026年省内乡村振兴项目投入资金约元，该科学记数法表示的数还原为原数是（     ） A．21500000 B．215000000 C．2150000 D．2150000000 【对点1】DeepSeek是一款先进的人工智能助手，可提供高效、精准的信息检索和智能对话服务，其活跃用户数在上线天后达到了万，将万用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【对点2】2026年河南文旅综合收入突破 元， 原数为（     ） A． B． C． D． 1、 选择题 1．下列说法：①相反数等于本身的数是0；②绝对值等于本身的是正数；③倒数等于本身的数是； ④平方等于本身的数是0和1；⑤平方为9的数是3；⑥有绝对值最小的有理数．正确的个数为（     ） A． B． C． D． 2．在下列各数中：，，，，，，0，其中是负数的有（   ）个． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 3．数的进制是一种计数方式．如十进制数用0至9这十个数字表示，满十进一，如；计算机中使用0和1这两个数字表示二进制数，满二进一，如二进制数1101可用式子转换为十进制数13．下列说法中：①二进制数1110可转化为十进制数14；②十进制数17可转化为二进制数10001；③古代用结绳计数，满七进一，则图1的七进制数转化为十进制数为111；④用黑白小正方形分别表示数码1和0，图2表示二进制数1010，则图3表示的二进制数转化为十进制数是7；正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．比较这组数，0，，，，大小正确的为（   ） A． B． C． D． 5．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 6．若，，且，则的值等于（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 7．已知x、y为有理数，如果规定一种新运算，则（    ） A． B．5 C．8 D．13 8．若，则（   ） A．4 B． C．2 D． 9．计算的结果是（    ）． A． B． C． D．4 10．对于一个正整数A，计算它各位数字的平方和，得到一个新数，再计算这个新数各位数字的平方和，不断重复同样的操作，如果在某一次计算之后得到1，就称最初的正整数A为“快乐数”、例如：7→49→97→130→10→1，所以7是“快乐数”．关于“快乐数”，有以下结论： ①2026是“快乐数”； ②将一个“快乐数”的各位数字任意重新排序，所得新数（最高位不是0）仍是“快乐数”； ③若一个正整数的各位数字的平方和是“快乐数”，则这个正整数也是“快乐数” 所有正确结论的序号是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 2、 填空题 11．2025年5月，基于“三进制”逻辑的芯片研制成功．与传统的“二进制”芯片相比，三进制逻辑芯片在特定的运算中具有更高的效率． 二进制数的组成数字为0，1．十进制数22化为二进制数：． 传统三进制数的组成数字为0，1，2．十进制数22化为三进制数：． 将二进制数化为三进制数为______________ 12．平方等于16的负数与立方等于的和是____________． 13．生活中常用的十进制是用这十个数字来表示数，满十进一，例：，．计算机中常用的十六进制是逢进的计数制，采用数字和字母共个计数符号，满十六进一，它与十进制对应的数如表： 十进制 0 1 2 … 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 … 十六进制 0 1 2 … 8 9 A B C D E F 10 11 … 将十六进制数转换为十进制数为____________，十六进制下_______________． 14．阅读材料完成问题：在中学生涯中，我们常常会遇到等比数列，即，，等，每两个数之间都是2倍数关系，若要求和时，我们可以假设这个求和的结果为： 我们将每一项都乘以2，就可以得到，我们将两个数相减就可以得到．现在有一点M从坐标原点开始运动，第一次向右2个单位，第二次向左4个单位，第三次向右8个单位，第四次向左16个单位，如此循环往复，第n次它距离原点______． 15．_______． 3、 计算题 16．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6) 17．在数轴上表示下列各数，再用“”连接起来． ，，，． 18．请完成以下数学活动： 活动目标 认识进位制，理解不同进位制的数之间的转换 材料1 进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统．约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制，也就是说“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几． 十进制数，记作1024； 八进制数，记作； 五进制数，记作； 二进制数，记作； 十六进制数，记作． （十六进制数使用0—9和A—F来表示，其中10，11，12，13，14，15这五个数分别用字母A，B，C，D，E，F表示）． n（，且n为整数）进制数转化成与其相等的十进制数，只需要将n进制数的每个数字，依次乘n的相应次幂相加，就可得到与它相等的十进制数．如：八进制数转十进制数为：． 材料2 十进制整数转化为二进制整数通常采用除二取余法，即用2连续除十进制数，直到商为0，逆序排列余数即可得到二进制数，简称除二取余法．同样的，十进制数转化为八进制数可用除八取余法．例如： 解决问题 任务1： (1)将下列进制数转化为十进制数： ①______；②______； (2)现有三进制数，二进制数，试比较a，b的大小． 任务2： (3)十进制数21转化为二进制数得． (4)如何将一个二进制数转化为十六进制数呢？小勤提出一种想法： 第一步：先将二进制数转为十进制数； 第二步：再将所得的十进制数转化为十六进制数． 根据小勤的思路可以得出：． 19．【资料阅读】史料：如图1，是我国南宋数学家杨辉1261年所著《详解九章算法》一书中出现的，称为“杨辉三角”据资料记载，此图是杨辉取自贾宪所著《释锁算书》，故也称“贾宪三角”，欧洲人帕斯卡在1654年也有类似的发现，称为“帕斯卡三角形”，比杨辉迟393年，比贾宪迟600年，杨辉三角是一种离散型数与形的结合，把组合数内在的一些规律直观地从图形中体现了出来，是中国古代数学的杰出研究成果之一． 规定：若，则． (1)【问题探究】将“杨辉三角”简化为图2，按照规律： ①第8行添加的数分别为_____；（相邻两数之间要用“，”分隔开） ②第100行的数之和用幂可以表示为_____． (2)如图3，分别画出7条斜线，并计算出了每条斜线经过的数之和．若继续画出第10条斜线，该直线经过的数之和为_____． (3)【拓展延伸】结合“问题探究”中问题（2）揭示的规律，作如下正方形（数字即为正方形的边长）： 利用上面的正方形按一定规律建构如下长方形，并依次记为长方形①，长方形②，长方形③，长方形④． 按照这样的规律继续建构长方形，则长方形⑪的周长为______． 20．十七世纪至十八世纪的德国数学家莱布尼兹是世界上第一个提出二进制记数法的人，用二进制记数只需数字0和1，对于整数可理解为逢二进一．若正整数，其中，或1（），则可用二进制表示为，即，记．例如：，则，． (1)用二进制表示整数11； (2)求的值； (3)判断与的值是否相等，并说明理由． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $暑季研思・七年级上册数学暑期培优专项讲义 2.4有理数的乘方 知识归纳与题型总结 考点01 有理数的乘方 1. 一般地，n个相同的乘数ɑ相乘，即，记作．求n个相同乘数的积的运算，叫作乘方，乘方的结果叫作幂． 2. 中，a叫作底数，n叫作指数，读作a的n次方（或a的n次幂）． 幂 底数 指数 3. 乘方运算的结果及符号的规律 考向01 有理数幂的概念理解 【例1】下面为小亮某次测试的答卷，每小题分，他的得分应是（   ） (1)的绝对值为3 (2)倒数等于本身的有理数只有1 (3)的底数是4 (4)的倒数是 (5)绝对值等于本身的有理数为非负有理数 A．分 B．分 C．分 D．分 【答案】B 【分析】本题考查绝对值的概念、倒数的定义、有理数幂的概念理解等知识，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 根据绝对值的概念、倒数的定义、有理数幂的概念理解等知识，需逐项判断正误，统计正确小题数后计算得分． 【详解】解：∵=3，故(1)正确； 倒数等于本身的有理数有1和，故“只有1”错误，故(2)错误； 表示的相反数，底数为4，故(3)正确； ，故的倒数是倒数为，故(4)正确； 绝对值等于本身的数是非负数，故绝对值等于本身的有理数为非负有理数正确，故(5)正确； ∴正确小题为(1)､(3)､(4)､(5)，共4个； ∵每小题分， ∴得分分． 