3.5 利用导数研究不等式恒成立、有解问题（精练）-备战2027届高考数学一轮复习精讲精练（全国通用）

**基本信息** 聚焦导数应用核心，通过分层题型系统训练不等式恒成立与有解问题，强化数学思维中的推理能力与运算能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |恒成立问题|8（选择7+填空1+解答3）|含参数不等式在指定区间恒成立，需求参数范围|导数研究函数最值→转化为最值与参数关系，体现数学语言的模型观念| |有解问题|6（选择1+多选2+填空2+解答1）|存在性不等式，涉及正整数参数、多变量等|导数分析函数值域→建立参数与存在性条件的逻辑链，培养数学眼光的抽象能力|

3.5 利用导数研究不等式恒成立、有解问题（精练） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（25-26高二下·安徽芜湖·阶段检测）已知不等式对任意恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】不等式可整理为， 设函数， 令，解得：，，解得：， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 则，所以， 则实数的取值范围是. 2．（25-26高二下·安徽阜阳·期中）若不等式有解，则实数m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】令，求导研究其单调性，进而求其最小值，使即可. 【详解】令，则， 则得；得， 则在上单调递减，在上单调递增， 则， 因不等式有解，则，得， 则实数m的取值范围为. 故选：C 3．（2026高一·全国·专题练习）已知函数，若在恒成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先依题意分离参数，再构造函数并探讨其最值，进而即可求出的取值范围． 【详解】由在恒成立， 则，，      令，， 则， 当时，，则在上单调递增； 当时，，则在上单调递减， 所以，即， 所以的取值范围为． 故选：D． 4．（2026高三·全国·专题练习）已知不等式，在上恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用含参讨论，借助端点值，要使得恒有，则在的区间不能有，从而找到矛盾，即可得到结论. 【详解】由题意可得，在上恒成立， 构造函数，令， 其， 令， 则 当时，有， 所以在上单调递减， ①当时，，故单调递减，，符合题意． ②当时，令，可得当时， ，故，此时，不符合题意． ③当时，令，可得当时， ，且，故， 即，此时，不符合题意． 综上，的取值范围为， 故选：C． 5．（25-26高二上·广东深圳·期末）函数，若存在，使有解，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】构造函数，利用导数求最值，进而得的取值范围. 【详解】若存在，使得有解，即． 设，，则． 令，解得， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减，所以． 故的取值范围为． 故选：A 6．（2025·四川成都·一模）若存在使得不等式成立，则正实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】把问题转化为：存在，使得成立，再设，，分析函数单调性，求函数的最大值即可. 【详解】由， 设，，则， 因为，，所以，所以在上单调递增， 由， 问题转化为存在，使得成立， 设，， 则， 由；由， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以， 所以. 故选：C 7．（25-26高二下·河南信阳·期末）已知函数，若对任意恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据导函数的单调性和零点判断函数单调性，利用隐零点表示出最小值，结合基本不等式求解可得. 【详解】，因为和在上单调递增， 所以在上单调递增， 当时，当时， 所以存在，使得，即， 当时，当时， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以在处取得最小值， 对任意恒成立，等价于对任意恒成立， 由得，代入得： ， 因为，所以由基本不等式得， 当且仅当时，等号成立， 要使对任意恒成立，只需，即. 8．（25-26高二下·山东枣庄·期末）已知函数，存在，使得，则实数的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可知存在，使得，然后分、两种情况讨论，在时，直接验证即可；在时，构造函数，其中，分析该函数的单调性，将所求不等式变形为，结合函数的单调性得出，即，再构造函数，其中，只需，结合导数求解即可. 【详解】由题意可知存在，使得，即， 即， 当时，因为，则， 此时，符合题意； 当时，因为，则， 构造函数，其中，则， 所以函数在上单调递增， 由可得， 所以，可得， 构造函数，其中，只需， ，由可得，由可得， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以函数在处取得极大值，亦即最大值，且， 所以，即实数的最大值为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（26-27高三·全国·一轮复习）（多选）已知函数，存在使得能成立，则的值可以为（    ） A．－1 B． C．1 D．2 【答案】ABC 【分析】求导得，再分、讨论函数单调性，利用单调性得到最值，结合题意求出的范围即可求解． 【详解】的定义域为，， （ⅰ）若，则，所以在单调递减． 且，故存在使得能成立，故A正确． （ⅱ）若，则由得． 当时，；当时，， 所以在单调递减，在单调递增． 当时，取得最小值，最小值为． 故只需，又与均递增， 故单调递增，故， 综上所述正确． 10．（25-26高二下·四川宜宾·阶段检测）设函数，若恒成立，则满足条件的正整数可以是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】CD 【分析】根据题意可得，利用导数结合分类讨论解决恒成立问题. 【详解】若恒成立，则恒成立， 构建，则， ∵，故，则有： 当，即时，则在时恒成立， 故在上单调递增，则， 即符合题意，故满足条件的正整数为1； 当，即时，令，则， 故在上单调递减，在上单调递增，则， 构建，则当时恒成立， 故在上单调递减，则， ∵， 故满足的整数； 综上所述：符合条件的整数为1或2，C、D正确 11．（2026高三·全国·专题练习）（多选）若对于，不等式恒成立，则关于整数的取值下列正确的有（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】BCD 【分析】由可得对恒成立.设，求导得.设，由在的单调性及零点存在性定理可知存在，使得，利用导数可得函数的最大值为，则，所以.结合，即可求解. 【详解】因为，所以不等式恒成立等价于对恒成立. 设，. 设，则在单调递增，且，， 所以由零点存在性定理可得存在，使得， 当时，，，函数在上单调递增； 当时，，，函数在上单调递减， 所以函数的最大值为，且， 所以，所以. 又，所以，所以整数的最小值为2. 故选：BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（25-26高二下·辽宁大连·期末）已知函数，若恒成立，则实数a的取值范围为_______． 【答案】 【分析】首先对进行分类讨论，当时，利用函数最小值满足的条件求解参数范围. 【详解】当时，，满足恒成立，符合题意； 当时，恒成立，在上单调递增， 当时，，，故， 所以存在使得，不满足题意； 当时，令，得， 当时，，当时，， 此时在上单调递减，在上单调递增， 所以， 令且，所以，解得， 综上，实数a的取值范围为. 13．（2026高一·全国·专题练习）关于的不等式在有解，则的取值范围为______． 【答案】 【分析】根据对数的运算性质，分离参数，将问题转化成在有解问题，然后求不等式右边的最小值即可. 【详解】先证明，则， 当时，单调递增， 当时，单调递减， 故，即，当且仅当时等号成立； 当，两边取对数可得，，当且仅当时等号成立. 由题设有，又由题设可得在有解， 故在有解， 而，，当且仅当时等号成立， 故，当且仅当时等号成立， 故函数的最小值为，故，故. 故答案为： 14．（25-26高二下·黑龙江齐齐哈尔·阶段检测）已知存在使不等式成立，则m的取值范围为__________． 【答案】 【分析】将不等式转化为，令，，求导判断函数的单调性，推得，结合题意，可得，求解即得. 【详解】由， 令，， 则， 设，可得 则函数在上单调递增， 又由， 则函数在上存在唯一零点， 即，即， 当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增， 则当时，函数取得最小值， 为， 由题意，存在成立，需使， 所以，即. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（25-26高二下·福建泉州·阶段检测）设函数在处取得极值. (1)求a的值，并求的单调区间； (2)若，有，求b的取值范围. 【答案】(1)，的单调递减区间为，单调递增区间为 (2) 【分析】（1）先求导，再由题意，可求a的值，根据定义域，令，可得增区间，令，可得减区间； （2）参变分离转化成新函数求导求最小值问题. 【详解】（1）因为在处取得极值，且， 则，所以，则， 又的定义域为， 所以时，，时，， 所以的单调递减区间为，单调递增区间为 （2）因为，有，则， 即恒成立，令，则 求导，， 当时，时， 所以在上单调递减，在上单调递增， 则， 所以，即b的取值范围为. 16．（25-26高二下·江苏徐州·期末）已知函数（a为常数）， (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)不等式在上有解，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用导数的意义可得； （2）分离参数后构造函数，利用导数分析单调性和最值可得. 【详解】（1）当时，，， ，，         曲线在点处的切线方程． （2）在上有解在上有解， 在上有解，         令，，则， 当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减，     因为，，     所以当时，取最小值，，         所以，故实数a的取值范围是． 17．（25-26高三下·重庆·阶段检测）已知，其中． (1)若，求函数在点处的切线方程； (2)对任意的，总存在，使得，求a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出、后可得切线方程； （2）根据的符号得的单调性，再求出在、在上的值域，根据它们的包含关系可求参数的取值范围. 【详解】（1）因为，， 所以，则，， 故点处的切线方程为，即． （2）由题意得， 0 0 0 递减 极小值0 递增 极大值 递减 所以的单调增区间是，单调减区间是和． 由，当时，，当时，． 因为对于任意的，总存在，使得， 故，所以，所以． 设，，问题转化为． 下面分两种情况讨论：                  情形一：当，即时，有，在上单调递减， 故在上的取值范围，故， 而在上的取值范围，故， 所以，不符合题意； 情形二：当时，，在上单调递减， 故的取值范围，故， 而，在上单调递减，故， 满足，故符合题设要求. 情形三：当，即时，此时， 故此时在上的取值范围，故， 而在上的取值范围，即， 而，故成立， 综上，a的取值范围为． 18．（25-26高二下·辽宁沈阳·阶段检测）已知函数（）. (1)讨论函数的单调性； (2)令，若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)当时，在和上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增； 当时，在和上单调递增，在上单调递减 (2) 【分析】（1）对函数求导，再令，进而可得，从而可得导函数的两个零点，再根据两个零点大小分类讨论可得. （2）由不等式进行参数分离得，再构造函数，将函数变形为，再用导数证明恒成立，进而可得，从而可得函数的最小值并结合条件可得结果. 