2026-2027学年新高一上学期必修一2.3二次函数与一元二次方程、不等式 讲义

2.3二次函数与一元二次方程、不等式 姓名：___________班级：___________ 思维导图 知识清单 一、一元二次不等式 1．三个“二次”之间的关系 判别式 的图象 一元二次方程的根 有两相异实根 有两相等实根 没有实数根 一元二次不等式 的解集 解集为 一元二次不等式的解集 2．不等式恒成立问题 （1）恒成立的充要条件是：或 （2）恒成立的充要条件是：或 二、分式不等式 （1）；（2） （3）左移，通分变成（1）；（4）左移，通分变成（2） 三、绝对值不等式 1．绝对值不等式的概念 一般地，含有绝对值的不等式称为绝对值不等式． 2．和型不等式的解法 （1）； （2）. 3．和型不等式的解法 ①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想； ②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；解含有两个绝对值形如的不等式，常用零点讨论法和数形结合法.注意小分类求交大综合求并. 四、高次不等式 1．高次不等式的概念 不等式最高次项的次数高于2，这样的不等式称为高次不等式. 2． 的步骤： ①将最高次项系数化为正数； ②将分解为若干个一次因式的积或二次不可分因式的积； ③将每一个一次因式的根标在数轴上，自上而下，从右向左依次通过每一点画曲线(注意重根情况，偶次方根穿而不过，奇次方根穿过)； ④观察曲线显现出的的值的符号变化规律，写出不等式的解集． 一、单选题 1．（26-27高一·全国·初升高衔接）不等式的解集为（ ） A． B．或 C． D．或 2．（25-26高一上·福建泉州·阶段检测）已知命题“，”是假命题，则实数的取值范围是（    ） A． B．或 C． D．或 3．（26-27高一·全国·初升高衔接）不等式的解集是（ ） A． B． C． D． 4．（2026高二下·浙江·学业考试）若不等式对一切实数都成立，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D．或 5．（26-27高一·全国·初升高衔接）不等式的解集是（ ） A． B． C． D． 6．（25-26高三·全国·一轮复习）为了给消费者带来放心的蔬菜，某地计划投入资金200万元，搭建甲、乙两个无公害蔬菜大棚，每个大棚至少要投入资金40万元，其中甲大棚种西红柿，乙大棚种黄瓜.根据以往的种菜经验，发现种西红柿的年收入P（单位：万元），种黄瓜的年收入Q（单位：万元）与各自的投入资金（单位：万元）满足，，设甲大棚的投入资金为x（单位：万元），两个大棚的总收入为（单位：万元），则的最大值为（　　） A．282 B．228 C．283 D．229 二、多选题 7．（26-27高一·全国·暑假作业）若集合中仅有两个不同元素，则实数的取值可以是（    ） A． B． C． D． 8．（2026·安徽合肥·模拟预测）已知不相等的实数，满足，则下面说法正确的是（   ） A．存在实数使得，是方程的两根 B．若，则的取值范围是 C．的取值范围是 D．的取值范围是 9．（2026·西藏林芝·二模）已知关于的不等式的解集为，则下列说法正确的是（     ） A． B． C．不等式的解集为 D．不等式的解集为 三、填空题 10．（26-27高一·全国·初升高衔接）设，是方程的两个根，则的值为______． 11．（25-26高三·全国·一轮复习）设命题实数满足：命题实数满足，其中.若是的必要不充分条件，求实数的取值范围__________. 12．（25-26高一下·江苏盐城·期末）甲、乙两人解关于的不等式，甲写错了，正确计算后得到的解为；乙写错了，正确计算后得到的解为．那么不等式的解为___________． 13．（2026高二下·贵州贵阳·竞赛）方程的所有实数根为__________. 四、解答题 14．（24-25高二下·江苏徐州·期末）设． (1)若不等式对恒成立，求实数的取值范围； (2)若，解关于的不等式． 15．（25-26高一下·山东潍坊·期中）设函数. (1)若，解关于x的不等式； (2)求不等式的解集 16．（2025高一上·安徽·竞赛）已知a为实数，函数． (1)若对任意，恒成立，求a的取值范围； (2)若对任意，总存在，使得成立，求a的取值范围． 17．（2025高一上·安徽·竞赛）某企业原有200名科技人员，年人均工资a万元（）．现加大对某芯片研发力度，该企业把原有200名科技人员调整成技术人员和研发人员，其中技术人员x名（且）．调整后，研发人员的年人均工资比调整前增加了，技术人员的年人均工资为万元. (1)若要使调整后研发人员的年总工资不低于调整前200名科技人员年总工资的1.5倍，求调整后的技术人员最少有多少人？ (2)为了激励研发人员的工作热情和保持技术人员的工作积极性，企业决定在工资方面要同时满足以下两个条件： ①研发人员的年总工资始终不低于技术人员的年总工资； ②技术人员的年人均工资始终不低于调整前200名科技人员的年人均工资． 请问是否存在这样的实数m？若存在，求出m的范围；若不存在，说明理由． 18．（25-26高一上·上海奉贤·期末）设全集为R，集合，集合． (1)求集合A； (2)若，求实数a的取值范围． 19．（25-26高二下·江苏常州·期中）设函数，关于的不等式（为常数）的解集为. (1)若，求实数的值； (2)当时， 恒成立，试求的取值范围. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.3二次函数与一元二次方程、不等式 姓名：___________班级：___________ 思维导图 知识清单 一、一元二次不等式 1．三个“二次”之间的关系 判别式 的图象 一元二次方程的根 有两相异实根 有两相等实根 没有实数根 一元二次不等式 的解集 解集为 一元二次不等式的解集 2．不等式恒成立问题 （1）恒成立的充要条件是：或 （2）恒成立的充要条件是：或 二、分式不等式 （1）；（2） （3）左移，通分变成（1）；（4）左移，通分变成（2） 三、绝对值不等式 1．绝对值不等式的概念 一般地，含有绝对值的不等式称为绝对值不等式． 2．和型不等式的解法 （1）； （2）. 3．和型不等式的解法 ①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想； ②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；解含有两个绝对值形如的不等式，常用零点讨论法和数形结合法.注意小分类求交大综合求并. 四、高次不等式 1．高次不等式的概念 不等式最高次项的次数高于2，这样的不等式称为高次不等式. 2．穿根引线法的步骤： ①将最高次项系数化为正数； ②将分解为若干个一次因式的积或二次不可分因式的积； ③将每一个一次因式的根标在数轴上，自上而下，从右向左依次通过每一点画曲线(注意重根情况，偶次方根穿而不过，奇次方根穿过)； ④观察曲线显现出的的值的符号变化规律，写出不等式的解集． 一、单选题 1．（26-27高一·全国·初升高衔接）不等式的解集为（ ） A． B．或 C． D．或 【答案】A 【知识点】解不含参数的一元二次不等式 【详解】由不等式，得， 解得，所以原不等式的解集为. 2．（25-26高一上·福建泉州·阶段检测）已知命题“，”是假命题，则实数的取值范围是（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】A 【知识点】一元二次不等式在实数集上恒成立问题、根据特称（存在性）命题的真假求参数 【分析】条件可转化为命题“，”是真命题，结合二次函数性质可得结论. 【详解】因为命题“，”是假命题， 所以命题“，”是真命题， 由题意可得，解得， 故实数的取值范围是. 3．（26-27高一·全国·初升高衔接）不等式的解集是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】解不含参数的一元二次不等式、分式不等式 【详解】方法一：由，得， 化简得，即， 等价于，解得. 所以原不等式的解集为. 方法二：由，得或， 化简得或（舍去），所以， 所以原不等式的解集为. 4．（2026高二下·浙江·学业考试）若不等式对一切实数都成立，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D．或 【答案】C 【知识点】一元二次不等式在实数集上恒成立问题 【分析】根据一元二次不等式恒成立问题，分，，三种情况讨论即可. 【详解】当时，显然有成立，符合题意； 当时，二次函数开口向上，故总存在，使得，故时不合题意； 当时，要使不等式对一切实数都成立，需使， 即，解得. 综上所述，实数的取值范围为. 5．（26-27高一·全国·初升高衔接）不等式的解集是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】解不含参数的一元二次不等式、分式不等式 【详解】不等式化为，即， 不等式两边同乘，得，等价于， 解得，所以原不等式的解集为. 6．（25-26高三·全国·一轮复习）为了给消费者带来放心的蔬菜，某地计划投入资金200万元，搭建甲、乙两个无公害蔬菜大棚，每个大棚至少要投入资金40万元，其中甲大棚种西红柿，乙大棚种黄瓜.根据以往的种菜经验，发现种西红柿的年收入P（单位：万元），种黄瓜的年收入Q（单位：万元）与各自的投入资金（单位：万元）满足，，设甲大棚的投入资金为x（单位：万元），两个大棚的总收入为（单位：万元），则的最大值为（　　） A．282 B．228 C．283 D．229 【答案】A 【知识点】利用二次函数模型解决实际问题 【分析】使用换元法将问题转化为一元二次函数的最值问题求解即可. 