1.4.2充要条件导学案-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学导学案聚焦充要条件，引导学生理解概念及判定，通过复习逆命题引入新知，结合集合包含关系梳理条件关系，搭建命题与集合转化的学习支架，衔接前后知识脉络。 资料通过典例精析分题型指导，分层跟踪训练适配不同学情，结合逻辑符号与数轴工具强化判定，助力学生提升逻辑推理与数学运算素养，方法总结与反思设计促进自主学习，提升教学效率。

第7课时 充要条件（1.4.2充要条件） 【学习目标】 ① 理解充要条件的意义； ② 会判断一下简单的充要条件问题； ③ 通过充要条件的判断，提升逻辑推理素养； ④ 借助充要条件的应用，培养数学运算素养. 【学习重点】 充要条件的概念理解；充要条件的判定与证明 【学习难点】 充要条件双向推导的严谨性；四类条件的精准区分；充要性参数综合问题 一、核心知识梳理（必背必会） 1.逆命题：将命题“若，则”中的条件和结论互换，就得到一个新的命题“若，则”，称这个命题为原命题的逆命题. 2.充要条件：如果“若，则”和它的逆命题“若，则”均是真命题，即既有，又有，就记作.此时，既是的充分条件，也是的必要条件，我们说是的充分必要条件，简称为充要条件. 3.条件关系判定的常用结论 条件与结论的关系 结论（是的） ，且 充分不必要条件 ，且 必要不充分条件 ，且 充要条件 ，且 既不充分也不必要条件 4.知识拓展 设，，则 若是的充分不必要条件，则; 若是的必要不充分条件，则； 若是的充要条件，则. 二、典例精析 题型1充分、必要、充要条件的判断 例1．（1）已知集合，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件D．既不充分也不必要条件 答案：A 思路分析：先验证充分性：若，求出集合B，判断是否成立；再求解必要性：由结合集合元素互异性求出所有的取值，对比条件判断能否反向推出，最后判定条件类型。 规范解答：若，则，又，所以， 所以“”是“”的充分条件； 若，又， 所以或，解得或， 所以“”不是“”的必要条件； 所以“”是“”的充分不必要条件. （2）已知, 关于x的方程有两个小于1的正根，则p是q的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 答案：C 思路分析：先求出“方程有两个小于1的正根”的等价条件，再利用充分必要条件判断即得. 规范解答：设，为方程的两个小于1的正根， 则，且，， 因且等价于且， 则得，且， 故是的必要条件； 当，时，若取，， 此时方程无实根，故不是的充分条件. 综上可得，p是q的必要不充分条件. （3）“”的一个充分不必要条件可以是（    ） A． B． C． D． 答案：B 思路分析：由充分必要条件的定义可知，“”的一个充分不必要条件，即选项中对应的集合为集合的真子集即可. 规范解答： 对于A：因为集合是集合的真子集，所以是的必要不充分条件，A错误； 对于B：因为集合是集合的真子集，所以是的充分不必要条件，B正确； 对于C：因为集合与集合之间不存在包含关系，所以是的既不充分也不必要条件，C错误； 对于D：因为集合是集合的真子集，所以是的必要不充分条件，D错误. 方法总结：判断充分条件、必要条件及充要条件的方法 （1）定义法：直接判断“若，则”以及“若，则”的真假； （2）集合法：利用集合的包含关系判断； （3）等价法：利用“”，即原命题与逆否命题真假一致，对于条件和结论是否定形式的命题一般运用等价法. 题型2充要条件的证明 例2证明：“是方程的实数根”的充要条件是“”． 思路分析：根据代入方程，因式分解即可求证充分性成立，将代入方程中即可求证必要性． 规范解答：①充分性，当时，， 代入方程，得， 满足此方程，充分性成立， ②必要性，当时，代入方程，则，必要性成立， 综上，是方程的实数根的充要条件是． 反思领悟：充要条件证明的思路 （1）直接法：证明是的充要条件，首先要明确是条件，是结论；其次推证是证明充分性，推证是证明必要性； （2）集合思路：若，，则互为充要条件时. 题型3充要条件的应用 例3（1）已知集合，集合，若是的充分不必要条件，求实数的取值范围； 思路分析：根据是的充分不必要条件,得到是A的真子集，然后根据真子集的定义建立不等式组求解即可. 规范解答： 若是的充分不必要条件，所以是A的真子集， 当时，由，可得； 当时，，即， 又（等号不同时取），解得，又，． 综上，实数m的取值范围为． （2）已知集合，，设，，若是的必要不充分条件，求的取值范围. 思路分析：转化条件间的关系为集合间的关系，从而求出的取值范围. 规范解答： 设，，若是的必要不充分条件，则真包含B， 那么，解得 , 所以的取值范围为. 方法总结：应用充分不必要条件、必要不充分条件及充要条件求参数值（范围）的步骤 （1）根据已知，将充分不必要条件、必要不充分条件或充要条件转化为集合间的关系； （2）根据集合间的关系，构建关于参数的方程（组）或不等式（组）求解. 三、分层跟踪训练 【基础过关】（全员必做） 1．已知a，b为实数，“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案：A 解析：取，满足，但，故不能得到， 若，则，故， 综上可得“”是“”的充分不必要条件. 2．已知，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案：D 解析：对于充分性，当时，满足，不满足，则充分性不成立， 对于必要性，当时，满足，不满足，则必要性不成立， 可得“”是“”的既不充分也不必要条件，故D正确. 3．已知，，则“”是“且”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案：B 解析：满足“”成立，“且”不成立， 又因为“且”可以得出“”， 所以“”是“且”的必要不充分条件. 4．若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 答案：A 解析：由“”是“”的必要不充分条件， 得集合是集合的真子集， 则，解得， 所以实数的取值范围是. 5．条件，条件，若是的充分不必要条件，则的取值范围（   ） A． B． C． D． 答案：A 解析：由，当，，此时不等式无解， 当，此时，所以，解得，即, 已知，且是的充分不必要条件， 所以集合是集合的真子集， 所以. 6．已知是的充分不必要条件，是的必要条件，是的充要条件，那么是的_________条件. 答案：充分不必要 解析：由已知得，，，. 但由于推不出，所以推不出， 故是的充分不必要条件. 7．已知，写出p的一个必要不充分条件________________. 答案：（答案不唯一） 解析：根据题意，需要寻求p的一个必要不充分条件， 故只需满足是所写范围的真子集即可，故可以为， 此时，是必要不充分条件. 故答案为：（答案不唯一） 8．设集合，命题，命题，若是的充要条件，求正实数的值； 答案：2 解析：由条件，因为 是的充要条件，所以， 即，解得， 所以实数的值是. 【能力提升】（多数必做） 9．已知集合，则“”是“仅有1个真子集”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案：A 解析：若，则方程变为，即，解得， 方程有两个相等的实数根1，即仅有一个真子集， “”能推出“仅有1个真子集”，故充分性成立； 若“仅有1个真子集”，则“中仅有1个元素”， 当时，，解得，则仅有一个真子集， 当时，，解得，即也仅有一个真子集， “仅有1个真子集”不能推出“”，故必要性不成立． 故选：A． 10．（多选题）下列结论中正确的是（    ） A．“”是“”的充要条件 B．设，是集合，则“”是“”的充要条件 C．“，且”是“”的充分不必要条件 D．设是集合，则“”是“”的充要条件 答案：BC 解析：对于A，由，得，所以“”是“”的充分条件； 由，得或，所以“”是“”的不必要条件； 所以“”是“”的充分不必要条件，故A错误； 对于B；由，得，所以“”是“”的充分条件； 由，得，所以“”是“”的必要条件； 所以“”是“”的充要条件，故B正确； 对于C；由，且，得，所以，且是的充分条件； 当时，有，但且， 所以，且是的不必要条件； 所以“，且”是“”的充分不必要条件，故C正确； 对于D，由，得或，所以是的不充分条件， 由，得，所以是的必要条件； 所以“”是“”的必要不充分条件，故D错误. 11．已知命题“方程至少有一个负实根”，若为真命题的一个必要不充分条件为，则实数的取值范围是______． 答案： 解析：若命题“方程至少有一个负实根”为真命题， 时，，符合题意； 当时，，且， 则此时方程有一个正根和一个负根，符合题意； 当时，由，解得， 此时方程为符合题意； 由解得，此时， 则此时方程有两个负根，符合题意. 综上所述，为真命题时，的取值范围是. 若为真命题的一个必要不充分条件为， 则，解得. 故答案为： 12.已知集合，非空集合. (1)若是的必要条件，求实数m的取值范围; (2)是否存在实数m，使是的充要条件. 解析：（1）∵是的必要条件，故， ∴，解得， 即所求实数m的取值范围是. （2）∵若是的充要条件，则， ∴，由于该方程组无解， 即不存在实数m，使是的充要条件. 【拓展拔高】（学有余力选做） 13．已知集合点不在第一、三象限，集合，若“”是“”的必要条件，则实数a的取值范围是______. 答案： 解析：由“”是“”的必要条件，即， 由A中元素为整数，故A只可能为，，， 由点不在第一、三象限，得：或，即①或②， 当时，①无解，由②得， 此时，故，有； 当时，由①②得， 此时，因，只须，有； 综上：实数a的取值范围是. 故答案为： 14．已知集合，是否存在实数m，使得是成立的_______？ (1)是否存在实数m，使得是成立的充要条件，若存在，求出实数m的值，若不存在，请说明理由；） (2)请在①充分不必要条件②必要不充分条件这两个条件中任选一个补充在上面的问题中横线部分．若问题中的实数m存在，求出m的取值范围，若问题中的m不存在，请说明理由． 解析：(1)不存在，理由如下： 若存在实数m，使得是成立的充要条件，则. 故，无解，故不存在实数m，使得是成立的充要条件. （2）因为，故，故. 选①：充分不必要条件. 由题意，故，解得，故，即m的取值范围为 选②：必要不充分条件. 由题意，故，解得，故，又， 故m的取值范围为. 四、课时小结 （1）核心概念：四类条件；命题推导关系；命题与集合的转化关系； （2）工具：、逻辑符号；图、数轴；逻辑推理、等价转化思路； （3）解题核心：分清条件与结论，证明 “推不出” 可举反例；范围型题目借助集合包含关系判定；含参问题转化子集关系，留意真子集与端点取舍；双向证明类题目充分性、必要性不能混淆顺序. 五、课后反思 错题记录： 薄弱点记录： 预习第二章不等式相关基础内容，为后续等式与不等式性质学习做好铺垫。 学科网（北京）股份有限公司 $ 第7课时 充要条件（1.4.2充要条件） 【学习目标】 ① 理解充要条件的意义； ② 会判断一下简单的充要条件问题； ③ 通过充要条件的判断，提升逻辑推理素养； ④ 借助充要条件的应用，培养数学运算素养. 【学习重点】 充要条件的概念理解；充要条件的判定与证明 【学习难点】 充要条件双向推导的严谨性；四类条件的精准区分；充要性参数综合问题 一、核心知识梳理（必背必会） 1.逆命题：将命题“若，则”中的条件和结论互换，就得到一个新的命题______________，称这个命题为原命题的逆命题. 2.充要条件：如果“若，则”和它的逆命题“若，则”均是真命题，即既有________，又有________，就记作________.此时，既是的充分条件，也是的必要条件，我们说是的充分必要条件，简称为________. 3.条件关系判定的常用结论 条件与结论的关系 结论（是的） ，且 __________条件 ，且 __________条件 ，且 ____条件 ，且 _________________条件 4.知识拓展 设，，则 若是的充分不必要条件，则________; 若是的必要不充分条件，则________； 若是的充要条件，则________. 二、典例精析 题型1充分、必要、充要条件的判断 例1．（1）已知集合，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件D．既不充分也不必要条件 （2）已知, 关于x的方程有两个小于1的正根，则p是q的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 （3）“”的一个充分不必要条件可以是（    ） A． B． C． D． 方法总结：判断充分条件、必要条件及充要条件的方法 题型2充要条件的证明 例2证明：“是方程的实数根”的充要条件是“”． 反思领悟：充要条件证明的思路 题型3充要条件的应用 例3（1）已知集合，集合，若是的充分不必要条件，求实数的取值范围； （2）已知集合，，设，，若是的必要不充分条件，求的取值范围. 方法总结：应用充分不必要条件、必要不充分条件及充要条件求参数值（范围）的步骤 三、分层跟踪训练 【基础过关】（全员必做） 1．已知a，b为实数，“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．已知，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．已知，，则“”是“且”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 5．条件，条件，若是的充分不必要条件，则的取值范围（   ） A． B． C． D． 答案：A 6．已知是的充分不必要条件，是的必要条件，是的充要条件，那么是的_________条件. 7．已知，写出p的一个必要不充分条件________________. 8．设集合，命题，命题，若是的充要条件，求正实数的值； 【能力提升】（多数必做） 9．已知集合，则“”是“仅有1个真子集”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 10．（多选题）下列结论中正确的是（    ） A．“”是“”的充要条件 B．设，是集合，则“”是“”的充要条件 C．“，且”是“”的充分不必要条件 D．设是集合，则“”是“”的充要条件 11．已知命题“方程至少有一个负实根”，若为真命题的一个必要不充分条件为，则实数的取值范围是______． 12.已知集合，非空集合. (1)若是的必要条件，求实数m的取值范围; (2)是否存在实数m，使是的充要条件. 【拓展拔高】（学有余力选做） 13．已知集合点不在第一、三象限，集合，若“”是“”的必要条件，则实数a的取值范围是______. 14．已知集合，是否存在实数m，使得是成立的_______？ (1)是否存在实数m，使得是成立的充要条件，若存在，求出实数m的值，若不存在，请说明理由；） (2)请在①充分不必要条件②必要不充分条件这两个条件中任选一个补充在上面的问题中横线部分．若问题中的实数m存在，求出m的取值范围，若问题中的m不存在，请说明理由． 四、课时小结 （1）核心概念：四类条件；命题推导关系；命题与集合的转化关系； （2）工具：、逻辑符号；图、数轴；逻辑推理、等价转化思路； （3）解题核心：分清条件与结论，证明 “推不出” 可举反例；范围型题目借助集合包含关系判定；含参问题转化子集关系，留意真子集与端点取舍；双向证明类题目充分性、必要性不能混淆顺序. 五、课后反思 错题记录： 薄弱点记录： 预习第二章不等式相关基础内容，为后续等式与不等式性质学习做好铺垫。 学科网（北京）股份有限公司 $