【详解】（1）由函数，且， 所以函数的定义域为，且， 令，则. 令，解得或，且函数与都在上单调递增. ①当，即时， 若，则或；若，则. 所以在和上单调递增，在上单调递减. ②当，即时，恒成立，在上单调递增. ③当，即时， 若，则或；若，则. 所以在和上单调递增，在上单调递减. 综上所述，当时，在和上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增； 当时，在和上单调递增，在上单调递减. （2）由，得， 即对任意恒成立， 设，， 令，，设，则， 令，得，令，得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 则，即，当且仅当时等号成立， 由于在上单调递增，且时， ，时，， 所以存在唯一，使得，即. 所以，当且仅当时等号成立， 因此，又因为，则实数的取值范围为. 19．（25-26高二下·天津南开·阶段检测）已知函数． (1)若在单调递增，求的取值范围； (2)当时，若，对，使得，求的取值范围； (3)若有两个极值点，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题意可得，求导，由在上单调递增，可得在上恒成立，只需，，结合导数即可求解； （2）由题意得出，利用导数求解即可. （3）函数有两个极值点，等价于 在 上有两个不同的根；令 ，利用二阶导数或导数的应用可求出，从而可得出结论. 【详解】（1），其中， 则， 因为在单调递增，所以在上恒成立， 所以在上恒成立，即，， 设，，， 所以在上单调递增，所以，所以， 故的取值范围为. （2）当时，若，对使得，则， 因为,当时，,所以函数在上单调递增， 故当时，， 当时，，其中，则， 此时，函数在上为减函数， 故当时，， 所以，，解得. 因此，实数的取值范围是. （3） ，其定义域为 ， 则 ，令 ，则 在 上有两个不同的根， 等价于 在 上有两个不同的根； 令 ，. 令 ，则 ，所以在 上单调递减； 又因为，所以当时， ，即 单调递增； 当 时， ，即 单调递减；所以 . 当 时， ；当 时，. 要使 与 的图象有两个不同的交点，则 ， 即 的取值范围是 . 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.5 利用导数研究不等式恒成立、有解问题（精练） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（25-26高二下·安徽芜湖·阶段检测）已知不等式对任意恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·安徽阜阳·期中）若不等式有解，则实数m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 3．（2026高一·全国·专题练习）已知函数，若在恒成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．（2026高三·全国·专题练习）已知不等式，在上恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高二上·广东深圳·期末）函数，若存在，使有解，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．（2025·四川成都·一模）若存在使得不等式成立，则正实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高二下·河南信阳·期末）已知函数，若对任意恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．（25-26高二下·山东枣庄·期末）已知函数，存在，使得，则实数的最大值为（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（26-27高三·全国·一轮复习）（多选）已知函数，存在使得能成立，则的值可以为（    ） A．－1 B． C．1 D．2 10．（25-26高二下·四川宜宾·阶段检测）设函数，若恒成立，则满足条件的正整数可以是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 11．（2026高三·全国·专题练习）（多选）若对于，不等式恒成立，则关于整数的取值下列正确的有（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（25-26高二下·辽宁大连·期末）已知函数，若恒成立，则实数a的取值范围为_______． 13．（2026高一·全国·专题练习）关于的不等式在有解，则的取值范围为______． 14．（25-26高二下·黑龙江齐齐哈尔·阶段检测）已知存在使不等式成立，则m的取值范围为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（25-26高二下·福建泉州·阶段检测）设函数在处取得极值. (1)求a的值，并求的单调区间； (2)若，有，求b的取值范围. 16．（25-26高二下·江苏徐州·期末）已知函数（a为常数）， (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)不等式在上有解，求实数a的取值范围． 17．（25-26高三下·重庆·阶段检测）已知，其中． (1)若，求函数在点处的切线方程； (2)对任意的，总存在，使得，求a的取值范围． 18．（25-26高二下·辽宁沈阳·阶段检测）已知函数（）. (1)讨论函数的单调性； (2)令，若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围. 19．（25-26高二下·天津南开·阶段检测）已知函数． (1)若在单调递增，求的取值范围； (2)当时，若，对，使得，求的取值范围； (3)若有两个极值点，求实数的取值范围． 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $