25.3 实际问题与一元二次方程（课前导学）-【中考123】2026-2027学年九年级上册数学全程导练（人教版·新教材）

参考 第二十五章一元二次方程 25.1一元二次方程的概念 知识要点 ☐22a3③一次项④b 5(120+4x)(40+2x)=7000 对点训练 1.D2.C3.D 4.解：当x=-4时，有x2+x-12=(-4)2+（-4)- 12=0;当x=3时，有x2+x-12=32+3-12=0, 故-4和3是方程x2+x-12=0的根. 5.56.B 25.2降次—解一元二次方程 25.2.1配方法 第1课时直接开平方法 知识要点 四~n+p ②-n-p 2 m 对点训练 1.解：(1)x=±3.（2)x=±√2. 2.解：(1)x1=3,x2=-5.（2)x1=1,x2=-4. 第2课时配方法 知识要点 ①b22b③9④9⑤3⑥25☑3⑧±5 9210-8 对点训练 141(293(3)4 2.解：(1)x=1±√5.(2)x=-3±5. 3解：(1)1=-1+ 3*=-1-2红 3 (2)x,=3+21 424=3-2 4 25.2.2公式法 第1课时 一元二次方程的根的判别式 知识要点 [①b2-4ac2434=b2-4ac 对点训练 1.C2.A3.D 第2课时用公式法解一元二次方程 知识要点 回x=-b±B-4ac b 2a ☑x1=x2=-2a 圆a,b,c④求根公式x=-b±YB-4ac 2a ⑤无实数根 对点训练 1.解：(1).a=1,b=-5,c=1, .b2-4ac=(-5)2-4×1×1=21>0, ·x=-(-5)±V2红-5±21 2×1 2 参考答案卫 答案 即25 2 (2)a=1,b=-32,c=4, .b2-4ac=(-3√2)2-4×1×4=2>0， x=-(-32)±2-32±2 2×1 2 即x1=22,x2=√2. 25.2.3因式分解法 对点训练 1.(1)x+1x-2-12(2)C 2.(1)x(x-4)xx-404(2)C (3)x1=0,x2=2 3解：(1)整理，得(x-22=9 -2=好名}4=-是 _11 (2)配方，得x2-2x+1=9,即(x-1)2=9, ∴.x-1=±3，x1=4,x2=-2. (3)移项，得3x(x-2)-2(x-2)=0. 因式分解，得(x-2)(3x-2)=0, x-2=0,或3x-2=0,即x1=2,为=3 2 (4)移项，得2x2-9x+8=0,.a=2,b=-9,c=8, ∴.4=(-9)2-4×2×8=17>0， 9即9+9 4 25.2.4一元二次方程的根与系数的关系 知识要点 ①-6回 a 对点训练 112-6-13台-2(2)A 2.-32-32-3 25.3实际问题与一元二次方程 第1课时几何图形问题 对点训练 1(1)14-2(14-)(2)2(x-5)(3)2 2.解：设通道的宽应设计成xm, 由题意，得(30-2x)(20-x)=468, 解得x=2或x=33(不合题意，舍去) 答：通道的宽应设计成2m. 3.解：(1)由题意可知(30-2x)x=108, 解得x=6或x=9. 由于0<30-2x≤20， 解得5≤x<15,.x=6或x=9. 答：若苗圃园的面积为108m2,x的值为6或9. (2)不能.理由如下： 由题意可知(30-2x)x=120,.x2-15x+60=0, 全程导练·九年级数学（上册） .4=152-4×60=-15<0,.此方程无实数根. 答：苗圃园的面积不能达到120m2。 第2课时传播问题、平均变化率问题与销售问题 对点训练 1.111212.(1)120(2)144 3.(1)5(2)1250(3)82201760 第3课时单双循环问题、数字问题与其他问题 对点训练 1.(1)45(2)n(n2-1D(3)2450(4)x(x-1) 2 2.(1)7和8或-7和-8(2)9x+5 3.解：过点P作PE⊥CD交CD于点E. 设P,Q两点从出发开始到t秒时，有QE=ICD-CQ -AP1=I16-5tl.在Rt△PQE中，PE+QE2=PQ2, 得62+(16-5t)2=102, 8 24 解得4=5h=5 答：P,Q两点从出发开始到秒或号秒时，点P和 5 点Q的距离是10cm. 第二十六章二次函数 26.1二次函数的概念 知识要点 ①S=r2 2r>0 对点训练 1.①⑤2.(1)≠2(2)2 3.解：(1)宽为xcm,则长为(x+2)cm. 由题意，得y=x(x+2)=x2+2x(x>0) (2)当x=3时，y=32+2×3=15, 26.2二次函数的图象和性质 26.2.1二次函数y=ax2的图象和性质 知识要点 四向上2向下3(0,0)④(0,0)⑤y轴 ⑥y轴☑增大⑧减小⑨减小四增大回0 203040 对点训练 1.(1)>(2)上(3)y轴(4)(0,0)(5)00 (6)增大 26.2.2二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质 第1课时二次函数y=ax2+k的图象和性质 知识要点 四向上②向下③0④k固上⑥上⑦下 8下 对点训练 1.(1)下(2)y轴(3)(0,2) (4)0大2(5)<0 2.(1)y=x2+2(2)上2(3)A 第2课时二次函数y=a(x-h)2的图象和性质 知识要点 四向上②向下③h④0⑤上⑥右☑下 8左 对点训练 1.(1)上(2)直线x=3(3)(3,0)(4)3小0 (5)>3 2.(1)D(2)y=2(x-1)2 第3课时二次函数y=a(x-h)2+的图象和性质 知识要点 ①向上2向下3h④k⑤<h⑥>h⑦<h 8>h⑨上四右四上2下3左4下 对点训练 1.(1)上(2)直线x=3(3)(3,-5) (4)3小-5(5)>3 2.(1)A(2)B 26.2.3二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质 知识要点 山名回如。圆< -④>-2a b 固<-品固>a b 对点训练 1解：对称轴为直线x=号，顶点坐标为（兮） 2.解：(1).y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4, ∴.函数图象的顶点坐标为(1,4).图象如答图所示. y F-T-T-T-T5--T-T-T-T-7 +4 +-+-+-+3- --*4 2题答图 (2)①y1<y2 ②当-1<x<4时，y的取值范围是-5<y≤4， 3.D 26.3二次函数与一元二次方程 第1课时二次函数与一元二次方程 知识要点 四不相等2两③两个相等④一⑤没有⑥0 对点训练 1.(1)(3,0)(0,-6)(2)(2,0),(3,0) 2.(1)两个不相等两-1030 (2)两个相等 一(0,4) (3)没有0(0,4) 第2课时利用二次函数图象求一元二次方程的 近似根 对点训练 1.C 2.x1=4,x2=-1x>4或x<-1-1<x<4 3.(1)0或3(2)0<x<3(3)x<0或x>3 26.4实际问题与二次函数 第1课时最大高度问题与最大面积问题 对点训练 1.C 2.解：(1)AB=x,∴.BC=10-x,全程导练·九年级数学（上册） 25.3实际问题与一元二次方程 第1课时 几何图形问题 [答案P41] 知识要点 对点训练 知识点①一般图形问题 1.用含x的代数式填空： 与面积有关的计算： (1)某直角三角形两直角边长的和为14，设 (1)长方形面积：长×宽； 直角边长为x,则另一直角边长为 (2)三角形面积：7×底×高； 这个直角三角形的面积为 (2)某菱形两条对角线长的差为5，设较长的 (3)平行四边形面积：底×高； 对角线长为x,则菱形的面积为 (4)菱形面积：底×高或对角线乘积的一半； (3)某长方形的长为x,宽是长的一半，则这个 (5)梯形面积：7×（上底+下底）×高。 长方形的面积为 知识点②边框与甬道问题 2.如图，某小区规划在一个长30m,宽20m的长 通过平移将图形进行转化是列一元二次方 方形ABCD上修建三条同样宽的通道，使其中 程解决此类应用题常用的方法，其核心思想是将 两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分 不在一起的几个图形通过平移转化为一个规则 种植草皮，要使草地总面积为468m2,那么通 图形，根据规则图形面积公式列一元二次方程 道的宽应设计成多少？ 求解. 2题图 知识点③围墙问题 3.某兴趣小组准备围建一个矩形苗圃园，其中 解决此类问题关键在于设一边长为x,结合 边靠墙，另外三边由长度为30m的篱笆围成. 题意用含x的代数式表示出另一边长，注意检验 如图，墙长为20m,设这个苗圃园垂直于墙的 x的取值范围，通过判别式进行判断。 一边长为xm. (1)若苗圃园的面积为108m2,求x的值； (2)苗圃园的面积能达到120m2吗？若能，求 出x的值；若不能，请说明理由 2》》d 苗圃园 3题图 —6— 第二十五章一元二次方程 第2课时 传播问题、平均变化率问题与销售问题 [答案P42] 知识要点 对点训练 知识点①传播问题 1.有1人患了流感，第一轮传染给了10个人，则 传染源+第一轮被传染的+第二轮被传染 第一轮传播后共有 人感染了流感；第 的=二轮传染后被传染的总数 二轮传染中，平均每人又传染了10个人，则第 二轮后共有 人感染了流感 知识点②平均变化率问题 2.某厂去年利润为100万元，若每年利润增长率 若初始值为a,平均增长（降低）率为x,则： 为20%，则： 第一次增长（降低）后的值为a(1±x); (1)今年利润为 万元； 第二次继续增长（降低）后的值为a(1±x)2. (2)明年利润为 万元 知识点③销售问题 3.某公司销售一种进价为20元/个的水杯，如果 (1)利润=售价-进价； 售价为25元/个，那么每天可卖出250个. (2)利润率=利润×100%=售价进价×100%； (1)卖1个水杯的利润为 元； 进价 进价 (2)每天的总利润为 元； (3)售价=进价×(1+利润率)； (3)每个水杯售价每涨价1元，每天要少卖出 (4)总利润=每件商品的利润×销售量=总收 10个，当每个水杯售价涨了3元后，每个水 入-总支出： 杯的利润是 元，每天的销售量为 个，每天的总利润为 元 7 全程导练·九年级数学（上册） 第3课时 单双循环问题、数字问题与其他问题 [答案P42] 知识要点 对点训练， 知识点①单双循环问题 1.填空： (1)握手问题： (1)10位同学聚会，每两人握一次手，共握手 握手问题是“单循环问题”，每2人相互握手 次； 时，只记为1次即可，而不是记为2次 (2)n位同学聚会，每两人握一次手，共握手 (2)送贺卡问题： 次； 送贺卡问题是“双循环问题”，每2人相互送 (3)九年级某班的每位同学都将自己的贺卡向 贺卡时，要记为2次，而不是记为1次 全班其他同学各赠送一张作为祝福，如果 全班有50名学生，那么共送出 张 贺卡； (4)九年级某班的每位同学都将自己的相片 向全班其他同学各赠送一张作为留念，如 果全班有x名学生，那么共送出 张相片、 知识点2数字问题 2.填空： (1)两个连续的整数：x,x+1; (1)两个连续的整数之积为56，则这两个整数 (2)两个连续的奇（偶）数：x,x+2; 为 (3)两位数：十位数字为a,个位数字为b,则这个 (2)一个两位数，十位上的数字与个位上的数 两位数为10a+b. 字之和为5，设十位上的数字为x,则这个 两位数可用含x的式子表示为 知识点③其他问题 3.如图，A,B,C,D为矩形的四个顶点，AB= (1)古代数学问题； 16cm,AD=6cm,P,Q两点分别从点A,C同 (2)动点问题； 时出发，点P以3cm/s的速度向点B移动，一 (3)规律问题 直到达点B为止，点Q以2cm/s的速度向点 D移动.P,Q两点从出发开始到几秒时，点P 和点Q的距离是10cm? 3题图 一8—