25.2.3 因式分解法-【中考123】2026-2027学年九年级上册数学全程导练（人教版·新教材）

救：的值为-子或1 5.(1)证明：x2-(m+4)x+3m+3=0, .a=1,b=-(m+4),c=3m+3, .△=b2-4ac=[-(m+4)]2-4(3m+3)=m2-4m+4= (m-2)2≥0， .不论m取何值，方程总有两个实数根。 (2)解：由(1)得4=(m-2)2, 由一元二次方程的求根公式， 得x=m+4±(m-2) 2 名=m+4+m-2 2 m+1,2=m+4-m-22=3, 2 .不论m取何值，方程有一根为定值，定值为3， 【能力提升综合练】 6.C7.D8.- 2 9.x1=1+3,2=1-3 3 2 10.解：(1)x=2=3 。(2)方程无实数根. (3)x1=x2=-2.(4)y1=2+2,y2=2-2 (5)x1=1+=1-而 2,x2= 2 11.解：(1).：已知方程是关于x的一元二次方程， ∴.m-1≠0，即m≠1. .a=m-1,b=-2m,c=m+1, ∴.b2-4ac=(-2m)2-4(m-1)(m+1)=4>0, ..x= 2m±v4-m±1 2(m-1)m-11=1,2=千1 2 (2)由(1)知名=1，名=m+1=m+2三1+二 m-1= m-1 ·方程的两个根都为正整数， m二1是正整数 2 又：m为整数， ∴.m-1=1或m-1=2,解得m=2或m=3, ∴.当m=2或m=3时，该方程的两个根都为正整数. 【素养探究创新练】 12.(1)证明：因为4=[-(m+1)]2-4×2(m-1)=m2- 6m+9=(m-3)2≥0， 所以无论m取何值，方程总有实数根。 (2)解：①若腰长为4，则x=4是原方程的根。 将x=4代人原方程， 得16-4(m+1)+2(m-1)=0,懈得m=5, 所以原方程为x2-6x+8=0, 解得1=2,2=4， 此时三角形另外两边的长分别为4和2. ②若底边长为4，则原方程有两个相等的实数根， 所以4=(m-3)2=0,所以m=3, 所以原方程为x2-4x+4=0,解得x1=x2=2。 由于2+2=4，不符合三角形的三边关系，所以此种情况 不存在. 综上，三角形另外两边的长分别为4和2 25.2.3因式分解法 【知识要点分类练】 1.D2.B3.C4.11 5.解：(1)x(x+55)=0,x=0或x+55=0, 参考答案及解析 1=0,2=-5V5. (2)(3y-4+y)(3y-4-y)=0, .3y-4+y=0或3y-4-y=0, y1=1,y3=2. (3)x2-2x+1=0,(x-1)2=0,.x1=x2=1. (4)(3x+1)(3x+1+1)=0,(3x+1)(3x+2)=0, .3x+1=0或3x+2=0, 1 2 小名=-3为=-3 6.D7.(1)直接开平方(2)配方(3)因式分解 8.解：(1)用直接开平方法，1=12，x2=0. 92=35-2四 (2)用公式法，1-35：2 8 8 (3)用配方法，m1=13,m2=-7. 2 (4)用因式分解法，x1=-3,=3 【能力提升综合练】 9.C10.C11.A 12.2或-号13.-1或414.6 15.解：(1)方程x2-mx+m+1=0的一个根为x=2, .22-2m+m+1=0, ∴.m=5, .一元二次方程为x2-5x+6=0, 解得x=2或x=3, ,m=5,方程的另一根为x=3. (2)当等腰三角形的三边长为2,2,3时，周长为7；当等腰 三角形的三边长为2,3,3时，周长为8. 【素养探究创新练】 16.解：(1)方程x2-x-20=0不是“隔根方程”。 理由如下：x2-x-20=(x-5)(x+4)=0, x-5=0或x+4=0,解得x1=5,x2=-4. 5-（-4)=9≠2， ∴方程x2-x-20=0不是“隔根方程”. (2)x2+(m-1)x-m=0,(x+m)(x-1)=0, x+m=0或x-1=0,解得x1=-m,2=1. 当-m=1+2时，解得m=-3; 当-m+2=1时，解得m=1. 综上所述，m的值为-3或1. 微专题2用“十字相乘法”分解因式解一元二次方程 1.解：(1)(x-4)(x+3)=0,.x-4=0或x+3=0, 名1=4，x=-3. (2)(2x-3)(x+2)=0,∴.2x-3=0或x+2=0, 3 六为=2为=-2. (3)方程4x2-8x-5=0可分解为(2x-5)(2x+1)=0, 2x-5=0或2x+1=0,名=3名=-7 专题1一元二次方程的解法 1.解：(1)=号6=-号(2)m=52=-3. 2.解：(1)x1=1+5,x2=1-√5. 2=-1+9=-1- 2 3.解：(1)x(2x+1)-3(2x+1)=0,(2x+1)(x-3)=0, ·3…第二十五章一元二次方程 25.2.3 因式分解法 [答案P3] 知识要点分类练单 知识点2选择适当的方法解一元二次方程 6.解方程3(3x-1)2=2(3x-1)的最适当的方法是 知识点工用因式分解法解一元二次方程 () 1.方程(x-5)(x+2)=0的根为 ( A.直接开平方法 B.配方法 A.x=5 B.x1=-5,x2=2 C.公式法 D.因式分解法 C.x=-2 D.x1=5,x2=-2 7.在下列各题的横线上填写适当的解法. 2.方程x2-3x=0的解是 (1)解方程(x-3)2=4,用 法较适宜. A.-3 B.0或3 (2)解方程x2-6x+4=0,用 法较适宜. C.0或-3 D.无实数根 (3)解方程x(x+4)=2(x+4),用 法较 3.已知某一元二次方程的两根分别为x1=-2,x2= 适宜 -3,则这个方程可能为 ()8.指出下列方程适合的较简便解法，并解方程 A.(x-2)(x+3)=0 (1)2(x-6)2=72; B.(x+2)(x-3)=0 C.(x+2)(x+3)=0 D.(x-2)(x-3)=0 4.已知某三角形的两边长分别为2和5，第三边长 是方程-3(x-3)(x-4)=0的一个根，那么这个 (2)4y2+1=35y; 三角形的周长是 5.用因式分解法解下列方程： (1)x2+53x=0; (3)m2-6m-91=0; (2)(3y-4)2-y2=0; (4)(4x-2)(x+3)=x2+3x. (3)4x2-8x+4=0; (4)(3x+1)2+(3x+1)=0. 能力提升综合练单： 9.若矩形ABCD的两邻边长分别为一元二次方程 (x-3)(x-4)=0的两个实数根，则矩形ABCD 的对角线长为 A.√7 B.4 C.5 D.10 见此图标器微信扫码进人初中智慧学园鱼 全程导练·九年级数学（上册） 10.方程9(x+1)2-4(x-1)2=0的正确解法是 (2)若该方程的两个根分别是等腰三角形的两 条边的长，求此等腰三角形的周长 A.直接开平方，得3(x+1)=2(x-1) B.化为一般形式13x2+5=0 C.因式分解，得[3(x+1)+2(x-1)][3(x+1) 2(x-1)]=0 D.直接得x+1=0或x-1=0 11.已知实数m,n满足(m2+n2)2-2(m2+n2)=3, 素养探究创新练学” 则m2+n2的值为 16.若关于x的方程x2+bx+c=0有两个实数根，且 A.3 B.-1 其中一个根比另一个根大2，那么称这样的方程 C.-1或3 D.-3或1 为“隔根方程”.例如：方程x2+2x=0的两个根 12.已知正比例函数y=- ：的图象上有一个点 是x1=0,x2=-2,则方程x2+2x=0是“隔根 方程” M,点M的横坐标是方程x2+5x-14=0的根， (1)方程x2-x-20=0是“隔根方程”吗？判断 则点M的纵坐标为 并说明理由； 13.现定义运算“★”，对于任意实数a,b,都有a★b (2)若关于x的方程x2+(m-1)x-m=0是“隔 =a2-3a+b,如：3★5=32-3×3+5，若x★2= 根方程”，求m的值。 6,则实数x的值是 a cm 14.如图，把边长为acm的小正方形 的边长增加6cm,得到的大正方形 的面积是小正方形面积的4倍，则 14题图 小正方形的边长为 cm. 15.方程x2-mx+m+1=0的一个根为x=2. (1)求m的值及另一根； 微专题2用“十字相乘法”分解因式解一元二次方程 方法指导： 1.解下列方程： (1)将x2-2x-3分解因式时，可依据口诀“首尾 (1)x2-x-12=0; 两项要分解，交叉之积的和在中央”，如图： 、 -3 x 1 (2)2x2+x-6=0; -3x+x=-2x 所以x2-2x-3=(x-3)(x+1) 我们把这种因式分解的方法叫作“十字相乘 法”，用式子表示为x2-(a+b)x+ab=(x- (3)4x2-8x-5=0. a)(x-b). (2)根据乘法原理：若ab=0,则a=0或b=0. 12 见此图标暖微信扫码进人初中智慧学园自