3.6 利用导数解决函数的零点问题（精练）-备战2027年高考数学一轮复习精讲精练（全国通用）

**基本信息** 聚焦导数工具与函数零点的逻辑关联，通过分层题型训练提升用数学思维分析参数范围、零点个数的推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础判断|8选择+3填空|直接判断零点个数、极值点与零点关系|从导数研究函数单调性切入，建立极值与零点存在性的推导链条| |参数范围|6选择+3多选|含参函数零点个数、方程实根个数求参数|通过导数分析函数图像特征，构建参数与函数最值的逻辑联系| |综合应用|5解答题|单调性、极值与零点综合证明|整合导数工具与函数性质，形成“求导→分析单调区间→确定极值→判断零点”的完整推理体系|

3.6 利用导数解决函数的零点问题（精练） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（25-26高二下·天津和平·期末）设，若函数在上恰有一个零点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求得，得到的单调性，求得的最小值，根据题意，得到，即可求解. 【详解】由函数，可得，其中， 令，即，解得， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以，当时，取得极小值，也是最小值， 因为函数在上恰有一个零点，可得， 又因为，所以，解得. 2．（25-26高二下·宁夏石嘴山·期末）若函数有2个零点，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将零点问题转化为与的交点问题，通过求导分析的单调性、极值与极限，即可确定的取值范围. 【详解】令，问题转化为与有2个交点时的取值范围. ，由于对任意恒成立， 因此当时，，，单调递减； 当时，，，单调递增. 故的最小值为. 时，衰减速度远快于多项式增长速度，. 时，，且. 因此时，无交点，无零点， 时，仅1个交点，有1个零点， 时，有两个交点，有2个零点. 时，仅1个交点，有1个零点. 因此的取值范围是. 3．（25-26高二下·天津·阶段检测）已知函数有三个极值点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】因为函数有三个极值点，所以其导函数有三个不同的变号零点，先对原函数求导，转化为方程​有三个不同实根的问题，构造函数，对求导，分析其单调性与极值，确定范围 【详解】对求导得 有三个极值点有三个不同实根，整理得​， 设， 时，，单调递减；时，，单调递增；时，，单调递减 因此的极小值为，极大值为​；且当时，时，恒大于0 要使​有三个不同实根，则. 4．（25-26高二上·江苏南京·期末）设函数，若关于x的方程恰好有4个不相等的实数解，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先将方程转化为两个方程或，再由函数图象数形结合可得所求范围. 【详解】由方程变形为， 所以或， 当时，，所以当时，；当时，. 所以函数在上有极大值也是最大值，此时. 画出图像如下：    由图可知与只有一个交点；所以与必有3个交点. 所以，解得. 故选：B 5．（25-26高二下·安徽宣城·期末）已知函数，则函数的零点个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】因式分解，将求的零点个数问题转为求方程与和交点的个数，利用导数分析时函数的性质，画出的函数图像，得出结论. 【详解】令，即， 解得或， 故求的零点个数，等价于求函数与和交点的个数和. 时，，求导得， 令，得或， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 故，又， 可以画出函数的大致图像，如图所示， 可知与和交点共有5个， 即的零点个数为5个，C正确. 6．（25-26高三上·海南海口·期中）设函数则方程的实数根的个数可能为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】先对求导，利用导求出的单调区间和极值，画出的大致图象，然后令，则，可得方程有两个不相等的实根，设为，将问题转化为与，交点个数，利用图象求解即可. 【详解】的定义域为， 由，得， 由，得，由，得或， 所以在上递增，在和上递减， 所以的极大值为，极小值为， 当时，，则的大致图象如图所示， 令，则， 所以方程有两个不相等的实根，，， 所以由图可知，的图象与有2 个不同的交点，的图象与有1 个不同的交点， 所以原方程有3个不同的根. 故选：B 7．（25-26高二下·湖北随州·期末）已知函数在上有两个不同的零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用零点与方程的关系，通过分离参变量构造函数，求导研究单调性和取值规律，最终通过数形结合可得参数范围. 【详解】函数在上有两个不同零点， 等价于方程在有两个不同实根， 设，问题转化为求与的交点个数， 对求导，化简得： ， 因为，所以， 当时，，则在上单调递减， 当时，，则在上单调递增， 所以 在处取最小值： ， ​ 且：时，；时，， 则要使与有两个交点，需满足，即. 8．（25-26高二下·河南郑州·期中）已知函数有两个零点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】法一：参变分离，构造函数，求导，得到函数单调性，数形结合得到的取值范围； 法二：求导，分和两种情况，结合函数单调性和最值得到不等式，求出，并验证其满足要求，得到答案 【详解】法一：由得到：； 令，由题意得与有两个交点： 则，其中， 是单调递减的，并且时，； 因此函数存在唯一零点，； 当时，；时，；； 得如下函数图像： 显然当时，与有两个交点： 法二：由题意得，显然恒成立， ①当时，，故恒成立， 故在R上单调递减，至多有一个零点，不符合题意： ②当时，令得，令得， 故在上单调递减，在上单调递增， 在处取到最小值．要使有两个零点，需， 解得． 当时，令，则， 故， 又在上单调递减，所以在区间上存在唯一的零点． 接下来证明，记， 当单调递增，所以，故， 令，则， 故 ．而在上单调递增， 所以在区间上存在唯一的零点． 综上，a的取值范围是． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（25-26高二下·新疆乌鲁木齐·期末）已知函数，则（    ） A．函数在区间上单调递减 B．函数有两个零点 C．当时，方程有两个不相等的实数根 D． 【答案】ACD 【分析】对于B：令，解方程即可判断；对于AC：利用导数分析的单调性和最值，结合图象分析判断；对于D：令，利用导数可证. 【详解】因为的定义域为， 对于选项B：令，解得， 所以函数有且仅有1个零点，故B错误； 对于选项AC：因为， 令，解得；令，解得； 可知函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，故A正确； 则， 且当趋近于时，趋近于0，当趋近于时，趋近于，可得函数的图象如图所示， 由图象可知，当且仅当时，方程有两个不相等的实数根，故C正确； 对于选项D：令，则， 当时，则，，可得， 令，，则， 可知函数在区间上单调递增，且， 当时，，即；当时，，即； 综上所述：当时，；当时，； 可知函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 则，所以，故D正确. 10．（2026·浙江嘉兴·一模）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．的单调递减区间是 B．若，则方程有两个不等的实根 C．若点是曲线上的动点，则点到直线距离的最小值为 D．若过点可以作曲线的三条切线，则 【答案】ACD 【分析】对A，由及函数连续性可判断；对B、D，将问题转化为两个函数图象交点的个数问题，画出函数的大致图象，结合图象可判断；对C，当在点处的切线与直线平行时，点到直线的距离最小，求出点坐标，用点到直线距离公式求最值. 【详解】对于A：，由得，又函数在连续， 所以的单调递减区间是，A正确； 对于B：当时，单调递增； 当时，单调递减； 当时，取得最大值，又时，； 时，，所以的图象大致如图： 当时，函数与函数图象有两个交点， 即方程有两个不等的实根，B错误； 对于C：当曲线在点处的切线与直线平行时，点到直线的距离最小， 设点，则，解得，此时， 点到直线的距离，C正确； 对于D：设过点的切线切点为，则，整理得， 若过点可以作曲线的三条切线，则函数与函数有三个交点， 对函数， 当时，函数单调递减； 当时，函数单调递增； 当时，函数单调递减. 又当时，；当时，；时，；时，， 所以函数的图象大致如下： 则当时，函数与函数有三个交点， 此时过点可以作曲线的三条切线，D正确. 故选：ACD. 11．（25-26高三上·广东佛山·阶段检测）函数，关于的方程，下列说法正确的是（     ） A．函数的值域为 B．函数的单调减区间为， C．当时，则方程有6个不相等的实数根 D．若方程有3个不相等的实数根，则的取值范围是 【答案】ACD 【分析】先根据分段函数和导数相关知识判断函数单调性与渐近线，从而画出函数图像，进而直接判断A和B；通过方程的根与图像的公共点之间的联系进行转化，并结合图像即可判断C和D. 【详解】当时，，则在单调递减，且渐近线为轴和，恒有. 当时，，. 当，，在单调递增； 当时，，在单调递减. 故，且恒有. 综上可知，，作出函数大致图象，如下图. 由图像可知函数的值域为，故A正确. 函数的单调递减区间由图可知为，，故B错误. 当时，则方程可化为或， 由，得或，有两个实数根； 由图象可知，由，有4个不相等的实数根，且均不为0，也不为， 所以当时，则方程有6个不相等的实数根，故C正确. 若关于的方程有3个不相等的实数根， 即与共有3个不相等的实数根. 又因为已有两个不相等的实数根0，， 则方程有且仅有一个根，且不为0，. 所以与有且仅有一个公共点， 由图象可知，满足题意，即的取值范围是，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（25-26高二下·河南平顶山·期末）方程的解的个数为______． 【答案】 【分析】构造函数，求，再构造，求，从而根据的符号判断的单调性，再结合零点存在定理得到的符号，从而得到的单调性，再结合零点存在定理即可确定的零点个数，进而确定该方程的解的个数． 【详解】令，，则， 令，，则，所以单调递增， 又，， 所以在区间内有唯一零点，记为， 所以在内单调递减，在上单调递增， 又，， 由函数零点存在定理及函数的单调性可知在区间内有且仅有一个零点， 又，且， 所以在区间内有且仅有一个零点， 故原方程的解的个数为． 13．（25-26高二下·全国·自主招生）若方程仅有一个实根，则实数的取值范围是___________． 【答案】 【分析】原方程化为，令，其中，分析可知直线与函数的图象有且只有一个公共点，利用导数分析函数的单调性与极值，数形结合可得出实数的取值范围. 【详解】显然不满足方程， 故原方程化为，令，其中，求导得， 令可得，列表如下： 增 减 极小值 增 由题意可知，直线与函数的图象有且只有一个公共点，如图所示. 由图可知，当时，直线与函数的图象有且只有一个公共点， 因此实数的取值范围是. 14．（25-26高二下·广东东莞·期末）已知函数，若函数有三个不同的零点，则实数的取值范围为___________. 【答案】 【分析】将因式分解得到和，再利用导数分析的单调性以及最值，进而得到的取值范围. 【详解】，因式分解得， 因此的零点对应方程和，有三个不同零点等价于两个方程共有三个不同实根. 已知，则. 当时，单调递增，. 当时，单调递减，. 当时，单调递减，，. 当时，单调递增，. 函数图像大体趋势如下：. 根据图像知，只有一个根，因此需要有2个不同根， 所以或，解得. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（25-26高二下·广东广州·期中）给定函数． (1)判断函数的单调性，并求出的极值点； (2)求出方程的解的个数． 【答案】(1)在单调递减，在单调递增；极小值点为，无极大值点. (2)当时，方程无解；当或时，方程有1个解；当时，方程有2个解. 【分析】（1）根据导数与单调性及极值的关系求解即可. （2）将方程有解的问题转化为与的交点个数问题，结合导数与单调性及最值的关系，分析判断即可. 【详解】（1）函数的定义域为，求导得 . 令，解得； 当时，，单调递增；当时，，单调递减； 所以在处取得极小值，即是的极小值点，无极大值点. 综上，在上单调递减，在上单调递增；是的极小值点，无极大值点. （2）方程的解的个数等价于的图像与直线的交点个数. 由（1）知，. 当时，；当时，. 函数的简图如下： 结合图象可知，当时，的图像与直线无交点； 当或时，的图像与直线有1个交点； 当时，的图像与直线有2个交点； 综上，当时，方程无解；当或时，方程有1个解；当时，方程有2个解. 16．（25-26高二下·河北唐山·期末）已知曲线在处的切线与直线平行． (1)求的值； (2)讨论函数的单调性； (3)若函数有两个零点，求的取值范围． 【答案】(1) (2)在上单调递减，在上单调递增 (3) 【分析】（1）根据导数的几何意义，结合两直线平行斜率相等的性质列方程求解; （2）代入的取值后求导，根据导函数在定义域内的正负即可判断原函数的单调性； （3）结合函数单调性得到最小值，根据函数在定义域两端的趋势，令最小值小于0，即可求得的取值范围. 【详解】（1）函数的定义域为，对求导得：， 由直线化为斜截式得：，所以该直线的斜率为2， 因为函数的曲线在处的切线与直线平行，故切线斜率等于2， 即，代入得：，解得； （2），得：， 由于，故， 当，则在上单调递增， 当，则在上单调递减, 所以在上单调递减，在上单调递增； （3）由（2）可知，在处取得极小值，也是定义域内的最小值， 计算得：， 当时，，故， 当时，，由于二次函数增长速度大于对数函数增长速度，故， 则有两个零点，需最小值小于0，即，解得， 即b得取值范围为. 17．（25-26高二下·四川遂宁·期末）已知函数. (1)当时，求的极值； (2)若，且函数有2个零点，求的取值范围. 【答案】(1)极小值为，无极大值 (2) 【分析】（1）通过求导，确定函数单调性即可求解； （2）将问题转换成方程有2个实数解，通过研究函数的单调性进而可求解. 【详解】（1）当时，则，于是， 令，即，解得 当时，，则在单调递减， 当时，，则在单调递增， 故有极小值为，无极大值 （2）当，有2个零点，即方程有2个实数解， 设，，令，得 当时，，则在单调递减，且时， 当时，，则在单调递增，且时，，的最小值为， 所以要使函数有2个零点，则需， 故的取值范围为. 18．（25-26高二下·四川乐山·期末）已知函数，． (1)若，求函数在处的切线方程； (2)若在恒成立，求的取值范围； (3)若有三个零点，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）当时，求得，得到，且，结合导数的几何意义，即可求解； （2）根据题意，转化为，令，求得，得到函数的单调性和最小值，即可求解； （3）由，得到当时，方程有两个不同的非零解，转化为与的图象有两个非零交点，作出函数的图象，结合图象，即可求解. 【详解】（1）当时，，可得， 则，且，即切点为，切线的斜率为， 所以函数在处的切线方程为，即． （2）由，即， 因为，所以，即证， 令，其中，可得， 当，，单调递增；当，，单调递减， 所以，所以，即实数的取值范围为． （3）因为函数有三个零点，即有三个根， 因为，所以0是的一个零点， 所以当时，方程有两个不同的非零解， 即当时，方程有两个不同的非零解， 可转化为与的图象有两个非零交点， 由（2）可知在单调递减，在单调递增，且 又因为，且当时，；当时，， 在同一坐标系中，画出函数与的图象，如图所示， 当时，，解得，不满足非零条件， 所以或，即实数的取值范围为． 19．（2026·河北衡水·一模）已知函数. (1)证明：存在，使得曲线在点处切线的斜率为定值. (2)当时，讨论零点的个数. (3)当的零点个数最多时，证明：的零点之和大于3. 【答案】(1) ， 由，得，， 则存在，使得曲线在点处切线的斜率为定值. (2)当时，有两个零点；当时，有三个零点；当时，有四个零点. (3) 由（2）知，当时，的零点个数最多， 且0为其中一个零点，不妨设， 且，，等式两边同时取对数并整理得 ，. 设函数，则， ，则在上单调递增. 因为在上单调递增，且，所以. 要证，只需证，即证， 因为，且在上单调递增， 所以只需证，即， 令函数，， 则， 所以在上单调递减，则， 即，故. 故当的零点个数最多时，的零点之和大于3. 【分析】（1）根据导数的几何意义，利用导函数解析式可求出的值 （2）根据零点概念计算得到或，构造函数，通过分类讨论，借助导数研究函数的单调性和最值，分析函数的零点情况即可； （3）由（2）确定零点的分布和零点满足的条件，通过构造函数求最值证明结论. 【详解】（1）略 （2）当时，由，得或. 设函数，则， 令，得，则在上单调递减， 令，得或，则在上单调递增，在上单调递增. 当时，， 若，则，若，则. 当时，， 若，则，若，则. 当时，方程只有一个非零实数解，则有两个零点； 当时，方程有两个非零实数解，则有三个零点； 当时，方程有三个非零实数解，则有四个零点. （3）略 2 / 20 1 / 20 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.6 利用导数解决函数的零点问题（精练） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（25-26高二下·天津和平·期末）设，若函数在上恰有一个零点，则（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·宁夏石嘴山·期末）若函数有2个零点，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 3．（25-26高二下·天津·阶段检测）已知函数有三个极值点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·江苏南京·期末）设函数，若关于x的方程恰好有4个不相等的实数解，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高二下·安徽宣城·期末）已知函数，则函数的零点个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 6．（25-26高三上·海南海口·期中）设函数则方程的实数根的个数可能为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 7．（25-26高二下·湖北随州·期末）已知函数在上有两个不同的零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．（25-26高二下·河南郑州·期中）已知函数有两个零点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（25-26高二下·新疆乌鲁木齐·期末）已知函数，则（    ） A．函数在区间上单调递减 B．函数有两个零点 C．当时，方程有两个不相等的实数根 D． 10．（2026·浙江嘉兴·一模）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．的单调递减区间是 B．若，则方程有两个不等的实根 C．若点是曲线上的动点，则点到直线距离的最小值为 D．若过点可以作曲线的三条切线，则 11．（25-26高三上·广东佛山·阶段检测）函数，关于的方程，下列说法正确的是（     ） A．函数的值域为 B．函数的单调减区间为， C．当时，则方程有6个不相等的实数根 D．若方程有3个不相等的实数根，则的取值范围是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（25-26高二下·河南平顶山·期末）方程的解的个数为______． 13．（25-26高二下·全国·自主招生）若方程仅有一个实根，则实数的取值范围是___________． 14．（25-26高二下·广东东莞·期末）已知函数，若函数有三个不同的零点，则实数的取值范围为___________. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（25-26高二下·广东广州·期中）给定函数． (1)判断函数的单调性，并求出的极值点； (2)求出方程的解的个数． 16．（25-26高二下·河北唐山·期末）已知曲线在处的切线与直线平行． (1)求的值； (2)讨论函数的单调性； (3)若函数有两个零点，求的取值范围． 17．（25-26高二下·四川遂宁·期末）已知函数. (1)当时，求的极值； (2)若，且函数有2个零点，求的取值范围. 18．（25-26高二下·四川乐山·期末）已知函数，． (1)若，求函数在处的切线方程； (2)若在恒成立，求的取值范围； (3)若有三个零点，求的取值范围． 19．（2026·河北衡水·一模）已知函数. (1)证明：存在，使得曲线在点处切线的斜率为定值. (2)当时，讨论零点的个数. (3)当的零点个数最多时，证明：的零点之和大于3. 2 / 20 1 / 20 学科网（北京）股份有限公司 $