2.2一元二次方程解法（直接开方法+配方法+公式法+因式分解法）-2026-2027学年北师数学大版九年级上册

**基本信息** 聚焦一元二次方程四种解法，按直接开方法-配方法-公式法-因式分解法逻辑编排，题型覆盖基础应用与变式，强化运算能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |直接开方法|约2题|基础计算题|特殊形式方程的直接求解| |配方法|约6题|选择+解答|通过配方转化为完全平方式，体现转化思想| |公式法|约8题|选择+解答+推导|含a,b,c确定、判别式及求根公式推导，形成一般解法| |因式分解法|约8题（分3子模块）|提取公因式/公式/十字相乘的解答题|不同因式分解技巧在解方程中的应用|

(含解析)解一元二次方程（直接开方法+配方法+公式法+因式分解法）-北师大版九年级上册2026-2027学年-原卷 直接开方法 1.（直接开平方法）(1) （2） 2．解方程：(1)． （2） 3．(1)； 配方法 1．用配方法解方程时，配方后正确的是（     ） A． B． C． D． 2．用配方法解方程时，原方程应变形为（     ） A． B． C． D． 3.(1)． (2) 4.(1) (2) 5.(1) (2)． 6．(1)； (2 ) ； 公式法 1．用公式法解方程时，求根公式中的a，b，c的值分别是（    ） A．1，2，3 B．1，，3 C．1，2， D．0，， 2．用公式法解一元二次方程时，的值为（） A．8 B．12 C．16 D．24 3．用公式法解一元二次方程的根为，该方程为（   ） A． B． C． D． 4．已知． (1)直接写出方程根的判别式______． (2)直接写出方程的求根公式______． (3)写出求根公式的推导过程． 5．用公式法解一元二次方程：(1)． (2)． 6．使用“公式法”解一元二次方程 (1)； (2)； (3)． 7．用公式法解下列一元二次方程： (1)． (2)． (3) (4) 8．在学习一元二次方程的解法中我们发现，用配方法解一元二次方程，可以得到一元二次方程的求根公式． (1)一般地，对于一元二次方程，当时，它的求根公式是 ，我们也把用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法； (2)小明在用公式法解方程时出现了错误，解答过程如表：请问，小明的解答过程是从第 步开始出错的，其错误原因是 ． 解：∵（第一步） ∴（第二步） ∴（第三步） ∴（第四步） (3)请你用自己学过的方法写出此题正确的解答过程． 因式分解法 提取公因式 1．解一元二次方程：(1)； (2)． 2．解下列方程：(1)； (2)． 3．解方程：（1） （2） 平方差公式与完全平方公式 1．解下列方程(1) (2)． 2.(1)． (2)（因式分解法） 十字相乘法 1．解方程：(1)． (2)． 2．解方程：(1)； (2)． 3．解方程：(1)； (2)解方程：(1)； 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $(含解析)解一元二次方程（直接开方法+配方法+公式法+因式分解法）-北师大版九年级上册2026-2027学年-解析 直接开方法 1.(1) (2) 答案(1)，(2)，； 【分析】（1）方程变形后，利用平方根定义开方即可求出解； 【详解】（1）解：， 移项，得， 两边都除以3，得， 两边开平方，得， 移项，得， 解得：，； （2）解：开方得：， 解得：，； 【点睛】此题考查了解一元二次方程因式分解法，公式法与直接开平方法，熟练掌握各种解法是解本题的关键． 2．解方程：(1)． （2） 答案(1)，；（2） 【分析】此题考查了解一元二次方程，正确掌握一元二次方程的解法并根据每个方程的特点恰当选择解法是解题的关键． （1）移项后利用直接开平方法解方程； 【详解】（1）解： ∴，； （2）解： ， ∴． 3. ； 答案 【分析】根据直接开平方法解一元二次方程，即可求解； 【详解】解：， ∴， ∴， 解得：； 【点睛】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 配方法 1．用配方法解方程时，配方后正确的是（ B    ） A． B． C． D． 【分析】按照配方法的步骤，先移项，再在方程两边加上一次项系数一半的平方，将左边整理为完全平方式即可得到结果． 【详解】解：∵原方程为 移项得 方程两边同时加得： 整理得 因此配方后正确的是B． 2．用配方法解方程时，原方程应变形为（ C    ） A． B． C． D． 【分析】按照配方法的步骤，先移项，再在方程两边同时加上一次项系数一半的平方，将左边配成完全平方式即可得到结果． 【详解】解：∵， ∴， 等式两边同时加上一次项系数一半的平方，得， ∴． 3.(1)． (2) 答案（1），．(2)， 【分析】本题考查了解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 运用配方法解方程，先移项再配方，然后开方即可作答． 【详解】（1）解： ， ， ， ， ∴，． （2）解： 移项，得 配方，得，即 ∴ 解得，； 4.(1) (2) 答案(1)，(2)， 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 【详解】 （1）解：， 二次项系数化为1得：， 配方得：， 即， 开平方得：， 解得：，． （2）解：， 两边都除以2，得， 移项，得， 配方，得，即， 解得：， 即，； 5.(1) (2)． 答案(1)，；(2) 【详解】（1）解：配方得：， 即， 开方得：， 解得：，； （2）解：， ∴，即， ∴， 解得：． 6．(1)； (2) ； 答案(1)(2)， 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，熟练掌握各种方法是解答本题的关键． 用配方法求解即可； 【详解】（1） ∴ 【详解】（2）解：， 配方，得， 即， 根据平方根的意义，得， 即或， 解得， ； 公式法 1．用公式法解方程时，求根公式中的a，b，c的值分别是（  C ） A．1，2，3 B．1，，3 C．1，2， D．0，， 【分析】本题考查了解一元二次方程-公式法，方程整理为一般形式，找出a，b，c的值即可． 【详解】解：将方程整理得：， 这里， 故选：C． 2．用公式法解一元二次方程时，的值为（A） A．8 B．12 C．16 D．24 【分析】本题主要考查了一元二次方程判别式的计算，掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键． 直接用一元二次方程根的判别式求解即可． 【详解】解：∵方程为标准形式， ∴， ∴． 故选A． 3．用公式法解一元二次方程的根为，该方程为（D   ） A． B． C． D． 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，解题的关键是掌握求根公式中字母所表示的意义．根据求根公式解答即可． 【详解】解：由知：，，． 所以该一元二次方程为：． 故选：D． 【分析】本题考查了利用公式法解一元二次方程，公式法解一元二次方程的过程：先确定的值，代入计算判别式，当，方程有实数根，当，方程无实数根，当时，将的值代入求根公式求解方程． 【详解】解： ，，， ， ， ， 一元二次方程的两个根，其中较小的根为． 故选：B． 4．已知． (1)直接写出方程根的判别式______． (2)直接写出方程的求根公式______． (3)写出求根公式的推导过程． 【分析】（1）由根的判别式为，即可得出结论； （2）根据求根公式即可解答； （3）利用配方法将原方程变形为，分及两种情况求出的值，此题得解． 【详解】（1）根的判别式为：． 故答案为：． （2）； （3）． ∵，方程两边都除以，得： 移项，得：， 配方，得：， 即：， 当时，直接开平方，得： 即：， ． 当时，方程无实数根． ∴ 【点睛】本题考查了根的判别式、一元二次方程的定义以及配方法解一元二次方程，解题的关键是：牢记一元二次方程根的判别式为，利用配方法解一元二次方程找出求根公式． 5．用公式法解一元二次方程： (1)． (2)． 答案(1)，(2)， 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握公式法是解此题的关键． （1）利用公式法解一元二次方程即可； （2）利用公式法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：∵，，． ∴， ∴， 即，． （2）解：原方程可化为， ∴，，． ∵， ∴， 即，． 6．使用“公式法”解一元二次方程 (1)； (2)； (3)． 答案(1)或；(2)；(3)无实数根 【分析】本题考查用公式法解一元二次方程，关键是先将方程化为一般形式，确定、、的值，计算判别式，根据的符号判断根的情况：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根，最后代入求根公式求解(时无需代入)． （1）方程已为一般形式，直接确定系数，计算判别式后代入公式求解； （2）方程已为一般形式，确定系数后计算判别式，根据求相等实根； （3）先将方程化为一般形式，再确定系数、计算判别式，根据判断无实数根． 【详解】（1）解：方程，其中，，， ∴， ∴， 即，； （2）解：方程，其中，，， ∴， ∴， 即； （3）解：先将方程化为一般形式：， 其中，，， ∴， ∴原方程无实数根． 7．用公式法解下列一元二次方程： (1)． (2)． （3） (4) 答案．(1)；(2)．(3)，；(4)，． 【分析】此题考查了公式法解一元二次方程，解题关键是熟悉求根公式． （）先确定的值，求出的值，确定能否用公式法计算，若，即代入求根公式计算即可； 【详解】（1）解：， ∴ ∴ ∴ ∴； （2）解： ∴， ∴， ∴， ∴． （3），，， ， ∴， ∴，； （4），，， ， ∴， ∴， 8．在学习一元二次方程的解法中我们发现，用配方法解一元二次方程，可以得到一元二次方程的求根公式． (1)一般地，对于一元二次方程，当时，它的求根公式是 ，我们也把用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法； (2)小明在用公式法解方程时出现了错误，解答过程如表：请问，小明的解答过程是从第 步开始出错的，其错误原因是 ． 解：∵（第一步） ∴（第二步） ∴（第三步） ∴（第四步） (3)请你用自己学过的方法写出此题正确的解答过程． 答案．(1)(2)一，未将所给方程化为一般式(3)正确过程见解析 【分析】（1）根据求根公式完成填空即可； （2）找出所给求解过程的错误步骤即可； （3）利用配方法对所给一元二次方程进行求解即可． 【详解】（1）解： ， ， ， ， 当时，它的求根公式是x． （2）解：观察所给解题过程可知， 小明的解答过程是从第一步开始出错的，其错误原因是未将所给方程化为一般式． （3）解：， ， ， 则， ∴． 因式分解法 提取公因式 1．解一元二次方程：(1)； (2)． 答案(1)， (2)， 【分析】（1）利用因式分解法解方程即可； （2）利用因式分解法解方程即可． 【详解】（1）解： 或 ，． （2）解： 或 ，． 2．解下列方程：(1)； (2)． 答案(1)，； (2)， 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解法，熟练掌握因式分解法是解题的关键． （）利用因式分解法解一元二次方程即可； 【详解】（1）解： 或， ∴，； （2）解：， ， ， ， ， ∴，． 3．解方程： （2） 答案（1）（2）， 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，先移项，再利用因式分解法解方程即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，即， ∴， ∴或， 解得． （2）解： 或 ∴，． 平方差公式与完全平方公式 1．解下列方程(1) (2)． 答案(1)， （2） 【分析】先将方程左边因式分解，然后再移项，最后利用因式分解法求解即可； 【详解】（1）解：， ， ， ， ， 或， ，． （2）解：， ， 则， ， 即， ∴或， ． 2、(1)． (2)（因式分解法） 答案(1)(2)， 【分析】本题主要考查了解一元二次方程．熟练掌握一元二次方程解法是解题关键． （1）移项，用平方差公式分解因式，即可求解． 【详解】 （1）∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， （2）解：， 方程左边因式分解，得，即， 解得：，． 十字相乘法 1．解方程：(1)． (2)． 答案(1)，(2)， 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握因式分解法是解题的关键． （1）使用因式分解法解方程即可； （2）先化为标准形式后再使用因式分解法解方程即可． 【详解】（1）解：， 因式分解，得， ∴或， ∴，； （2）解：， 移项，得， 因式分解，得， 即或， ∴，． 2．解方程：(1)； (2)． 答案(1) (2) 【分析】本题考查了解一元二次方程． （1）根据因式分解法解一元二次方程，即可求解； （2）根据因式分解法解一元二次方程，即可求解． 【详解】（1）解：， ∴， ∴或， 解得：； （2）解：， ∴， ∴或， 解得：． 3．解方程：(1)； (2)； 答案(1)， (2) 【分析】本题考查了解一元二次方程的因式分解解法，解题的关键是根据方程结构特点选择简便解法：第一题通过十字相乘法将二次三项式分解为一次因式乘积，第二题通过移项、变形后提公因式简化方程，避免复杂计算． （1）解：观察二次三项式，将常数项分解为和（满足，与一次项系数一致），用十字相乘法因式分解为，令每个因式为求解； 【详解】（1）解： 即； ∴或； 解得：，． （2）∵， ∴， ∴， ∴； 学科网（北京）股份有限公司 $