29.2.3 圆周角-【中考123】2026-2027学年九年级上册数学全程导练（人教版·新教材）

又全程导练·九年级数学（上册） 29.2.3 第1课时 圆周 知识要点分类练中” 知识点1圆周角的概念 1.下列图形中的角是圆周角的是 D 2.如图，CD所对的圆周角是 2题图 餐知识点2圆周角定理 3.（铜仁中考)如图，OA,OB是⊙0的两条半径，点 C在⊙0上，若∠AOB=80°，则∠C的度数为 A.309 B.409 C.50° D.60° 3题图 4题图 5题图 4.如图，A,B,C是⊙0上的三点，若∠A0C=90°， ∠ACB=25°，则∠BOC的度数是 A.20° B.25° C.40° D.50° 5.(湖州中考)如图，已知AB是⊙0的弦，∠AOB= 120°，0C⊥AB,垂足为C,0C的延长线交⊙0于 点D.若∠APD是AD所对的圆周角，则∠APD的 度数是 6.(烟台中考)如图，将一个量角器与一把无刻度直 尺水平摆放，直尺的长边与量角器的外弧分别交 012 见此图标器微信扫码进人初中智慧学园自 圆周角 角定理及其推论 [答案P36] 于点A,B,C,D,连接AB,则∠BAD的度数为 B 70 090.011 0 6题图 知识点3圆周角定理的推论 7.如图，⊙0中，弦AB与CD交于点M,A为CD的 中点，∠BAD=45°，∠AMC=75°，则∠CAD的度 数是 ( A.140° B.130° C.120° D.110° B 0 A D 7题图 8题图 8.（广东中考)如图，AB是⊙O的直径，∠BAC= 50°，则∠D= () A.20° B.40° C.50° D.80° 9.如图，在⊙0中，AB为直径，C为圆上一点，∠BAC 的平分线与⊙0交于点D.若∠ADC=20°，则 ∠BAD= 0 9题图 10题图 10.（日照中考)一圆形玻璃镜面损坏了一部分，为 得到同样大小的镜面，工人师傅用直角尺作如图 所示的测量，测得AB=12cm,BC=5cm,则圆形 镜面的半径为 11.如图，AB为⊙0的直径，弦DA,BC的延长线相 交于点P,且BC=PC.求证：∠BAD=2∠P. 0 11题图 能力提升综合练中： 12.（杭州中考)如图，在⊙0中，半径OA,OB互相 垂直，点C在劣弧AB上.若∠ABC=19°，则 ∠BAC的度数是 () A.23° B.24° C.25° D.26° 12题图 13题图 13.如图，AB是⊙0的直径，C,D,E是⊙0上的点， 其中点C,D在AB下方，点E在AB上方，则 ∠C+∠D的度数为 () A.60° B.45° C.30° D.90° 14.如图，线段是半圆0的直径.分别以点A和点0 为圆心，大于240的长为半径作弧，两弧交于 M,N两点，作直线，交半圆O于点C,交AB于点 E,连接AC,BC,若AE=1,则BC的长是（) A.25B.4 C.6 D.3√2 14题图 15题图 15.如图，动点M在边长为4的正方形ABCD内，且 AM⊥BM,P是CD边上的一个动点，E是AD边 的中点，则线段PE+PM的最小值为 第二十九章圆 16.(武汉中考)如图，0A,0B,0C都是⊙0的半径， ∠ACB=2∠BAC. (1)求证：∠AOB=2∠BOC; (2)若AB=4,BC=√5，求⊙0的半径 16题图 素养探究创新练华： 17.(湖北荆州期未)如图，AB为⊙0的直径，点C, D为直径AB同侧圆上的点，且D为AC的中点， 过点D作DE⊥AB于点E,交AC于点G,延长 DE,交⊙O于点F. (1)如图①，若∠BAC=30°，求证：CD=BC; (2)如图②，若AC=12,BE=9,求⊙0的半径. D D 0 17题图① 17题图② 见此图标器微信打码进人初中智慧学园自 113 全程导练·九年级数学（上册）》 第2课时 圆内接四边形 [答案P37] 知识要点分类练单” 7.如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，连接 AC,BD,延长CD至点E.若AB=AC,求证：∠ADB 餐知识点●圆内接四边形的性质 =∠ADE. 1.如图，四边形ABCD内接于⊙0，若∠A=80°，则 ∠C的度数为 A.80° B.100° C.110 D.120° 7题图 0 0 1题图 2题图 2.如图，四边形ABCD内接于⊙O,E为BC延长线 能力提升综合练中： 上一点.若∠A=70°，则∠DCE的度数为（) 8.(赤峰中考)如图，圆内接四边形ABCD中，∠BCD A.1109 B.120 =105°，连接OB,OC,0D,BD,∠B0C=2∠C0D, C.70 D.60 则∠CBD的度数是 () 3.如图，等边△ABC的顶点在⊙O上，边AB,AC与 A.25° B.30° C.35 D.40° ⊙O分别交于点D,E,F是劣弧DE上一点，且与 y 点D,E不重合，连接DF,EF,则∠DFE的度数为 D ( 0 A.115o B.118° C.120° D.125° 8题图 9题图 9.如图，在平面直角坐标系xOy中，点A在x轴负半 轴上，点B在y轴正半轴上，⊙D经过A,B,O,C 四点，∠AC0=120°，AB=4,则圆心D的坐标 是 10.如图，圆内接四边形ABCD的对角线AC,BD交 3题图 4题图 4.如图，在圆内接四边形ABCD中，过点B作BH⊥ 于点E,BD平分∠ABC,∠BAC=∠ADB. (1)求证：DB平分∠ADC,并求∠BAD的度数； AD于点H.若∠BCD=120°，AH=2V3,则BH的 (2)过点C作CF∥AD交AB的延长线于点F, 长为 若AC=AD,BF=2,求此圆半径的长度 5.如图，四边形ABCD内接于⊙O,延长AD至点E, 已知∠A0C=140°，那么∠CDE= 10题图 5题图 6.在圆内接四边形ABCD中，若∠A,∠B,∠C的度 数之比为2：5：7，则∠D的度数为 14 见此图标器微信扫码进人初中智慧学园自全程导练·九年级数学（上册） 的中点，0C=0D,0C=20M,0D=20N:MC1AB, ND⊥AB,.∠OMC=30°，∠0ND=30°，MC=√30C,ND =3OD,MC=ND,故①正确；∠MOC=∠NOD=60°， .LM0N=60°，.AM=M=NB,故②正确；CM∥ND, MC=ND,四边形MCDN为平行四边形.·∠MCO= 90°，.四边形MCDN为矩形..：MC=√3OC,.MC= CD,四边形MCDN不是正方形，故③错误四边形 2 MCDN为矩形MN=CD,MN=AB,故④正确，故正 确的结论有3个.故选C M 13题答图 14.22 15.4[解析]连接OF.DE⊥AB,.DE=EF,AD=AD 是AC的中点，.AD=C⑦，.AC=示，.AC=DF=45, EF=DF=25.设0A=0F=x,在R△0EF中，2= (25)2+(x-2)2,解得x=4. 16.√6或23[解析]过点B作直径，连接AC交B0于点E。 B为AC的中点，BD⊥AC,如答图①.点D恰在该圆 直径的三等分点上，BD=号x2x3-2,0D=0B BD=1.:四边形ABCD是菱形，DE=之BD=1,0E =2.连接0C.CE=√0C2-0E=5,CD= √DE+BC=6;如答图②BD=号x2x3=4,同里可 得，0D=1,0E=1,DE=2.连接0C.CE=√OC2-0E =22,.CD=√DE+EC=√22+(22)2=25. D 16题答图① 16题答图② 17.(1)证明：连接0A,0B,如答图所示 .OA=OB,∴.∠OAB=∠OBA. :AC=BD,∠A0E=LBOF, ∴.△AOE≌△B0F, .AE=BF. (2)解：0N⊥AB,AM=之AB=6 ·36· 设OM=x,则OA=ON=x+3. 在Rt△AOM中，由勾股定理， 得62+2=(x+3)2,解得x=号 :.0M=2 9 0 E习B M C N D 17题答图 【素养探究创新练】 18.2[解析]如答图，作点A关于 MN的对称，点A',连接A'B,交MN B 于点P,此时PA+PB最小，最小 值为A'B的长.连接OA',OA,OB, PA,AA'.点A与A'关于MN对 称，A是半圆上的一个三等分点， ∠A'ON=∠A0W=60°，PA= 18题答图 PA'.B是孤AN的中点，∴.∠BON=30°，.∠A'OB= ∠A'ON+∠B0N=90°.又：OA=OA'=2,.A'B=2, .'PA+PB=PA'+PB=A'B=2. 29.2.3圆周角 第1课时圆周角定理及其推论 【知识要点分类练】 1.B2.∠CAD,∠CBD3.B4.C5.30°6.52.5° 7.C8.B9.35 1013 cm[解析]如答图，连接AC.:∠ABC=90°，且 LABC是圆周角，·AC是圆形镜面的直径.在Rt△ABC 中，由勾股定理，得AC=√AB2+BC=√122+52= 13(cm),圆形镜面的半径为3。 2 cm. B D 10题答图 11题答图 11.证明：如答图，连接AC. AB为⊙O的直径，.∠ACB=90°，即AC⊥BP. BC=PC,.AC为BP的垂直平分线， .AB=AP,.LP=∠B, ∴.∠BAD=∠P+∠B=2∠P. 【能力提升综合练】 12.D[解析]如答图，连接OC.:∠ABC=19°，∠A0C= 2∠ABC=38°.半径OA,0B互相垂直，.∠A0B=90°， LB0C=0°-38°=52，LBmC=7LB0C=26故选D 0 B 12题答图 13.D14.A 15.2√10-2[解析]作点E关于DC的对称点E,设AB的 中点为O,连接OE,交DC于点P,连接PE.动点M在 边长为4的正方形ABCD内，且AM⊥BM,∴.点M在以AB 为直径的圆上，0M=之B=2.:正方形ABCD的边长为 4,.AD=AB=4,∠DAB=90E是AD的中点，DE= 之AD=号×4=2.：点E与，点E关于DC对称，DB DE 2,PE PE',.AE'AD DE'=4+2=6. Rt△A0E中，0E'=√AE2+A02=√62+22=2√10 .线段PE+PM的最小值为PE+PM=PE'+PM=ME'= 0E-0M=2√10-2. E 0 M E 0 B D 15题答图 16题答图 16.(1)证明：：∠ACB=2 ∠AOB,∠BAC= 2 ∠BOC, ∠ACB=2∠BAC,.∠AOB=2∠BOC. (2)解：如答图，过点0作半径OD⊥AB于点E,连接BD, 则AE=BE. ∠A0B=2∠B0C,∠D0B=号∠A0B, .∠DOB=∠BOC,.BD=BC. AB=4,BC=5,.BE=2,DB=5 在Rt△BDE中，∠DEB=90°， ∴.DE=√BD2-BE2=1. 在RL△B0E中，∠0EB=90°，.0B2=(0B-1)2+22, 解得0B=弓，即⊙0的半径是 【素养探究创新练】 17.(1)证明：如答图①，连接0C,0D,∠BAC=30° ∴∠B0C=2∠BAC=60°，.∠A0C=180°-60°=120°. :D为AC的中点，.AD=DC,.∠A0D=∠C0D=60°， .∠COD=∠C0B,.CD=BC D D G 0 17题答图① 17题答图② 参考答案及解析 (2)解：如答图②，连接0F :DE⊥AB,AB为⊙0的直径，.AD=AF,DE=EF AD=D元，.AD+元=A⑦+AF,.AC=, ∴.DF=AC=12,∴.EF=6. 设⊙0的半径为r,则OE=BE-OB=9-r 在Rt△E0F中，E02+EF2=OF2, 即(9-r)2+62=2,解得r=6.5, .⊙0的半径为6.5. 第2课时圆内接四边形 【知识要点分类练】 1.B2.C3.C4.65.706.80° 7.证明：：四边形ABCD是⊙O的内接四边形， ∴.∠ABC+∠ADC=180°. 又.·∠ADE+∠ADC=180°，.∠ADE=∠ABC. AB=AC,∴.∠ABC=∠ACB. ∠ACB=∠ADB,.∠ADB=∠ADE. 【能力提升综合练】 8.A[解析]·四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴.∠A+ ∠BCD=180°.∠BCD=105°，.∠A=75°，.∠B0D= 2∠A=150°..：∠B0C=2∠COD,∴.∠B0D=3∠C0D= 150°∠C0D=50,∠CBD=号∠C0D=250,故选A 9.(-3,1) 1O.(1)证明：∠BAC=∠ADB,∠BAC=∠CDB, .∴.∠ADB=∠CDB,∴.DB平分∠ADC. BD平分∠ABC,.∠ABD=∠CBD. .·四边形ABCD是圆内接四边形， .∴.∠ABC+∠ADC=180°， .∴.∠ABD+∠CBD+∠ADB+∠CDB=180°， .2(∠ABD+∠ADB)=180°， .∴.∠ABD+∠ADB=90°， ∴.∠BAD=180°-（∠ABD+∠ADB)=90° (2)解：∠BAE+∠DAE=90°，∠BAE=∠ADE, ∴.∠ADE+∠DAE=90°，.∠AED=90. ∠BAD=90°，BD是圆的直径， ∴.BD垂直平分AC,∴AD=CD. :AC=AD,△ACD是等边三角形，，∠ADC=60° BD⊥AC,LBDC=子∠ADC=30e CF∥AD,.∠F+∠BAD=180°，∴.∠F=90°. 四边形ABCD是圆内接四边形， ∴.∠ADC+∠ABC=180°. :∠FBC+∠ABC=180°， .∠FBC=LADC=60°，BC=2BF=4. :BD是圆的直径，∴.∠BCD=90°. .·∠BDC=30°，∴.BD=2BC=8, .圆的半径长是4. 专题12与圆的性质有关的辅助线作法 1.3 2.解：(1)如答图，连接0A. OCLABAD=AB=9m. 设A0=rm,根据题意，得2=92+(r-3)2,解得r=15. 答：圆弧形拱桥的半径为15m. ·37·