3.1 导数的概念及运算（精练）-备战2027届高考数学一轮复习精讲精练（全国通用）

**基本信息** 聚焦导数概念与运算，通过分层题型构建从定义理解到综合应用的逻辑链条，培养运算能力与几何直观 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念理解|3题|定义辨析、瞬时变化率|从导数定义出发，关联函数变化率的数学表达| |导数运算|5题|公式应用、复合函数求导|以基本求导法则为核心，构建运算体系| |切线问题|7题|切线方程、公切线、切线条数|衔接导数几何意义，体现数与形的转化| |综合应用|4题|运动模型、切线综合|整合概念与运算，发展应用意识与推理能力|

3.1 导数的概念及运算（精练） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（25-26高二下·福建厦门·阶段检测）已知函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意知，则， 故. 2．（25-26高二下·河北·期末）已知函数，则（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】A 【详解】因为，所以，解得. 3．（25-26高二下·广西崇左·期末）曲线在点处的切线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先对函数求导，得到处的导数值即切线斜率；再结合切点坐标用点斜式写出切线方程即可. 【详解】由可得：. 则曲线在点处的切线斜率， 所以曲线在点处的切线方程为，整理得. 4．（25-26高二下·内蒙古锡林郭勒·期末）函数在处的导数为（     ） A．0 B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以 于是 5．（25-26高二下·黑龙江·期末）曲线在处的切线斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据导数的几何意义求解即可. 【详解】 . ，故曲线在处的切线斜率为0. 6．（25-26高二下·广西百色·期末）函数的图象如图所示，下列数值排序正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由图可知，在严格单调递增，故，. 又因为越陡，越大，所以. 7．（25-26高二下·河南南阳·期末）过点与曲线相切的直线恰有3条，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题设及导数的几何意义，将问题化为有3个不同实根，即与有3个交点求参数范围. 【详解】由，则， 设切点为，切线斜率， 切线过点，则，整理得， 问题转化为有3个不同实根， 令，求导得，令，得， 当，，在上单调递增，， 当，，在上单调递减，， 当，，在上单调递增，， 所以极大值，极小值，且时， 所以与有3个交点，即恰有3条切线，此时. 8．（25-26高二下·河南郑州·期末）已知直线（，）是曲线与曲线的公切线，则等于（     ） A． B．3 C． D．2 【答案】B 【分析】由求得切线方程，结合该切线也是的切线列方程，求得切点坐标以及斜率，进而求得直线，从而求得正确答案. 【详解】设是图象上的一点，， 所以在点处的切线方程为， 即，令， 解得，， 所以，， 所以或，当时，，不符合题意，舍去， 所以，此时， 所以. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（25-26高二下·山东枣庄·期末）下列求导运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据基本初等函数的导数及导数的四则运算、复合函数的求导法则逐一分析选项即可. 【详解】对于A：，故A错误； 对于B：，故B正确； 对于C：，故C正确； 对于D： ，故D正确. 10．（25-26高二下·陕西咸阳·期末）下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若函数在上可导，且，则 D．若一物体的运动方程为，则其在时的瞬时速度为1 【答案】AD 【分析】利用基本导数公式、导数定义与导数的物理意义，逐个计算各选项推导结果并判断正误. 【详解】对于A ：根据指数函数求导公式：，对于，可得，A正确； 对于B ：根据商的求导法则：，对，， B错误； 对于C ：根据导数定义：，，C错误； 对于D ：位移对时间的导数为瞬时速度，由，代入得，即瞬时速度为1，D正确. 11．（2027高二·全国·专题练习）（多选）若曲线与存在公共切线，则实数的可能取值是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】设两切点，由切线斜率相等和截距相等建立方程组，消去切点横坐标，将参数表示为单变量函数. 分别讨论变量取正和取负时函数的值域，对应得到参数的取值范围，再逐一判断选项. 【详解】设公共切线与曲线切于，与切于（）. 对求导得，对求导得， 则公共切线方程分别可记为，， 令切线斜率相等得；令截距相等得. 记，并将代入整理得. 当时，函数的值域为， 即所有负数都满足条件，故符合，A正确； 当时，对求导得，令得， 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增. 故在处取最小值，即. 因此、都满足，B、C正确； 而，不满足，D错误. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（25-26高二下·陕西安康·期中）已知函数满足，则______． 【答案】 【详解】由题意得 . 13．（25-26高二下·四川成都·期中）函数过的切线方程为_______________． 【答案】或 【分析】分点是切点和点不是切点两种情况讨论，再分别求出这两种情况时的切线的斜率即可求出对应的切线方程． 【详解】由， 又，则点在函数的图象上， 又， 当是切点时，切线的斜率为， 此时函数的切线为，即； 当不是切点时，设切点为，， 则切线的斜率为， 整理得，解得，或（舍去）， 则切线的斜率， 此时函数的切线为，即． 综上，切线方程为或． 14．（25-26高二下·重庆·期末）若函数在点处的切线方程为，则实数的值为______. 【答案】/ 【分析】求导，根据题意可得，，列方程求解即可. 【详解】因为的定义域为，且， 由题意可得：，， 由可得，即， 把代入可得， 且，可得，解得， 所以. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（25-26高二下·江西·期中）一辆汽车在公路上沿直线变速行驶，该汽车的速度（单位：）关于时间（单位：）的函数关系式为. (1)求该汽车在这段时间里的平均速度； (2)求该汽车在第时的瞬时加速度，并说明它的意义. 【答案】(1) (2)，说明在第附近，汽车的速度每秒大约减少. 【分析】（1）借助定积分计算即可得； （2）借助速度函数求导计算即可得，结合瞬时加速度定义可说明其意义. 【详解】（1） ， 即该汽车在这段时间里的平均速度为； （2），则， 即该汽车在第时的瞬时加速度为， 说明在第附近，汽车的速度每秒大约减少. 16．（25-26高二下·山东菏泽·阶段检测）求下列函数的导数： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）. （2）. （3）. （4）. 17．（25-26高二上·广东深圳·期末）已知函数的导函数为，且满足 (1)求的值． (2)求过原点的切线方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用导数运算法则求出，进而求出即可. （2）设所求切线切点为，利用导数几何意义结合两点间斜率公式求得方程，解方程求出即可求解. 【详解】（1）求导得：， 当时，，解得; （2）由（1）可得， 设所求切线切点为，由题， 所以所求切线斜率为，又切线过原点， 所以，解得，故切线斜率为， 所以切线方程为. 18．（25-26高二下·江西上饶·期中）已知曲线． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求曲线过原点的切线方程． 【答案】(1) (2)和． 【分析】（1）利用导数的几何意义，先求曲线的导函数，验证点在曲线上，再计算该点处的导数值得到切线斜率，最后用点斜式写出切线方程. （2）设出切点坐标，结合导数的几何意义表示切线斜率，再利用两点间斜率公式表示过原点的切线斜率，联立方程求解切点，进而得到过原点的切线方程. 【详解】（1）已知曲线，先求导：, 验证点在曲线上：，点在曲线上． 求该点的切线斜率：, 由点斜式得：, 整理得切线方程：. （2）设切点为，即， 切点处的斜率：, 所以切线方程为， 切线过原点，即， 整理得，解得或． 当时，切点为，斜率，切线方程为： 当时，切点为，斜率， 切线方程为： 因此，过原点的切线方程为和． 19．（25-26高二下·江西·期中）已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求曲线经过点的切线方程； (3)若曲线与曲线存在公共点，且在公共点处有公切线，求的值. 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）借助导数几何意义计算即可得； （2）设出切点坐标，借助导数几何意义可求出切点，即可得切线方程； （3）设公共点坐标为，则有，，解出即可得. 【详解】（1），则，又， 故曲线在点处的切线方程为， 整理得； （2）设切点为，由， 则切线方程为， 整理得，则有， 即，解得或， 若，则切线方程为，即为； 若，则切线方程为，即为； 综上可得：曲线经过点的切线方程为或； （3）设公共点坐标为，由， 则，， 则，有， 整理得，令，则在上单调递增， 又，故，则. 2 / 10 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.1 导数的概念及运算（精练） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（25-26高二下·福建厦门·阶段检测）已知函数，则（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·河北·期末）已知函数，则（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 3．（25-26高二下·广西崇左·期末）曲线在点处的切线方程为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高二下·内蒙古锡林郭勒·期末）函数在处的导数为（     ） A．0 B． C． D． 5．（25-26高二下·黑龙江·期末）曲线在处的切线斜率为（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高二下·广西百色·期末）函数的图象如图所示，下列数值排序正确的是（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高二下·河南南阳·期末）过点与曲线相切的直线恰有3条，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．（25-26高二下·河南郑州·期末）已知直线（，）是曲线与曲线的公切线，则等于（     ） A． B．3 C． D．2 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（25-26高二下·山东枣庄·期末）下列求导运算正确的是（   ） A． B． C． D． 10．（25-26高二下·陕西咸阳·期末）下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若函数在上可导，且，则 D．若一物体的运动方程为，则其在时的瞬时速度为1 11．（2027高二·全国·专题练习）（多选）若曲线与存在公共切线，则实数的可能取值是（    ） A． B． C． D． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（25-26高二下·陕西安康·期中）已知函数满足，则______． 13．（25-26高二下·四川成都·期中）函数过的切线方程为_______________． 14．（25-26高二下·重庆·期末）若函数在点处的切线方程为，则实数的值为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（25-26高二下·江西·期中）一辆汽车在公路上沿直线变速行驶，该汽车的速度（单位：）关于时间（单位：）的函数关系式为. (1)求该汽车在这段时间里的平均速度； (2)求该汽车在第时的瞬时加速度，并说明它的意义. 16．（25-26高二下·山东菏泽·阶段检测）求下列函数的导数： (1) (2) (3) (4) 17．（25-26高二上·广东深圳·期末）已知函数的导函数为，且满足 (1)求的值． (2)求过原点的切线方程． 18．（25-26高二下·江西上饶·期中）已知曲线． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求曲线过原点的切线方程． 19．（25-26高二下·江西·期中）已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求曲线经过点的切线方程； (3)若曲线与曲线存在公共点，且在公共点处有公切线，求的值. 2 / 10 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $