专题08 轴对称与线段的垂直平分线（重难点讲义）数学新教材人教版八年级上册

本讲义聚焦轴对称与线段垂直平分线核心知识，先明确轴对称图形与成轴对称的定义及区别，再系统梳理轴对称性质，进而深入讲解线段垂直平分线的性质定理与判定定理，拓展至三角形外心及坐标轴对称，构建从概念到应用的完整学习支架。 资料通过典例与变式题分层设计，涵盖图形判断、角度计算、线段证明等题型，结合校徽、剪纸等现实情境，培养学生几何直观与推理能力。课中辅助教师高效授课，课后提供巩固与强化训练，助力学生查漏补缺，提升用数学语言表达和解决问题的能力。

专题 08 轴对称与线段的垂直平分线 1.掌握轴对称、轴对称图形定义，区分两者概念，能识别常见轴对称图形； 2.熟练掌握线段垂直平分线的性质定理与判定定理，会用定理证明线段相等、点在垂直平分线上； 3. 能利用轴对称作图、求坐标、计算线段长度与周长最值。 1. 轴对称相关概念 轴对称图形：一个图形沿一条直线折叠，直线两旁部分能完全重合，这条直线叫对称轴； 成轴对称：两个图形沿一条直线折叠后能够重合，这条直线是对称轴； 轴对称性质：对称轴是任意一组对应点连线的垂直平分线；对应线段相等、对应角相等； 对应线段（或延长线）交点在对称轴上。 2. 线段垂直平分线核心定理 （1）性质定理 线段垂直平分线上的任意一点，到线段两个端点的距离相等。 几何语言：若直线垂直平分，点在上，则。 （2）判定定理 到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 几何语言：若，则点在线段的垂直平分线上。 3. 拓展高频考点 三角形三边垂直平分线交于一点（外心），到三角形三个顶点距离相等； 坐标轴对称：点关于轴对称，关于轴对称。 题型 01 判断轴对称图形 【典例1】“致中和，天地位焉，万物育焉．”对称美是我国古人和谐平衡思想的体现，下列大学的校徽图案是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． A【解析】A．是轴对称图形，故本选项符合题意； B．不是轴对称图形，故本选项不符合题意； C．不是轴对称图形，故本选项不符合题意； D．不是轴对称图形，故本选项不符合题意．故选：A． 【变式】下列图形中，是轴对称图形的是（　　） A．B． C．D． C【解析】A、选项图形不是轴对称图形，不符合题意； B、选项图形不是轴对称图形，不符合题意； C、选项图形是轴对称图形，符合题意； D、选项图形不是轴对称图形，不符合题意． 故选：C． 题型 02 运用线段的垂直平分线性质求角度 【典例2】如图，点O是△ABC三条边的垂直平分线的交点，连接BO，CO，若∠A＝α，则∠O的度数为（　　） A． B．2α C． D．90°+α B【解析】如图，点D是AO延长线上一点， ∵点O是△ABC各边垂直平分线的交点， ∴OA＝OB＝OC，∴∠OCA＝∠OAC，∠OBA＝∠OAB， ∵∠COD＝∠OCA+∠OAC＝2∠OAC，∠BOD＝∠OAB+∠OBA＝2∠BAO， ∴∠COD+∠BOD＝2（∠OAC+∠BAO）， ∴∠BOC＝2∠BAC， ∵∠BAC＝α， ∴∠BOC＝2α，故选：B． 【变式】如图，在△ABC中，∠ABC+∠ACB＝100°．若O是三边垂直平分线的交点，则∠BOC的度数为（　　） A．130° B．140° C．150° D．160° D【解析】连接OA，如图， ∵∠ABC+∠ACB＝100°，∴∠BAC＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣100°＝80°， ∵O是△ABC三边垂直平分线的交点， ∴OA＝OB，OA＝OC， ∴∠OAB＝∠OBA，∠OAC＝∠OCA． ∴∠OBA+∠OCA＝∠OAB+∠OAC＝∠BAC＝80°， ∴∠OBC+∠OCB＝（∠ABC+∠ACB）﹣（∠OBA+∠OCA）＝100°﹣80°＝20°， ∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝160°．故选：D． 题型 03 运用线段的垂直平分线性质求线段长 【典例3】如图，在△ABC中，BC＝6，∠BAC＞90°，AB的垂直平分线交BC于点E，AC的垂直平分线交BC于点F，垂足分别为D，G．则△AEF的周长是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 D【解析】∵FG垂直平分AC，DE垂直平分AB， ∴AF＝CF，AE＝BE， ∴△AEF的周长是AE+AF+EF＝BE+CF+EF＝BC＝6． 故选：D． 【变式】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，DE垂直平分AB交BC于点D，若△ACD的周长为60cm，则AC+BC＝（　　） A．30cm B．50cm C．55cm D．60cm D【解析】∵△ACD的周长为60cm， ∴△ACD的周长＝AC+CD+AD＝60cm， ∵DE垂直平分AB交BC于点D， ∴AD＝BD， ∴AC+CD+AD＝AC+CD+BD＝AC+BC＝60cm，即AC+BC＝60cm．故选：D． 题型 04 运用线段垂直平分线的性质进行说理证明 【典例4】如图，AD是△ABC的角平分线，DE，DF分别是△ABD和△ACD的高，连接EF，交AD于点G．求证：AD垂直平分EF． 证明：∵AD是△ABC的角平分线，∴AD平分∠BAC， ∵DE，DF分别是△ABD和△ACD的高， ∴DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F， ∴DE＝DF，∠AED＝∠AFD＝90°， ∴∠DEF＝∠DFE， ∴∠AEF＝∠AED﹣∠DEF＝∠AFD﹣∠DFE＝∠AFE， ∴AE＝AF， ∵点A和点D都在EF的垂直平分线上，∴AD垂直平分EF． 【变式】如图，△ABC中，AB＝AC，D为BC边的中点，AF⊥AD，垂足为A．求证：∠1＝∠2． 证明：∵AB＝AC，D为BC边的中点，∴AD⊥BC， ∵AF⊥AD， ∴AF∥BC， ∴∠ACB＝∠2，∠1＝∠B， ∵AB＝AC， ∴∠B＝∠ACB， ∴∠1＝∠2． 【巩固训练】 1. 剪纸是我国传统的民间艺术．下列剪纸图案是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． C【解析】A、B、D中的图案不是轴对称图形，故A、B、D不符合题意； C、此图案是轴对称图形，故C符合题意．故选：C． 2. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，DE垂直平分AB交BC于点D，若△ACD的周长为50cm，则AC+BC＝（　　） A．25cm B．45cm C．50cm D．55cm C【解析】∵DE垂直平分AB交BC于点D， ∴AD＝DB， ∵△ACD的周长为50cm， 即AC+AD+CD＝AC+CD+DB＝AC+BC＝50cm，故选：C． 3. 如图，△ABC中，边AB的垂直平分线分别交AC，AB于点D，E，连接BD．若∠C＝24°，DB⊥BC，则∠A的度数为（　　） A．24° B．30° C．33° D．66° C【解析】∵DE是边AB的垂直平分线， ∴AD＝BD， ∴∠A＝∠ABD， ∵∠C＝24°，DB⊥BC，∴∠CDB＝90°﹣∠C＝66°， ∵∠CDB＝∠A+∠ABD， ∴∠A＝∠ABD＝33°， 故选：C． 4. 如图，在△ABC中，DM，EN分别垂直平分AB和AC，垂足为M，N，分别交BC于点D，E，若∠BAC＝120°，则∠DAE的度数为（　　） A．40° B．50° C．60° D．80° C【解析】∵DM，EN分别垂直平分AB和AC， ∴DA＝DB，EA＝EC（线段垂直平分线的性质）， ∴∠B＝∠DAB，∠EAC＝∠ECA， ∵∠BAC＝120°， ∴∠B+∠C＝180°﹣∠BAC＝180°﹣120°＝60°， ∴∠DAE＝∠BAC﹣∠DAB﹣∠EAC＝∠BAC﹣（∠B+∠C）＝120°﹣60°＝60°， 故选：C． 5. 如图是蜡烛在平面镜中成像的光路图，人眼D所看到的是蜡烛A在平面镜里的虚像B，点A与点B到平面镜的距离相等，且它们的连线与平面镜垂直，因此人眼感觉看到了真实的蜡烛．若∠CAB＝22°，则∠ACD的度数为（　　） A．11° B．22° C．33° D．44° D【解析】由题意得，平面镜所在直线垂直平分线段AB， ∴AC＝BC， ∴∠CBA＝∠CAB＝22°， ∴∠ACD＝∠CBA+∠CAB＝44°，故选：D． 6. 锐角三角形ABC，BC边的中垂线和∠ABC的角平分线相交于点P，若∠A＝68°，∠ABP＝24°，则∠ACP的度数为　　 ． 40°【解析】如图，BP平分∠ABC，MN垂直平分BC，连接PC， ∵MN垂直平分BC，∴PB＝PC， ∴∠PBC＝∠PCB，∵BP平分∠ABC， ∴∠ABP＝∠PBC，∵∠A+∠ABP+∠PBC+∠PCB+∠ACP＝180°， ∴3∠ABP+∠A+∠ACP＝180°， ∵∠A＝68°，∠ABP＝24°， ∴∠ACP＝40°．故答案为：40°． 7. 如图，点O是△ABC各边垂直平分线的交点，连接BO、CO．如果∠A＝34°，那么∠BOC＝　　 度． 68【解析】连接AO并延长，交BC于点G， 由条件可知OA＝OB＝OC，∴∠OBA＝∠OAB，∠OCA＝∠OAC， ∴∠OBA+∠OCA＝∠OAB+∠OAC＝∠BAC＝34°， ∵∠BOG＝∠ABO+∠BAO＝2∠BAO，∠COG＝∠CAO+∠OAC＝2∠CAO， ∴∠BOC＝∠BOG+∠COG＝2（∠BAO+∠CAO）＝2∠BAC， ∴∠BOC＝2×34°＝68°．故答案为：68． 8. 如图，在△ABC中，AB的垂直平分线EF交BC于点E，交AB于点F，D为线段CE的中点，AD⊥BC． （1）求证：BE＝AC． （2）若∠B＝32°，求∠BAC的度数． （1）证明：如图所示，连接AE， ∵EF是AB的垂直平分线，∴BE＝AE（线段垂直平分线的性质）， ∵AD⊥BC，D是CE的中点， ∴AD是CE的垂直平分线 ∴AE＝AC（线段垂直平分线的性质），∴BE＝AC（等量代换）； （2）解：∵AB的垂直平分线EF交BC于点E， ∴BF＝AF，EF⊥AB，∴∠EFB＝∠EFA＝90°， 又∵EF＝EF， ∴△EFB≌△EFA（SAS）， ∴∠EAF＝∠B＝32°，∴∠AEC＝∠EAF+∠B＝64°， 同理可得∠C＝∠ACE＝64°，∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝84°． 【强化训练】 1. （2026春•莱阳市期末）如图，在△ABC中，∠A＝70°，点D为BC的中点，过点D作BC的垂线，交AC于点E，连接BE，作∠ABE的平分线，与DE的延长线交于点F，则∠F的度数为（　　） A．30° B．35° C．45° D．55° B【解析】∵∠A＝70°， ∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣70°＝110°， ∵点D为BC中点，ED⊥BC， ∴ED是BC的垂直平分线，∴EB＝EC， ∴∠ECB＝∠EBC， ∵BF平分∠ABE， ∴∠ABF＝∠EBF，∴∠FBD＝∠EBC+∠EBF＝55°，∴∠F＝90°﹣55°＝35°，故选：B． 2. （2026春•南岸区期末）如图，在△ABC中，点E是△ABC内一点，连接EB，EC，ED垂直平分AB，若∠EBC＝∠ECB，EC＝4，则点A，E之间的距离为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 B【解析】连接AE， ∵EC＝4，∠EBC＝∠ECB，∴EB＝EC＝4， ∵ED垂直平分AB，∴EA＝EB＝4，故选：B． 3. （2026春•青羊区期末）如图，在△ABC中，∠C＝105°，边AB，CB的垂直平分线相交于点P，连接AP，BP，则∠APB的度数为　　 ． 150°【解析】如图，连接CP，∵边AB，CB的垂直平分线相交于点P， ∴PA＝PB，PB＝PC， ∴∠PBC＝∠PCB，PA＝PC， ∴∠PAC＝∠PCA， ∴∠PAC+∠PBC＝∠PCA+∠PCB＝∠ACB＝105°， ∴∠APB＝360°﹣105°﹣105°＝150°，故答案为：150°． 4. （2026春•莱州市期末）如图，在△ABC中，F是边AB，AC的垂直平分线的交点，连接BF，CF，若∠BFC＝110°，则∠A＝　　 ． 55°【解析】如图，连接AF并延长至D，∵F是边AB，AC的垂直平分线的交点， ∴FA＝FB，FA＝FC， ∴∠FAB＝∠FBA，∠FAC＝∠FCA， ∵∠BFD＝∠FAB+∠FBA，∠CFD＝∠FAC+∠FCA， ∴∠FAB∠BFD，∠FAC∠CFD，∴∠BAC∠BFC＝55°，故答案为：55°． 5. （2026春•西安期末）如图，在△ABC中，D是边AB的中点，点O在边AC的垂直平分线上，且OD⊥AB． （1）OB与OC相等吗？请说明理由； （2）若E是边BC的中点，∠BAC＝70°，求∠COE的度数． 解:（1）OB＝OC．理由如下：∵D是边AB的中点，OD⊥AB，∴OD垂直平分AB， ∴OA＝OB， ∵点O在边AC的垂直平分线上， ∴OA＝OC，∴OB＝OC； （2）∵OA＝OB，OA＝OC， ∴∠ABO＝∠BAO，∠OAC＝∠OCA，∵∠BAC＝70°， ∴∠ABO+∠OCA＝∠BAO+∠OAC＝70°， ∴∠OBC+∠OCB＝180°﹣70°﹣70°＝40°， ∵OB＝OC， ∴∠OBC＝∠OCB＝20°， ∵OB＝OC，E是边BC的中点，∴∠OEC＝90°，∴∠COE＝90°﹣20°＝70°． 6. （2025秋•栾城区校级期末）如图，已知△PMN，OA垂直平分MP，交MN于点E，交MP于点Q，OB垂直平分PN，交MN于点F，交PN于点R，连接OP． （1）连接PE，PF，若MN＝15，求△PEF的周长； （2）若PM＝PN，求证：OP平分∠AOB． （1）解：OA垂直平分MP，∴ME＝PE（线段垂直平分线的性质）． 同理：FN＝PF．∴EP+FP+EF＝ME+EF+FN＝MN＝15， 即△PEF的周长为15； （2）证明：∵PN＝PM，OA垂直平分MP，OB垂直平分PN， ∴，（线段垂直平分线的性质）， ∴PQ＝PR． ∴OP平分∠AOB． 7. （2026•娄星区校级模拟）如图，△ABC中，AD⊥BC，点E在AC的垂直平分线上，且BD＝DE． （1）如果∠BAD＝20°，求∠B的度数，求∠C的度数； （2）如果△ABC的周长为13cm，AC＝6cm，求△ABE的周长． 解:（1）∵点E在AC的垂直平分线上，∴AE＝EC． ∵BD＝DE，AD⊥BC， ∴AB＝AE，∠BAE＝2∠BAD＝40°． ∴∠B＝∠AEB＝2∠C＝（180°﹣40°）÷2＝140°÷2＝70°， ∴∠C＝35°． （2）∵△ABC的周长为13cm，AC＝6cm， ∴AB+BC＝13﹣6＝7（cm）， ∴△ABE的周长＝AB+BC＝7（cm） 8. （2026春•桥西区期末）已知△ABC中，AB＝AC＞BC，AB的垂直平分线MN交AC于点D，交AB于点E，连接BD． （1）请根据题干尺规作图（不写作法，保留作图痕迹），并标记D，E两点； （2）若∠A＝α，用含α的代数式表示∠DBC． 解:（1）如图，DE为所作； （2）∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB（180°﹣∠A）（180°﹣α）， ∵DE垂直平分AB， ∴DB＝DA， ∴∠ABD＝∠A＝α， ∴∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD（180°﹣α）﹣α＝90°α． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 08 轴对称与线段的垂直平分线 1.掌握轴对称、轴对称图形定义，区分两者概念，能识别常见轴对称图形； 2.熟练掌握线段垂直平分线的性质定理与判定定理，会用定理证明线段相等、点在垂直平分线上； 3. 能利用轴对称作图、求坐标、计算线段长度与周长最值。 1. 轴对称相关概念 轴对称图形：一个图形沿一条直线折叠，直线两旁部分能完全重合，这条直线叫对称轴； 成轴对称：两个图形沿一条直线折叠后能够重合，这条直线是对称轴； 轴对称性质：对称轴是任意一组对应点连线的垂直平分线；对应线段相等、对应角相等； 对应线段（或延长线）交点在对称轴上。 2. 线段垂直平分线核心定理 （1）性质定理 线段垂直平分线上的任意一点，到线段两个端点的距离相等。 几何语言：若直线垂直平分，点在上，则。 （2）判定定理 到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 几何语言：若，则点在线段的垂直平分线上。 3. 拓展高频考点 三角形三边垂直平分线交于一点（外心），到三角形三个顶点距离相等； 坐标轴对称：点关于轴对称，关于轴对称。 题型 01 判断轴对称图形 【典例1】“致中和，天地位焉，万物育焉．”对称美是我国古人和谐平衡思想的体现，下列大学的校徽图案是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【变式】下列图形中，是轴对称图形的是（　　） A．B． C．D． 题型 02 运用线段的垂直平分线性质求角度 【典例2】如图，点O是△ABC三条边的垂直平分线的交点，连接BO，CO，若∠A＝α，则∠O的度数为（　　） A． B．2α C． D．90°+α 【变式】如图，在△ABC中，∠ABC+∠ACB＝100°．若O是三边垂直平分线的交点，则∠BOC的度数为（　　） A．130° B．140° C．150° D．160° 题型 03 运用线段的垂直平分线性质求线段长 【典例3】如图，在△ABC中，BC＝6，∠BAC＞90°，AB的垂直平分线交BC于点E，AC的垂直平分线交BC于点F，垂足分别为D，G．则△AEF的周长是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，DE垂直平分AB交BC于点D，若△ACD的周长为60cm，则AC+BC＝（　　） A．30cm B．50cm C．55cm D．60cm 题型 04 运用线段垂直平分线的性质进行说理证明 【典例4】如图，AD是△ABC的角平分线，DE，DF分别是△ABD和△ACD的高，连接EF，交AD于点G．求证：AD垂直平分EF． 【变式】如图，△ABC中，AB＝AC，D为BC边的中点，AF⊥AD，垂足为A．求证：∠1＝∠2． 【巩固训练】 1. 剪纸是我国传统的民间艺术．下列剪纸图案是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，DE垂直平分AB交BC于点D，若△ACD的周长为50cm，则AC+BC＝（　　） A．25cm B．45cm C．50cm D．55cm 3. 如图，△ABC中，边AB的垂直平分线分别交AC，AB于点D，E，连接BD．若∠C＝24°，DB⊥BC，则∠A的度数为（　　） A．24° B．30° C．33° D．66° 4. 如图，在△ABC中，DM，EN分别垂直平分AB和AC，垂足为M，N，分别交BC于点D，E，若∠BAC＝120°，则∠DAE的度数为（　　） A．40° B．50° C．60° D．80° 5. 如图是蜡烛在平面镜中成像的光路图，人眼D所看到的是蜡烛A在平面镜里的虚像B，点A与点B到平面镜的距离相等，且它们的连线与平面镜垂直，因此人眼感觉看到了真实的蜡烛．若∠CAB＝22°，则∠ACD的度数为（　　） A．11° B．22° C．33° D．44° 6. 锐角三角形ABC，BC边的中垂线和∠ABC的角平分线相交于点P，若∠A＝68°，∠ABP＝24°，则∠ACP的度数为　　 ． 7. 如图，点O是△ABC各边垂直平分线的交点，连接BO、CO．如果∠A＝34°，那么∠BOC＝　　 度． 8. 如图，在△ABC中，AB的垂直平分线EF交BC于点E，交AB于点F，D为线段CE的中点，AD⊥BC． （1）求证：BE＝AC． （2）若∠B＝32°，求∠BAC的度数． 【强化训练】 1. （2026春•莱阳市期末）如图，在△ABC中，∠A＝70°，点D为BC的中点，过点D作BC的垂线，交AC于点E，连接BE，作∠ABE的平分线，与DE的延长线交于点F，则∠F的度数为（　　） A．30° B．35° C．45° D．55° 2. （2026春•南岸区期末）如图，在△ABC中，点E是△ABC内一点，连接EB，EC，ED垂直平分AB，若∠EBC＝∠ECB，EC＝4，则点A，E之间的距离为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 3. （2026春•青羊区期末）如图，在△ABC中，∠C＝105°，边AB，CB的垂直平分线相交于点P，连接AP，BP，则∠APB的度数为　　 ． 4. （2026春•莱州市期末）如图，在△ABC中，F是边AB，AC的垂直平分线的交点，连接BF，CF，若∠BFC＝110°，则∠A＝　　 ． 5. （2026春•西安期末）如图，在△ABC中，D是边AB的中点，点O在边AC的垂直平分线上，且OD⊥AB． （1）OB与OC相等吗？请说明理由； （2）若E是边BC的中点，∠BAC＝70°，求∠COE的度数． 6. （2025秋•栾城区校级期末）如图，已知△PMN，OA垂直平分MP，交MN于点E，交MP于点Q，OB垂直平分PN，交MN于点F，交PN于点R，连接OP． （1）连接PE，PF，若MN＝15，求△PEF的周长； （2）若PM＝PN，求证：OP平分∠AOB． 7. （2026•娄星区校级模拟）如图，△ABC中，AD⊥BC，点E在AC的垂直平分线上，且BD＝DE． （1）如果∠BAD＝20°，求∠B的度数，求∠C的度数； （2）如果△ABC的周长为13cm，AC＝6cm，求△ABE的周长． 8. （2026春•桥西区期末）已知△ABC中，AB＝AC＞BC，AB的垂直平分线MN交AC于点D，交AB于点E，连接BD． （1）请根据题干尺规作图（不写作法，保留作图痕迹），并标记D，E两点； （2）若∠A＝α，用含α的代数式表示∠DBC． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $