25.2.1 第2课时 配方法-【中考123】2026-2027学年九年级上册数学全程导练（人教版·新教材）

第2课时 知识要点分类练学” 餐知识点1配方 1.将代数式x2+3x+2化成(x+a)2+b的形式为 -+好 +} c--4 ++ 2.填空： (1)x2+4x+ =(x+)2; (2)x2-10x+ =(x- )2: (3)x2+3x+ 4=(x+)2; (4)x2-4x 5+ =（x- )2 知识点2用配方法解二次项系数为1的一元三 次方程 3.把一元二次方程a2-8a=9配方，需在方程两边 都加上 A.4 B.-4 C.16 D.-16 4.用配方法解方程x2-6x=16,下列配方正确的是 A.(x+3)2=25 B.(x-3)2=7 C.(x-3)2=25 D.(x+3)2=7 5.用配方法解方程：x2+10x+16=0. 解：移项，得 两边同时加上 ,得 左边写成完全平方形式，得 由此可得 解得 6.用配方法解下列方程： (1)x2-2x-8=0; (2)x2+3x-4=0; 第二十五章一元二次方程Y 配方法 [答案P1] (3)x2-2x=4x-1; (4)y2+1+2y=6y. 知识点3用配方法解二次项系数不为1的一元 二次方程 7.用配方法解一元二次方程3x2-12x-1=0,配方 正确的是 A.3(x-2)2=5 B.(3x-2)2=13 C.(x-2)2=5 D.(x-2)2=13 3 8团老下列用配方法解方程--2-0的四 个步骤中，出现错误的是 () 22-x-2=0-2-2=4+2-2x+1-+g-lP=5→x=5+1 ① ② ③ ④ 8题图 A.① B.② C.③ D.④ 9.用配方法解一元二次方程3x2+6x-1=0时，将 它化为(x+a)2=b,则a+b的值为() A号 B C.2 4 0 10.用配方法解下列方程： (1)4x2+8x+5=0; 见此图标器微信打码进人初中智慧学园自 全程导练·九年级数学（上册）》 能力提升综合练学” 11.如果一个一元二次方程的二次项是2x2,配方后 1 整理得(x-2)=1,那么原方程的一次项和常 数项分别是 ( a B-2,2 c-2,-多 0.,-} 12.若方程x2-8x+m=0可以通过配方写成(x- n)2=6的形式，则x2+8x+m=5可以配成 A.(x-n+5)2=1 B.(x+n)2=1 C.(x-n+5)2=11D.(x+n)2=11 13.若一元二次方程x2-4x-1596=0的两根为a, b,且a>b,则3a+b的值为 14.在实数范围内定义运算“☆”和“★”，其规则为 a女b=d2+,a*6=兜则方程3☆x=x*12的 解为 15.用配方法解下列方程： (1)x2-6x+1=4x-8; 微专题1利用配方法半 方法指导：利用配方法判断代数式的正负或求最 值，都需要先把代数式配方成a(x+h)2+k的形 式，再根据任意数的平方为非负数确定代数式的 正负或代数式的最值情况：当a<0,x=-h时，该 代数式有最大值k;当a>0,x=-h时，该代数式 有最小值k. 1.不论a为何实数，多项式a2+4a+5的值一定 是 A.正数 B.负数 C.0 D.不能确定 2.当m= 时，代数式4m2-4m+3的值 最小，这个最小值是 3.阅读下面的例题，按要求解答问题： 例题：求代数式y2+4y+8的最小值 解：y2+4y+8=y2+4y+4+4=(y+2)2+4. .(y+2)2≥0，.(y+2)2+4≥4， .y2+4y+8的最小值是4. 6 见此图标暖微信扫码：进人初中智慧学园自 (2)2x(x-5)=2x+6. 素养探究创新练学' 16.新考向阅读材料，解决问题， 若x2-4x+y2-10y+29=0,求x,y的值. 思路分析：一个方程求两个未知数显然不容易， 考虑已知等式的特点，将其整理为两个完全平方 式的和，利用其非负性转化成两个一元一次方 程，进而求出x,少 解：x2-4x+y2-10y+29=0, .(x2-4x+4)+(y2-10y+25)=0, (x-2)2+(y-5)2=0, .x=2,y=5. 已知△ABC的三边长a,b,c都是正整数，且满足 a2-4a+2b2-4b+6=0,求c的值. 断代数式的正负或求最值 (1)求代数式m2+m+4的最小值； (2)求代数式4-x2+2x的最大值； (3)如图，某小区要在一块一边靠墙（墙长 15m)的空地上建一个矩形花园ABCD,花 园一边靠墙，另三边用总长为20m的栅栏 围成.设AB=xm,问：当x取何值时，花园 的面积最大？最大面积是多少？ Rea D 3题图中考123·全程导练 参芳答 第二十五章一元二次方程 25.1一元二次方程的概念 【知识要点分类练】 1.B2.C3.B4.(1)k≠1(2)1 5.解：(1)x2-3x+2=0,二次项系数是1，一次项系数是-3， 常数项是2. (2)5x2-10x+1=0,二次项系数是5，一次项系数是-10， 常数项是1. (3)x2-x=0,二次项系数是1，一次项系数是-1，常数项 是0. 6.C7.C 8.解：m是方程x2-2x-12=0的一个根，m2-2m=12, .3m2-6m-11=3(m2-2m)-11=3×12-11=25. 9.A10.2(x-1)=36 11.解：(1)6x2=36.(2)x(x-1)=1640. (3)x(15-x)=50. 【能力提升综合练】 12.D13.x(60-x)=864 14.(1)a+b+c=0(2)a-b+c=0(3)x=-3 15.解：(1)由题意，得m2-9=0且m+3≠0时，方程是一元 一次方程，所以m=3 (2)由题意，得m2-9≠0时，方程是一元二次方程，所以 m≠±3. 【素养探究创新练】 16.解：(1)设所求方程的根为y,则y=-x,所以x=-y 把x=-y代入已知方程，得(-y)2+(-y)-2=0, 化简，得y2-y-2=0,故所求方程为y2-y-2=0. (2)设所求方程的根为y,则y=士，所以：=宁 把x=二代人已知方程，得2￥7·1+3=0 化简，得3y2-7y+2=0,即所求方程为3y2-7y+2=0. 25.2降次一解一元二次方程 25.2.1配方法 第1课时直接开平方法 【知识要点分类练】 1.D2.B3.B4.C 5.解：(1)x1=√5，x2=-5.(2)x1=2,x2=-2. (3)方程无实数根. 6.D7.B 8.x-1=6x-1=-67-59.x=3 10.解：(1)x+2=±2，.x=-2±2， ∴x1=-2+2,x2=-2-2. (2)(x+4)2=9,.x+4=±3， x=-4±3，.x1=-1,2=-7. (3)2x-1=±7，∴2x-1=7或2x-1=-7, 1=4,2=-3. (4)3(x-5)2=15,(x-5)2=5,x-5=±5， 参考答案及解析 ·九年级数学（上册）】 案及解析 x-5=5或x-5=-5, x1=5+5,2=-V5+5. 【能力提升综合练】 11.D12.C13.5 14.解：(1)x2-5=7,x2=12,x1=25,2=-25. (2)(y-3)2=5,y-3=±5，y-3=5或y-3=-5, 1=3+5,2=3-5. (3)[2(x+3)]2=[5(x-2)]2,2(x+3)=±5(x-2), ∴.2(x+3)=5(x-2)或2(x+3)=-5(x-2), 即-3x=-16或7x=4=9=号 15解，(1a2:b,系数化为1，得2=台解得=±√只， 即方程的两根互为相反数. 一元二次方程ax2=b(ab>0)的两根分别为m+1与 2m-4,.m+1+2m-4=0,解得m=1. (2)当m=1时，m+1=2,2m-4=-2. *√日…&（±2=4 【素养探究创新练】 16.(1)x1=-4,x2=-1（2)x1=0,x2=-3 第2课时配方法 【知识要点分类练】 1.B 2(1)42(2)255(3)2(42分号 3.C4.C 5.x2+10x=-1625x2+10x+25=-16+25 (x+5)2=9x+5=3x1=-2,x2=-8 6.解：(1)x1=4,x2=-2.(2)x1=1,x2=-4. (3)x1=3+22,x2=3-2√2. (4)y1=2+5,2=2-V5. 7.D8.D 9.B〔解折]：3x+6-1=0,32+6x=1,2+2=号， 则2+2x+1=号+1，即(x+1=号a=1,6=号 a+b=子故选B 10.解：(1)4x2+8x+5=0,4(x2+2x+1)-4+5=0,4(x+ 1)2+1=0,方程无实数根 -3=6 ,x2-21 号+号 名(-石-亮解得1-子 【能力提升综合练】 11.C 12.D[解析]：x2-8x+m=0,∴.x2-8x=-m,.x2-8x+ 16=-m+16,∴.（x-4)2=-m+16.根据题意，得n=4, 。1. 全程导练·九年级数学（上册）】 -m+16=6,解得m=10,.x2+8x+m=5化简为x2+ 8x+5=0,配方，得(x+4)2=11,即(x+n)2=11.故选D. 13.8814.x1=x2=3 15.解：(1)x2-10x=-9,x2-10x+25=-9+25, 即(x-5)2=16,.x-5=±4，.x1=9,2=1. (2)2x2-12x=6,x2-6x=3,x2-6x+9=3+9, 即(x-3)2=12,x-3=±25， 1=3+25,x2=3-25. 【素养探究创新练】 16.解：a2-4a+2b2-4b+6=a2-4a+4+2b2-4b+2= (a-2)2+2(b-1)2=0, ∴.a-2=0,b-1=0,解得a=2,b=1. :a,b,c是△ABC的三边长，∴.1<c<3, ,c是正整数，.c=2 微专题1利用配方法判断代数式的正负或求最值 1.a27 2 3解：(1)2+m+4=(+分+号 :(m+)≥0(m+2+ 11 1515 会 4 ·m2+m+4的最小值是5 4 (2)4-x2+2x=-(x-1)2+5. …(x-1)2≥0，.-(x-1)2≤0，.-(-x-1)2+5≤5， .4-x2+2x的最大值为5. (3)由题意得，花园的面积是x(20-2x)=-2x2+20x= -2(x-5)2+50. (x-5)2≥0， .-2(x-5)2≤0，.-2(x-5)2+50≤50， .x(20-2x)的最大值是50. 此时x=5,20-2x=20-2×5=10<15,符合题意， 即当x=5时，花园的面积最大，最大面积是50m2 25.2.2公式法 第1课时一元二次方程的根的判别式 【知识要点分类练】 1.B2.C3.A4.D 5.解：(1)，a=1,b=4,c=4, .4=b2-4ac=42-4×1×4=0, .方程有两个相等的实数根 (2)将原方程化为一般形式，得3x2-4x+2=0. 4=62-4ac=(-4)2-4×3×2=-8<0, .原方程无实数根 6.C7.D 8.解：(1)把x=0代入原方程，得3m-2=0,解得m= 2 (2)根据题意，得4=42-4(3m-2)≥0，解得m≤2. 【能力提升综合练】 9.A10.D11.A12.直角 13.(1)解：2 (2)证明：由x2+mx+m-2=0, 得4=m2-4(m-2)=(m-2)2+4. .(m-2)2≥0，.(m-2)2+4>0,即4>0， “.无论m取何实数，该方程都有两个不相等的实数根。 ·2· 14.解：(1)△ABC是等腰三角形.理由如下： x=-1是方程的根， .(a+c)×(-1)2+2b×(-1)+(a-c)=0, ∴.a+c-2b+a-c=0,.a=b, .△ABC是等腰三角形. (2)△ABC是直角三角形.理由如下： ,方程有两个相等的实数根， (2b)2-4(a+c)(a-c)=0, 4b2-4a2+4c2=0,a2=b2+c2, .∴.△ABC是直角三角形. 【素养探究创新练】 15.解：(1)[-4,3]*[2，-6]=-4×2-3×(-6)=10. (2)根据题意，得x(mx+1)-m(2x-1)=0, 整理，得m.x2+(1-2m)x+m=0. 关于x的方程[x,2x-1]*[mx+1,m]=0有两个实 数根， ∴.4=(1-2m)2-4m·m≥0，且m≠0， 解得m≤子且m≠0， 第2课时用公式法解一元二次方程 【知识要点分类练】 1.B2.C 3.解：(1).a=1,b=-3,c=-2, .4=b2-4ac=(-3)2-4×1×(-2)=17>0, 方程有两个不相等的实数根， x=-b±√B-4ae_-3±页 2a 2 +23- 名=3+ 2 (2)a=1,b=-22,c=2, .4=b2-4ac=(-22)2-4×1×2=0, .方程有两个相等的实数根， 六有==-6±B-4c.-(-32)±02. 2a 2×1 (3)原方程可化为3x2-5x-2=0. a=3,b=-5,c=-2, .4=b2-4ac=(-5)2-4×3×(-2)=49>0, ·.方程有两个不相等的实数根， 从x=b±-4c.二(-5)±4型5±虹， 2a 2×3 6 1 01=2,西=-3 (4)原方程可化为x2-25x+10=0. a=1,b=-25,c=10, .4=b2-4ac=(-25)2-4×1×10=-20<0, .此方程无实数根. 4.解：由题意，得3x2+1=x+3,整理，得3x2-x-2=0. a=3,b=-1,c=-2, .4=b2-4ac=(-1)2-4×3×(-2)=25>0, .方程有两个不相等的实数根， x=1±V25=1±5 2×3 61 2 =3为=1，