第26章 二次函数 单元测试 2026-2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 本单元卷聚焦二次函数核心知识，通过基础巩固、能力提升、创新应用三级梯度设计，融合生活情境与几何综合，适配单元复习，培养抽象能力、模型意识与推理能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|定义、顶点坐标、对称轴等|如第1题辨析二次函数定义，第6题判断抛物线性质，夯实基础| |填空题|5/15|图像平移、与x轴交点等|如第2题抛物线与x轴无交点求c范围，第3题翻折图像增减性分析，提升几何直观| |解答题|9/75|实际应用、综合探究等|如第7题影院利润建模、第8题拱桥问题，第9题平行四边形存在性探究，体现模型意识与推理能力|

第26章 二次函数 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．（3分）下列y关于x的函数中，属于二次函数的是（　　） A．y＝﹣x+2x2 B．y＝2x+1 C． D． 2．（3分）对于y＝3（x﹣1）2+2的性质，下列叙述正确的是（　　） A．顶点坐标为（﹣1，2） B．当x＝1时，y随x增大而减小 C．当x＝1时，y有最大值2 D．对称轴为直线x＝1 3．（3分）抛物线y＝x2与y＝﹣x2相同的性质是（　　） A．开口向下 B．对称轴是y轴 C．有最低点 D．对称轴是x轴 4．（3分）二次函数y＝x2+x+1的最小值为（　　） A．0 B． C． D．1 5．（3分）二次函数y＝﹣（x+3）2+1图象的顶点所在的象限是（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 6．（3分）对于抛物线y＝﹣（x+1）2+3，下列结论正确的是（　　） A．开口向上 B．对称轴为直线x＝1 C．顶点坐标为（﹣1，3） D．当x＞1时，y随x的增大而增大 7．（3分）如图，以（1，﹣3）为顶点的二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴负半轴交于A点，则ax2+bx+c＝0的正数解的范围是（　　） A．4＜x＜5 B．3＜x＜4 C．2＜x＜3 D．5＜x＜6 8．（3分）如图是抛物线形的拱桥，当水面宽4m时，顶点离水面2m，当水面宽度增加到6m时，水面下降（　　） A．1m B．1.5m C．2.5m D．2m 9．（3分）如图，二次函数y＝x2+bx+c的图象的顶点与▱ABOC的点C重合，且经过点A，与OB交于点D，点B与点C的横坐标相同．若S▱ABOC＝8，则点D的坐标为（　　） A． B．（﹣1，2） C． D．（﹣1，1） 10．（3分）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象过点（﹣2，0），对称轴为直线x＝1，下列结论：①abc＞0；②b+2a＝0；③3a+c＜0；④当y≤0时，x的取值范围是﹣2≤x≤4；其中正确的个数为（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 1．（3分）将抛物线yx2向上平移3个单位长度，得到的抛物线是解析式为　 　 ． 2．（3分）若抛物线y＝x2﹣x+c（c是常数）与x轴没有交点，则c的取值范围是 　 　 ． 3．（3分）如图，将二次函数y＝x2﹣4位于x轴的下方的图象沿x轴翻折，得到一个新函数的图象（实线部分）．当新函数中y随x的增大而增大时，自变量x的取值范围是　 　 ． 4．（3分）苍南队在浙BA训练中发现，每一次篮球投篮轨迹满足抛物线，篮球出手至入筐过程中的水平距离OA长为　 　 米． 5．（3分）某段公路上汽车紧急刹车后前行的距离s（单位：m）关于行驶时间t（单位：s）的函数解析式是s＝30t﹣5t2，遇到刹车时，汽车从刹车后到停下来前进了 　 　 m． 三．解答题（共9小题，满分75分） 1．（6分）如图所示，圆柱的高为10cm，圆柱的底面直径为xcm，圆柱的表面积为Scm2． （1）求圆柱的表面积S与圆柱的底面直径x之间的函数关系式，并判断这个函数是否为二次函数； （2）当圆柱的底面直径从4cm增加到10cm时，圆柱的表面积增加了多少（最后结果保留π）？ 2．（6分）已知抛物线y＝x2﹣6x﹣3． （1）求该抛物线的对称轴； （2）当x为何值时，y随x的增大而减小？ 3．（6分）如图抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（﹣1，0），B（3，0）． （1）求抛物线的表达式及C点坐标； （2）当y＞0时，求x的取值范围． 4．（8分）已知一个二次函数图象的顶点是（2，﹣4），且与y轴的交点坐标为（0，4）． （1）求这个二次函数的表达式； （2）当y的值随x值的增大而增大时，写出x的取值范围为 　 　 ． 5．（8分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（a+1）x+2a﹣2＝0． （1）求证：该方程总有两个实数根； （2）若抛物线y＝x2﹣（a+1）x+2a﹣2与x轴交于点A，B，且AB＝4，求a的值． 6．（8分）如图，某小区设计了一块周长为16m的矩形宣传牌，设矩形的长为xm，面积为Sm2． （1）求S与x之间的函数关系式； （2）S是x的什么函数？ 7．（10分）春节期间，全国各影院上映多部影片，某影院每天运营成本为2000元，该影院每天售出的电影票数量y（单位：张）与售价x（单位：元/张）之间满足一次函数关系（30≤x≤80，且x是整数），部分数据如下表所示： 电影票售价x（元/张） 40 50 售出电影票数量y（张） 164 124 （1）请求出y与x之间的函数关系式； （2）设该影院每天的利润（利润＝票房收入﹣运营成本）为w（单位：元），求w与x之间的函数关系式； （3）该影院将电影票售价x定为多少时，每天获利最大？最大利润是多少？ 8．（11分）如图，某校劳动实践基地用总长为80m的栅栏，围成一块一边靠墙的矩形实验田，墙长为42m．栅栏在安装过程中不重叠、无损耗，设矩形实验田与墙垂直的一边长为x（单位：m），与墙平行的一边长为y（单位：m），面积为S（单位：m2）． （1）直接写出y与x，S与x之间的函数解析式（写x的取值范围）； （2）矩形实验田的面积S能达到750m2吗？如果能，求x的值；如果不能，请说明理由； （3）当x的值是多少时，矩形实验田的面积S最大？最大面积是多少？ 9．（12分）如图，已知抛物线的对称轴为直线x＝2，顶点为C，直线y＝x+m与抛物线交于A、B两点，其中点A的坐标为（5，8），点B在y轴上． （1）求m的值和该抛物线的解析式； （2）若点P（x，y）为线段AB上的一个动点（点P不与A、B两点重合），过点P作x轴的垂线，与这条抛物线交于点E，设线段PE的长为h，求h与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； （3）若点P（x，y）为直线AB上的一个动点，直线AB与这条抛物线的对称轴的交点为D，PE⊥x轴交抛物线于点E，是否存在点P，使以点D、C、E、P为顶点的四边形是平行四边形．若存在，求出点P的坐标；若不存在，请写出理由． 参考答案 一．选择题 1．【解答】解：y＝﹣x+2x2符合二次函数的定义，它是二次函数； y＝2x+1，y，yx不符合二次函数的定义，它们不是二次函数． 故选：A． 2．【解答】解：∵y＝3（x﹣1）2+2， ∴该函数的顶点坐标为（1，2），故选项A不符合题意； 当x＜1时，y随x的增大而减小，故选项B不符合题意； 当x＝1时，y取得最小值2，故选项C不符合题意； 对称轴为直线x＝1，故选项D符合题意； 故选：D． 3．【解答】解：抛物线y＝x2的开口向上，对称轴为y轴，有最低点； 抛物线y＝﹣x2开口向下，对称轴为y轴，有最高点； 故抛物线y＝x2与y＝﹣x2相同的性质是对称轴都是y轴， 故选：B． 4．【解答】解：将二次函数一般形式化为顶点式可得： ， 当时，二次函数取最小值，最小值为， 故选：C． 5．【解答】解：抛物线y＝﹣（x+3）2+1的顶点坐标是（﹣3，1），在第二象限， 故选：B． 6．【解答】解：∵y＝﹣（x+1）2+3， 故开口向下，选项A错误； 对称轴为直线x＝﹣1，选项B错误； 顶点坐标为（﹣1，3），选项C正确； 当x＞﹣1时，y随x的增大而减小，选项D错误． 故选C． 7．【解答】解：∵二次函数y＝ax2+bx+c的顶点为（1，﹣3）， ∴对称轴为x＝1， 而对称轴左侧图象与x轴交点横坐标的取值范围是﹣3＜x＜﹣2， ∴右侧交点横坐标的取值范围是4＜x＜5． 故选：A． 8．【解答】解：建立平面直角坐标系，设横轴x通过AB，纵轴y通过AB中点O且通过C点，则通过画图可得知O为原点， 抛物线以y轴为对称轴，且经过A，B两点，可求出OA和OB为AB的一半2米，抛物线顶点C坐标为（0，2）， 设顶点式y＝ax2+2，代入A点坐标（﹣2，0）， 得：a＝﹣0.5， 所以抛物线解析式为y＝﹣0.5x2+2， 把x＝﹣3代入抛物线解析式得出： y＝﹣0.5×（﹣3）2+2＝﹣2.5， ∴水面下降2.5米， 故选：C． 9．【解答】解：∵， ∴二次函数y＝x2+bx+c的图象的顶点为，即， ∵点C在x轴上， ∴，即， ∵点B与点C的横坐标相同，四边形ABCD是平行四边形，且S▱ABCD＝8， ∴，， ∴A， ∵二次函数y＝x2+bx+c的图象的顶点经过点A， ∴，即， ∴，即64＝b3， ∴b＝4，则c＝4， ∴A（﹣4，4），二次函数的解析式为y＝x2+4x+4， ∴B（﹣2，4）， 设直线OB的解析式为y＝kx，则4＝﹣2k， 解得：k＝﹣2， ∴直线OB的解析式为y＝﹣2x， 联立，则x2+4x+4＝﹣2x， 解得：或（舍去）， ∴，则， ∴，， 故选：A． 10．【解答】解：①由图象可得a＞0，c＜0， ∵x1， ∴b＝﹣2a＜0， ∴abc＞0，故①正确； ②∵抛物线的对称轴为直线x1， ∴b＝﹣2a，即b+2a＝0，故②正确； ③由图可知x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0， ∵b＝﹣2a， ∴3a+c＜0，故③正确； ④∵图象过点（﹣2，0）对称轴为直线x＝1， ∴抛物线与x轴另一个交点为（4，0）， 由图可知：当y≤0时，x的取值范围是﹣2≤x≤4，故④正确； 故选：A． 二．填空题 1．【解答】解：∵抛物线yx2向上平移3个单位长度， ∴平移后的抛物线顶点坐标为（0，3）， ∴得到的抛物线是解析式为yx2+3． 故答案为：yx2+3． 2．【解答】解：由题意，∵抛物线y＝x2﹣x+c（c是常数）与x轴没有交点， ∴Δ＝1﹣4c＜0． ∴c． 故答案为：c． 3．【解答】解：y＝x2﹣4的顶点坐标为（0，﹣4）， 当y＝0时，x2﹣4＝0， 解得x1＝﹣2，x2＝﹣2， ∴抛物线y＝x2﹣4与x轴的交点坐标为（﹣2，0），（2，0）， 新函数的图象的解析式为； 由图象可知，当﹣2＜x＜0或x＞2时，新函数中函数y随x的增大而增大． 故答案为：﹣2＜x＜0或x＞2． 4．【解答】解：由题意，将y＝3代入抛物线得：， 解得x＝2或x＝4， 抛物线的对称轴为直线， ∵篮球框在抛物线的对称轴的右侧，且4＞3， ∴篮球出手至入筐过程中的水平距离OA长为4米， 故答案为：4． 5．【解答】解：∵s＝﹣5t2+30t＝﹣5（t﹣3）2+45， ∴汽车刹车后到停下来前进了45m， 故答案为：45． 三．解答题 1．【解答】解：（1）由题意得：圆柱的表面积S＝2πrh+2πr2＝2π10+2π×（）2πx2+10πx， ∴圆柱的表面积S与圆柱的底面直径x之间的函数关系式为Sπx2+10πx； ∵π≠0， ∴函数Sπx2+10πx是二次函数； （2）∵π×102+10π×10π×42﹣10π×4＝150π﹣48π＝102π（cm2）， ∴圆柱的表面积增加了102πcm2． 2．【解答】解：（1）∵y＝x2﹣6x﹣3＝（x﹣3）2﹣12， ∴该抛物线的对称轴为直线x＝3； （2）由（1）可得抛物线开口向上，对称轴为直线x＝3， ∴x＜3（或x≤3）时，y随x的增大而减小． 3．【解答】解：（1）由题意抛物线的解析式为y＝﹣（x+1）（x﹣3）＝﹣x2+2x+3， 令x＝0，y＝3， ∴点C的坐标为（0，3）； （2）观察图象可知当y＞0时，﹣1＜x＜3． 4．【解答】解：（1）由题意可设二次函数的解析式为y＝a（x﹣2）2﹣4，把点（0，4）代入得： a（0﹣2）2﹣4＝4， 解得：a＝2， ∴该二次函数的解析式为y＝2（x﹣2）2﹣4； （2）由（1）可知：a＝2＞0，对称轴为直线x＝2， ∴当y的值随x值的增大而增大时，x的取值范围为x≥2； 故答案为：x≥2． 5．【解答】（1）证明：∵Δ＝（a+1）2﹣4（2a﹣2） ＝a2+2a+1﹣8a+8 ＝a2﹣6a+9 ＝（a﹣3）2≥0， ∴该方程总有两个实数根； （2）当y＝0时，x2﹣（a+1）x+2a﹣2＝0， ∴x， 解得x1＝a﹣1，x2＝2， ∴点A、B的坐标为（a﹣1，0），（2，0）， ∵AB＝4， ∴|a﹣1﹣2|＝4， 解得a＝﹣1或a＝7， 即a的值为﹣1或7． 6．【解答】解：（1）由题意得：S＝x（x） ＝8x﹣x2 ＝﹣x2+8x， ∴S与x之间的函数关系式为：S＝﹣x2+8x； （2）∵S＝﹣x2+8x， ∴S是x的二次函数． 7．【解答】解：（1）设y与x之间的函数关系式是y＝kx+b， 由表格可得，， 解得， 即y与x之间的函数关系式是y＝﹣4x+324（30≤x≤80，且x是整数）； （2）由题意可得， w＝x（﹣4x+324）﹣2000＝﹣4x2+324x﹣2000， 即w与x之间的函数关系式是w＝﹣4x2+324x﹣2000（30≤x≤80）； （3）由（2）知：w＝﹣4x2+324x﹣2000＝﹣4（x）2+4561， ∵30≤x≤80，且x是整数， ∴当x＝40或41时，w取得最大值，此时w＝4560， 答：该影院将电影票售价x定为40元或41元时，每天获利最大，最大利润是4560元． 8．【解答】解：（1）由劳动实践基地用总长为80m的栅栏，围成一块一边靠墙的矩形实验田可得： 2x+y＝80， ∴y＝﹣2x+80， ∵S＝xy， ∴S＝x（﹣2x+80）＝﹣2x2+80x； ∵y≤42， ∴﹣2x+80≤42， ∴x≥19， ∴19≤x＜40； （2）当S＝750时，﹣2x2+80x＝750， x2﹣40x+375＝0， （x﹣25）（x﹣15）＝0， ∴x＝25或x＝15（舍去）， ∴当x＝25m时，矩形实验田的面积S能达到750m2； （3）将函数解析式化为顶点式可得： S＝﹣2x2+80x＝﹣2（x2﹣40x）＝﹣2（x2﹣40x+400﹣400）＝﹣2（x﹣20）2+800， ∴当x＝20m时，S有最大值800m2． 9．【解答】解：（1）把（5，8）代入y＝x+m得：8＝5+m， 解得m＝3； 在y＝x+3中，令x＝0得y＝3， ∴B（0，3）， 设抛物线解析式为y＝ax2+bx+c， ∴， 解得， ∴抛物线解析式为y＝x2﹣4x+3； （2）∵点P（x，y）为线段AB上的一个动点，过点P作x轴的垂线，与这条抛物线交于点E， ∴P（x，x+3），E（x，x2﹣4x+3）， ∴PE＝x+3﹣（x2﹣4x+3）＝﹣x2+5x， ∴h＝﹣x2+5x（0≤x≤5）； （3）存在点P，使以点D、C、E、P为顶点的四边形是平行四边形，理由如下： 在y＝x+3中，令x＝2得y＝5， ∴D（2，5）， 在y＝x2﹣4x+3中，令x＝2得y＝﹣1， ∴C（2，﹣1）， ∴CD＝5﹣（﹣1）＝6， ∵PE∥CD， ∴以点D、C、E、P为顶点的四边形是平行四边形，只需PE＝CD， 当P在E上方时，由（2）知PE＝﹣x2+5x， ∴﹣x2+5x＝6， 解得x＝2（舍去）或x＝3， ∴P的坐标为（3，6）； 当E在P上方时，x2﹣4x+3﹣（x+3）＝6， 解得x＝6或x＝﹣1， ∴P的坐标为（6，9）或（﹣1，2）； 综上所述，P的坐标为（3，6）或（6，9）或（﹣1，2）． 学科网（北京）股份有限公司 $