1.4.2充要条件（导学案）高一数学人教A版必修第一册

1.4.2 充要条件（导学案） 1、理解充要条件的定义，能够准确判断条件与结论之间是否互为充要条件，掌握充要条件的证明思路，会结合集合关系分析充要问题，发展逻辑推理素养。 2、通过实例辨析充分、必要、充要条件的区别与联系，学会转化命题语言，借助集合直观理解逻辑关系，提升归纳辨析与转化分析能力。 3、感受数学逻辑语言严谨性，体会等价转化的数学思想，养成条理清晰、有理有据的推理习惯，感受逻辑知识在数学问题中的应用价值。 重点：充要条件的概念；充要条件的判断方法；充要条件的证明思路。 难点：充要条件的证明；四种条件关系的辨析；含参充要条件求参数范围问题中集合相等关系的转化。 阅读教材，完成以下问题： 【1】概念填空 充要条件 1．一般地，如果既有，又有，就记作______. 此时，我们说，p是q的____________，简称___________.显然，如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件.概括地说，如果，那么p与q_____________. 【答案】 充分必要条件 充要条件 互为充要条件 思考1：(1): 三角形是等边三角形 ; ：三角形是等角三角形; (2): 一个数是6的倍数 ; ：这个数既是2的倍数又是3的倍数; 问：是的充分条件吗？必要条件？这两个说法等价吗？ 【答案】是的充分条件，，是的必要条件，，等价 探究一：充要条件 【辨析1】 填空（填√或×）： 【答案】 ①√ ：× ；②× ；√ ；③√ ；× ；④× ；× ；⑤√ ；√ ；⑥√ ；√ 。 思考2：，则是的充分必要条件，类似的，，但，称是的？其他情况呢，你能类比一下吗？ 【答案】 思考3：如果设，，你能从集合的角度如何理解充要条件吗？ 【答案】 思考3：通过上面的学习，你能给出“四边形是平行四边形”的充要条件吗？ 【答案】略 【例3】下列各题中，哪些是的充要条件？ (1)：四边形是正方形，四边形的对角线互相垂直且平分； (2)：两个三角形相似，两个三角形三边成比例； (3)：， (4)：是一元二次方程的一个根，. 解： (2)， (4) 【例4】已知：的半径为，圆心到直线的距离为.求证：是直线与相切的充要条件。 证明：设：直线与相切。 (1)充分性()：如图，作于点，则 若则点在上。在直线上任取一点(易于点),连接 在中， 所以，除点外直线上的点都在的外部，即直线与仅有一个公共点. 所以直线与相切。 (2)必要性()：若直线与相切，不妨设切点为，则因此，. 由(1) (2)可得，是直线与相切的充要条件。 【题型1：判断充分必要条件】 1、下列“若,则”形式的命题中，哪些命题中的互为充要条件？ (1)若两个三角形的两角和其中一角所对的边分别相等，则这两个三角形全等； (2)若两个三角形全等，则这两个三角形的周长相等； (3)若一元二次方程有两个不相等的实数根，则； (4)若是空集，则与均是空集. 解： （1），（4） 【知识点拨】 判断充要条件的方法： （1）定义法：直接证明和是否都成立 （2）等价转化法：将命题转化为等价形式再判断 （3）集合关系法：通过集合的包含关系判断 （4）反例法：举反例说明不成立 2、已知.(多选)下列各题中，是的充要条件的有( ). .为二次函数 . .四边形是正方形，四边形的对角线互相垂直平分 .或 【答案】 3、下列各题中，哪些是的充要条件？ (1)且； (2)三角形是等腰三角形，三角形是等边三角形； (3) 【答案】（1），（3） 4、设：实数满足且，：实数满足，则是的（    ） ．充分不必要条件 ．必要不充分条件 ．充要条件 ．既不充分也不必要条件 【答案】 5、使“或”成立的一个充分不必要条件是（    ） . .或 . .或 【答案】 【题型2：条件关系的探求】 1、【多选题】使不等式成立的一个充分不必要条件是(　) ．　　 　　 ． ． ． 【答案】 2、设，则成立的一个必要不充分条件是(　　) ． ． ． ． 【答案】A 【题型3：利用充要条件求参数】 1、已知 (1)当为何值时，是的充要条件？ (2)当为何值时，是的充分不必要条件？ (3)当为何值时，是的必要不充分条件？ 解：(1)∵是的充要条件， ∴，此时 ∴当时，是的充要条件。 (2)∵是的充分不必要条件， ∴， ∴. ∴当时， ∴是的充分不必要条件。 (3)∵是的必要不充分条件， ∴， ∴. 【知识点拨】 利用充要条件求参数一般方法： 根据充要条件与集合对应关系，把题目的条件类型转化为相应的集合的包含关系，借助数轴解参。 ∴当时，是的必要不充分条件。 2、已知 (1)当为何值时，是的充分不必要条件？ (2)当为何值时，是的必要不充分条件？ 解：(1)若是的充分不必要条件， 即但，亦即是的必要不充分条件， ∴，∴. ∴当时，是的必要不充分条件，即是的充分不必要条件. (2)若是的必要不充分条件， 即但，亦即是的充分不必要条件， ∴， ∴.∴当时， ∴是的充分不必要条件，即是的必要不充分条件。 【题型4：充要条件的证明】 1、求证：一元二次方程有一正根和一负根的充要条件是 证明：假设一元二次方程有一正根和一负根, 证明，即证明充分性： 若成立，则关于的方程的判别式 ，且两根之积， 所以关于的方程有一正根和一负根成立，即充分性成立. 证明，即证明充分性： 反之，若关于的方程有一正根和一负根成立，则两根之积， 所以成立，即必要性成立， 综上，“”是“关于的方程有一正根和一负根”的充要条件 2、求证：关于的方程有一个根是1的充要条件是. 证明：假设：方程有一个根是，：. 证明，即证明必要性： ∵是方程的根， ∴，即. 再证明，即证明充分性： 由，得. ∵，∴，即. 故. ∴是方程的一个根． 故方程有一个根是的充要条件是. 一、单选题 1．《三国演义》是中国古典四大名著之一．《三国演义》中曾写道“卧龙凤雏，得一可安天下”，据此分析“得到卧龙或凤雏”是“安天下”的（　　） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据充分条件和必要条件的定义求解. 【详解】“卧龙凤雏，得一可安天下”的逻辑为：得到卧龙或凤雏中的任意一个，就可以安天下， 则“得到卧龙或凤雏”是“安天下”的充分条件； 但是原句中未提及“安天下必须得到卧龙或凤雏”，即安天下可能通过其他途径实现， 则“得到卧龙或凤雏”不是“安天下”的必要条件； 则“得到卧龙或凤雏”是“安天下”的充分不必要条件. 故选：B. 2．若是的充分不必要条件，则实数的值不可以是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据是的充分不必要条件可得是的真子集，求得a的范围，可得答案. 【详解】由题意可知是的充分不必要条件， 则是的真子集，故， 故a的值可取，不可以是. 故选：A 3．已知集合，则是的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．既不充分又不必要条件 D．充要条件 【答案】B 【详解】由，得或， 所以是的必要而不充分条件. 4．已知集合，，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】转化为是的真子集．再分当和时，进行讨论求解． 【详解】若是的必要不充分条件，则是的真子集． 当时，，所以； 当时，，又（等号不能同时取得），所以． 综上，． 故选：A 5．若“”是“”的充要条件，则ab的值为（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【详解】由题意得，解得，所以． 6．“或为有理数”是“为有理数”的（    ） A．既不充分也不必要条件 B．充分必要条件 C．充分不必要条件 D．必要不充分条件 【答案】A 【分析】通过举反例判断充分性及必要性不成立，从而可判断结果. 【详解】充分性： 举反例：取（有理数），（无理数），满足“或为有理数”，但是无理数，因此充分性不成立. 必要性：举反例：取，都是无理数，不满足“或为有理数”，但是有理数，因此必要性不成立. 因此“或为有理数”是“为有理数”的既不充分也不必要条件. 7．“且”是“且”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】若且，则且成立，故充分性成立． 若“”，则且或且． 而且时，． 所以由且可以推出且，故必要性成立． 因此“且”是“且”的充要条件． 故选：C． 8．“集合A、B满足：”的一个充要条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由得，进而求解. 【详解】由, 故选：D. 二、多选题 9．“”的一个必要不充分条件可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】应用必要充分条件定义转化为真子集判断各个选项. 【详解】设，选项对应的集合为N， 因为题中所求的是“”的一个必要不充分条件，所以M是N的真子集， 是的真子集； 故选:AC. 10．若“”是“”的充分不必要条件，则的取值可以是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】BCD 【分析】根据集合之间的包含关系可得. 【详解】由题意可知，是的真子集， 故的取值可以是. 故选：BCD 11．已知p，q都是r的充分条件，s是r的必要条件，q是s的必要条件，则（    ） A．p是q的既不充分也不必要条件 B．p是s的充分条件 C．r是q的必要不充分条件 D．s是q的充要条件 【答案】BD 【分析】根据充分条件和必要条件定义结合题意分析即可得解. 【详解】， 故. 所以p是s和q的充分条件，r是q的充分条件，s是q的充要条件. 故AC错误，BD正确. 故选：BD. 三、填空题 12．已知，使得不等式成立的一个充分不必要条件是，则m的取值范围是______． 【答案】 【分析】由题意可得⫋，再根据集合的包含关系求参即可. 【详解】依题意，⫋，则，此时， 所以m的取值范围是. 故答案为：. 13．若“或”是“”的必要不充分条件，则实数的最大值是_____． 【答案】 【分析】设或，，由题意可得是的真子集，即可得实数的取值范围，可得的最大值. 【详解】设或，， 因为“或”是“”的必要不充分条件， 所以是的真子集，则， 即实数的最大值是. 故答案为：. 14．其身正， 不令而行； 其身不正， 虽令不从”出自《论语·子路》. 其数学含义可以理解为：“身正”是“令行”的_____条件. 【答案】充要 【分析】利用充分条件和必要条件的定义判断即可. 【详解】由题意，“其身正，不令而行”，即身正令行，故“身正”是“令行”的充分条件；“其身不正，虽令不从”的逆否命题是“若令行，则身正”，即令行身正，所以“身正”是“令行”的必要条件．综上可知，“身正”是“令行”的充要条件. 故答案为：充要 四、解答题 15．判断下列各题中p是q的什么条件． (1)，中至少有一个不为零； (2)，； (3)，． 【答案】(1)p是q的充分不必要条件 (2)p是q的充分不必要条件 (3)p是q的充要条件 【分析】（1）（2）根据充分、必要条件分析判断； （3）根据集合的包含关系和运算结合充要条件分析判断. 【详解】（1）若可得中至少有一个不为零，即充分性成立， 但中至少有一个不为零不能得出，例如，即必要性不成立， 所以p是q的充分不必要条件. （2）若可得，即充分性成立， 但不能得出，例如，即必要性不成立， 所以p是q的充分不必要条件. （3）由题意可知：等价于，等价于， 所以等价于， 所以p是q的充要条件. 16．已知集合，集合或． (1)若，求实数的取值范围； (2)设，，若是的充分条件，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 或 【分析】（1）根据交集的运算可得出关于的不等式组，即可解得实数的取值范围； （2）分析可知，可得出关于实数的不等式，解之即可. 【详解】（1）已知，或，若， 则A的所有元素都不在B中，可得不等式组： ， 解得，即m的取值范围为； （2）若p是q的充分条件，则，即A的所有元素都属于B， 因此有两种情况： ① ，此时，解得； ② ，此时，解得， 综上，m的取值范围是或. 17．已知集合，. (1)若，求实数的取值范围； (2)已知，记命题，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）若，则，得； 若，则， 因为，所以或，得或，则， 综上，实数的取值范围为； （2）因为，所以， 因为是的必要不充分条件，所以是的真子集， 则，且等号不同时成立，得， 故实数的取值范围为. 18．设集合，命题，命题，若是的充要条件，求正实数的值； 【答案】2 【详解】由条件，因为 是的充要条件，所以， 即，解得， 所以实数的值是. 19．已知，证明：“”是“”的充要条件. 【答案】证明见解析 【分析】分别证明充分性和必要性即可. 【详解】先证充分性： 由得，则，因此； 再证必要性： 由，得，由，得， 因此，则 所以“是“”的充要条件. 1．本节课核心知识（结合课堂知识总结）：_________________________________________________ 2．今日错题 / 不懂的内容：_______________________________________________________________ 3．出错 / 听不懂的原因：□概念不会 □审题马虎 □思路没掌握 4．我的改进小计划： _________________________________________________________________________________________ 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.4.2 充要条件（导学案） 1、理解充要条件的定义，能够准确判断条件与结论之间是否互为充要条件，掌握充要条件的证明思路，会结合集合关系分析充要问题，发展逻辑推理素养。 2、通过实例辨析充分、必要、充要条件的区别与联系，学会转化命题语言，借助集合直观理解逻辑关系，提升归纳辨析与转化分析能力。 3、感受数学逻辑语言严谨性，体会等价转化的数学思想，养成条理清晰、有理有据的推理习惯，感受逻辑知识在数学问题中的应用价值。 重点：充要条件的概念；充要条件的判断方法；充要条件的证明思路。 难点：充要条件的证明；四种条件关系的辨析；含参充要条件求参数范围问题中集合相等关系的转化。 阅读教材，完成以下问题： 【1】概念填空 充要条件 1．一般地，如果既有，又有，就记作______. 此时，我们说，p是q的____________，简称___________.显然，如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件.概括地说，如果，那么p与q_____________. 思考1：(1): 三角形是等边三角形 ; ：三角形是等角三角形; (2): 一个数是6的倍数 ; ：这个数既是2的倍数又是3的倍数; 问：是的充分条件吗？必要条件？这两个说法等价吗？ 探究一：充要条件 【辨析1】 填空（填√或×）： 思考2：，则是的充分必要条件，类似的，，但，称是的？其他情况呢，你能类比一下吗？ 思考3：如果设，，你能从集合的角度如何理解充要条件吗？ 思考3：通过上面的学习，你能给出“四边形是平行四边形”的充要条件吗？ 【例3】下列各题中，哪些是的充要条件？ (1)：四边形是正方形，四边形的对角线互相垂直且平分； (2)：两个三角形相似，两个三角形三边成比例； (3)：， (4)：是一元二次方程的一个根，. 【例4】已知：的半径为，圆心到直线的距离为.求证：是直线与相切的充要条件。 【题型1：判断充分必要条件】 1、下列“若,则”形式的命题中，哪些命题中的互为充要条件？ (1)若两个三角形的两角和其中一角所对的边分别相等，则这两个三角形全等； (2)若两个三角形全等，则这两个三角形的周长相等； (3)若一元二次方程有两个不相等的实数根，则； (4)若是空集，则与均是空集. 【知识点拨】 判断充要条件的方法： （1）定义法：直接证明和是否都成立 （2）等价转化法：将命题转化为等价形式再判断 （3）集合关系法：通过集合的包含关系判断 （4）反例法：举反例说明不成立 2、已知.(多选)下列各题中，是的充要条件的有( ). .为二次函数 . .四边形是正方形，四边形的对角线互相垂直平分 .或 3、下列各题中，哪些是的充要条件？ (1)且； (2)三角形是等腰三角形，三角形是等边三角形； (3) 4、设：实数满足且，：实数满足，则是的（    ） ．充分不必要条件 ．必要不充分条件 ．充要条件 ．既不充分也不必要条件 5、使“或”成立的一个充分不必要条件是（    ） . .或 . .或 【题型2：条件关系的探求】 1、【多选题】使不等式成立的一个充分不必要条件是(　) ．　　 　　 ． ． ． 2、设，则成立的一个必要不充分条件是(　　) ． ． ． ． 【题型3：利用充要条件求参数】 1、已知 (1)当为何值时，是的充要条件？ (2)当为何值时，是的充分不必要条件？ (3)当为何值时，是的必要不充分条件？ 【知识点拨】 利用充要条件求参数一般方法： 根据充要条件与集合对应关系，把题目的条件类型转化为相应的集合的包含关系，借助数轴解参。 2、已知 (1)当为何值时，是的充分不必要条件？ (2)当为何值时，是的必要不充分条件？ 【题型4：充要条件的证明】 1、求证：一元二次方程有一正根和一负根的充要条件是 2、求证：关于的方程有一个根是1的充要条件是. 一、单选题 1．《三国演义》是中国古典四大名著之一．《三国演义》中曾写道“卧龙凤雏，得一可安天下”，据此分析“得到卧龙或凤雏”是“安天下”的（　　） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 2．若是的充分不必要条件，则实数的值不可以是（　　） A． B． C． D． 3．已知集合，则是的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．既不充分又不必要条件 D．充要条件 4．已知集合，，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 5．若“”是“”的充要条件，则ab的值为（   ） A． B． C．1 D．2 6．“或为有理数”是“为有理数”的（    ） A．既不充分也不必要条件 B．充分必要条件 C．充分不必要条件 D．必要不充分条件 7．“且”是“且”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 8．“集合A、B满足：”的一个充要条件是（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．“”的一个必要不充分条件可以是（   ） A． B． C． D． 10．若“”是“”的充分不必要条件，则的取值可以是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 11．已知p，q都是r的充分条件，s是r的必要条件，q是s的必要条件，则（    ） A．p是q的既不充分也不必要条件 B．p是s的充分条件 C．r是q的必要不充分条件 D．s是q的充要条件 三、填空题 12．已知，使得不等式成立的一个充分不必要条件是，则m的取值范围是______． 13．若“或”是“”的必要不充分条件，则实数的最大值是_____． 14．其身正， 不令而行； 其身不正， 虽令不从”出自《论语·子路》. 其数学含义可以理解为：“身正”是“令行”的_____条件. 四、解答题 15．判断下列各题中p是q的什么条件． (1)，中至少有一个不为零； (2)，； (3)，． 16．已知集合，集合或． (1)若，求实数的取值范围； (2)设，，若是的充分条件，求实数的取值范围． 17．已知集合，. (1)若，求实数的取值范围； (2)已知，记命题，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围. 18．设集合，命题，命题，若是的充要条件，求正实数的值； 19．已知，证明：“”是“”的充要条件. 1．本节课核心知识（结合课堂知识总结）：_________________________________________________ 2．今日错题 / 不懂的内容：_______________________________________________________________ 3．出错 / 听不懂的原因：□概念不会 □审题马虎 □思路没掌握 4．我的改进小计划： _________________________________________________________________________________________ 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $