课时20 导数的综合应用（教用版）-【创新教程】2027年高考数学总复习大一轮课时作业（北师大版）

高考总复习数学(BS) 课时冲关20导数的综合应用 学生用书P274 1.已知函数f(x)=xlnx(x>0) 解：(1)f(x)的定义域为(0，十∞)， (1)求函数f(x)的极值； f(x)=g+1=x十a.当a≥0时，f(x)>0, (2)若存在x∈(0，十∞)，使得f(x)≤ 所以f(x)在(0，十o∞)上单调递增. 一十m一3成立，求实数m的最小值， P 当a<0时，若x∈(-a,十o∞)，则f'(x)>0; 若x∈(0，-a),则f(x)<0 解：(1)由f(x)=xlnx,得f(x)=1十lnx,定 所以f(.x)在（一a,十oo)上单调递增， 义域为(0，十∞)， 在(0，一a)上单调递减. 令f)>0,得>名令fx)0,得0K<日 综上所述，当a≥0时，f(x)在(0，十∞)上单调 递增； 所以f()在(0，)上单调道减，在 当a<0时，f(x)在(-a,十o∞)上单调递增，在 (0,一a)上单调递减. (日+上单调递增。 (2)当a=1时，要证xf(x)<e, 所以f)在x=是处取得极小值，且为f(日) 即证x2+xlnx<e',即证1十ln2< 一日无板大位 令函数g(x)=1十ln, x (2)由fx)≤二x2+mx-3 则g)=1三令g≥0得e0e: 2 令g'(x)<0,得x∈(e,十∞). 得m≥2xlnx十x2+3 所以g(.x)在(0，e)上单调递增，在(e,十o∞)上单 x 调递减， 问题转化为m≥ 2xln x+a+3 min 所以gx)=g(e)=1+是，令函数h(x)= 令g）2alnr++3=2hx+x+3(>0). 号则r)-2 则g(x)=二+1-3=2+2x-3 当x∈(0,2)时，h'(x)<0;当x∈(2，十o∞)时， T2 h'(.x)>0. =(x+3)(x-1) 所以h(x)在(0,2)上单调递减，在(2，十∞)上 单调递增， 由g'(x)>0,得x>1; 所以h)n=2=号.因为号-（1+)>0， 由g'(x)<0,得0<x<1. 所以h(x)min>g(x)mx' 所以g(x)在(0,1)上单调递减，在(1，十∞)上 单调递增 即1+lnx<e ,从而f(x)<c得证. 所以g(x）min=g(1)=4,则m≥4. 3.已知函数f(x)=-x+ax-,g(x)=e-c 故m的最小值为4. (e为自然对数的底数). 2.已知函数f(x)=alnx十x. (1)若曲线y=f(x)在(0，f(0)处的切线与曲 (1)讨论f(x)的单调性； 线y-g(x)在(0，g(0)处的切线互相垂直，求 (2)当a=1时，证明：xf(x)<e. 实数a的值； ·442· 主题二第三章导数及其应用 lf(x),f(x)≥g(x), (2)设函数h(x)= 试讨论 g(x),f(x)<g(.x), 若f)=a一是=0，即a=是时y=Ax)有三 函数h(x)零点的个数 个零点； 解：(1)f'(x)=-3x2+a,g'(x)=e,所以 若f0)=a一普>0，年a>时y=)有两 f'(0)=a,g'(0)=1,由题意，知a=-1. 个零点. (2)易知函数g(x)=e-e在R上单调递增，仅 在x=1处有一个零点，且x<1时，g(x)<0, 筛上所选，当a<号我a>时y=h(x)有两个 又f'(x)=-3.x2+a, ①当a≤0时，f'(x)≤0，f(x)在R上单调递减， 零点：当a=是或0=是时y=6()有三个案 且过点(，-)-1D= -a>0, 点：当<a<时y=A()有四个零点 即f(x)在x≤0时必有一个零点，此时y=h(x) 4.已知两数x)=十产，周线y=x)在点 有两个零点； ②当a>0时，令f'(x)=-3.x2十a=0,得两根 (1,f(1)处的切线方程为x十2y一3=0. (1)求a,b的值； 为x1=√3 <0，3 >0 (2)证明：当x>0,且x≠1时，f(x)>1n x-1 则号是函数f代)的一个极小值点号是函 a 解：(1)f(x) -1m 数f(x)的一个极大值点， 由于直线 (x+1) 而(-（√骨+（青 x十2y一3=0的斜率为一 ,且过点(11)，所 1 2aa-1<0 f(1)=1 b=1, 3W3 4 现在讨论极大值的情况： 月=-骨+--/g 解得21， 6=1. 当0中时， 2证明：由1知x)=+上所以 函数y=f(x)在(0，十∞)上恒小于零，此时y= x-1x+1 h(x)有两个零点： Hx)=2nx-(e-)]>0.构造函 0+)上有-个零点此时y 数A)=nx-2{-)x>0,则A) h(x)有三个零，点； 士+)=-“2D<0,于是6)在 当f>0，即a>是时，函数y=f(x)在 (0,十∞)上单调递减. 当0<x1时，h(x)单调递减，所以h(x)> (0,十∞)上有两个李点，一个零点小于侣 a1=0,于是Hx)=1己7Ax)>0:当>1 个零点大于3： a 时，h(x)单调递减，所以h(x)<h(1)=0,于是 若f1)=a一号<0，即a<号时y=()有四 H)=1已h()>0 个零点； 综上所选，当>0，且x≠1时，f(x)>气 ·443· 高考总复习数学(BS) 5.已知函数f(x)=ae2r+(a-2)·e-x. (3)若函数f(x)=xe和g(x)=msin x(m<0) (1)讨论f(.x)的单调性； 在区间(0，π)上具有C关系，求实数m的取值 (2)若f(x)有两个零点，求a的取值范围 范围。 解：(1)f(x)的定义域为(-o∞，十∞)，f(x)= 解：(1)f(x)与g(x)是具有C关系，理由如下： 2ae2x+(a-2)e-1=(ae-1)(2e+1). 根据定义，若f(x)与g(x)具有C关系，则在 (i)若a≤0，则f'(x)<0,所以f(x)在(-o∞， f(x)与g(x)的定义域的交集上存在x,使得 十∞)上单调递减. f(x)十g(x)=0,因为f(x)=log2(8.x2),g(x) (i)若a>0,则由f'(x)=0,得x=-lna. =logx,x>0,所以f(.x)+g(.x)=log2(8.x2) 当x∈(-∞，-lna)时，f(x)<0;当x∈(-lna, +log+x=log28+log22-logzx logzx+3, 十∞)时，f(x)>0.所以f(x)在(-o∞，-lna)上 单调递减，在(-lna,十o∞)上单调递增. 令f)十g)=0,即10gx+3=0,解得x=g (2)(i)若a≤0，由(1)知，f(x)至多有一个 所以f(x)与g(x)具有C关系， 零点。 (2)令p(x)=f(x)十g(x),因为f(x) (i)若a>0,由(1)知，当x=-lna时，f(x)取 aWx-1,g(x)=-x-1,所以o(x)=a√x-1-x 得最小值，最小值为f(一1na)=1一+1na. a -1(x≥1)，令t=√x-1(t≥0)，则x=t2+1,故y ①当a=1时，由于f(-lna)=0,故f(x)只有 =g(x)=at-(t2+1)-1=-t2+at-2, 一个零点； 因为f(x)与g(x)不具有C关系，所以P(x)在 ②当a∈(1，十0)时，由于1-1+1n4>0,即 [0,十∞)上恒为负或恒为正，又因为y=-t2十 at-2开口向下，所以y=-t2+at-2在[0， f(-lna)>0,故f(x)没有零点； +o∞)上恒为负，即-t2十at-2<0在[0，十∞) ③当aeo,1D时，l-日+lha<0,即-lna0 上恒成立，当t=0时，-t2十at-2=-2<0显 又f(-2)=ae4+(a-2)e2+2>-2e2+2 然成立：当>0时a<1+号在[0，十o)上恒成 >0,故f(x)在(-o∞，-lna)有一个零点. 立，因为1什2≥2，=22，当且仅当1= 2 设正整效满足%>1n(怎-1则f(a,) t e"(ae",+a-2)-no>e"o-no>2",-no>0. 即t=√2时，等号成立， 由于n(8-1-ha,图此fx)在(-na =2√2，所以a<22, 十∞)有一个零点. 综上：a<2√2，即a∈(-o∞，2√2) 综上，a的取值范围为(0,1). (3)因为f(.x)=xe和g(x)=msin x(m<0), 6.定义：如果函数y=f(x)和y=g(x)的图象上 令h(x)=f(x)+g(x), 分别存在点M和N关于x轴对称，则称函数y 则h(x)=xe十msin x, =f(x)和y=g(x)具有C关系. 因为f(x)与g(x)在(0，π)上具有C关系，所以 (1)判断函数f(.x)=log(8.x2)和g(x)=log号x h(x)在(0，π)上存在零点， 是否具有C关系； 因为h'(x)=(x十1)e十m cos x, (2)若函数f(x)=a√x一1和g(x)=一x-1不 当-1≤m≤0且x∈(0，π)时，因为(x+1)e>1, 具有C关系，求实数a的取值范围； |m cos x|<m≤1，所以h'(x)>0, ·444… 主题二第三章导数及其应用 所以h(x)在(0，π)上单调递增，则h(x)>h(0) 故x=1时，函数取得最小值1一>0， e =0,此时h(x)在(0，π)上不存在零点，不满足 即y=xlnx+1>0, 题意； 当m<-1时，显然当x∈[登时(x)>0, 故原方程可转化为1一2a=z十1) xln x+1' 当x(0,)时，因为h)在(0，上单调递 令g(x)=（x十1)2 xln x+1' 增，且h0=1+m<0,h()-（经+1e>0, 则g'(x)=x十1)Inx-1)(x-1D (xIn z+1)2 因为x>0,易得当x>e或0<x<1时，g'(x) 故()在(0，受)上存在唯一零点，设为a,则 >0,函数单调递增，当1<x<e时，g'(x)<0, h'(a)=0,所以当x∈(0，a),h'(x)<0;当x∈ 函数单调递减， (a,)h(x)>0:又当x∈[受x时，h')>0, 故当x=1时，函数取得极大值g(1)=4,当x= e时，函数取得极小值g(e)=e十l, 所以h(x)在(0，a)上单调递减，在(a,π)上单调递 由题意可得，y=1-2a与g(x)有3个交点， 增，h(x)在(0，π)上存在唯一极小值点a,因为 则e十1<1-2a<4, h(0)=0,所以h(a)<0,又因为h(π)=πe">0, 所以h(x)在(0，π)上存在唯一零点B,所以函数 解得-<a<一 f(x)与g(x)在(0，π)上具有C关系，综上：m< -1,即m∈(-∞，-1). 7.己知函数f(x)=xlnx-(a+1)x+1,a∈R. 8.(2025·天津卷)已知函数f(x)=a.x-(1nx)2. (1)求函数f(x)的单调区间和极值； (1)a=1时，求曲线y=f(x)在点(1，f(1)处 (2)若方程(2a-1) (f2+a+1++x+2 的切线方程： (2)f(x)有3个零点x1,x2,3,且x1<x2<x3· =0有三个解，求实数a的取值范围， (i)求a的取值范围； 解：(1)函数的定义域(0，十o∞)，f(x)=lnx-a, 当x>e时，f(x)>0,函数单调递增，当0<x (1)证明：a:-la)1a<气 <e时，f(x)<0,函数单调递减， 解：(1)当a=1时，f(x)=x-(lnx)2,x>0, 故当x=e时，函数取得极小值f(e)=1一e, f(1)=1, 没有极大值。 f()=1-2n工，f(1)=1,所求切线方程为y (2)由(2a-D(2+a+++x+2=0 =(x-1)+1,即x-y=0. 整理可得(1-2a)(.xlnx+1)=(.x+1)2, (2)(1)因为x>0,所以原问题可转化为：方程 令y=xlnx+1,则y'=lnx+1=0,可得 a=n有3个不相等的实根2，，且 x1<x2x3· 易得当x>上时，函数单调递增，当x<上时，函 令g(x)=血，x),则问题转化为：直线y=a与 e 数单调递减， 函数g(x)的图象有3个不同的交点. ·445· 高考总复习数学(BS) 2ln z.x-(In x) g'(x)=- (2-In a)inz, 令g'(x)=0,得(2-lnx)lnx=0. 2 则lnx=0或lnx=2,解得x=1或x=e2. 当0<x<1时，lnx<0,2-lnx>0,所以g'(x) 由(i)可知，>e,g()=血@)< <0,g(x)在(0,1)上单调递减； 当1<x<e2时，lnx>0,2-lnx>0,所以g'(x) 是，则-hn<是 >0,g(x)在(1，e2)上单调递增； 当x>e2时，lnx>0.2-lnx<0,所以g'(x)< 由e-2)>0,得c>4e-4=4(e-1D,脚号 0,g(x)在(e2,十o∞)上单调递减. 由g(x)的单调性可知，g(x)的极小值为g(1) e-1' =0,g)的极大值为ge)=专 剥-an<是 当x→0时，lnx→-o∞，(1nx)2→+o∞， 令=，=心1，n-h √x2 +0,所以g(x)→+o∞. x lnt+ln√， 当x→十o∞时，g(x)→0. t·√x2 因为直线y=a与函数g(x)的图象有3个不同 荟理得n国片h瓜- 的交点，结合g(x)的图象（图象略）可知，0<x1 <1<,<e<且0Ka<4 故hh->D. 故a的取值花阔为，》 证明(nG-1nV)·hG<1+。 -血面n瓜<以及a居·h因 即（合n小（合小大台 ->以.以到 (ln√-ln√)·ln√=ln√·ln√ 即证In-lh)l血<。二 即证nG-h网1n属<中 -hh医<器+ 1+ 委值n加当把 1即可， 由(i)中可知0<x1<1<x2<e2<x3,且0<a <号，则<11K<e>e, 即证a号> 又a=n)=hx)2-nx 令h()=1n1-,则Ke=二E-1D 一，则 2t X? -In t=In z:=In=a, 又t>1,则h'(t)<0,h(t)在(1，十o∞)上单 √x√a 调递减， -- 则h(t)<0,即1nt<1,命题得证. √x1 ·446·