25.2.4 一元二次方程的根与系数的关系-【中考123】2026-2027学年九年级上册数学全程导练（人教版·新教材）

25.2.4一元二次方 知识要点分类练单” 知识点1一元二次方程的根与系数的关系 1.已知一元二次方程x2-5x+2=0的两根分别为 m,n,则m+n的值是 A.5 B.-5 C.2 D.-2 2.以2和-5为根的一元二次方程可以是() A.x2-3x+10=0 B.x2+3x+10=0 C.x2+3x-10=0 D.x2-3x-10=0 3.已知实数x1,x2是方程x2+x-1=0的两根，则 1x2= 4.（教材母题变式)不解方程，求下列方程两个根 x1,x2的和与积： (1)x2+4x-6=0; (2)3x2-5x-1=0; (3)4x2+1=7x (4)3x2+5x-2=2x+3. 爬知识点2一元二次方程的根与系数的关系的应用 5.已知x1,x2是一元二次方程x2+2x-k-1=0的 两个根，且x1x2=-3,则k的值为 () A.1B.2 C.3 D.4 第二十五章一元二次方程又 程的根与系数的关系 [答案P4] 6.若x=-1是方程x2+x+m=0的一个根，则此方 程的另一个根是 A.-1 B.0 C.1 D.2 7.若x1,x2是方程2x+4=x2的两个根，则(x1+ 1)(x2+1)的值是 () A.-1B.0 c.1 D.2 8.若关于x的一元二次方程4x2+2x+1-2m=0的 两个实数根之积为负数，则实数m的取值范围是 () Am>gBm<名Cm>}D.m<分 8 9.（四川遂宁期末)已知x1,x2是关于x的方程x2+ bx-2c=0的两个实数根，且x1+x2=-3,x1x2= 2,则c的值是 10.已知x1,x2是方程x2-3x-5=0的两个根，不解 方程，求下列代数式的值. （1)x+x2 2+安 (3)+ (4)(x1-x2)2. 能力提升综合练单” 11.在解一元二次方程x2+px+9=0时，小红看错 了常数项q,得到方程的两个根是-3,1；小明看 错了一次项系数p,得到方程的两个根是5，-4， 则原来的方程是 () A.x2+2x-3=0 B.x2+2x-20=0 C.x2-2x-20=0 D.x2-2x-3=0 见此图标器微信打码进人初中智慧学园自 15 全程导练·九年级数学（上册） 12.关于x的方程(x-1)(x+2)=p2(p为常数)的 根的情况，下列结论中正确的是 () A.两个正根 B.一个正根，一个负根 C.两个负根 D.无实数根 13.已知x1,x2是关于x的方程2x2+kx-2=0的两 个实数根，且(x1-2)(x2-2)=10,则k的值 为 14.已知关于x的一元二次方程x2-2x-3m2=0. (1)求证：方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程的两个实数根分别为α，B,且α+2B =5,求m的值. 15.已知△ABC的两边AB,AC的长是关于x的一元 二次方程x2-(2k+3)x+k2+3k+2=0的两个 实数根，第三边BC的长为5. (1)当k为何值时，△ABC是以BC为斜边的直 角三角形？ (2)当k为何值时，△ABC是等腰三角形？请求 出△ABC的周长 6 见此图标服微信扫码进人初中智慧学园自自 素养探究创新练中 16.新考法阅读下列材料： 有些数学问题看似与一元二次方程无关，但 是我们能够通过构造一元二次方程，并利用一元 二次方程的有关知识将其解决.下面是两种基本 构造方法. 方法1：利用根的定义构造.例如，如果实数m,n 满足m2-m-1=0,n2-n-1=0,且m≠n,则可 将m,n看作是方程x2-x-1=0的两个不等的 实数根， 方法2：利用根与系数的关系逆向构造.例如，如 果实数a,b满足a+b=3,ab=2,则可将a,b看 作是方程x2-3x+2=0的两个实数根 根据上述材料，解决下列问题： (1)已知一元二次方程5x2-10x+1=0的两个 实数根为x1,2,则x1+2=一； (2)已知实数m,n满足3m2-m-2=0,3n2- n-2=0,且m≠n,求北+m的值； m n (3)已知实数p,9,t满足p+9=t-5,p四=5-t 16 且t<5,求t的最大值，全程导练·九年级数学（上册） 2x+1=0或-3=0，%=-7=3. (2)(3x+x-1)(3x-x+1)=0,(4x-1)(2x+1)=0, 4x-1=0或2x+1=0, 1 六刘=4次=2 4.解：(1)a=1,b=-25,c=1, .4=b2-4ac=(-25)2-4×1×1=8>0, ∴.方程有两个不相等的实数根， x25,±8=5±2， 2 1=5+2,x2=5-√2. (2)原方程可化为3x2+2x-3=0. a=3,b=2,c=-3, .4=62-4ac=22-4×3×(-3)=40>0, .方程有两个不相等的实数根， x=-2±40=-1±10 2×3 3 名=1+0 3 ,9=1-0 3 5.解：(1)x1=4,x2=-2.(2)y1=2,y2=4. (3)x1=2+√/13,2=2-√13. 1 (4)x1=23=2. 6.解：①当x-2≥0，即x≥2时，原方程化为x2-2(x-2)-4 =0,即x2-2x=0,解得x1=0,2=2. x≥2，x1=0舍去，x=2; ②当x-2<0,即x<2时，原方程化为x2-2(2-x)-4=0, 即x2+2x-8=0,解得1=2，x2=-4. x<2,x1=2舍去，x=-4. 综上所述，原方程的解是x1=2,2=-4. 7.解：(1)设x2=y,则原方程化为y2-y-6=0, 解得y1=3,y2=-2. 当y=3时，x2=3,x=±5； 当y=-2时，x2=-2,无实数解， ∴原方程的解为1=5,2=-√5. (2)设x2-2x=y,则原方程化为y2-5y-6=0, 解得y1=6,y2=-1. 当y=6时，x2-2x=6,解得x1=1+万，x2=1-√万； 当y=-1时，x2-2x=-1,解得3=x4=1. 综上所述，原方程的解为x1=1+√7， 2=1-7,x3=x4=1. 25.2.4一元二次方程的根与系数的关系 【知识要点分类练】 1.A2.C3.-1 4.解：(1)x1+为2=-4，x12=-6. 5 (2)x+2=3为=-3 （3)方程转化为4-7+1=0，+=子=子 1 (④)方程转化为32+3-5=0,1+=-1,1=-号 5.B6.B7.A8.C9.-1 ·4· 10.解：x1,x2是方程x2-3x-5=0的两个根，x1+2=3, 1·2=-5. (1)x好+号=(x1+x2)2-2x1x2=32+2×5=19. (2)1+1=4+9=-3 x1x2x1·x2 51 (3)2+4号+6_✉+)2-2。-19 1x2x1·x2 1·2 5 (4)(x1-2)2=x好+x好-2x1x2=19+10=29. 【能力提升综合练】 11.B12.B13.7 14.(1)证明：a=1,b=-2,c=-3m2, ∴.4=(-2)2-4×1×(-3m2)=4+12m2>0, .方程总有两个不相等的实数根 2)解由照意，日5解得份 lB=3. 6=-3m2,-3m2=-3,.m=±1. 15.解：(1)△ABC是以BC为斜边的直角三角形， BC=5,AB2+AC2=25. :AB,AC的长是关于x的一元二次方程x2-(2k+3)x+ k2+3k+2=0的两个实数根， ..AB+AC=2k+3,AB.AC=k2+3k+2, .AB2 +AC2=(AB +AC)2-2AB.AC, 即(2k+3)2-2(k2+3k+2)=25, 解得k=2或-5（不符合题意，舍去）， ·当k为2时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形 (2):△ABC是等腰三角形， .当AB=AC时，△=b2-4ac=0, .(2k+3)2-4(k2+3k+2)=0, 无解，k不存在； 当AB=BC时，即AB=5, .5+AC=2k+3,5AC=2+3k+2, 解得k=3或4， ∴.AC=4或6， .△ABC的周长为14或16. 【素养探究创新练】 16.解：(1)2 (2)3m2-m-2=0,3n2-n-2=0,m≠n, ∴.m,n可看作方程3x2-x-2=0的两个不相等的实 数根， 心m+n=-b 2 ,飞+m_2+m2_（m+n)2-2m_ m n mn mn 3 (3)p+q=t-5,9=5- 16 p9可看作方程2-(1-5)+拍。0的两个实数根。 4=8-4ac=[-4-5012-4x1×写，0 t<5,5-t>0,.(t-5)2(5-t)-64≥0， 即(5-t)3≥64，.5-t≥4，.t≤1，∴.t的最大值为1.