故选：B． 考向02 有理数的乘方运算 【例2】下列各组数中，相等的一组是（　　） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】B 【分析】分别根据相反数、绝对值、有理数乘方计算每个选项中两个数的值，再比较是否相等即可解答． 【详解】解：A． ，，，即选项A不符合题意； B．，，，即选项B符合题意； C．，，，即选项C不符合题意； D．，，，即选项D不符合题意． 考向03 有理数乘方逆运算 【例3】若，，且，则等于（ ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【分析】本题考查了绝对值、有理数的乘方、求代数式的值，掌握相关知识点是解题的关键． 先根据绝对值和有理数乘方的逆运算求出a和b的可能值，再分4种情况讨论，结合找出符合题意的情况，从而计算的值即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ①当，时，，符合题意，此时； ②当，时，，不符合题意，舍去； ③当，时，，不符合题意，舍去； ④当，时，，符合题意，此时； ∴综上所述，． 故选：B． 考向04 乘方运算的符号规律 【例4】计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查同底数幂的乘法法则与积的乘方逆运算，将高次幂拆分为同指数幂，进行凑整计算是解题关键． 先把拆成，再把和合并为，最后算出结果． 【详解】解：原式 ， ． 故选：． 考向05 乘方的应用 【例5】一根长的木棍，第1次截取，接下来每次截取剩余部分的一半，第5次截取的长度是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了乘方的应用，需先依次计算前几次的截取长度，总结出第n次截取长度的规律，再代入求解，即可作答． 【详解】解：∵木棍原长，第1次截取后，剩余长度为， 第2次截取剩余部分的一半，截取长度为. 第3次截取剩余部分的一半，截取长度为. 以此类推，第n次截取的长度为. 当时，第5次截取的长度为， 故选：D． 【对点1】下列结论：①的底数是；②若有理数a，b互为相反数，那么；③绝对值等于本身的数是0；④倒数等于本身的数是1；⑤式子的最小值是6．其中正确的个数有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】此题考查的是有理数的相关定义和性质，掌握幂的底数的定义、相反数的性质、绝对值的性质、倒数的性质和绝对值的非负性是解决此题的关键． 根据幂的底数的定义、相反数的性质、绝对值的性质、倒数的性质和绝对值的非负性逐一判断即可． 【详解】解：的底数是，故①正确； 若有理数，互为相反数，那么，故②正确； 绝对值等于本身的数是非负数，故③错误； 倒数等于本身的数是或，故④错误； ∵ ∴ ∴式子的最小值是，故⑤正确． 共有3个正确， 故选B． 【对点2】若一个正整数，将其拆分为两半后，两数之和的平方恰好等于原数，则称这个数为雷劈数．如3025，拆分为两半30和25，而，，则称3025为雷劈数．下列哪个数是雷劈数（    ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的乘方，正确理解雷劈数的定义是解题关键．根据雷劈数的定义，将四位数拆分为前两位与后两位，计算两数之和的平方，判断是否等于原数，由此即可得． 【详解】解：A、2023拆分为20和23，，，则此项不是雷劈数； B、2024拆分为20和24，，，则此项不是雷劈数； C、2025拆分为20和25，，，则此项是雷劈数； D、2026拆分为20和26，，，则此项不是雷劈数； 故选：C． 【对点3】若有理数，z满足，，，且，，则的值为（    ） A．或 B．或6 C．或0 D．4或 【答案】A 【分析】本题考查了代数式求值，有理数的乘方逆运算，化简绝对值等知识点，解题的关键是正确求出的值． 根据条件、、以及绝对值方程的性质，确定 、、 的可能取值，再代入表达式计算． 【详解】解：∵， ∴或， ∵ ， ∴ 或， ∵ ， ∴或， ∵ ， ∴ ， 当 时，，成立； 当 时，，不成立； 当 时，，成立； 当 时，，不成立， ∴ 可能情况：或， ∵ ， ∴ ，即， 又∵， ∴ ， - 当 时，； - 当 时，， ∴ 的值为或， 故选A． 【对点4】观察下列算式：，，，，，，…通过观察，用你发现的规律写出的末位数字是（    ） A．2 B．6 C．4 D．8 【答案】C 【分析】本题考查了乘方运算中末位数字的周期性规律，解题的关键是找出末位数字的循环周期，再通过指数除以周期求余数确定结果． 观察已知算式的末位数字，发现其以2、4、8、6为一个循环周期；用指数2026除以周期4，根据余数判断对应的末位数字． 【详解】解：观察算式可得，的末位数字依次为2、4、8、6，以4为循环周期；，余数为2； 余数为2对应循环周期中的第2个数字4，即的末位数字是4； 故选：C． 【对点5】下列代数式的值，一定是正数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查有理数与0的大小关系，绝对值，立方和平方，判断不同的数与0之间的大小关系是解题的关键． 通过分析每个选项在实数a下的取值情况，判断其是否恒为正数（大于零）即可判断合适的选项． 【详解】解：对于A：当时，，∴不总是正数，∴不符合题意； 对于B：当时，，∴不总是正数，∴不符合题意； 对于C：当时，，∴不总是正数，∴不符合题意； 对于D：∵，∴，∴总是正数，∴符合题意； 故选：D． 考点02 科学记数法 1.定义：把一个大于10的数表示成的形式（其中a大于或等于1且小于10，n是正整数），这种记数方法叫作科学记数法．对于小于10的数也可以类似表示．例如． 考向01 用科学记数法表示绝对值大于1的数 【例1】近期上映的《疯狂动物城》备受观众喜爱，截至年月日《疯狂动物城》票房突破亿，亿可用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】科学记数法的表示形式为，其中，为整数，只需先将亿化为普通整数，再按规则改写即可得到结果． 【详解】解：∵亿， ∴将其改写为符合要求的科学记数法，可得． 考向02 将用科学记数法表示的数变回原数 【例2】2026年省内乡村振兴项目投入资金约元，该科学记数法表示的数还原为原数是（     ） A．21500000 B．215000000 C．2150000 D．2150000000 【答案】B 【分析】本题考查科学记数法还原原数，根据科学记数法的定义，对于（，为正整数），还原时只需将的小数点向右移动位即可得到原数。 【详解】解：∵题目中给出的科学记数法为，其中， ∴将的小数点向右移动位，得到原数为． 【对点1】DeepSeek是一款先进的人工智能助手，可提供高效、精准的信息检索和智能对话服务，其活跃用户数在上线天后达到了万，将万用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查科学记数法表示较大的数，科学记数法的一般形式为，其中要求，为正整数，进行解答，即可． 【详解】解：万． 【对点2】2026年河南文旅综合收入突破 元， 原数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查科学记数法还原为原数，根据科学记数法定义，将还原时，只需把的小数点向右移动位即可得到原数． 【详解】中， 将的小数点向右移动位，得到原数为，故选B． 1、 选择题 1．下列说法：①相反数等于本身的数是0；②绝对值等于本身的是正数；③倒数等于本身的数是； ④平方等于本身的数是0和1；⑤平方为9的数是3；⑥有绝对值最小的有理数．正确的个数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据相反数、绝对值、倒数、有理数乘方的定义逐一判断每个说法，统计正确个数即可得到结果. 【详解】解：①∵只有的相反数等于本身，∴①正确； ②∵绝对值等于本身的数是正数和，不只是正数，∴②错误； ③∵倒数等于本身的数是和即，∴③正确； ④∵，，其余数的平方都不等于本身，∴平方等于本身的数是和，④正确； ⑤∵，，∴平方为的数是，不只是，∴⑤错误； ⑥∵绝对值最小的有理数是，存在绝对值最小的有理数，∴⑥正确； 综上，正确的说法共个. 2．在下列各数中：，，，，，，0，其中是负数的有（   ）个． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】先对各数进行化简，再根据负数的定义统计负数的个数即可． 【详解】解：依次判断各数： ∵ ，是负数， ，是正数， ，是负数， ，是负数， ，是负数， ，是正数， 既不是正数也不是负数， ∴负数共有个． 3．数的进制是一种计数方式．如十进制数用0至9这十个数字表示，满十进一，如；计算机中使用0和1这两个数字表示二进制数，满二进一，如二进制数1101可用式子转换为十进制数13．下列说法中：①二进制数1110可转化为十进制数14；②十进制数17可转化为二进制数10001；③古代用结绳计数，满七进一，则图1的七进制数转化为十进制数为111；④用黑白小正方形分别表示数码1和0，图2表示二进制数1010，则图3表示的二进制数转化为十进制数是7；正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据题意列式计算后逐项判断即可． 【详解】解：①，那么二进制数1110可转化为十进制数14，则①正确； ②，那么十进制数17可转化为二进制数10001，则②正确； ③，那么图1的七进制数转化为十进制数为111，则③正确； ④用黑白小正方形分别表示数码1和0，图2表示二进制数1010，图3表示二进制数110， ，那么图3表示的二进制数转化为十进制数是6，则④不正确． 综上所述，正确的有3个． 4．比较这组数，0，，，，大小正确的为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题先化简每个给出的数，再将化简后的数按从大到小排序，即可得到正确选项． 【详解】解：，，，， 将所有数从大到小排序得：， 即． 故选：B． 5．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据有理数减法法则、乘方法则、绝对值的性质计算即可． 【详解】解：A、，故原计算错误； B、，故原计算错误； C、，故原计算错误； D、，故原计算正确． 6．若，，且，则的值等于（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】B 【分析】先根据平方根和绝对值的性质，得到和的所有可能取值，再结合确定和异号，分情况计算的值即可． 【详解】解：∵，∴或， ∵，∴或， 又∵， ∴与异号， 分两种情况计算： ①当时，， ∴； ②当时，， ∴； ∴的值为或． 7．已知x、y为有理数，如果规定一种新运算，则（    ） A． B．5 C．8 D．13 【答案】D 【分析】本题考查新定义运算，按照有理数混合运算顺序，先计算括号内的新运算，再计算括号外的，根据给定的运算法则逐步计算即可． 【详解】解：． 8．若，则（   ） A．4 B． C．2 D． 【答案】A 【详解】解：∵任意有理数的平方和绝对值都是非负数，且 ∴， 解得， 将，代入，得． 9．计算的结果是（    ）． A． B． C． D．4 【答案】A 【分析】本题考查有理数乘方的意义，通过拆分指数将原式转化为可利用乘方意义进行计算的形式，进而简便计算． 【详解】解：∵， ∴原式 ， 故选：A． 10．对于一个正整数A，计算它各位数字的平方和，得到一个新数，再计算这个新数各位数字的平方和，不断重复同样的操作，如果在某一次计算之后得到1，就称最初的正整数A为“快乐数”、例如：7→49→97→130→10→1，所以7是“快乐数”．关于“快乐数”，有以下结论： ①2026是“快乐数”； ②将一个“快乐数”的各位数字任意重新排序，所得新数（最高位不是0）仍是“快乐数”； ③若一个正整数的各位数字的平方和是“快乐数”，则这个正整数也是“快乐数” 所有正确结论的序号是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】D 【分析】本题考查有理数的乘方运算以及新定义，能够读懂定义是解题关键；根据“快乐数”的定义逐一对每个选项进行判断即可． 【详解】解：①∵，， ，，， ∴2026是“快乐数”，故①正确； ②设A是“快乐数”，B是A的数字重排序（最高位非0）， ∴中各个位数的平方和与中各个位数的平方和相等， ∴对于一个正整数，计算它各位数字的平方和，得到一个新数，再计算这个新数各位数字的平方和，不断重复同样的操作时，对和进行计算，得到的第一个新数相同，故后面所有重复操作得到结果都一样， 若A是“快乐数”，则重复操作最后计算结果为1，同理重复操作最后计算结果也为1， ∴也是“快乐数”，故②正确； ③设正整数为，各位数字的平方和为， 对于一个正整数，计算它各位数字的平方和，得到一个新数，再计算这个新数各位数字的平方和，不断重复同样的操作， ∴相当于是正整数在判断是否为“快乐数”的第一步，若为“快乐数”，则还原可得到也为“快乐数”． ∴①②③正确． 故选：D． 2、 填空题 11．2025年5月，基于“三进制”逻辑的芯片研制成功．与传统的“二进制”芯片相比，三进制逻辑芯片在特定的运算中具有更高的效率． 二进制数的组成数字为0，1．十进制数22化为二进制数：． 传统三进制数的组成数字为0，1，2．十进制数22化为三进制数：． 将二进制数化为三进制数为______________ 【答案】 【分析】根据有理数的乘方解题即可． 【详解】解：化为十进制数：， 化为三进制数：． 12．平方等于16的负数与立方等于的和是____________． 【答案】/ 【分析】根据有理数乘方的定义，先求出符合条件的两个数，再根据有理数加法法则计算两个数的和即可． 【详解】解： ，题目要求平方等16的负数， 符合条件的数是 ， ， 立方等于的数是， ∴平方等于16的负数与立方等于的和是： ． 13．生活中常用的十进制是用这十个数字来表示数，满十进一，例：，．计算机中常用的十六进制是逢进的计数制，采用数字和字母共个计数符号，满十六进一，它与十进制对应的数如表： 十进制 0 1 2 … 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 … 十六进制 0 1 2 … 8 9 A B C D E F 10 11 … 将十六进制数转换为十进制数为____________，十六进制下_______________． 【答案】 【分析】根据题目给出的十六进制与十进制的对应规则，第一空直接按规则将十六进制转换为十进制计算即可，第二空先求出乘积对应的十进制结果，再将十进制结果转换为十六进制即可． 【详解】解：由表格可知，十六进制的对应十进制的， 根据转换规则得； 由表格可知，十六进制的对应十进制，对应十进制， 先计算十进制下的乘积得， 将十进制转换为十六进制得， 由表格可知，十进制对应十六进制的，因此结果为． 14．阅读材料完成问题：在中学生涯中，我们常常会遇到等比数列，即，，等，每两个数之间都是2倍数关系，若要求和时，我们可以假设这个求和的结果为： 我们将每一项都乘以2，就可以得到，我们将两个数相减就可以得到．现在有一点M从坐标原点开始运动，第一次向右2个单位，第二次向左4个单位，第三次向右8个单位，第四次向左16个单位，如此循环往复，第n次它距离原点______． 【答案】 个单位 【分析】先根据运动方向表示出点第次运动后的位置表达式，再利用题干给出的错位相减法求和，最后取绝对值得到点到原点的距离. 【详解】解：规定向右运动为正方向，向左运动为负方向，则第次运动后点的位置坐标为： 将①两边同时乘以得： ①+②得：，整理得：， ∵点到原点的距离为位置坐标的绝对值， 故第n次它距离原点. 15．_______． 【答案】/ 【分析】本题考查了幂的运算，解题的关键是利用积的乘方公式进行简便运算．先将转化为，再写成以为底的幂，最后利用幂的运算性质化简． 【详解】解： ． 3、 计算题 16．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6) 【答案】（1）；（2）；（3）； （4）0.001；（5）；（6）1 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：； （5）解：； （6）解：. 17．在数轴上表示下列各数，再用“”连接起来． ，，，． 【答案】， 【详解】解：，，． 图见答案，用“”连接见答案． 18．请完成以下数学活动： 活动目标 认识进位制，理解不同进位制的数之间的转换 材料1 进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统．约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制，也就是说“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几． 十进制数，记作1024； 八进制数，记作； 五进制数，记作； 二进制数，记作； 十六进制数，记作． （十六进制数使用0—9和A—F来表示，其中10，11，12，13，14，15这五个数分别用字母A，B，C，D，E，F表示）． n（，且n为整数）进制数转化成与其相等的十进制数，只需要将n进制数的每个数字，依次乘n的相应次幂相加，就可得到与它相等的十进制数．如：八进制数转十进制数为：． 材料2 十进制整数转化为二进制整数通常采用除二取余法，即用2连续除十进制数，直到商为0，逆序排列余数即可得到二进制数，简称除二取余法．同样的，十进制数转化为八进制数可用除八取余法．例如： 解决问题 任务1： (1)将下列进制数转化为十进制数： ①______；②______； (2)现有三进制数，二进制数，试比较a，b的大小． 任务2： (3)十进制数21转化为二进制数得． (4)如何将一个二进制数转化为十六进制数呢？小勤提出一种想法： 第一步：先将二进制数转为十进制数； 第二步：再将所得的十进制数转化为十六进制数． 根据小勤的思路可以得出：． 【答案】(1)①13 ，②435 (2) (3)10101 (4)2D 【分析】（1）根据进制数的位值表示法，将每一位数字乘以对应基数的幂次后求和，即可转化为十进制． （2）分别将三进制数和二进制数转化为十进制数，再比较大小． （3） 采用“除二余法”将十进制数反复除以，记录余数，倒序排列即为二进制结果． (4) 先将二进制数按位值展开转化为十进制数，再用“除十六取余法”将十进制数转化为十六进制数． 【详解】（1）解：① ． ② ． （2）解：， ， ， ． （3）解：用除取余法， ， ， ， ， ， 将余数从下往上倒序排列，得． （4）解：第一步，将二进制数转化为十进制数： ． 第二步，用除16取余法将45转化为十六进制数： ， ， 将余数从下往上倒序排列，得， ． 19．【资料阅读】史料：如图1，是我国南宋数学家杨辉1261年所著《详解九章算法》一书中出现的，称为“杨辉三角”据资料记载，此图是杨辉取自贾宪所著《释锁算书》，故也称“贾宪三角”，欧洲人帕斯卡在1654年也有类似的发现，称为“帕斯卡三角形”，比杨辉迟393年，比贾宪迟600年，杨辉三角是一种离散型数与形的结合，把组合数内在的一些规律直观地从图形中体现了出来，是中国古代数学的杰出研究成果之一． 规定：若，则． (1)【问题探究】将“杨辉三角”简化为图2，按照规律： ①第8行添加的数分别为_____；（相邻两数之间要用“，”分隔开） ②第100行的数之和用幂可以表示为_____． (2)如图3，分别画出7条斜线，并计算出了每条斜线经过的数之和．若继续画出第10条斜线，该直线经过的数之和为_____． (3)【拓展延伸】结合“问题探究”中问题（2）揭示的规律，作如下正方形（数字即为正方形的边长）： 利用上面的正方形按一定规律建构如下长方形，并依次记为长方形①，长方形②，长方形③，长方形④． 按照这样的规律继续建构长方形，则长方形⑪的周长为______． 【答案】(1)①1，8，28，56，70，56，28，8，1；② (2)55 (3)754 【分析】（1）①观察杨辉三角可发现下一行数字为上一行对应空格两边数字之和，即可求得答案； ②分别求出每一行的数字之和，并找出规律即可； （2）找出每条斜线经过的数之和的规律，即可得到答案； （3）找出后一个长方形的长与宽之和是前两个长方形的数据之和这一规律，即可得到答案． 【详解】（1）解：①观察杨辉三角可发现下一行数字为上一行对应空格两边数字之和， 所以第8行添加的数分别为1，8，28，56，70，56，28，8，1； ②观察发现 第0行的和为， 第1行的和为， 第2行的和为， 第3行的和为， 第4行的和为， 故可得第100行的数之和为； （2）解：观察可知，第1条斜线经过的数之和为1， 第2条斜线经过的数之和为1， 第3条斜线经过的数之和为， 第4条斜线经过的数之和为， 第5条斜线经过的数之和为， 第6条斜线经过的数之和为， 第7条斜线经过的数之和为， 发现从第3条开始，每条斜线经过的数之和都为前两条斜线的数据之和， 所以第8条斜线经过的数之和为， 第9条斜线经过的数之和为， 故第10条斜线经过的数之和为； （3）解：观察：长方形①的长与宽的和为， 长方形②的长与宽的和为， 长方形③的长与宽的和为， 长方形④的长与宽的和为， 发现后一个长方形的长与宽之和是前两个长方形的数据之和， 所以长方形⑤的长与宽的和为， 长方形⑥的长与宽的和为， 长方形⑦的长与宽的和为， 长方形⑧的长与宽的和为， 长方形⑨的长与宽的和为， 长方形⑩的长与宽的和为， 长方形⑪的长与宽的和为， 故长方形⑪的周长为． 20．十七世纪至十八世纪的德国数学家莱布尼兹是世界上第一个提出二进制记数法的人，用二进制记数只需数字0和1，对于整数可理解为逢二进一．若正整数，其中，或1（），则可用二进制表示为，即，记．例如：，则，． (1)用二进制表示整数11； (2)求的值； (3)判断与的值是否相等，并说明理由． 【答案】(1) (2)10 (3)相等． 理由：令， 则 由， 得 ， 由， 得 所以． 【分析】（1）根据题意将整数用二进制表示出来即可； （2）根据题意得出，然后再由求解即可； （3）令，得出，确定，同理化简，即可判断． 【详解】（1）解：由得 （2）， ∴； （3）略 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $