15.1.2 线段的垂直平分线 第2课时 线段的垂直平分线的有关作图 教学设计 2026-2027学年人教版八年级数学上册

该初中数学教学设计聚焦线段的垂直平分线的有关作图，涵盖作垂直平分线、作对称轴、过直线外（上）一点作垂线等核心知识点。课堂导入通过回顾角平分线尺规作图和垂直平分线定义，搭建知识迁移支架，衔接上一课时的判定定理。 此资料以核心素养为导向，通过“原理-操作-应用”链条展开，如用判定定理和SSS全等解释作图原理培养推理能力，“三步法”作对称轴建立模型观念，发射塔选址问题提升应用意识。讲练结合的方法帮助学生理解操作背后的数学逻辑，既提升学生几何直观与推理能力，又为教师提供清晰的教学路径和丰富案例。

教案：15.1.2 线段的垂直平分线 第2课时 线段的垂直平分线的有关作图 课题 15.1.2 线段的垂直平分线 第2课时 线段的垂直平分线的有关作图 课型 新授课 课时 1课时（45分钟） 教材版本 人教版八年级上册 第十五章 教学方法 讲练结合、启发引导、动手操作、归纳总结 教学用具 多媒体课件、直尺、圆规、三角板 教材分析 本节课是人教版八年级上册第十五章"轴对称"中"线段的垂直平分线"的第2课时。学生在第1课时已经学习了线段垂直平分线的性质定理和判定定理，理解了"到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上"这一核心结论。本节课在此基础上，将理论知识转化为实践操作，学习尺规作图——作线段的垂直平分线、作对称轴、过直线外一点作已知直线的垂线。这是几何作图的基本技能，也是后续学习三角形、四边形等几何图形作图的基础。 学情分析 八年级学生已经掌握了线段垂直平分线的性质和判定定理，具备一定的逻辑推理能力。但学生对于尺规作图的操作步骤和原理理解还不够深入，容易出现"会操作但不会解释"的情况。在作对称轴时，部分学生可能找不到合适的对称点对；在作垂线时，部分学生可能不理解"先确定D、E两点，再作DE的垂直平分线"这一转化思路。教学过程中需要引导学生理解每一步作图操作背后的数学原理，做到"知其然更知其所以然"。 一、核心素养目标 1. 几何直观 通过尺规作图的实际操作，直观感受"以A、B为圆心、大于AB/2的长为半径作弧，两弧交点在线段AB的垂直平分线上"这一几何事实。在作对称轴和作垂线的过程中，发展几何直观感知能力，体会"作图操作"与"几何原理"之间的对应关系。 2. 推理能力 能运用第1课时学过的线段垂直平分线的判定定理（到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上），解释作线段垂直平分线的尺规作图原理。能运用SSS全等三角形证明两弧交点到线段两端点的距离相等。能运用"两点确定一条直线"推理得出结论。能理解过直线外一点作垂线的转化思路——构造等腰三角形，利用"三线合一"或垂直平分线的判定定理。 3. 应用意识 能运用尺规作图方法作出已知线段的垂直平分线，能在各种图形中识别并作出对称轴。能运用过直线外一点作垂线的方法解决实际问题（如发射塔选址等）。能在综合问题中灵活选择作图方法，将"作图"与"证明"有机结合。 4. 模型观念 将尺规作图抽象为几何模型——"作垂直平分线"的本质是"找两个到线段两端点距离相等的点，过这两点作直线"。将"作对称轴"抽象为"找对称点→连接→作垂直平分线"的三步模型。将"过直线外一点作垂线"抽象为"构造等腰三角形→作底边垂直平分线"的转化模型。建立尺规作图与几何定理之间的模型对应关系。 二、教学重难点 教学重点 1. 掌握尺规作图——作已知线段的垂直平分线的方法和步骤，理解每一步的作图原理。 2. 掌握作两个图形成轴对称的对称轴的方法——三步法（找对称点、连、作垂直平分线）。 3. 掌握过直线外一点作已知直线的垂线的方法（教材P68例题），理解其转化思路。 4. 能运用尺规作图解决实际问题，能解释作图原理。 教学难点 1. 理解作线段垂直平分线的尺规作图原理——以A、B为圆心、大于AB/2的长为半径作弧，两弧交于两点，这两点分别在线段AB的垂直平分线上（判定定理），过这两点的直线即为线段AB的垂直平分线。 2. 理解过直线外一点作垂线的转化思路——先以点C为圆心、适当长为半径画弧交直线l于D、E两点，则CD = CE，点C在DE的垂直平分线上，再作DE的垂直平分线与过C的直线即所求垂线。 3. 在综合问题中灵活运用尺规作图，能准确找到对称点对，正确作出对称轴。 4. 区分"作线段垂直平分线"与"作对称轴"的异同——对称轴实质上是连接一对对称点所得线段的垂直平分线。 三、教学过程 环节一：复习导入（3分钟） 【教师活动】同学们，上一节课我们学习了线段垂直平分线的性质和判定定理。先来回顾一下：角平分线是如何用尺规作出图的？线段垂直平分线的定义是什么？ 【学生活动】角平分线的尺规作图：以角的顶点为圆心、适当长为半径画弧，交角的两边于两点，再分别以这两点为圆心、大于两交点距离一半的长为半径画弧，两弧在角内部交于一点，连接顶点与交点即为角平分线。 【学生活动】线段垂直平分线的定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫作这条线段的垂直平分线。 【教师活动】回答得很好！回顾了角平分线的尺规作图方法，也明确了线段垂直平分线的定义。那么，线段的垂直平分线能否用尺规作出图来呢？如何作？今天我们就来学习——线段的垂直平分线的有关作图。 【知识点】复习导入 回顾1：角平分线的尺规作图——以顶点为圆心画弧→交两边→以交点为圆心画弧→连顶点和交点。 回顾2：线段垂直平分线的定义——经过线段中点并且垂直于这条线段的直线。 引出问题：能用尺规作出线段的垂直平分线吗？如何作？ 引出课题：15.1.2 线段的垂直平分线 第2课时 线段的垂直平分线的有关作图。 【设计意图】通过回顾角平分线的尺规作图方法，唤醒学生对尺规作图的记忆，为学习垂直平分线的尺规作图做好知识迁移的铺垫。同时回顾垂直平分线的定义，为后续探究作图原理奠定基础。 【过渡语】如何用尺规作出线段的垂直平分线呢？我们一起来探究。 环节二：探究新知（15分钟） 一、尺规作图——作已知线段的垂直平分线 【教师活动】（展示课件）已知线段AB，如何用尺规作出它的垂直平分线？请同学们思考：根据我们上一节课学过的判定定理，什么条件可以确定点在线段的垂直平分线上？ 【学生活动】根据判定定理，到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上。所以，如果我们能找到两个到A和B距离相等的点，过这两点的直线就是线段AB的垂直平分线。 【教师活动】思路非常清晰！那么，如何用尺规找到"到A和B距离相等的点"呢？关键是用圆规——以A为圆心画弧，以B为圆心画弧，取相同的半径，使两弧产生交点。这些交点到A和B的距离相等（都等于半径），所以它们都在AB的垂直平分线上。 【教师活动】（展示课件）具体作图步骤如下： 【教师活动】第一步：以点A为圆心，大于AB一半的长为半径画弧。为什么半径必须大于AB的一半？如果半径小于或等于AB的一半，两弧不会相交。 【教师活动】第二步：以点B为圆心，同样的半径（保持半径不变）画弧，两弧在AB的上方和下方各交于一点，分别记为点C和点D。 【教师活动】第三步：过点C和点D作直线CD。直线CD就是线段AB的垂直平分线。 【教师活动】请同学们思考：为什么直线CD就是线段AB的垂直平分线？如何证明？ 【学生活动】因为以A为圆心、R为半径画弧，所以AC = R；以B为圆心、R为半径画弧，所以BC = R。因此AC = BC = R，点C到A和B的距离相等。根据判定定理，点C在线段AB的垂直平分线上。同理，AD = BD = R，点D也在AB的垂直平分线上。C和D都在AB的垂直平分线上，所以直线CD就是线段AB的垂直平分线。 【教师活动】证明得非常完美！这个作图方法的原理就是利用判定定理：到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上。我们找到了两个这样的点C和D，根据"两点确定一条直线"，过C和D的直线CD就是线段AB的垂直平分线。 【教师活动】另外，从全等三角形的角度也可以证明：AC = BC，AD = BD，CD = CD（公共边），所以△ACD ≌ △BCD（SSS）。可以推出CD是AB的垂直平分线。 【知识点】尺规作图——作已知线段的垂直平分线 作图步骤： 第一步：以点A为圆心，大于AB/2的长为半径画弧。 第二步：以点B为圆心，相同半径画弧，两弧交于C、D两点。 第三步：过C、D作直线CD，直线CD即为线段AB的垂直平分线。 作图原理： 判定定理法：AC = BC = R → 点C在AB的垂直平分线上； AD = BD = R → 点D在AB的垂直平分线上； 两点确定一条直线 → CD是AB的垂直平分线。 SSS全等法：△ACD ≌ △BCD（SSS），可推出CD⊥AB且CD经过AB中点。 注意事项： (1) 半径必须大于AB/2，否则两弧不相交。 (2) 两次画弧的半径必须相同。 (3) 直线CD也是线段AB的中垂线，可以确定AB的中点。 【知识要点】作垂直平分线的核心原理判定定理：到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上。尺规作图：以A、B为圆心、相同半径画弧 → 两弧交点C、D满足AC = BC = AD = BD。结论：C、D都在AB的垂直平分线上 → 直线CD就是AB的垂直平分线。关键：半径必须大于AB/2，保证两弧相交。延伸：直线CD与AB的交点就是AB的中点，因此此方法也可用来确定线段中点。 【易错防范】作图易错点易错1：半径取值小于或等于AB/2，导致两弧不相交或只有一个交点。 正确做法：半径必须大于AB/2。易错2：两次画弧的半径不一致，导致交点到A、B的距离不相等。 正确做法：保持半径不变，两次画弧用同一个半径。易错3：作图后只画了弧，忘了过两交点作直线。 正确做法：找到交点后，必须用直尺过两交点画出直线。易错4：混淆尺规作图——用圆规画弧，用直尺画直线，不能用量角器或刻度尺。 【设计意图】从"判定定理"出发，引导学生自主推导出尺规作图的方法——找两个到A、B距离相等的点，过这两点作直线。这一过程体现了"理论指导实践"的数学思想，让学生理解作图操作背后的数学原理，做到"知其然更知其所以然"。SSS全等提供了另一种证明视角，拓宽学生的思维。 【过渡语】垂直平分线的作法掌握了，我们来做一道针对训练，检验一下。 二、针对训练1 —— 已知AB = 6，求半径b 【教师活动】（展示课件）如图，在作线段AB的垂直平分线的过程中，已知AB = 6，求画弧时所取的半径b。 【教师活动】这道题考查的是对"半径必须大于AB/2"这一条件的理解。AB = 6，AB/2 = 3，所以半径b必须满足什么条件？ 【学生活动】半径b必须大于AB的一半，即b > 3。 【教师活动】正确！半径b必须大于3。题目中给出的b = 4满足条件。 答案：b = 4。解析：作线段垂直平分线时，半径必须大于，即b > 。b = 4 > 3，满足条件。 【知识点】针对训练1 解题要点 已知：AB = 6，求半径b。 分析：作线段垂直平分线时，半径必须大于AB的一半。 AB/2 = 3。 ∴ b > 3，b = 4满足条件。 方法：掌握"半径大于线段一半"这一关键条件。 【设计意图】针对训练1考查学生对"半径必须大于线段一半"这一关键条件的理解。通过具体数值的计算，帮助学生巩固作图的基本要求，避免在实际操作中出现"半径太小导致两弧不相交"的错误。 【过渡语】掌握了作垂直平分线的方法，接下来看如何利用它解决更多问题。 三、针对训练2 —— 过A作直线将△ABC分成面积相等两部分 【教师活动】（展示课件）如图，已知△ABC，请过点A作一条直线，将△ABC分成面积相等的两部分。 【教师活动】请同学们思考：要将三角形分成面积相等的两部分，这条直线应该经过什么位置？ 【学生活动】三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分。因为中线将底边分成两段相等的线段，两个小三角形等底同高，面积相等。所以，过点A作BC边上的中线即可。 【教师活动】分析得很准确！要作出BC边上的中线，需要找到BC的中点。如何找到BC的中点呢？ 【学生活动】可以利用刚才学过的作线段垂直平分线的方法！作线段BC的垂直平分线，它与BC的交点就是BC的中点。连接A和这个中点，即为所求的直线。 【教师活动】非常好！作BC的垂直平分线，确定BC的中点M，连接AM，AM就是BC边上的中线，它将△ABC分成面积相等的两部分。 【答案】答案：作线段BC的垂直平分线，与BC交于点M，连接AM，则AM即为所求。理由：AM是△ABC的BC边上的中线，将△ABC分成两个等底同高的三角形，面积相等。 【知识点】针对训练2 解题要点 问题：过A作直线将△ABC分成面积相等的两部分。 分析： (1) 中线将三角形分成面积相等的两部分（等底同高）。 (2) 作BC的垂直平分线→确定BC中点M。 (3) 连接AM→AM即为所求（BC边上的中线）。 方法：将"面积等分"问题转化为"作中线"问题， 再转化为"作垂直平分线确定中点"问题。 【规律总结】垂直平分线确定中点线段垂直平分线与该线段的交点就是线段的中点。因此，尺规作图作线段垂直平分线的方法，也可用来确定线段的中点。应用：作中线、作中位线、作对称中心等。口诀：垂直平分线，过中点；作中线找中点，一箭双雕。 【设计意图】针对训练2将"面积等分"问题转化为"作中线"问题，再进一步转化为"作垂直平分线确定中点"问题，体现了数学中的转化思想。同时，这道题也让学生认识到作垂直平分线不仅可以得到垂直平分线本身，还可以得到线段的中点。 【过渡语】垂直平分线的作法不仅可以用来确定线段中点，还有一个重要应用——作对称轴。 四、作两个图形成轴对称的对称轴 【教师活动】我们知道，两个图形成轴对称，对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。因此，要作对称轴，只需找到一对对应点（对称点），连接它们，再作该线段的垂直平分线即可。 【教师活动】具体步骤可以归纳为三步法： 【教师活动】第一步：找——找出一对对应点（对称点），标出它们的对应关系。 【教师活动】第二步：连——连接这对对应点，得到一条线段。 【教师活动】第三步：作——作这条线段的垂直平分线，这条垂直平分线就是所求的对称轴。 【教师活动】（展示五角星示例）例如，这是一个五角星，它是轴对称图形，有5条对称轴。如何作出它的对称轴？ 【学生活动】在五角星上找一对对应点，比如左上角的顶点和右上角的顶点，连接它们，作这条线段的垂直平分线，就得到了一条对称轴。同样地，找其他对应点对，可以作出其他对称轴。 【教师活动】很好！五角星有5条对称轴，每一条对称轴都是一对对应点连线的垂直平分线。三步法——找、连、作——简洁明了，请同学们务必记住。 【知识点】作对称轴——三步法 原理：对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。 三步法： 第一步（找）：找出一对对应点（对称点）。 第二步（连）：连接这对对应点，得到线段。 第三步（作）：作这条线段的垂直平分线，即为对称轴。 示例：五角星有5条对称轴，每条对称轴都是某对对应点连线的垂直平分线。 注意： (1) 找对应点时，要确保这两个点关于对称轴对称。 (2) 如果图形本身是轴对称图形，找任意一对对称点即可。 (3) 如果是两个图形成轴对称，找一对对应点即可。 【知识要点】对称轴的本质对称轴 = 一对对应点连线的垂直平分线。因此，作对称轴 = 找对应点 + 连线段 + 作垂直平分线。三步法口诀：找→连→作。关键：找对对应点是前提，如果找错了对应点，作出的就不是对称轴。 【设计意图】作对称轴是线段垂直平分线作图的重要应用。通过"三步法"（找、连、作）的归纳，帮助学生建立清晰的作图流程。五角星示例直观展示了对称轴与垂直平分线的关系，强化了"对称轴即对应点连线段的垂直平分线"这一核心概念。 【过渡语】三步法掌握了，我们来做两道针对训练，巩固一下。 五、针对训练3 —— 教材P69练习第1题（作出各图形的一条对称轴） 【教师活动】（展示课件）教材P69练习第1题：作出下列各图形的一条对称轴，并和同学比较一下，你们作出的对称轴一样吗？ 【教师活动】请同学们用三步法独立完成：找对应点→连接→作垂直平分线。 【学生活动】对于每个图形，我先找一对对应点（对称点），连接它们，再作这条线段的垂直平分线，就得到了一条对称轴。由于每个图形可能有多条对称轴，不同的同学可能找出不同的对称轴，但都是正确的。 【教师活动】说得很好！同一个图形可能有多条对称轴，不同同学作出的对称轴可能不同，但只要步骤正确，都是正确的对称轴。关键是确保找的点是对应点。 【答案】答案：用三步法——找一对对应点→连接→作垂直平分线，即为对称轴。不同图形对称轴数量不同，因此不同同学作出的对称轴可能不同，但都是正确的。 【知识点】针对训练3 解题要点 题目：教材P69练习第1题——作出各图形的一条对称轴。 方法：三步法——找、连、作。 (1) 找：在图形上找一对对应点。 (2) 连：连接这两个对应点。 (3) 作：作连线的垂直平分线。 注意：同一图形可能有多条对称轴，不同同学可能作出不同的对称轴， 只要保证找的点是对应点即可。 【设计意图】教材P69练习第1题是三步法的直接应用，帮助学生巩固"找对应点→连接→作垂直平分线"的作图流程。通过"不同同学可能作出不同的对称轴"的讨论，培养学生对轴对称图形"可能有多条对称轴"的认知。 【过渡语】接下来看教材P69练习第2题，考查对称轴的判断和作图。 六、针对训练4 —— 教材P69练习第2题（判断与图形(1)成轴对称的图形并作对称轴） 【教师活动】（展示课件）教材P69练习第2题：如图，与图形(1)成轴对称的是哪个图形？画出它们的对称轴。 【教师活动】这道题分为两步：第一步，判断哪个图形与图形(1)成轴对称；第二步，画出对称轴。请同学们先观察各图形的位置关系。 【学生活动】通过观察图形的位置和形状，我发现图形(2)与图形(1)成轴对称。判断依据是：图形(1)和图形(2)沿某条直线折叠后能够完全重合。 【教师活动】判断正确！那么，如何画出它们的对称轴？ 【学生活动】在图形(1)和图形(2)上找一对对应点，连接它们，再作这条线段的垂直平分线，即为对称轴。 【教师活动】步骤清晰！先判断两个图形成轴对称，再找对应点、连线段、作垂直平分线，就得到了对称轴。 【答案】答案：图形(2)与图形(1)成轴对称。对称轴作法：在图形(1)和图形(2)上找一对对应点，连接→作垂直平分线，即为对称轴。 【知识点】针对训练4 解题要点 题目：教材P69练习第2题——判断成轴对称的图形并作对称轴。 步骤： (1) 判断：观察各图形，判断哪个与图形(1)成轴对称。 (2) 作图：找对应点→连接→作垂直平分线。 方法：先判断轴对称关系，再用三步法作对称轴。 关键：找对应点时要确保两个点关于对称轴是对称的。 【设计意图】教材P69练习第2题将"判断轴对称关系"与"作对称轴"结合起来，考查学生的综合能力。先判断哪个图形与图形(1)成轴对称，再运用三步法作出对称轴，体现了从"识别"到"操作"的完整过程。 【过渡语】轴对称的作图学完了，接下来学习一个重要的尺规作图——过直线外一点作已知直线的垂线。 七、教材P68例题 —— 过直线外一点作已知直线的垂线 【教师活动】（展示课件）教材P68例题：已知直线AB和AB外一点C，求作直线CF，使CF ⊥ AB。 【教师活动】这道题是尺规作图的基本问题之一——过直线外一点作已知直线的垂线。请同学们思考：如何利用我们已经学过的知识来解决这个问题？ 【教师活动】（展示课件）分析思路：我们可以在直线AB上先确定两个点D和E，使点C到D和E的距离相等（即CD = CE）。那么，根据判定定理，点C在线段DE的垂直平分线上。然后，作线段DE的垂直平分线，这条垂直平分线过点C且垂直于AB，即为所求的直线CF。 【教师活动】（展示课件）具体作图步骤如下： 【教师活动】第一步：以点C为圆心，适当长为半径画弧，交直线AB于D、E两点。注意：半径必须足够大，使弧与直线AB有两个交点。 【教师活动】第二步：分别以D、E为圆心，大于DE/2的长为半径画弧，两弧在直线l的另一侧交于点F。 【教师活动】第三步：过C、F作直线CF，直线CF即为所求的垂线。 【教师活动】请同学们思考：为什么这样作出的直线CF垂直于AB？ 【学生活动】因为以C为圆心画弧交AB于D、E，所以CD = CE（都等于半径）。根据判定定理，点C在线段DE的垂直平分线上。接下来，以D、E为圆心画弧交于F，可以证明DF = EF，所以点F也在DE的垂直平分线上。C和F都在DE的垂直平分线上，所以直线CF就是DE的垂直平分线。DE在AB上，所以CF ⊥ AB。 【教师活动】推理非常严谨！这个作图的核心思路是：先构造一个等腰三角形CDE（CD = CE），再作DE的垂直平分线。根据等腰三角形"三线合一"的性质，底边上的高、中线、顶角平分线互相重合，所以DE的垂直平分线过点C且垂直于DE（即垂直于AB）。 【知识点】过直线外一点作已知直线的垂线（教材P68例题） 已知：直线l和l外一点C。 求作：直线CF，使CF ⊥ AB。 作图步骤： 第一步：以C为圆心，适当长为半径画弧，交AB于D、E两点。 第二步：分别以D、E为圆心，大于DE/2的长为半径画弧，两弧交于F。 第三步：过C、F作直线CF，即为所求垂线。 作图原理： 判定定理法：CD = CE → C在DE的垂直平分线上； DF = EF → F在DE的垂直平分线上； ∴ CF是DE的垂直平分线 → CF ⊥ l。 等腰三角形法：△CDE中，CD = CE，CF是DE的垂直平分线， 由等腰三角形"三线合一"，CF ⊥ DE，即CF ⊥ AB。 注意事项： (1) 第一步半径必须足够大，使弧与直线l有两个交点。 (2) 第二步半径必须大于DE/2，保证两弧相交。 (3) 点F在直线l的另一侧（与C异侧），确保CF与AB相交。 【规律总结】过一点作垂线的两种情形情形一：过直线外一点作垂线（本节课重点）。 核心思路：构造等腰三角形 → 作底边垂直平分线。 步骤：以点为圆心画弧交直线于两点 → 以这两点为圆心画弧交于另一点 → 连线。情形二：过直线上一点作垂线（针对训练5）。 核心思路：在直线上取该点 → 以该点为圆心画弧交直线于两点 → 以这两点为圆心画弧交于一点 → 连线。两种情形的本质相同：都是构造等腰三角形，作底边的垂直平分线。 【知识要点】作图思路的转化过直线外一点作垂线的转化思路： 问题：过C作AB的垂线。 转化：在AB上找D、E使CD = CE → C在DE的垂直平分线上 → 作DE的垂直平分线 → 即为所求垂线。 本质：将"作垂线"问题转化为"作垂直平分线"问题。 关键：CD = CE（以C为圆心画弧，半径为定值）。这一转化思路体现了数学中"化未知为已知"的重要思想。 【设计意图】过直线外一点作垂线是尺规作图的基本问题。教学中先引导学生分析思路——构造等腰三角形，再利用"三线合一"或判定定理得到垂线，体现了"化未知为已知"的转化思想。两种原理（判定定理法和等腰三角形法）的并行讲解，帮助学生从不同角度理解作图原理。 【过渡语】过直线外一点作垂线掌握了，那么过直线上一点作垂线呢？ 八、针对训练5 —— 教材P69练习第3题（过直线上一点作垂线） 【教师活动】（展示课件）教材P69练习第3题：已知直线AB和AB上一点C，求作直线CF，使CF ⊥ AB。 【教师活动】这道题与P68例题的区别在于：点C在直线AB上，而不是在AB外。请同学们思考：如何利用刚才学过的方法来解决？ 【学生活动】可以在直线AB上以C为圆心、适当长为半径画弧，交AB于D、E两点（C是DE的中点）。然后分别以D、E为圆心，大于DE/2的长为半径画弧，两弧交于F。连接CF，CF即为所求的垂线。 【教师活动】思路正确！因为C是DE的中点，再作DE的垂直平分线必然经过点C。所以过直线上一点作垂线，实质上就是作以该点为中点的线段的垂直平分线。 【答案】答案：以C为圆心、适当长为半径画弧交AB于D、E两点；分别以D、E为圆心，大于DE/2长为半径画弧交于F；连接CF，CF ⊥AB。 【知识点】针对训练5 解题要点 题目：教材P69练习第3题——过直线上一点C作AB的垂线。 对比：P68例题是过直线外一点作垂线，本题是过直线上一点作垂线。 步骤： (1) 以C为圆心，适当长为半径画弧交AB于D、E两点。 (2) 分别以D、E为圆心，大于DE/2长为半径画弧交于F。 (3) 连接CF，CF ⊥ AB。 原理：C是DE的中点，作DE的垂直平分线必过C，且垂直DE（即垂直AB）。 比较：过直线外一点→先构造等腰三角形；过直线上一点→先构造以该点为中点的线段。 【设计意图】教材P69练习第3题与P68例题形成对比——过直线外一点作垂线 vs 过直线上一点作垂线。两道题本质相同，都是构造等腰三角形作底边垂直平分线，但具体操作有所不同。通过对比，帮助学生理解两种情形的异同。 【过渡语】五种例题精讲全部完成，接下来进入随堂演练环节，检验大家的综合运用能力。 环节三：课堂练习（14分钟） 一、随堂演练1 —— 选择题（判断正确选项） 【教师活动】（展示课件）第1题是一道选择题，请同学们仔细分析每个选项，选出正确的选项。 1. 如图，在△AEF 中，尺规作图如下：分别以点 E 和点 F 为圆心，大于 1/2EF 的长为半径作弧，两弧相交于 G，H 两点，作直线 GH，交 EF 于点 O，连接 AO，则下列结论正确的是（ ） A. AO 垂直平分EF B. GH 垂直平分EF　　 C. GH 平分AF D. 以上都不对 【教师活动】请同学们运用今天学过的尺规作图知识，逐一分析每个选项是否正确。 【学生活动】我逐一判断了每个选项。根据尺规作图的步骤和原理，只有选项B的说法是正确的。 【教师活动】回答的很好！ 【答案】答案：正确选项为B。 【知识点】随堂演练1 解题要点 题型：选择题，判断尺规作图方法的正误。 涉及知识： (1) 作线段垂直平分线——半径必须大于线段一半。 (2) 作对称轴——三步法（找、连、作）。 (3) 过直线外一点作垂线——构造等腰三角形，作底边垂直平分线。 方法：逐一分析每个选项，判断作图步骤是否符合要求。 关键：熟练掌握三种尺规作图的操作步骤和原理。 【易错防范】尺规作图常见错误错误1：作垂直平分线时半径取太小或两次半径不一致。 正确：半径必须大于线段一半，且两次半径相同。错误2：作对称轴时找错了对应点。 正确：确保两个点关于对称轴对称。错误3：过直线外一点作垂线时，第一步半径太小导致弧与直线只有一个交点。 正确：半径必须足够大，使弧与直线有两个交点。错误4：混淆"过直线外一点"和"过直线上一点"作垂线的步骤。 正确：两种情形本质相同，但操作略有不同。 【设计意图】随堂演练1是一道综合选择题，全面考查了本节课所学的三种尺规作图方法。通过逐一分析选项，帮助学生巩固作图步骤和原理，培养批判性思维和判断能力。 【过渡语】第2题是一道综合探究题，考查轴对称与对称轴的综合运用。 二、随堂演练2 —— 两次对称，画直线EF，探究∠BOB"与∠α数量关系 【教师活动】（展示课件）第2题：如图，将∠AOB对折，得到折痕OC（即∠AOB的平分线）；再将∠AOC对折，得到折痕OD。然后将∠BOC对折，得到折痕OE。最后将∠AOD对折，得到折痕OF。 【教师活动】请同学们思考：以上操作中，每次对折实质上是作什么？ 【学生活动】每次对折实质上是作角平分线。OC是∠AOB的平分线，OD是∠AOC的平分线，OE是∠BOC的平分线，OF是∠AOD的平分线。 【教师活动】分析得很准确！那么，请画出直线EF，并探究∠BOB"与∠α的数量关系。 【教师活动】（展示课件）如图，B"是B关于某条折痕的对称点。请同学们观察图形，探究∠BOB"与∠α的关系。 【学生活动】通过观察图形，B"是B关于OE的对称点，所以OE是BB"的垂直平分线（对称轴）。因此，∠BOB" = 2∠BOE。而∠BOE = ∠BOC/2 = ∠α/2。所以∠BOB" = 2 × (∠α/2) = ∠α。 【教师活动】推理非常精彩！这道题将轴对称、角平分线、垂直平分线等知识融为一体，需要综合运用。 【解答】解：每次对折实质上是作角平分线。OC平分∠AOB，OD平分∠AOC，OE平分∠BOC，OF平分∠AOD。B"是B关于OE的对称点，OE是BB"的垂直平分线。∠BOB" = 2∠BOE = 2 × (∠BOC/2) = ∠BOC = ∠α。∴ ∠BOB" = ∠α。 【知识点】随堂演练2 解题要点 题型：综合探究题，探究∠BOB"与∠α的数量关系。 分析： (1) 每次对折 = 作角平分线。 (2) B"是B关于OE的对称点 → OE是BB"的垂直平分线。 (3) ∠BOB" = 2∠BOE（轴对称性质）。 (4) ∠BOE = ∠BOC/2 = ∠α/2。 (5) ∴ ∠BOB" = 2 × (∠α/2) = ∠α。 涉及知识：角平分线、轴对称、垂直平分线、对称轴。 方法：将"对折"操作转化为几何概念，逐步推理。 【规律总结】对折操作的几何含义对折操作在几何中对应的数学概念： 对折角 → 作角平分线。 对折线段 → 作垂直平分线。 对折图形 → 找对称轴。B"是B关于OE的对称点，意味着： (1) OE是BB"的垂直平分线。 (2) ∠BOE = ∠B"OE（轴对称性质）。 (3) OB = OB"（垂直平分线性质）。关键：将"对折"这一操作语言转化为"角平分线""垂直平分线""对称轴"等数学语言。 【设计意图】随堂演练2是综合探究题，将"对折"操作与"角平分线""轴对称""垂直平分线"等数学概念建立联系。通过探究∠BOB"与∠α的数量关系，培养学生综合运用多种几何知识进行推理的能力。 【过渡语】最后一题是实际应用问题——发射塔选址，综合运用垂直平分线和角平分线。 三、随堂演练3 —— 发射塔选址（到两城镇等距+到两公路等距） 【教师活动】（展示课件）第3题：如图，A、B是两个城镇，l1、l2是两条公路。现要建一座发射塔， 要求：(1) 到A、B两城镇的距离相等； (2) 到l1、l2两条公路的距离相等。请在图中确定发射塔的位置。 【教师活动】这道题有两个条件，需要分别满足。请同学们分析：每个条件分别确定了什么？ 【学生活动】条件(1)：到A、B两城镇的距离相等，说明发射塔在线段AB的垂直平分线上。条件(2)：到l1、l2两条公路的距离相等，说明发射塔在l1和l2所成角的角平分线上。 【教师活动】分析到位！所以发射塔应该同时在线段AB的垂直平分线和l1、l2所成角的角平分线上。也就是说，发射塔是这两条线的交点。 【教师活动】（展示课件）作图方法：第一步，作线段AB的垂直平分线；第二步，作l1和l2所成角的角平分线；第三步，两条线的交点即为发射塔的位置。 【学生活动】由于l1和l2可能形成两个角（锐角和钝角），所以角平分线有两条（内角平分线和外角平分线）。因此，发射塔的位置可能不止一个，取决于题目的具体要求。 【教师活动】补充得很好！角平分线有内外之分，所以可能有多个符合条件的点。在实际问题中，需要根据具体情境选择合适的位置。 【解答】解：作法：(1)作线段AB的垂直平分线m；(2)作l1和l2所成角的角平分线n；(3)m与n的交点即为发射塔的位置。理由：发射塔在m上 → 到A、B距离相等（垂直平分线判定定理）；发射塔在n上 → 到l1、l2距离相等（角平分线判定定理）。 【知识点】随堂演练3 解题要点 题型：实际应用——发射塔选址（满足两个等距条件）。 已知：A、B两城镇，l1、l2两公路。 要求：(1) 到A、B距离相等；(2) 到l1、l2距离相等。 分析： 条件(1) → 点在线段AB的垂直平分线上。 条件(2) → 点在l1和l2所成角的角平分线上。 ∴ 发射塔是垂直平分线与角平分线的交点。 作法： (1) 作线段AB的垂直平分线。 (2) 作l1和l2所成角的角平分线。 (3) 两线交点即为发射塔位置。 涉及知识：垂直平分线判定定理、角平分线判定定理。 【知识要点】满足两个等距条件的点的确定"到两定点距离相等" → 点在线段垂直平分线上。"到两直线距离相等" → 点在角平分线上。同时满足两个条件 → 点在两条线的交点上。方法归纳： (1) 将每个条件翻译为"点在什么线上"。 (2) 分别作出两条线。 (3) 取交点。注意：角平分线有内角平分线和外角平分线，交点可能不止一个， 需要根据实际情境选择。 【方法归纳】尺规作图解决实际问题的步骤第一步：审题——明确已知条件和要求。第二步：翻译——将实际条件翻译为数学条件。 例如："到两城镇等距" → "到两定点距离相等" → "在线段垂直平分线上"。第三步：作图——用尺规作出满足条件的线。第四步：定交点——取两线交点即为所求。第五步：验证——检查交点是否满足所有条件。关键：将实际问题转化为数学问题，再转化为尺规作图问题。 【设计意图】随堂演练3是实际应用问题，综合了线段垂直平分线和角平分线两种尺规作图。通过"发射塔选址"这一真实情境，让学生体会到尺规作图在解决实际问题中的应用价值。同时，这道题也帮助学生区分"到两点距离相等"（垂直平分线）和"到两边距离相等"（角平分线）两种不同的几何条件。 【过渡语】三道随堂演练覆盖了本节课的核心内容。现在让我们来回顾和总结本节课的收获。 环节四：课堂小结（3分钟） 【教师活动】同学们，本节课我们学习了线段的垂直平分线的有关作图。请同学们从以下几个方面回顾本节课的收获。 【学生活动】我学会了尺规作图——作已知线段的垂直平分线。方法是：以线段两端点为圆心、大于线段一半长为半径各画弧，两弧交点连线即为垂直平分线。原理是利用判定定理——到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上。 【学生活动】我学会了作对称轴的三步法——找（找对应点）、连（连接对应点）、作（作垂直平分线）。对称轴本质上就是一对对应点连线段的垂直平分线。 【学生活动】我学会了过直线外一点作已知直线的垂线——先以该点为圆心画弧交直线于两点，构造等腰三角形，再作底边的垂直平分线。过直线上一点作垂线的方法类似，区别在于该点是底边的中点。 【学生活动】我学会了将实际问题转化为数学问题，再转化为尺规作图问题。例如发射塔选址问题，需要同时满足"到两点等距"（垂直平分线）和"到两边等距"（角平分线）两个条件。 【学生活动】我理解了尺规作图与理论知识之间的关系——判定定理是作图的依据，SSS全等是作图的原理。尺规作图是理论知识的实践应用。 【教师活动】同学们总结得非常好！尺规作图是几何学习的基本技能，它将理论知识与动手操作结合起来。课后请同学们完成以下作业： 1. 从课后习题中选取； 2. 完成练习册本课时的习题。 【知识点】课堂小结：15.1.2 线段的垂直平分线 第2课时 线段的垂直平分线的有关作图 一、尺规作图——作已知线段的垂直平分线： 步骤：以A、B为圆心，大于AB/2为半径画弧 → 两弧交于C、D → 连接CD。 原理：AC = BC → C在AB垂直平分线上（判定定理）；同理D也在AB垂直平分线上。 注意：半径必须大于线段一半，两次半径相同。 二、作对称轴——三步法： 找对应点 → 连线段 → 作垂直平分线。 本质：对称轴 = 一对对应点连线段的垂直平分线。 三、过一点作已知直线的垂线： 过直线外一点：以点为圆心画弧交直线于D、E → 以D、E为圆心画弧交于F → 连接CF。 过直线上一点：以点为圆心画弧交直线于D、E → 以D、E为圆心画弧交于F → 连接CF。 本质：构造等腰三角形，作底边垂直平分线。 四、综合应用： 发射塔选址——同时满足垂直平分线条件和角平分线条件，取两线交点。 【设计意图】课堂小结采用学生自主回顾的方式，从作垂直平分线、作对称轴、作垂线、综合应用四个方面全面梳理本节课的知识体系。每个学生从不同角度分享收获，既巩固了知识，又培养了归纳总结能力。 四、板书设计 15.1.2 线段的垂直平分线 第2课时 线段的垂直平分线的有关作图 一、作线段的垂直平分线 步骤：以A、B为圆心，大于AB/2为半径画弧 → 两弧交于C、D → 连接CD。 原理：AC = BC → C在AB垂直平分线上（判定定理） AD = BD → D在AB垂直平分线上 → 两点确定一条直线。 注意：半径必须 > AB/2，两次半径相同。 二、作对称轴（三步法） 三、过一点作已知直线的垂线 找：找一对对应点。 连：连接对应点。 作：作连线的垂直平分线。 本质：对称轴 = 对应点连线段的垂直平分线。 示例：五角星有5条对称轴。 过直线外一点（P68例题）： 以C为圆心画弧交l于D、E → CD = CE → C在DE垂直平分线上 → 作DE垂直平分线。 过直线上一点（P69练习3）： 以C为圆心画弧交l于D、E → C为DE中点 → 作DE垂直平分线必过C。 本质：构造等腰三角形，作底边垂直平分线。 四、针对训练 五、随堂演练 1. AB = 6，半径b > 3，b = 4。 2. 面积等分 → 作中线 → 找中点。 3. 作对称轴——三步法。 4. 判断轴对称 → 作对称轴。 5. 过直线上一点作垂线。 1. 选择题——判断作图正误。 2. 两次对称探究∠BOB" = ∠α。 3. 发射塔选址： 到两城镇等距 → 垂直平分线； 到两公路等距 → 角平分线； 取两线交点。 六、课后作业 教材课后习题 练习册本课时习题 五、教学反思 1. 回顾导入环节，以角平分线尺规作图回顾为切入点，是否能有效唤醒学生对尺规作图的记忆？学生是否能将角平分线作图的原理（构造全等三角形）迁移到垂直平分线的作图中？导入时间是否控制在3分钟内，为后续探究留出充足时间？ 2. 作线段垂直平分线的探究过程，学生是否能从判定定理出发，自主推导出尺规作图的方法？"找两个到线段两端点距离相等的点"这一思路，学生是否能独立提出？如果学生想不到，教师应如何引导——是通过"判定定理"的文字提示，还是直接给出半径相等的条件？ 3. 作图原理的讲解是否清晰？判定定理法（AC = BC → C在垂直平分线上）和SSS全等三角形法（△ACD ≌ △BCD），两种证明方法是否都讲清楚了？学生是否能理解两种方法的内在联系？"半径必须大于AB/2"这一关键条件，学生是否真正理解其原因？ 4. 作对称轴的三步法（找、连、作）是否简洁明了？学生是否能快速记住并应用？五角星示例是否帮助学生直观理解了"对称轴即对应点连线段的垂直平分线"？教材P69练习第1题和第2题中，学生找对应点时是否出现错误？ 5. 过直线外一点作垂线的探究过程，学生是否能理解"先构造等腰三角形，再作底边垂直平分线"这一转化思路？"化未知为已知"的转化思想是否得到了有效渗透？过直线上一点作垂线（P69练习3）与过直线外一点作垂线（P68例题）的对比是否清晰？ 6. 五道例题精讲环节的时间分配是否合理（约10分钟）？每道题的讲解是否抓住了核心要点？"半径条件""面积等分转化""三步法""判断轴对称""过直线上一点作垂线"五个要点是否都得到了有效强化？ 7. 三道随堂演练的难度梯度是否合理？第1题（选择题）作为基础题是否起到了全面检验的作用？第2题（两次对称探究）的推理难度是否适中，学生是否能独立完成从"对折"到"∠BOB" = ∠α"的推理？第3题（发射塔选址）是否能帮助学生体会尺规作图在实际问题中的应用价值？ 8. 本节课的教学脉络是否清晰：回顾导入（角平分线作图回顾）→ 探究新知（作垂直平分线→作对称轴→过直线外一点作垂线）→ 例题精讲（5道）→ 随堂演练（3道）→ 课堂小结。各个环节的时间分配是否合理？板书设计是否清晰地呈现了本节课的核心知识结构？ 9. 本节课作为"线段的垂直平分线"的第2课时，学生是否真正掌握了尺规作图的操作技能？是否能将作图操作与理论知识（判定定理、SSS全等）建立联系？学生是否能独立完成"作垂直平分线""作对称轴""过一点作垂线"三种基本作图？本节课的学习是否为后续三角形、四边形等几何图形的作图奠定了坚实的基础？ 学科网（北京）股份有限公司 $