【详解】当甲大棚的投入资金为时，乙大棚的投入资金为， 所以， 由，可得，令，则， 得到， 因为，所以当， 即时，最大，最大值为282，故A正确. 二、多选题 7．（26-27高一·全国·暑假作业）若集合中仅有两个不同元素，则实数的取值可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【知识点】根据集合中元素的个数求参数、解含有参数的一元二次不等式 【详解】集合有两个不同元素，对应一元二次方程有两个不相等实数根， 即解得. ABD选项取值均满足不等式，C选项不满足. 8．（2026·安徽合肥·模拟预测）已知不相等的实数，满足，则下面说法正确的是（   ） A．存在实数使得，是方程的两根 B．若，则的取值范围是 C．的取值范围是 D．的取值范围是 【答案】ABD 【知识点】一元二次方程的解集及其根与系数的关系、条件等式求最值、基本不等式求和的最小值、利用不等式求值或取值范围 【分析】结合韦达定理、基本不等式、二次函数值域求解，先利用题干等式转化为韦达定理形式，再分别分析各选项. 【详解】选项A：若、是方程的两根， 由韦达定理得，，代入题干， 左边，右边，等式成立；又， 则，即或时存在这样的，A正确； 选项B：若，由基本不等式， 代入得，令， 则，解得即，当且仅当时等号成立， 但，故，即范围为，B正确； 选项C：令，则，则、是方程的两根， 判别式，解得或， 即的范围是，并非仅，C错误； 选项D：， 由：当时，，故； 当时，，故，综上范围为，D正确. 9．（2026·西藏林芝·二模）已知关于的不等式的解集为，则下列说法正确的是（     ） A． B． C．不等式的解集为 D．不等式的解集为 【答案】AD 【知识点】由一元二次不等式的解确定参数、解含有参数的一元二次不等式 【分析】由不等式的解集的特征判断A；利用解集可得、、间关系，即可判断B；利用、、间关系，计算即可判断C、D. 【详解】对于选项A：由关于的不等式的解集为，可得，故A正确； 对于选项B：由题意可得， 故，，则，故B错误； 对于选项C：，由，故，即， 所以不等式的解集为，故C错误； 对于选项D：， 由，则该不等式解集为，故D正确. 三、填空题 10．（26-27高一·全国·初升高衔接）设，是方程的两个根，则的值为______． 【答案】 【知识点】一元二次方程的解集及其根与系数的关系 【详解】，是方程的两个根， 由根与系数的关系得，， 代入得：． 11．（25-26高三·全国·一轮复习）设命题实数满足：命题实数满足，其中.若是的必要不充分条件，求实数的取值范围__________. 【答案】 【知识点】根据必要不充分条件求参数、解含有参数的一元二次不等式、分式不等式 【分析】先解不等式，分别得到；；根据是的必要不充分条件，得到是的充分不必要条件，得出是的真子集，列出不等式求解，得出的范围，即可求出结果． 【详解】对于：等价于，解得：， 对于：由，得：， 又，所以； 因为是的必要不充分条件，所以是的充分不必要条件， 所以是的真子集，则，解得． 12．（25-26高一下·江苏盐城·期末）甲、乙两人解关于的不等式，甲写错了，正确计算后得到的解为；乙写错了，正确计算后得到的解为．那么不等式的解为___________． 【答案】 【知识点】由一元二次不等式的解确定参数、分式不等式 【详解】甲写错了，但是正确的，由的解为，则1和2是方程的两个根，得； 乙写错了，但是正确的，由的解为，则和1是方程的两个根，得，即. 由，得，即，解得. 不等式的解为. 13．（2026高二下·贵州贵阳·竞赛）方程的所有实数根为__________. 【答案】0，1，2 【知识点】一元二次方程的解集及其根与系数的关系 【分析】令 ，把原方程转化为 ．再利用 在 上单调递增，证明任一实数根必须满足 ，最后解方程即可． 【详解】令 ，则. 所以原方程可化为. 又因为，所以 在 上单调递增． 任取原方程的一个实数根 ，则 ． 若 ，由 单调递增，得，与 矛盾． 若 ，由 单调递增，得，也与 矛盾． 所以 ． 于是，即. 所以. 解得 或 或 ． 四、解答题 14．（24-25高二下·江苏徐州·期末）设． (1)若不等式对恒成立，求实数的取值范围； (2)若，解关于的不等式． 【答案】(1) (2)时解集为；时解集为． 【知识点】解含有参数的一元二次不等式、一元二次不等式在实数集上恒成立问题 【分析】（1）二次函数恒大于等于0，需同时满足开口向上且判别式，注意排除的一次函数情况； （2）含参数的一元二次不等式，先因式分解，再根据参数的前提，比较两根大小分类讨论. 【详解】（1）当时不满足题意，     当时，需使， 解得．         （2）由题设，则， 因为，不等式可化为，     当，即时，解集为； 当，即时，解集为； 当，即时，解集为； 综上，时解集为；时解集为． 15．（25-26高一下·山东潍坊·期中）设函数. (1)若，解关于x的不等式； (2)求不等式的解集 【答案】(1) (2)当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为 【知识点】解不含参数的一元二次不等式、解含有参数的一元二次不等式 【分析】（1）把函数解析式代入不等式，原不等式转化为，由，得到不等式解集为； （2）分=0， 0，0，三种情况去讨论. 其中，对于0，再对2个根进行大小比较讨论. 【详解】（1）当时，函数化简为,代入不等式， 得，得，得原不等式转化为， 由分母不为0，得，所以得， 所以，所以， 得不等式解集为； （2）， 当=0，即时，，则的解集为， 当0，方程的两个根为 当0，即时，二次项系数，抛物线开口向上，且， 不等式的解集为. 当0，即， 当时，，不等式化为， 解集为， 当时，二次项系数，抛物线开口向下，且 不等式的解集为， 当时，二次项系数，抛物线开口向下，且 不等式的解集为， 综上所述，当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为 16．（2025高一上·安徽·竞赛）已知a为实数，函数． (1)若对任意，恒成立，求a的取值范围； (2)若对任意，总存在，使得成立，求a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】一元二次不等式在实数集上恒成立问题、一元二次不等式在某区间上的恒成立问题 【分析】（1）分和两种情况，再结合一元二次不等式的解法，即可求解； （2）根据一次函数和二次函数的性质，分别求出两个函数在区间上的最值，进而结合条件即可求出a的取值范围． 【详解】（1）当时，，成立， 当时，有，解得． 故a的取值范围为． （2）当时，不等式为，成立； 当时，函数的对称轴为， 当时，函数在上单调递增，在上单调递增， 由题有，解得，则； 当时，函数在上单调递减，在上单调递减， 由题有，解得，则， 综上所述，实数a的取值范围为． 17．（2025高一上·安徽·竞赛）某企业原有200名科技人员，年人均工资a万元（）．现加大对某芯片研发力度，该企业把原有200名科技人员调整成技术人员和研发人员，其中技术人员x名（且）．调整后，研发人员的年人均工资比调整前增加了，技术人员的年人均工资为万元. (1)若要使调整后研发人员的年总工资不低于调整前200名科技人员年总工资的1.5倍，求调整后的技术人员最少有多少人？ (2)为了激励研发人员的工作热情和保持技术人员的工作积极性，企业决定在工资方面要同时满足以下两个条件： ①研发人员的年总工资始终不低于技术人员的年总工资； ②技术人员的年人均工资始终不低于调整前200名科技人员的年人均工资． 请问是否存在这样的实数m？若存在，求出m的范围；若不存在，说明理由． 【答案】(1)50 (2)存在， 【知识点】一元二次不等式的实际应用、基本（均值）不等式的应用 【分析】（1）根据题意得到不等式，求出答案； （2）由两个条件得到不等式，结合基本不等式求出答案 【详解】（1）依题意可得调整后研发人员的年人均工资为万元， 则，（），化简得， 解得， 因为且，所以， 所以调整后的技术人员的人数最少为50人； （2）假设存在实数m，使得技术人员在已知范围内调整后，满足以上两个条件， 由条件①得，整理得； 因为， 当且仅当，即时等号成立，所以， 由条件②得，解得； 又因为，所以． 所以． 18．（25-26高一上·上海奉贤·期末）设全集为R，集合，集合． (1)求集合A； (2)若，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】根据集合的包含关系求参数、分式不等式 【分析】（1）根据分式不等式的解法，求得不等式的解集，即可求解； （2）由（1）知，分和，两种情况讨论，结合，列出关系式，即可求解. 【详解】（1）解：由不等式，可得，所以. （2）解：由（1）知：集合，且， 当时，不等式的解集为空集，满足，符合题意； 当时，不等式，可得，即， 因为，则满足，解得， 综上可得，实数满足，即实数的取值范围为. 19．（25-26高二下·江苏常州·期中）设函数，关于的不等式（为常数）的解集为. (1)若，求实数的值； (2)当时， 恒成立，试求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【知识点】由一元二次不等式的解确定参数、一元二次不等式在某区间上的恒成立问题 【分析】（1）将问题转化为的两根分别为，利用韦达定理即可； （2）利用韦达定理得出，，再结合一元二次函数的性质求参即可. 【详解】（1）时，的解集为， 则的两根分别为， 故，，得. （2）因为的两根分别为， 所以，，得，，则， 因为当时，恒成立， 所以对恒成立， 则且，得， 故的取值范围为. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $