导数的综合应用 专项训练-2027届高考数学一轮复习

**基本信息** 以导数应用为主线，通过六类核心问题构建"方法-题型-逻辑"三维训练体系，突出逻辑推理与数学建模素养。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |不等式恒成立|6题|分离参数法、构造函数法、同构转化|从切线方程到参数范围，逐步深化导数工具性应用| |不等式能成立|5题|存在性问题转化、整数解分析|与恒成立问题对比，强化充要条件理解| |函数零点|6题|单调性分析、极值判断、零点存在定理|结合函数性质研究方程解的分布规律| |双变量问题|4题|主元法、换元法、最值比较|从单变量到多变量，提升综合分析能力| |极值偏移|5题|对称构造法、比值换元法|基于导数研究函数不对称性，培养逻辑推理| |证明不等式|4题|构造差函数、放缩法、数学归纳法|综合应用导数工具解决代数证明问题|

导数的综合应用 知识点一 利用导数研究不等式恒成立问题 1．已知函数，其中实数a为参数． (1)当时，求在处的切线方程； (2)当时，求证：在上恒成立； (3)若在上恒成立，求实数a的取值范围． 2．已知函数，曲线在点处的切线为，已知在轴上的截距为. (1)求的值； (2)若恒成立，求的取值范围； (3)若函数存在最大值，求的取值范围. 3．已知函数． (1)当时，证明：． (2)若恒成立，求的取值范围． (3)若有两个极小值点，且对任意满足条件的，都有恒成立，求符合条件的整数的最大值． 4．已知，对任意正数x，恒成立，则的最小值为 ________． 5．已知函数. (1)时，求的单调区间； (2)当时，若恒成立，求实数a的取值范围. 6．（多选）（多选）已知函数，存在使得能成立，则的值可以为（    ） A．－1 B． C．1 D．2 知识点二 利用导数研究不等式能成立问题 7．（多选）已知函数的导函数为，则下列说法正确的是（    ） A． B．函数的极大值为1 C． D．若存在唯一的整数，使得，则实数 的取值范围为 8．若不等式解集中有且仅有两个整数，则实数的取值范围是_____. 9．已知函数. (1)求的极值； (2)若存在，使得成立，求实数的取值范围. 10．已知函数，． (1)当时，求函数的极值； (2)若在区间上单调，且存在，使得，求实数a的取值范围． 11．已知函数，． (1)求的极值； (2)若在上单调递增，求实数 的取值范围； (3)当时，若对任意的，总存在，使得，求实数 的取值范围． 知识点三 利用导数研究函数的零点 12．已知函数． (1)讨论函数的单调性； (2)若与有两个交点，求实数a的取值范围． 13．已知三次函数，． (1)若在处取得极小值，求，； (2)若，的图象与轴有两个不同的交点，求的取值范围． 14．已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则（    ） A． B．的零点个数为 C．的极值点个数为 D．若方程有三个实数根，则的取值范围是 15．（多选）已知函数，则（    ） A．函数的值域为 B．函数的极小值点是 C．函数有三个单调区间 D．函数有两个零点 16．已知函数在处有极小值． (1)求实数的值； (2)已知函数，，讨论函数的零点个数． 17．若函数恰有两个零点，则实数m的取值范围是________． 18．已知函数． (1)当时，若恒成立，求的值； (2)当时，函数在有一个零点，求的取值范围； 知识点四 利用导数研究双变量问题 19．已知函数，，若，，有，则的最大值为（     ） A． B．1 C． D． 20．已知函数（）． (1)若在处取得极值，求的值； (2)求函数的单调区间； (3)设，若，，恒成立，求实数的取值范围． 21．已知函数，函数，为实数． (1)证明：． (2)若． （ⅰ）证明：有两个零点，，且若，则； （ⅱ）证明：． 22．已知函数，若使得成立，则实数的取值范围是_____________. 知识点五 导数中的极值偏移问题 23．已知函数． (1)求曲线在点处的切线的斜率； (2)设，当时，求的零点个数； (3)若，且，求证：． 24．已知函数. (1)当时，求的最小值； (2)若当时，恒成立，求的取值范围； (3)若关于的方程有两个不等实根，证明：. 25．已知函数，函数，t，a均为实数． (1)当时，求曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积； (2)当时，若存在正实数x，使不等式成立，求a的取值范围； (3)若函数有两个不同的零点，记作，，且，求证：． 26．已知函数有两个零点，且． (1)求a的取值范围； (2)证明：． 27．已知函数． (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，，求实数的取值范围； (3)若，且存在，，使得，证明：． 28．已知函数． (1)若函数在上是减函数，求实数m的取值范围； (2)若函数在上存在两个极值点，，且，证明：． 知识点六 证明不等式 29．已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)证明：当时，恒成立； (3)证明：． 30．已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论函数的单调性； (3)证明：． 31．已知函数． (1)当时，证明：； (2)若存在两个极值点，，且， （i）求实数的取值范围； （ii）证明：． 32．已知函数在处有极小值． (1)求实数的值； (2)证明：． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 6 7 14 15 19 答案 ABC AB D AC D 1．(1) (2)当时，，等价于，             令，则， 令，则， 在上单调递增，且，， 在上存在唯一的零点，此时，              当时，；当时，， 在上单调递减，在上单调递增； ， 在上单调递增；              当时，，，；              当时，； 综上可得，在上恒成立， 即在上恒成立；              方法二： ①当时，；             ②当时，，              令，则在单调递增， ，              所以在单调递增，所以， 所以在单调递增，所以，           综合①，②，在上成立； (3) 【分析】（1）当时，求得切点和斜率，由此求出切线方程. （2）由得到， 方法一：令，求导，令，求导，判断的单调性，进而判断的单调性，证明不等式； 方法二：分和进行证明令，求导，令，再求导，判断的单调性，进而证明； （3）将不等式变形为，利用同构，令，求导，根据单调性解不等式，分离参数得，设，，利用导数求出函数的值域，得到a的取值范围. 【详解】（1）由题意可知，的定义域为且． 当时，， 又，， 曲线在处的切线方程为， 即； （2）略 （3）不等式， 等价于， 令，则在R上恒成立，在R上单调递增， 由原不等式可得， 在上恒成立， 在上恒成立； 设，则， 在上单调递减，在上单调递增； ， 又，实数a的取值范围为． 2．(1) (2) (3) 【分析】（1）根据导数的几何意义进行求解； （2）利用分离参数法将恒成立问题转化为求函数的最值问题，再利用导数法求函数的最值即可求解； （3）分类讨论函数的单调性进行求解． 【详解】（1）求导，得，故.     因为，所以切线的方程为.     令，得在轴上的截距.     由已知，，解得. （2）因为，所以等价于.     设函数，则.     当时，；当时，.     所以在上单调递增，在上单调递减.     故的最大值为.     所以的取值范围是. （3）①当时，因为在上单调递增，所以不存在极大值点（至多存在极小值点），故不存在最大值，不合题意.     ②当时，由（2）知，，所以在上单调递减，故不存在最大值，不合题意.     ③当时，由（2）知，，故. 又，.     由零点存在定理知，存在，， 使得. 且当，或时，； 当时，. 所以在和上单调递减，在上单调递增. 故是的极大值点. 当时，，要使成为最大值， 必有. 由，得. 所以，解得.     由（2）知，. 故，解得.     综上所述，的取值范围是. 3．(1)由题意得函数的定义域为． 当时，，求导得， 令，求导得，令，， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 故，又， 当时，，，单调递减， 当时，，，单调递增， ，故成立． (2) (3) 【分析】（1）构造函数并利用导数判断单调性，进而证明不等式即可. （2）对原函数合理同构得到，再转化为，最后结合分离参数法求解最值即可. （3）建立方程关系，变量代换，构造函数求最值. 