第3章 3.1 导数的概念及其意义、导数的运算（Word练习）-【精讲精练】2027年高考数学一轮复习（人教A版）

**基本信息** 聚焦导数几何意义，以分层训练构建从定义到综合应用的逻辑链条，通过典型问题培养数学思维与运算能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础过关|9题（含1解答题）|导数定义应用、基本函数求导、切线方程求解|从导数定义（如题1）到导函数计算（题2），再到切线方程基础求法（题3、7），形成概念-计算-应用的递进| |能力提升|4题（含1解答题）|公切线问题、瞬时变化率、分段函数切线|结合函数性质（如题6反函数对称性），深化切线斜率与方程关系，训练综合推理能力| |拓广探索|2题|跨曲线切线综合、参数最值问题|通过存在性与最值探究（题15），提升数学模型构建与问题解决能力，体现数学应用意识|

[对应学生用书P331] 说明：单项选择题每题5分，多项选择题每题6分，填空题每题5分，解答题共32分，本试卷共99分． A级　基础过关 1．已知f(x)是定义在R上的可导函数，若＝，则f′(2)＝(　　) A．－1 B．－ C．1 D． 解析　由导数的定义，f′(2)＝＝2＝1.故选C. 答案　C 2．已知f(x)＝，则f′＝(　　) A．－2－ln 2 B．－2＋ln 2 C．2－ln 2 D．2＋ln 2 解析　依题意有f′(x)＝，f′＝＝2＋ln 2.故选D. 答案　D 3．设函数f(x)＝x＋的图象过x轴上一点P，则该曲线在点P处的切线方程为(　　) A．y＝－x B．y＝－x－1 C．y＝0 D．y＝x－1 解析　令x＋＝0，即x(x＋2)＋1＝0，即(x＋1)2＝0，解得x＝－1，故P(－1，0)，f′(x)＝1－，则f′(－1)＝1－＝0，则其切线方程为y－0＝f′(－1)(x＋1)，即y＝0.故选C. 答案　C 4．(2025·海南海口二模)函数f(x)＝f′x2＋在x＝1时的瞬时变化率是(　　) A．－2 B．－1 C．0 D．1 解析　f′(x)＝2f′x＋＝2f′x＋， 令x＝1，可得f′＝2f′＋2，解得f′＝－2，故选A. 答案　A 5．(多选)某堆雪在融化过程中，其体积V(单位：m3)与融化时间t(单位：h)近似满足函数关系V(t)＝H(H为常数)，其图象如图所示．记此堆雪从开始融化到停止融化的平均融化速度为(单位：m3/h)，t1，t2，t3，t4时刻的瞬时融化速度分别为v1，v2，v3，v4(单位：m3/h)，那么下列各式中正确的是(　　) A．v1＜ B．v2＞ C．v3＋＞0 D．v4＋＜0 解析　根据题意，＝，反映的是V(t)图象与坐标轴交点连线的斜率，瞬时融化速度v1，v2，v3，v4分别是函数图象在t1，t2，t3，t4四点处切线的斜率，必有v1＜，v4＋＜0，故选AD. 答案　AD 6．(多选)若直线y＝3x＋m是曲线y＝x3(x＞0)与曲线y＝－x2＋nx－6(x＞0)的公切线，则(　　) A．m＝－2 B．m＝－1 C．n＝6 D．n＝7 解析　设直线y＝3x＋m与曲线y＝x3(x＞0)相切于点(a，a3)，与曲线y＝－x2＋nx－6(x＞0)相切于点(b，3b＋m)，对于函数y＝x3(x＞0)，y′＝3x2，则3a2＝3(a＞0)，解得a＝1，所以13＝3＋m，即m＝－2.对于函数y＝－x2＋nx－6(x＞0)，y′＝－2x＋n，则－2b＋n＝3(b＞0)，又－b2＋nb－6＝3b－2，所以－b2＋b(3＋2b)－6＝3b－2，又b＞0，所以b＝2，n＝7.故选AD. 答案　AD 7．曲线f(x)＝ex＋ax在点(0，1)处的切线与直线y＝2x平行，则a＝____________． 解析　因为曲线f(x)＝ex＋ax在点(0，1)处的切线与直线y＝2x平行，所以曲线f(x)＝ex＋ax在点(0，1)处的切线的斜率为2，因为f′(x)＝ex＋a，所以f′(0)＝e0＋a＝1＋a＝2，所以a＝1. 答案　1 8．已知y＝f(x)是可导函数，如图，直线y＝kx＋2是曲线y＝f(x)在x＝3处的切线，令g(x)＝xf(x)，g′(x)是g(x)的导函数，则g′(3)＝____________． 解析　由题图可知曲线y＝f(x)在x＝3处切线的斜率等于－，∴f′(3)＝－.∵g(x)＝xf(x)，∴g′(x)＝f(x)＋xf′(x)，∴g′(3)＝f(3)＋3f′(3)，又由题图可知f(3)＝1，∴g′(3)＝1＋3×＝0. 答案　0 9．(15分)已知函数f(x)＝x3－4x2＋5x－4. (1)求曲线f(x)在点(2，f(2))处的切线方程； (2)求经过点A(2，－2)的曲线f(x)的切线方程． 解析　(1)因为f′(x)＝3x2－8x＋5， 所以f′(2)＝1， 又f(2)＝－2，所以曲线f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y－(－2)＝x－2， 即x－y－4＝0. (2)设切点坐标为(x0，x－4x＋5x0－4)， 因为f′(x0)＝3x－8x0＋5，所以切线方程为y－(－2)＝(3x－8x0＋5)(x－2)， 又切线过点(x0，x－4x＋5x0－4)， 所以x－4x＋5x0－2＝(3x－8x0＋5)·(x0－2)， 整理得(x0－2)2(x0－1)＝0，解得x0＝2或x0＝1， 所以经过点A(2，－2)的曲线f(x)的切线方程为x－y－4＝0或y＋2＝0. B级　能力提升 10．过原点且与曲线y＝x sin x相切的直线有(　　) A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 解析　设切点，因为曲线y＝x sin x，所以y′＝sin x＋x cos x， 所以＝sin x0＋x0cos x0，所以x0cos x0＝0，所以x0＝0或cos x0＝0， 当x0＝0时，k＝0，所以切线方程为y－0＝0，即y＝0； 当x0＝时，k＝1，所以切线方程为y－＝1×，即y＝x； 当x0＝－时，k＝－1，所以切线方程为y－＝－1，即y＝－x； 所以切线有3条．故选C. 答案　C 11．(2025·山东济宁一模)曲线y＝(a>0)与y＝ln x和y＝ex分别交于A，B两点，设曲线y＝ln x在A处的切线斜率为k1，y＝ex在B处的切线斜率为k2，若k1＋k2＝，则a＝(　　) A．2ln 2 B．2ln 3 C．3ln 2 D．3ln 3 解析　因为y＝ln x和y＝ex互为反函数，其图象关于直线y＝x对称， 且反比例函数y＝(a>0)的图象也关于直线y＝x对称， 可知点A，B关于直线y＝x对称，设A，x0>1，则B， 设f(x)＝ln x，g(x)＝ex，则f′(x)＝，g′(x)＝ex， 由题意可得k1＋k2＝＋＝＋x0＝，解得x0＝2或x0＝(舍去)， 可得A，则＝ln 2，所以a＝2ln 2.故选A. 答案　A 12．(2025·南通阶段检测)曲线y＝|ln x|在A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1≠x2)两点处的切线分别为l1，l2，且l1⊥l2，则x1x2＝____________；若l1，l2交点的横坐标为x3，则x1x3＋x2x3＝____________． 解析　由y＝|ln x|＝得y′＝ 不妨设x1<x2，易知切线l1，l2的斜率均存在且不为0，分别设为k1，k2，则k1k2＝－1，所以k1，k2符号相反，所以有0<x1<1≤x2，所以k1k2＝－＝－1，所以x1x2＝1. 切线l1，l2的方程分别为y＋ln x1＝－(x－x1)，y－ln x2＝(x－x2)，由得x3＝，所以x1x3＋x2x3＝x3(x1＋x2)＝·(x1＋x2)＝2. 答案　1　2 13．(17分)已知函数f(x)＝ax3＋3x2－6ax－11，g(x)＝3x2＋6x＋12和直线m：y＝kx＋9，且f′(－1)＝0. (1)求a的值； (2)是否存在实数k，使直线m既是曲线y＝f(x)的切线，又是曲线y＝g(x)的切线？如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由． 解析　(1)由已知得f′(x)＝3ax2＋6x－6a，因为f′(－1)＝0，所以3a－6－6a＝0，所以a＝－2. (2)存在．理由如下： 由已知得，直线m恒过定点(0，9)，若直线m是曲线y＝g(x)的切线，则设切点为(x0，3x＋6x0＋12). 因为g′(x0)＝6x0＋6，所以切线方程为y－(3x＋6x0＋12)＝(6x0＋6)(x－x0)，将(0，9)代入切线方程，解得x0＝±1. 当x0＝－1时，切线方程为y＝9. 当x0＝1时，切线方程为y＝12x＋9. 由(1)知f(x)＝－2x3＋3x2＋12x－11，f′(x)＝－6x2＋6x＋12. ①由f′(x)＝0得－6x2＋6x＋12＝0，解得x＝－1或x＝2. 在x＝－1处，曲线y＝f(x)的切线方程为y＝－18； 在x＝2处，曲线y＝f(x)的切线方程为y＝9， 所以曲线y＝f(x)与y＝g(x)的公切线是直线y＝9. ②由f′(x)＝12得－6x2＋6x＋12＝12，解得x＝0或x＝1. 在x＝0处，曲线y＝f(x)的切线方程为y＝12x－11； 在x＝1处，曲线y＝f(x)的切线方程为y＝12x－10，所以直线y＝12x＋9不是曲线y＝f(x)与y＝g(x)的公切线． 综上所述，曲线y＝f(x)与y＝g(x)的公切线是直线y＝9，此时k＝0. C级　拓广探索 14．(2025·福州模拟)若曲线y＝ln x在点P(x1，y1)处的切线与曲线y＝ex相切于点Q(x2，y2)，则＋x2＝____________． 解析　∵(ln x)′＝，(ex)′＝ex，∴曲线y＝ln x在点P(x1，y1)处的切线斜率k＝＝， ∴切线方程为y＝(x－x1)＋y1＝x＋ln x1－1， 或y＝ (x－x2)＋y2＝x＋(1－x2) ， 即 ∴x1(x2＋1)＝x2－1，易知x2＋1≠0， ∴x1＝， ∴＋x2＝＋x2＝＋x2＝－(x2＋1)＋x2＝－1. 答案　－1 15．若存在a＞0，使得两曲线f(x)＝a ln x与g(x)＝x2－3x－b存在相同的切线，且切线的斜率为1，则b的最大值为____________． 解析　f′(x)＝，g′(x)＝2x－3， 令f′(x)＝＝1，得x＝a，∴切点为(a，a ln a)， 令g′(x)＝2x－3＝1，得x＝2， ∴切点为(2，－2－b). 得切线方程为y－a ln a＝x－a，可得－2－b－a ln a＝2－a，则b＝a－a ln a－4， 令h(x)＝x－x ln x－4，x＞0，则h′(x)＝1－ln x－1＝－ln x，当0＜x＜1时，h′(x)＞0，当x＞1时，h′(x)＜0， ∴h(x)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减， ∴h(x)max＝h(1)＝－3，即b的最大值为－3. 答案　－3 学科网（北京）股份有限公司 $