第二章　直线和圆的方程单元测试-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 以“将军饮马”“太极图”等情境整合直线与圆的核心知识，梯度覆盖基础运算到综合应用，适配高中数学“直线和圆的方程”单元复习，培养几何直观与运算能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单项选择|8/40|直线截距、反射光线、圆的位置关系等|第6题“将军饮马”情境，考查对称思想与距离公式| |多项选择|3/18|直线倾斜角、圆与直线交点、曲线性质|第11题结合绝对值方程分析曲线对称性与整点，体现逻辑推理| |填空题|3/15|切线方程、平行直线距离、弦长中点轨迹|第14题通过弦长中点轨迹求最值，渗透转化思想| |解答题|5/77|三角形中线与高、圆的弦长、面积最值|第19题结合三角与函数求圆面积最小值，综合考查建模与运算能力|

第二章　直线和圆的方程 （时间：120分钟 满分：150分） 一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.直线x-2y-2=0在y轴上的截距为(　　) A.-2 B.2 C.-1 D.1 2.一条光线从点P(5,3)射出,与x轴相交于点Q(2,0),经x轴反射,则反射光线所在直线的方程为(　　) A.x+y-2=0 B.x-y-2=0 C.x-y+2=0 D.x+y+2=0 3.过两条直线l1:x+2y-4=0,l2:2x-y-3=0的交点,且与直线x+3y+1=0垂直的直线的方程为(　　) A.3x-y-5=0 B.6x-2y-3=0 C.x-3y+3=0 D.3x+y-7=0 4.圆C1:x2+y2+2x+2y-2=0与圆C2:x2+y2-4x-2y+1=0的公切线有且仅有(　　) A.1条 B.2条 C.3条 D.4条 5.已知直线l1:mx+y+3=0和直线l2:3mx+(m-2)y+m=0,则“m=5”是“l1∥l2”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 6.如图,在平面直角坐标系中,军营所在区域的边界为x2+y2=1,河岸所在直线方程为x+y=3,将军从点A(0,2)处出发,先到河边饮马,然后再返回军营,如果将军只要到达军营所在区域即回到军营,则这个将军所经过的最短路程为(　　) A. B.-1 C. D.-1 7.已知圆的方程为x2+y2-6x-2y+1=0,设该圆过点(2,2)的最长弦和最短弦分别为AC和BD,则四边形ABCD的面积为(　　) A.32 B.12 C.16 D.6 8.如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”,图中曲线为圆或半圆,已知点P(x,y)是阴影部分(包括边界)的动点,则值不可能是(　　) A.- B.-1 C.0 D.1 二、多项选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分. 9.已知直线l:x-y+1=0,则下列结论错误的是(　　) A.直线l的倾斜角是 B.若直线m:x-y-1=0,则l⊥m C.点(1,0)到直线l的距离是1 D.过点(2,-2)与直线l平行的直线方程是x-y-4=0 10.已知圆C:x2+y2=1,直线l:y=x+1,则(　　) A.直线l在y轴上的截距为1 B.圆C上的点到直线l的最大距离为 C.直线l与圆C有2个交点 D.过点(1,2)作圆的切线方程只有3x-4y+5=0 11.在数学中有这样形状的曲线:x2+y2=|x|+|y|,关于这种曲线,下列结论正确的有(　　) A.该曲线的图象既是轴对称图形也是中心对称图形 B.该曲线恰好经过9个整点(即横、纵坐标均为整数的点) C.该曲线上任意两点之间的距离都不超过2 D.该曲线所围成的形状区域面积大于5 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分. 12.若直线l经过点A(1,3),且与圆C:x2+y2=10相切,则直线l的方程是　　　　　.  13.若直线l1:2x+ay-2=0与直线l2:x-y+a=0平行,则两直线之间的距离为　　　　.  14.已知M,N为圆C:x2+y2-2x-4y=0上两点,且|MN|=4,点P在直线l:x-y+3=0上,则||的最小值为　　　　.  四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分)已知△ABC的顶点A(3,2),边AB上的中线所在直线方程为x-3y+8=0,边AC上的高所在直线方程为2x-y-9=0. (1)求顶点C的坐标; (2)求直线BC的方程. 16.(15分)已知圆M:(x-1)2+(y-2)2=4,直线l过点A(3,2). (1)若直线l被圆M所截得的弦长为2,求直线l的方程; (2)若直线l与圆M交于另一点B,与x轴交于点C,且A为线段BC的中点,求直线l的方程. 17.(15分)在平面直角坐标系中,圆C过点A(4,0),B(2,2),且圆心C在x+y-2=0上. (1)求圆C的方程; (2)若已知点P(4,2),过点P作圆C的切线,求切线的方程. 18.(17分)(2026山东潍坊高二期末)设☉C的圆心C在直线x+y-3=0上,且点(2,)和(4,)均在☉C上. (1)求圆C的标准方程. (2)若直线l:y=ax与圆C相交于A,B两点,且△ABC为等边三角形,求直线l的方程. (3)已知点M(-1,0),P为圆C上任意一点,试问在x轴上是否存在定点N(异于点M),使得为定值?若存在,求点N的坐标;若不存在,请说明理由. 19.(17分)设直线l过点P(2,1)且与x轴正半轴、y轴正半轴分别交于A,B两点. (1)若|OA|=|OB|,求直线l的斜截式方程; (2)设直线m过点P与直线l垂直,m与x轴、y轴分别交于C,D两点,若△OAB与△OCD的面积相等,求直线m的斜率; (3)若圆M的圆心M(xM,yM)在△OAB外,且与x轴所在直线相切于x轴正半轴上,与y轴所在直线相切于y轴正半轴上,与直线AB相切于线段AB上,设t=tan(∠OAB),求xM关于t的函数表达式和定义域,并求圆M的面积S的最小值及取到最小值时tan∠OAB的值. 答案 1.C　由题意可知,直线方程为x-2y-2=0,令x=0,解得y=-1, 所以直线x-2y-2=0在y轴上的截距为-1.故选C. 2.A　由题意可得,反射光线所在直线经过点Q(2,0). 设点P(5,3)关于x轴的对称点为P'(5,-3),则点P'(5,-3)在反射光线所在直线上,故反射光线所在直线的方程为,即x+y-2=0.故选A. 3.A　联立方程组解得 设与直线x+3y+1=0垂直的直线的方程为3x-y+m=0,且该直线过点(2,1), 则3×2-1+m=0,解得m=-5, 故所求直线方程为3x-y-5=0.故选A. 4.B　由题意易得,圆C1:(x+1)2+(y+1)2=4,则圆心C1(-1,-1),半径r1=2; 圆C2:(x-2)2+(y-1)2=4,则圆心C2(2,1),半径r2=2. 故两圆的圆心距为|C1C2|=,则r1-r2<|C1C2|<r1+r2,得两圆相交,故两圆的公切线有且仅有2条.故选B. 5.A　若l1∥l2,则m(m-2)=3m,解得m=5或m=0.若m=5,则直线l1:5x+y+3=0,直线l2:15x+3y+5=0,可知l1∥l2;若m=0,则直线l1:y+3=0,直线l2:y=0,可知l1∥l2.综上所述,m=5或m=0,故“m=5”是“l1∥l2”的充分不必要条件.故选A. 6.D　如图,设将军去河岸的B点饮马,回到军营的C点,所以|AB|+|BC|的最小值即为将军所经过的最短路程.圆x2+y2=1的圆心为(0,0),半径r=1,设A(0,2)关于直线x+y=3的对称点为M(a,b), 则解得 所以M(1,3),此时|AB|+|BC|=|MB|+|BC|≥|MO|-r=-1=-1,当且仅当M,B,C三点在同一条直线上时,等号成立,所以“将军饮马”的最短路程为-1.故选D. 7.D　因为圆的方程为(x-3)2+(y-1)2=9,则圆心坐标是(3,1),半径是3.因为圆心到点(2,2)的距离为,所以点(2,2)在圆内,故最长弦为圆的直径.由垂径定理,得最短弦BD和最长弦(即圆的直径)AC垂直,故最短弦的长为|BD|=2=2,最长弦|AC|=6,所以四边形ABCD的面积为|AC||BD|=×6×2=6.故选D. 8.A　如图,的几何意义为阴影部分内的动点P(x,y)与定点A(2,0)连线的斜率.当直线AP与半圆x2+(y-1)2=1,x>0相切时,斜率k最小,设lAP:y=k(x-2),则=1,解得k=-或k=0(舍去);当直线过点(0,-2)时,直线AP的斜率取得最大值1,即的最大值为1,因此∈[-,1].故选A. 9.ABC　对于A,因为直线的斜率为1,则其倾斜角为,故A错误;对于B,直线x-y-1=0的倾斜角为,x-y+1=0的倾斜角为,两直线平行,故B错误;对于C,点(1,0)到直线l的距离为,故C错误;对于D,设与直线l平行的直线方程为x-y+n=0.因为该直线过(2,-2),所以2-(-2)+n=0,解得n=-4.故过点(2,-2)与直线l平行的直线方程是x-y-4=0,故D正确.故选ABC. 10.AC　当x=0时,y=1,则直线l在y轴上的截距为1,故A正确; 圆心到直线的距离d=<1,所以直线与圆相交,所以直线l与圆C有2个交点,故C正确; 由C可知,圆C上的点到直线l的最大距离为+1,故B错误; 过点(1,2)作圆的切线方程,若切线方程斜率不存在,则直线方程为x=1,圆心(0,0)到直线x=1的距离为1,等于半径1,故x=1也是圆C:x2+y2=1的一条切线方程,故D错误. 故选AC. 11.ABD　对于曲线x2+y2=|x|+|y|,当x>0,y>0时,有(x-)2+(y-)2=; 当x>0,y<0时,有(x-)2+(y+)2=; 当x<0,y>0时,有(x+)2+(y-)2=; 当x<0,y<0时,有(x+)2+(y+)2=. 点(0,0),(0,1),(0,-1),(1,0),(-1,0)也满足曲线方程,故该曲线图象由四个圆的部分图象和原点组成,且四个圆都可过原点,圆的半径R=, 如图中实线部分和原点.若点(x,y)满足曲线方程x2+y2=|x|+|y|,则点(x,-y),(-x,y),(-x,-y)也都满足曲线方程,该曲线的图象关于x轴和y轴对称,也关于原点对称,故A选项正确; 曲线中,经过的整点有(0,0),(1,1),(1,0),(1,-1),(-1,1),(-1,0),(-1,-1),(0,1),(0,-1),共9个,故B选项正确; 点(1,1)和(-1,-1)都在曲线上,这两点间的距离为2,故C选项错误; 曲线所围成的形状区域可看成四个半圆和一个正方形组成, 则该区域的面积为S=4×πR2+(2R)2=π+2>5,故D选项正确. 故选ABD. 12.x+3y-10=0　由题可得点A(1,3)在圆C:x2+y2=10上,则kAC==3. ∵直线AC与切线垂直, ∴切线的斜率为-,则切线方程为y-3=-(x-1), 即x+3y-10=0. 13.　∵直线l1与l2平行, ∴,解得a=-2, ∴直线l1:x-y-1=0,直线l2:x-y-2=0, 故直线l1与l2之间的距离d=. 14.2-2　设线段MN的中点为D,圆C:x2+y2-2x-4y=0的圆心为C(1,2),半径为, 则圆心C到直线MN的距离为=1, 所以|CD|=1, 故点D的轨迹是以C为圆心,半径为1的圆. 设点D的轨迹为圆D,圆D上的点到直线l的最短距离为d=-1=-1, 所以||=2||≥2d=2-2. 15.解 (1)因为边AC上的高所在直线方程为2x-y-9=0, 设直线AC的斜率为k, 则2k=-1,解得k=-. 又因为直线AC过点A(3,2), 则直线AC的方程为y-2=-(x-3), 整理得x+2y-7=0. 又边AB上的中线所在直线方程为x-3y+8=0,且该直线过点C, 联立解得 故C的坐标为(1,3). (2)设B(a,b),因为边AB上的中线所在直线方程为x-3y+8=0, 所以AB的中点()在直线x-3y+8=0上. 边AC上的高所在直线2x-y-9=0过顶点B, 所以 解得即B的坐标为(8,7). 由(1)知C(1,3),根据两点式方程得,, 整理得4x-7y+17=0, 即直线BC的方程为4x-7y+17=0. 16.解 (1)由题意可知,圆M的圆心为M(1,2),半径r=2. 若直线l被圆M所截得的弦长为2,则圆心到直线的距离为d==1. 当直线斜率不存在时,l:x=3与圆相切,不符合题意,舍去; 当直线斜率存在时,设直线l:y-2=k(x-3),即kx-y+2-3k=0, 可得d==1,解得k=±, 故直线l的方程为x-3y+6-3=0或x+3y-6-3=0. (2)设C(t,0),因为A为线段BC的中点,则B(6-t,4). 因为B在圆M上,则(6-t-1)2+(4-2)2=4,解得t=5,即C(5,0). 则直线l:,整理得y=-x+5. 17.解 (1)因为圆C过A(4,0),B(2,2),则线段AB的中垂线过圆心C. 设AB的中点为M,则M(3,1). 因为kAB==-1, 所以线段AB的中垂线的斜率为1,且方程为y-1=x-3, 整理得y=x-2. 因为圆心在直线x+y-2=0上, 联立解得 因此圆心C(2,0),半径r=2, 所以圆C的方程为(x-2)2+y2=4. (2)因为(4-2)2+(2)2>4,所以P(4,2)在圆C外. 过点P(4,2)作圆C的切线, 当切线斜率不存在时,则切线方程为x=4,满足与圆C相切; 当切线斜率存在时,设切线方程为y-2=k(x-4), 即kx-y-4k+2=0, 则=2,解得k=, 所以切线方程为x-y-4×+2=0, 即x-y+2=0. 综上,切线方程为x=4或x-y+2=0. 18.解 (1)设圆C的圆心坐标为(a,b),半径为r, 则解得 所以圆C的标准方程为(x-3)2+y2=3. (2)由(1)可知该圆的半径为. 因为△ABC为等边三角形,且边长为, 所以该等边三角形的高为, 所以圆心C到直线l:y=ax的距离为, 即,解得a=±. 所以直线l的方程为y=x或y=-x. (3)存在.设x轴上定点N(n,0)(n≠-1),P(x,y)在圆C上,满足(x-3)2+y2=3,即x2+y2=6x-6. 设=k(k>0),则|PN|2=k2|PM|2, 即(x-n)2+y2=k2[(x+1)2+y2], 整理得(1-k2)(x2+y2)+(-2n-2k2)x+(n2-k2)=0. 代入x2+y2=6x-6,得(1-k2)(6x-6)+(-2n-2k2)x+(n2-k2)=0, 整理得[6(1-k2)-2n-2k2]x+[-6(1-k2)+n2-k2]=0, 即(6-2n-8k2)x+(n2+5k2-6)=0, 因为该等式对任意x成立, 则 解得n=或n=-1(舍去). 经验证,当n=时,k2=>0,符合条件,故存在定点N(,0),使得为定值. 19.解 (1)设直线l的斜率为k,则y-1=k(x-2)(k<0), 当x=0时,y=1-2k; 当y=0时,x=2-. ∵|OA|=|OB|, ∴1-2k=2-,得k=-1或k=(舍去), 则直线l的方程为y-1=-(x-2),即y=-x+3. (2)由(1)知,A(2-,0),B(0,1-2k), ∵直线m过点P与直线l垂直,则直线m的斜率为-,则直线m的方程为y-1=-(x-2). 当x=0时,y=1+; 当y=0时,x=2+k.则OC=|2+k|,OD=. 又△OAB与△OCD的面积相等, ∴×|2+k|××|1-2k|, 故, 解得k=-或k=3(舍去), 故直线m的斜率为3. (3)易知圆的半径为xM,yM=xM,如图, 设圆M与x轴切点为C,与y轴切点为D,与直线l的切点为N,连接BM,AM,易知△BDM≌△BNM,△ANM≌△ACM, ∴∠DMB=∠NMB,∠NMA=∠CMA. 设∠OAB=2α,则∠CAB=π-2α,∠CAM=-α,∠CMA=α,∠DMB=∠NMB=-α, ∴AC=xMtan α,BD=xMtan(-α), ∴OA=xM-xMtan α,OB=xM-xMtan(-α). 设直线l的方程为=1,其中a=|OA|,b=|OB|, ∵直线l经过(2,1), 则=1, 化简得xM=. 令t=tan α,即xM=. ∵2α∈(0,),则α∈(0,),得t∈(0,1), xM==()[(1-t)+t]++3≥2+3=5, 当且仅当,即t=,tan∠OAB=tan 2α=时,等号成立,此时xM取最小值,则S的最小值为52π=25π. 12 学科网（北京）股份有限公司 $