【详解】（1）略 （2）由题意得，， 令，， 则时，时，， 则在上单调递减，在上单调递增， 则，即，而等价于， 又因，则在上成立，令，， 则，得到在上单调递增， 则．所以，即． （3），则， 令，由题意得不符合题意；， 当时，在递减，在递增， 得到，，，，， 而有两个零点， 且，故， 若，，，单调递减， 若，，，单调递增， 若，，，单调递减， 若，，，单调递增， 此时的极小值点为，且，． 两边取对数得，，， 令，则，代入解得，， 于是， 设，求导得， 令，得到， 令，，单调递增，令，，单调递减， 而，，， 所以在内存在唯一零点，， 使得在上单调递减，在上单调递增，故在处取得最小值． 则， 而，得到，故整数的最大值为2． 4． 【分析】对已知不等式进行变形，通过构造函数，利用导数的性质，参变量分离法进行求解即可． 【详解】由可得，因为，故； 进而转化，令函数， ，故在上单调递增； 由可知， 则；则；令， 则，令，可得； 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 故在处取最大值，，故， 则的最小值为． 5．(1)单调递增区间为，单调递减区间为. (2) 的取值范围为 【分析】（1）利用导数直接求单调区间. （2）构造新函数，转化为恒成立问题，结合函数最值求参数的取值范围即可. 【详解】（1）因为且， 令得. 当时 ，单调递增；当时，单调递减， 所以单调递增区间为，单调递减区间为. （2）时，等价于. 令，则. 令，，令，得，所以在单调递增， 且，所以在时恒成立. 所以与同号，当时，时，所以函数在处取最小值. 因此，即. 6．ABC 【分析】求导得，再分、讨论函数单调性，利用单调性得到最值，结合题意求出的范围即可求解． 【详解】的定义域为，， （ⅰ）若，则，所以在单调递减． 且，故存在使得能成立，故A正确． （ⅱ）若，则由得． 当时，；当时，， 所以在单调递减，在单调递增． 当时，取得最小值，最小值为． 故只需，又与均递增， 故单调递增，故， 综上所述正确． 7．AB 【分析】求得，得到，可判定A正确；求得的单调性，得到的极大值，可判定B正确；由的单调性，结合，可判定C不正确；转化为 由唯一的整数解，结合和的图象，列出不等式组，可判定D错误. 【详解】对于A，由函数，可得， 可得，所以A正确； 对于B，由，当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 所以函数的极大值为，所以B正确； 对于C，因为函数在为单调递减函数，且， 所以，可得，即，可得， 即，所以C不正确； 对于D，过作的切线，切点设为， ， 切线过， 或 当时，有且仅一个整数解， 则； 当时，有且仅一个整数解，此时， , 综上：错误． 8． 【分析】构造函数，，利用导数探讨函数的性质，当时确定不等式的整数解，当时，作出函数的图象，由条件建立不等式组求解. 【详解】不等式，令函数，， 求导得，由，得；由，得， 函数在上单调递减，在上单调递增，， ，函数的图象是过定点的直线， 当时，若，则， 而，此时仅有两个整数使得不等式成立； 当时，在同一坐标系内作出的图象，如图： 由，得2是不等式的一个整数解， 要使不等式解集中有且仅有两个整数，则或， 即或，解得，此时， 所以实数的取值范围是. 9．(1)极小值为，无极大值 (2) 【分析】（1）对函数求导，根据导数的正负判断函数的单调性，进而求出函数的极值； （2）将不等式进行变形，构造新函数，通过求函数的最值确定实数的取值范围. 【详解】（1），， 令，， ，， ，， 在上单调递减，在上单调递增， 在处取得极小值，极小值为，无极大值. （2）存在，使得成立， 即在上有解， 即在上有解， 令，， ，， ，， 在上单调递减，在上单调递增， 在处取得最小值，即最小值为. 因为在上有解，所以， 所以实数的取值范围为. 10．(1)的极小值为，无极大值 (2) 【分析】代入参数值，求导求得函数极值； 求出导函数并因式分解，转为求更简单的函数值域，利用函数单调性求的初步范围， 利用存在性条件和函数最值进一步缩小的范围得出结论. 【详解】（1）当时，，定义域为， 则，，， 当时，，则，单调递减， 当时，，则，单调递增， 故时，有极小值：，没有极大值. （2）， 在区间上单调，在上不变号，此时，， 令，则在上，恒成立或恒成立， 若在区间上单调递增，则恒成立， 即在上恒成立，即， 若在区间上单调递减，则恒成立， 即在上恒成立，即. 则当时，因在上单调递增，， 令，解得，故得； 当时，因在上单调递减，， 令，即，也即， 比较和大小： ，且，， . 故实数a的取值范围是. 11．(1)极小值0，无极大值 (2) (3) 【分析】（1）求导分析单调性，根据极值的定义求解即可； （2）根据题意可得，求导，由在上单调递增，可得在上恒成立，只需，，即可求解. （3）若对任意的，总存在，使得，则当时，，即可求解. 【详解】（1），求导得，， 因为时，，所以在上单调递增． 因为时，，所以在上单调递减． 又，故在处取极小值0，无极大值． （2）函数， 求导得， 由在单调递增，得在上恒成立， 即在上恒成立， 因此，． 设，，， 则在上单调递增，于是， 即， 所以的取值范围为． （3）若对任意的，总存在，使得， 则当时，． 当时，， 即在上单调递增，， 函数，，， 求导得． 由，得，函数在上单调递减， 则． 因此，解得， 所以 的取值范围为． 12．(1)当时，的单调递增区间为，当时，的单调递增区间为，单调递减区间为． (2) 【分析】（1）先求导并明确函数的定义域，再以a的取值进行分类讨论，通过判断导函数的符号来确定函数的单调区间. （2）结合第一问的单调性结论排除一直单调递增的情况，利用零点存在性定理，将“函数有两个交点”的条件转化为“函数极小值严格小于零且区间端点趋于正无穷”的不等式问题进行求解. 【详解】（1）函数的定义域为，， 当时，恒成立， 当时，令，得；令，得， 综上， 当时，的单调递增区间为， 当时，的单调递增区间为，单调递减区间为． （2）由（1）可知当时，在单调递增，不可能存在2个零点，不满足题意； 当时，在单调递增，在单调递减， 当时，，时，， 要有两个交点，则的最小值，解得， 所以． 13．(1)， (2) 【分析】（1）根据极小值的性质和定义进行求解即可； （2）利用换元法，结合一元二次方程根的分布性质进行求解即可. 【详解】（1）由题意得，依题意，解得 ， 此时， 当或时，，当时， 所以在单调递减，在单调递增， 所以在处取得极小值，符合题意； （2）若， 依题意，方程有两个根， 令，则方程有两个不同的正根， 则，解得，即的取值范围为. 14．D 【分析】结合函数的单调性和奇偶性画图求解. 【详解】因为函数是定义在上的奇函数，且当时，，所以，选项A错误. 因为当时，，所以， 令得，（舍去），当时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减. 函数在处取到极大值. 又因为函数是定义在上的奇函数，所以，且函数的图象关于原点对称. 函数的图象如下： 结合函数图象可知的零点个数为3，分别是、0、，选项B错误. 的极值点个数为2，分别是、1，选项C错误. 若方程有三个实数根，则的取值范围是，选项D正确. 15．AC 【分析】对分段求解单调性来判断值域，极值等问题即可. 【详解】因为，所以. 当时，， 所以在单调递增，在单调递减，可得值域为. 当时，，在上递增，值域为. 综上所述，值域为，故A正确. 由上可知，极大值点为，极大值为，故B错误. 当时，存在两个单调区间，当时，存在一个单调区间，总共三个单调区间，故C正确. 而，可得只存在一个零点，故D错误. 16．(1)2 (2)当时，的零点个数为3；当时，的零点个数为2 ；当时，的零点个数为1. 【分析】（1）对函数求导，由在处有极值得，求得，再代入分析的单调性，验证函数的极值情况，即得实数的值； （2）求出函数的导数，研究函数的极值和单调性，根据最值的符号结合零点存在性定理，讨论在各个区间内的零点个数. 【详解】（1）， 在处有极小值， ， 此时， 当时，，单调递减；当时，，单调递增 在处有极小值，符合题意. （2），则 ，由解得或，其中. 当和时，，单调递增； 当时，，单调递减. ，， 在内存在一个零点， 且， 设， 则 在内为减函数，， 当时，，即， 时，， 在，上各有一个零点，此时的零点个数为3； 当时，，此时的零点个数为2； 当时，，即，在上无零点，此时的零点个数为1. 17． 【分析】当时，易知不符合题意，时，当时证明无零点，当时，求出的单调区间，可知函数在上单调递增，在上单调递减，且，根据题意可得，求出的范围即可求出的取值范围. 【详解】当时，，只有一个零点，不符合题意； 当时，定义域为， 当时，对恒成立，时无零点； 当时，， 令，， 当时，，函数在上单调递增， 当时，，函数在上单调递减， ，，，， 所以，使得，即， 所以当时，，函数在上单调递增， 当时，，函数在上单调递减， 当，，当，， 若函数恰有两个零点，则， 将代入得， 即， 当时，显然恒成立， 当时，不等式可化为，解得， 所以， 令，， 当时，， 所以函数在上单调递增， 所以当时，， 所以，即实数的取值范围是. 18．(1) (2) 【分析】（1）利用导数求出函数唯一极小值也就是最小值，构造关于参数的新函数研究最值，由最小值非负即可得出唯一解； （2）通过导数划分函数单调区间，分和两种情况进行分类讨论，利用极小值为负，右端趋向于正无穷，从而判定时在上存在唯一零点. 【详解】（1）当时，，则， 令，得. 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以的最小值为， 因为恒成立，所以， 令，则，当时，，单调递增， 当时，，单调递减，所以， 因为，则必有，即. （2）当时，，则， 当时，，所以在单调递增，此时， 所以在上无零点； 当时，令，则， 当时，，则在单调递减； 当时，，则在单调递增， 又因为，所以，且当时，， 所以在有一个零点，符合题意， 综上可得的取值范围为. 19．D 【分析】转化条件得，则 ，令，利用导数求得 的最大值. 【详解】由题意，，， 即，则 ，， 令，， 当 时，， 单调递增； 当 时，， 单调递减； 作函数 的草图如下， 由图可知，当时，有唯一解， 故，且，即， 设，则，令，解得， 当 时，，函数单调递增， 当 时，，函数单调递减， 故，即的最大值为. 20．(1) (2)当时，的单调递增区间为，无单调递减区间，当时，的单调递增区间为，单调递减区间为 (3) 【分析】（1）直接利用“函数在极值点处一阶导数为零”的必要条件，代入建立关于参数m的方程并直接求解. （2）对原函数求导后，以为分界点进行分类讨论，通过判定导函数的正负，从而确定原函数的单调递增与递减区间. （3）将“双变量恒成立”问题转化为“最值比较”问题，并通过构造以求得右侧最值，再结合左侧的最大值即可解出参数m的取值范围. 【详解】（1）由题意得，且，解得. 当时, 函数在左右导数符号异号，极值点成立. 综上. （2）由上知， ①当时， 对任意，都有，因此恒成立， 此时，在上单调递增， ②当时， 令，解得，因为，所以， 当时，，此时，单调递增， 当时，，此时，单调递减. 综上，当时，的单调递增区间为，无单调递减区间， 当时，的单调递增区间为，单调递减区间为. （3）由题意得， 由上知若，单调递增至，无最大值，不符合题意，因此必须有， 当时，的单调递增区间为，单调递减区间为， 所以， 设，则，令，解得， 当时，单调递减， 当时，单调递增， 所以，即恒成立， 即恒成立，当且仅当时等号成立， 令，则有，其中， 所以有，整理得， 因为，所以有， 当且仅当时等号成立, 因为在上严格单调递增，且当时, 当时，且， 故必然存在唯一的使得,即等号可以取得， 即恒成立，即， 则，解得. 综上， 实数的取值范围是. 21．(1)证明见解析 (2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）证明见解析 【分析】（1）求导后，利用导数正负可判断函数单调性，借助单调性计算即可得解； （2）（ⅰ）求导后可判断函数单调性，再结合零点存在性定理即可得证； （ⅱ）结合（1）中所得可得，，构造关于的方程，结合根的判别式与韦达定理可得及，即可得证. 【详解】（1）， 令，则， 故在上单调递减，又， 则当时，，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减， 则，即得证； （2）（ⅰ）， 令，则， 令，则， 当时，，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减， 则，故在上单调递减， 又， 故当时，，当时， ， 即在上单调递增，在上单调递减， 当时，，由，则， 当时，，由，则，当时，， 故有两个零点，，且若，则； （ⅱ）由（1）知，恒成立， 当时，有，即， 不妨设，则，有， 即，则，整理得； 当时，有，即， 又，即， 则，整理得， 设关于的方程，， 故该方程有两根，设为、，且，则， 由，， 则，故. 22． 【分析】先求出的最小值将原命题转化为有解的问题，随后运用参变分离法构造新函数并求其极小值，即可得出参数的取值范围. 【详解】由题意得， 则当时，，即在上单调递增， 则；由使得成立， 则在上有解，即在上有解， 令，因为，则， 故在上单调递减，则，即实数的取值范围是． 23．(1)0 (2)2个 (3)由题设，． ①当时，，，所以，即． 所以在区间上单调递减； ②当时，，，所以，即． 所以在区间上单调递增． 因为，且，所以． 令，． 因为，当且仅当时等号成立． 所以当时，． 所以． 所以，即． 因为，所以． 因为，所以． 因为在区间上单调递减，，， 所以，即 【分析】(1)通过复合函数求导并代入求解切线斜率进而求出切线方程. (2)表示出后构造新函数，通过单调性求解零点个数. (3)通过原函数单调性求出范围后，构造新函数求解. 【详解】（1）因为， 所以． 所以曲线在点处的切线的斜率为0． （2）由题设，． 因为，所以是的一个零点． 当时，等价于． 设函数，，则． 令，解得． 当时，，在区间上单调递减； 当时，，在区间上单调递增． 因为，所以当时，． 又，， 当时，． 又根据零点存在定理，存在唯一，使得． 综上，当时，有2个零点． （3）略 24．(1) (2) (3)将代入，原方程化为， 即， 则有， 两式相减，得， 即， 故原不等式变形为. 不妨令，不等式两端同时除以，则不等式可变形为. 令，则不等式可继续变形为， 即证在时恒成立， 故令， 则恒成立， 故在时单调递增，则恒成立， 故命题得证. 【分析】(1)代入后通过单调性求解. (2)通过单调性一步步对范围进行排除，最后确定的范围. (3)通过实根的性质构造新的关于的函数求证. 【详解】（1）当时，， . 令，得， 当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增， 故在处取得最小值， . （2）当时，恒成立， 即， 即. 令，即求在时恒成立， . ①当时，恒成立，故在上单调递减， 则当时，恒成立； ②当时，在上单调递减，且， 则在上恒成立，故在上单调递增， 则成立，与题干矛盾，舍掉； ③当时，恒成立，故在上单调递增， 则恒成立，与题干矛盾，舍掉. 综上所述，满足要求. （3）略 25．(1) (2) (3)由两边同时取对数得， 已知是的两根，所以， 设，因为，所以， 将代入得， 则， 即， 则问题转化为证明：当时，，即证， 设，则 ， 因为，所以且， 因此在上，,单调递增， 所以,即， 由此可得，即， 两边同时取指数，则有，命题得证. 【分析】(1) 运用导数的几何意义求出切线方程，再通过计算该切线在两坐标轴上的截距来求解三角形面积, (2) 采用分离参数法，将“存在实数使不等式成立”的问题，转化为求解新构造函数最小值的最值问题, (3)使用换元法，将难以处理的双根不等式问题，转化为关于单变量的函数单调性证明问题. 【详解】（1）当时，, 则，即切点坐标为, ，， 则切线方程为， 令，得轴截距为，令，得轴截距为， 则切线与两坐标轴围成的三角形的面积. （2）已知，则，若存在正实数x，使， 即，即有解， 因为，两边同时除以得， 即， 令， ， 易得，，则的符号完全由决定， 所以当时，，单调递减， 当时， ，单调递增， 所以， 即. （3）略 26．(1)的取值范围是； (2)由是的零点，得，，所以， 令，则，代入上式得，所以，： 要证，即证， 因为，等价于证明： 令，， 令，， 时，，故在单调递增，所以， 所以在单调递增，故，即， 所以． 【分析】（1）先对函数求导，分析单调性，找到极小值点；函数有两个零点等价于极小值小于，结合极限趋势，解得； （2）利用为零点的条件，通过两式相除引入参数，将转化为关于的表达式；构造函数并求导，证明该表达式恒大于，完成极值点偏移类问题的证明． 【详解】（1）函数有两个零点，即方程有两个不同的实根， 当时，， 所以在上为增函数，最多只有一个零点，不符合题意， 当时，， 令，解得， 时，，单调递减；时，，单调递增， 所以在处取得极小值，也是最小值，且， 因为有两个零点，所以，即，解得， 又当时，，，故； 当时，增长速度远大于，故， 所以，当时，有两个零点， 综上，的取值范围是； （2）略 27．(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）借助导数的几何意义计算即可得； （2）由题意在上恒成立，参变分离后，构造函数求导后计算最小值即可得； （3）利用导数求出单调性后，设，结合正负性可得、范围，再利用比值换元法，可得，，即可将证明转化为证明在上恒成立，构造相应函数并借助导数研究其单调性即可得. 【详解】（1）若，则，， ，又， 故曲线在点处的切线方程为； （2）由时，，即，整理得， 令，，则， 故在上单调递减，则，即； （3）若，则，， 故当时，，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减， 又时，，时，， 则，不妨设，则， 由，则， 两边同取对数，可得， 故，令，则， 即，，故， 要证，只需证，即只需证， 令， 则， 故在上单调递增，则， 即有恒成立，即得证. 28．(1) (2)证明见解析 【分析】（1）把问题转化为在定义域上恒成立，即，然后利用导数求出的最大值即可； （2）由，令，问题转化为在上恒成立，构造函数，只需利用导数证明在上单调递增即可. 【详解】（1）∵在上是减函数， ∴在定义域上恒成立， ∴，设，则， 由，得，由，得， ∴函数在上单调递增，在上单调递减， ∴．∴． 故实数m的取值范围是． （2）由（1）知， ∵函数在上存在两个极值点，，且， 则由，两式相加、相减分别可得与， ∴，∴， 设，则，要证， 只需证，只需证，只需证， 构造函数，则， ∴在上单调递增， ∴，即，∴． 29．(1) (2)证明：要证，即证．令，， 依题意，只需证当时，恒成立． 方法一：因为，，解，得， 所以当时，，函数在上单调递增； 当时，，函数在上单调递减． 所以函数在处取得极大值，也是最大值． 只需证函数的最大值． ， 因为，所以．因为，所以． 所以恒成立，所以当时，恒成立． 方法二：设，，则． 因为函数在上单调递减，且， 所以当时，，函数在上单调递减． 所以当时，，即，当且仅当时，等号成立． 因为当时，，所以． 所以当时，恒成立． (3)证明：由（2）知，对任意，． 取，得． 分别取，个不等式两边分别求和，得 ． 化简，得． 即． 【分析】（1）求出函数的导数，根据导数的几何意义，求切点处的切线方程； （2）问题转化为证明当时，，方法一，利用导数求的最大值；方法二，证明时，，又，可证； （3）利用（2）中的结论，结合数列的求和公式证明. 【详解】（1）因为，，所以，，所以． 所以曲线在点处的切线方程为，即． （2）略 （3）略 30．(1) (2)当时，在上单调递减；当时，在和上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减． (3) 由（2）知，当时，函数在上单调递减， 所以当时，即，所以， 将代入上式，得， 所以，于是，，将上述式子累加得： ， 即命题得证． 【分析】（1）代入参数，求函数导数得到切线斜率，结合切点坐标，利用点斜式求解切线方程； （2）对函数求导并整理为分式形式，结合判别式与二次函数根的分布，分类讨论导函数符号，进而确定函数单调区间； （3）利用第二问单调性推导放缩不等式，对不等式赋值后累加，再通过代数放缩完成不等式证明. 【详解】（1）当时，，，，又， 故曲线在点处的切线方程为． （2）函数的定义域为，． 当，即时，函数在上单调递减； 当，即时，若，令，得， 和时，， 时，， 所以函数在和上单调递减， 在上单调递增； 若，令，得，（舍）, 时，；在,； 函数在上单调递增，在上单调递减． 综上，当时，在上单调递减； 当时，在和上单调递减， 在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减． （3）略. 31．(1)的定义域为， 当时，， ．令，则， 当时，；当时，． 所以的单调递增区间为，单调递减区间为． 所以， 所以． (2)（i）． （ii）由（i）可得，， ， 所以． 要证， 只需证 即证． 令， 只需证， 令，则， 所以，所以在上单调递增， 因为，所以，即．所以． 【分析】（1）代入，对求导，判得单调性求出最小值为，从而证得； （2）（i）把存在两个极值点，，且，转化成在上有两个不等正根，利用根的分布即可得的取值范围； （ii）由根与系数的关系得和，代入化简，再令，构造函数证明即可. 【详解】（1）略 （2）（i）因为，所以， 因为存在两个极值点，，且，所以在上有两个不等正根， 即有两个不等正根，令, 则，即，解得． 故实数的取值范围为 （ii）略 32．(1) (2)由（1）得， 令，则 令，解得或； 令，解得或， 所以在和上单调递增，在和上单调递减， 的极大值为和， ，， 因为，所以，故， 结合函数的单调性可得对所有成立， 即成立 【分析】（1）求出的导数，由可得的值; （2）求出的解析式,令，求得导数,进而得到的单调性,求得,的极大值，即可得证. 【详解】（1）展开得， 求导得， 又在处有极小值，故，解得或 当时，，故为极小值点，符合题意； 当时，，故为极大值点，不符合题意；综上，实数的值为1． （2）略 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $