周末作业3（2.1～2.2）2026-2027学年北师大版数学九年级上册

**基本信息** 聚焦一元二次方程核心内容，通过基础巩固（定义判断、解法）、能力提升（根的判别式应用）、创新应用（“邻根方程”“牵手方程”新定义）三级梯度设计，考查运算能力与推理意识，适配周测学情。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|定义、解法、根的判别式|基础题为主，如第1题定义判断，第4题判别式应用| |填空题|5/15|根的性质、新定义|结合几何（第14题等腰三角形周长），考查模型意识| |解答题|5/75|解方程、根与系数关系、新定义探究|综合性强，如第19题“邻根方程”结合最值，体现推理能力|

· 周末作业 3（2.1~2.2） · 2026-2027学年北师大版数学九年级上册 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．下列是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 2．关于x的一元二次方程的根为（    ） A．， B．， C．， D．， 3．若，是一元二次方程的两个实数根，则的值为（   ） A． B．0 C．1 D．2 4．关于x的一元二次方程x2－mx－1=0的根的情况是（） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 5．若是方程的一个根，则m的值为（   ） A． B． C．2 D．6 6．若是关于的一元二次方程的一个实数根，则代数式的值是（   ） A．2026 B．2027 C．2028 D．2029 7．根据下列表格的对应值：由此可判断方程必有一个根满足（    ） 1 1.1 1.2 1.3 1.4 0.84 2.29 3.76 A． B． C． D． 8．已知实数m，n满足，则的值为（     ） A．3 B．5 C．5或3 D．或5 9．如图，这是小卫同学解一元二次方程的过程，判断他在解答过程中出现错误的步骤是（    ） 小卫同学解答过程： 解：，             第一步 ，             第二步 ，             第三步 或，             第四步 解得或．             第五步 A．第一步 B．第二步 C．第三步 D．第四步 10．我们规定一种新运算“”，其意义为，若，则的值为（   ） A．， B．， C．， D．， 二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11．一元二次方程的实数根为________． 12．已知a是方程的解，则的值是__________． 13．根据下表： x … 4 5 6 13 5 … 5 确定方程的解的取值范围是 __________． 14．已知等腰的边是方程的根，则的周长为________． 15．定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根,我们就称这两个方程为“牵手方程”,例如方程和有且仅有一个相同的实数根,所以这两个方程为“牵手方程”．若方程和为“牵手方程”,则m的值为__________． 三、解答题（共5小题，满分75分） 16．用适当的方法解下列方程 (1)； (2)； (3)； (4)． 17．已知关于的一元二次方程． (1)若方程有一根为，求的值及另一根的值； (2)若方程有两个不等实根，求实数的取值范围； 18．已知关于的一元二次方程有两个相等的实根， (1)求的值． (2)求代数式的值． 19．如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如，一元二次方程的两个根是，，则方程是“邻根方程”． (1)通过计算，判断方程是否为“邻根方程”． (2)已知关于的方程是“邻根方程”，求的值． (3)若关于的方程是“邻根方程”，令，试求的最大值． 20．配方法是代数变形的重要手段，是研究相等关系和不等关系的常用方法，配方法不仅可以用来解一元二次方程，还可以用来求某些代数式的最值， 我们可以通过以下方法求代数式的最小值． 解：， 当时，有最小值． 请根据上述方法，解答下列问题： (1)若，则________；________． (2)求代数式的最值； 试卷第2页，共3页 试卷第3页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B C A D B B B C B 1．C 【分析】根据一元二次方程的定义进行判断即可． 【详解】解：A．是一元一次方程，故A不符合题意； B．是二元一次方程，故B不符合题意； C．是一元二次方程，故C符合题意； D．不是一元二次方程，故D不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的定义，解题的关键是熟练掌握一元二次定义，含有一个未知数，未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程． 2．B 【分析】本题考查了用因式分解法解一元二次方程，熟练掌握用因式分解法解一元二次方程是关键．通过提取公因式求解即可． 【详解】解：， ， 或， 即，． 故选：B． 3．C 【分析】先通过因式分解法求出一元二次方程的两个根，再计算两根之和即可得到答案． 【详解】解：， 或， 解得：， ． 4．A 【分析】本题以考查一元二次方程根的判别式知识点，解题的关键是通过计算判别式的值来判断根的情况． 根据一元二次方程根的判别式公式，确定方程中a，b，的值，代入公式计算，再根据与0的大小关系判断根的情况． 【详解】对于一元二次方程，其根的判别式， 在方程中，， 将a，b，的值代入判别式中，可得： 因为任何数的平方都大于等于0，即，所以，也就是． 当时，一元二次方程有两个不相等的实数根．所以方程有两个不相等的实数根， 故答案选：A． 5．D 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根的定义，熟练掌握方程的根能使方程左右两边相等是解题的关键．将方程的根代入方程，通过计算求出的值． 【详解】解：把代入方程，得， ， ， ， 故选：D． 6．B 【分析】根据题意是一元二次方程的一个实数根，可得，再将转化为，整体代入求值即可． 【详解】解： 是一元二次方程的一个实数根， ， 即原式． 7．B 【分析】此题考查一元二次方程的解的估算，通过观察表格中函数值的变化，当函数值由负变正时，方程在此区间内必有根，由此得到答案． 【详解】解：∵当时，；当时，， ∴方程必有一个根满足， 故选：B． 8．B 【分析】本题利用换元法将看作整体求解，再根据平方数的非负性舍去不符合题意的根即可得到结果． 【详解】设， ∵任意实数的平方是非负数，两个非负数相加仍是非负数， ∴， 原方程可化为， 因式分解得， 解得，， ∵， ∴舍去， 即． 9．C 【详解】解：正确步骤如下： ， ， ， 或， 解得或． ∴第三步的提取公因式出错． 10．B 【分析】根据新运算的定义将原式转化为一元二次方程，整理求解即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， 又∵， ∴， ， ， 解得：，． 11．， 【分析】本题主要考查了通过因式分解解一元二次方程，根据因式分解，利用零乘积性质求解一元二次方程的实数根． 【详解】方程 因式分解后，根据零乘积性质，得或， ∴， 故答案为：， 12．2005 【分析】先求出，再代入计算即可． 【详解】解：是方程的解， ， ， ． 13．或 【分析】观察已知表格，根据代数式的值的变化确定出方程解的范围即可． 【详解】解：由表格得：时，，时，； 时，，时，， 可得方程的解取值范围是或． 故答案为：或． 【点睛】此题考查了估算一元二次方程的近似解，弄清表格中的数据变化规律是解本题的关键． 14．12 【分析】先利用因式分解法求解一元二次方程得到方程的两根，再结合等腰三角形的性质与三角形三边关系，分情况计算周长，舍去不满足三边关系的结果即可． 【详解】解：， 因式分解得：， 解得：，， ① 当腰长为，底边长为时，，不满足三角形三边关系，此情况舍去； ② 当腰长为，底边长为时，满足三角形三边关系，周长为； 故的周长． 15．3或 【分析】先求出一元二次方程的解，，根据方程和为“牵手方程”,分情况求解即可． 【详解】解：， ， 解得：，， 当相同的根是时， 代入方程可得， 解得：； 此时方程为，可得：，，符合题意； 当相同的根是时， 代入方程得， 解得：， 此时方程为，可得：，，符合题意； ∴m的值是3或． 16．(1) (2) (3)或 (4)或 【分析】(1)利用直接开平方法计算即可． (2)利用配方法求解即可． (3)利用因式分解法法求解即可． (4)利用因式分解法法求解即可． 本题考查了直接开平方法，配方法，因式分解法求解方程的根，选择适当解方程的方法是解题的关键． 【详解】（1）， ∴， ∴， ∴． （2）∵， ∴, 解得． （3）∵， ∴或   解得或． （4）∵, ∴ 解得或． 17．(1)；方程另一个根为； (2)． 【分析】此题考查一元二次方程的解，根的判别式，解题关键在于利用判别式进行解答． （1）把已知的方程的根代入可求实数的值及另一个根； （2）根据根的判别式大于0，可求实数的取值范围． 【详解】（1）解：因为方程有一根为， 所以有， ， 因为， 又因为， 所以， 故方程另外一个根为； （2）解：因为方程有两个不等的实数根， 所以，即， 解得． 18．(1)或 (2) 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，分式的化简求值，根据方程有两个相等的实数根，得到是本题解题关键； （1）根据方程有两个相等的实数根，得到即可求出a的值； （2）根据分式的运算法则化简后，把a的值代入计算即可． 【详解】（1）解：∵方程两个相等的实根， ∴， ∴． （2） ， ∵当时，原式， 当时，原式． 综上可知，代数式的值为． 19．(1)是“邻根方程” (2)或 (3) 【分析】（1）先解一元二次方程得到两个根，结合“邻根方程”的定义进行判断； （2）先解一元二次方程得到两个根，根据定义列方程求解； （3）根据“邻根方程”定义得到两根差为，利用完全平方公式变形结合根的和与积推导得到与的关系，代入后配方求最大值. 【详解】（1）解方程， 因式分解得， 解得，， ，符合“邻根方程”的定义 ， 是“邻根方程”； （2）解方程， 因式分解得， 解得，， 方程是“邻根方程” ， ， 当时，得； 当时，得， 的值为或； （3）设方程的两根为，， 方程是“邻根方程” ， ，两边平方得，变形得， 由一元二次方程根与系数的关系得，， 代入得， 整理得， 代入， 得 ， ， 当时，取得最大值，最大值为． 20．(1)， (2)最小值为，无最大值； 【分析】本题主要考查了配方法的应用，非负数的性质—偶次方．熟练掌握配方法是关键． （1）依据题意，由配方即可得到本题答案； （2）依据题意，先提出，再配方即可求最值． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴，， 故答案为：2；1． （2）由题意得， ， ∵， ∴当时，有最小值，无最大值． 答案第6页，共10页 答案第5页，共10页 学科网（北京）股份有限公司 $