13.2 与三角形有关的线段 课件 2026-2027学年人教版八年级数学上册

该初中数学课件聚焦三角形的三边关系、稳定性及三种重要线段，以塔吊、钢架桥等生活实例导入，通过蚂蚁爬行问题推导三边关系，结合快速判断法、取值范围及典型例题，构建从生活到数学的学习支架。 其特色在于以数学眼光观察生活现象，通过探究活动培养推理意识，用符号语言和表格对比规范表达。如用“两点之间线段最短”推导定理，分类讨论等腰三角形边长并检验，助力学生提升几何直观与运算能力，为教师提供结构化教学流程与易错指导。

第 十 三 章 · 三 角 形 13.2 与三角形有关的线段 人教版八年级数学上册 A B C D 授课课件 · 点击鼠标或按 ↓ / → 键逐步推进 情景导入 生活中的三角形 塔吊：拉杆、横臂与塔身围成三角形 钢架桥：桥身由一个个三角形拼接而成 13.2 与三角形有关的线段 · 人教版八年级数学上册 2 / 40 情景导入 生活中的三角形 塔吊：拉杆、横臂与塔身围成三角形 钢架桥：桥身由一个个三角形拼接而成 想一想：工程师为什么偏爱三角形结构？要搭出一个三角形，三根杆件的长度可以随意取吗？ 板块一　三角形的三边关系 板块二　三角形的三种重要线段 13.2 与三角形有关的线段 · 人教版八年级数学上册 3 / 40 板 块 一 三角形的三边关系 ① 探究定理 ② 快速判断法 ③ 第三边取值范围 ④ 典型例题 13.2 与三角形有关的线段 · 人教版八年级数学上册 4 / 40 探究活动 从“两点之间，线段最短”说起 A B C c b a 路线① B → A → C（绕行） 路线② B → C（直走） 一只蚂蚁要从 B 点爬到 C 点， 走哪条路线更短？为什么？ 回顾：两点之间，线段最短。 13.2 与三角形有关的线段 · 人教版八年级数学上册 5 / 40 探究活动 从“两点之间，线段最短”说起 A B C c b a 路线① B → A → C（绕行） 路线② B → C（直走） 由“两点之间线段最短”得： AB + AC > BC； AB + BC > AC； AC + BC > AB。 定 理　三角形任意两边之和大于第三边。 13.2 与三角形有关的线段 · 人教版八年级数学上册 6 / 40 探究活动 定理与推论 定 理　三角形任意两边之和大于第三边。 由定理移项推导： 由 AB + AC > BC　移项得　BC − AC < AB； 同理　AC − AB < BC，　AB − BC < AC。 推 论　三角形任意两边之差小于第三边。 辨析：这里的“差”指的是较长边减较短边所得的正数，写成绝对值更严谨。 13.2 与三角形有关的线段 · 人教版八年级数学上册 7 / 40 方法总结 快速判断：三条线段能否围成三角形？ 判断口诀　只需检验一次——较短两条线段之和 > 最长线段，能围成；否则不能。 为什么检验一次就够了？ 设三条线段中最长的为 c，另两条为 a、b。 因为 c 最长，所以 a + c > b 与 b + c > a　自动成立， 唯一可能不达标的只有 a + b 与 c 的比较，故只验这一条。 牛刀小试（口答）　下列长度的三条线段能围成三角形吗？ （1）2 cm，3 cm，4 cm （2）3 cm，3 cm，6 cm 13.2 与三角形有关的线段 · 人教版八年级数学上册 8 / 40 方法总结 快速判断：三条线段能否围成三角形？ 判断口诀　只需检验一次——较短两条线段之和 > 最长线段，能围成；否则不能。 牛刀小试（口答） （1）2 cm，3 cm，4 cm 　　较短两边之和 2 + 3 = 5 > 4　✔ 能围成 （2）3 cm，3 cm，6 cm 　　3 + 3 = 6　恰好等于最长边，三点共线被“拉直”了　✘ 不能围成 特别注意：必须是“大于”，“等于”不行！ 13.2 与三角形有关的线段 · 人教版八年级数学上册 9 / 40 拓展思考 已知两边，第三边能取多长？ 问题　三角形的两条边长分别为 8 和 3，第三边 x 的取值范围是多少？ ① 由“两边之和大于第三边”：　x < 8 + 3，即 x < 11； ② 由“两边之差小于第三边”：　x > 8 − 3，即 x > 5。 5 11 空心圆点表示端点值取不到 13.2 与三角形有关的线段 · 人教版八年级数学上册 11 / 40 拓展思考 已知两边，第三边能取多长？ 问题　三角形的两条边长分别为 8 和 3，第三边 x 的取值范围是多少？ ① x < 8 + 3 = 11　　② x > 8 − 3 = 5 结 论　5 < x < 11 一般地，两边为 a、b 时，第三边满足　| a − b | < 第三边 < a + b 追问：若 x 为整数，x 可取 6、7、8、9、10，共 5 个值。 易错：范围两端都是开区间，不能写成 5 ≤ x ≤ 11。 13.2 与三角形有关的线段 · 人教版八年级数学上册 12 / 40 典型例题 用一根细绳围等腰三角形 例　把一根长 18 cm 的细绳首尾相接，围成一个等腰三角形。 （1）若底边长是腰长的一半，求各边的长； （2）若其中一边长为 4 cm，求另两边的长。 A B C 腰 腰 底边 解（1） 设腰长为 x cm，则底边长为 ½x cm。 由周长得　x + x + ½x = 18，解得 x = 7.2。 所以三边长为 7.2 cm、7.2 cm、3.6 cm。 检验：3.6 + 7.2 = 10.8 > 7.2 ✔　能围成三角形。 13.2 与三角形有关的线段 · 人教版八年级数学上册 14 / 40 典型例题 用一根细绳围等腰三角形 例　把一根长 18 cm 的细绳首尾相接，围成一个等腰三角形。 （1）若底边长是腰长的一半，求各边的长； （2）若其中一边长为 4 cm，求另两边的长。 A B C 腰 腰 底边 解（2） 边长 4 cm 可能是腰，也可能是底——需要分类讨论： ▪ 若 4 cm 是腰：底边 = 18 − 4 × 2 = 10 (cm)。 　检验：4 + 4 = 8 < 10，违反三边关系，✘ 舍去！ 13.2 与三角形有关的线段 · 人教版八年级数学上册 15 / 40 典型例题 用一根细绳围等腰三角形 例　把一根长 18 cm 的细绳首尾相接，围成一个等腰三角形。 （1）若底边长是腰长的一半，求各边的长； （2）若其中一边长为 4 cm，求另两边的长。 A B C 腰 腰 底边 解（2） 分类讨论： ▪ 若 4 cm 是腰：底边 = 18 − 4 × 2 = 10 (cm)。 　检验：4 + 4 = 8 < 10 ✘ 舍去 ▪ 若 4 cm 是底：腰 = (18 − 4) ÷ 2 = 7 (cm)。 　检验：4 + 7 = 11 > 7 ✔ 符合 答：另两边的长都是 7 cm。 易错提醒 求出边长后，必须检验三边关系，不满足的解要舍去！ 13.2 与三角形有关的线段 · 人教版八年级数学上册 16 / 40 拓展知识点 三角形的稳定性 —— 对比小实验 三角形木架：用力推，不变形 四边形木架：轻轻一推，就变形 动手做：用三根、四根木条分别钉成三角形与四边形木架，在同一位置施加推力，观察形状变化。 13.2 与三角形有关的线段 · 人教版八年级数学上册 17 / 40 拓展知识点 三角形的稳定性 —— 对比小实验 推力 纹丝不动 ✔ 三角形木架：用力推，不变形 推力 形状改变了 ✘ 四边形木架：轻轻一推，就变形 结 论　三角形具有稳定性；四边形不具有稳定性。 原理：三条边的长度一旦确定，三角形的形状与大小就唯一确定了。 13.2 与三角形有关的线段 · 人教版八年级数学上册 18 / 40 学以致用 稳定性在工程中的应用 起重机吊臂：内部布满三角形单元 屋顶人字梁：三角形骨架既承重又抗风 课堂互动：你还能举出哪些“利用三角形稳定性”的生活实例？ 参考：自行车车架、篱笆上钉的斜木条、相机三脚架、晾衣架、空调外机支架、输电铁塔…… 13.2 与三角形有关的线段 · 人教版八年级数学上册 19 / 40 板 块 二 三角形的三种重要线段 ① 中线 ② 角平分线 ③ 高 它们都是三角形中的“骨架线”，请注意：三者都是线段。 13.2 与三角形有关的线段 · 人教版八年级数学上册 20 / 40 重要线段 ① 三角形的中线 A B C D D 为 BC 的中点，AD 是 BC 边上的中线 定 义　连接三角形一个顶点与它对边中点的线段，叫做三角形的中线。 符号语言：AD 是中线 ⟺ BD = DC = ½BC 提醒：每个三角形都有 3 条中线，分别对应三条边。 13.2 与三角形有关的线段 · 人教版八年级数学上册 21 / 40 重要线段 ① 中线的两个重要结论 G A B C D 三条中线交于一点 G（重心） 结论 1　任何三角形的三条中线都相交于三角形内部同一点，这一点叫做三角形的重心。 结论 2　中线把三角形分成面积相等的两部分：S△ABD = S△ACD = ½S△ABC。 为什么？ △ABD 与 △ACD 等底（BD = DC）、同高（都是顶点 A 到 BC 的距离），故面积相等。 13.2 与三角形有关的线段 · 人教版八年级数学上册 22 / 40 重要线段 ② 三角形的角平分线 A B C E 1 2 ∠1 = ∠2，AE 是 △ABC 的角平分线 定 义　三角形一个内角的平分线与它的对边相交，顶点与交点之间的线段，叫做三角形的角平分线。 符号语言：∠BAE = ∠CAE = ½∠BAC 性质：三角形的三条角平分线也相交于三角形内部的同一点。 13.2 与三角形有关的线段 · 人教版八年级数学上册 23 / 40 重要线段 ② 辨析：“角的平分线”与“三角形的角平分线” A B C E 1 2 三条角平分线交于形内一点 角的平分线 从角的顶点出发、把这个角分成两个相等的角的一条射线，可以无限延伸。 三角形的角平分线 一条线段，两个端点分别是三角形的顶点和它与对边的交点。 千万别混淆：一个是射线，一个是线段！ 13.2 与三角形有关的线段 · 人教版八年级数学上册 24 / 40 重要线段 ③ 三角形的高 —— 分三类看位置 定 义　从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点与垂足之间的线段，叫做三角形的高。 关键词：注意是“对边所在的直线”，而不是“对边”——这正是钝角三角形高会落在形外的原因。 下面按三角形的形状分三类观察三条高的位置： 锐角三角形 直角三角形 钝角三角形 13.2 与三角形有关的线段 · 人教版八年级数学上册 25 / 40 重要线段 ③ 三角形的高 —— 分三类看位置 定 义　从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点与垂足之间的线段，叫做三角形的高。 A B C 锐角三角形 三条高都在三角形内部 观察：锐角三角形的三条高都落在三角形的内部，它们的交点也在形内。 图中 AD ⊥ BC，垂足 D 在边 BC 上。 13.2 与三角形有关的线段 · 人教版八年级数学上册 26 / 40 重要线段 ③ 三角形的高 —— 分三类看位置 定 义　从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点与垂足之间的线段，叫做三角形的高。 A B C 直角三角形 两条直角边本身就是高 观察：直角三角形中，两条直角边互为高（粗线所示）； 第三条高是斜边上的高（图中细线），三条高的交点恰好是直角顶点。 13.2 与三角形有关的线段 · 人教版八年级数学上册 27 / 40 重要线段 ③ 三角形的高 —— 分三类看位置 定 义　从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点与垂足之间的线段，叫做三角形的高。 H K A B C 钝角三角形 有两条高落在三角形外部 重点：钝角三角形中，夹钝角的两条边上的高落在三角形外部。 作法：先把对边用虚线延长，再从顶点向延长线作垂线段，垂足 H、K 都在延长线上。 只有钝角所对那条边上的高仍在三角形内部（即从钝角顶点作出的那条高）。 13.2 与三角形有关的线段 · 人教版八年级数学上册 28 / 40 重要线段 ③ 三种三角形的高 · 对比小结 A B C 锐角三角形 三条高全在形内 交点在三角形内部 A B C 直角三角形 两条高与直角边重合 交点是直角顶点 H K A B C 钝角三角形 两条高落在形外 需虚线延长对边再作垂线 记忆口诀：锐角高全在内，直角高在直角边，钝角高要出界（先延长对边）。 13.2 与三角形有关的线段 · 人教版八年级数学上册 29 / 40 随堂练习 ① 基础判断：下列各组线段能围成三角形吗？ （1）3 cm，4 cm，8 cm 3 + 4 = 7 < 8　✘ 不能　（较短两边之和小于最长边） （2）5 cm，6 cm，11 cm 5 + 6 = 11，恰好等于 11　✘ 不能　（“等于”不行，必须“大于”） （3）5 cm，6 cm，10 cm 5 + 6 = 11 > 10　✔ 能 （4）4 cm，4 cm，4 cm 4 + 4 = 8 > 4　✔ 能　（这是等边三角形） 13.2 与三角形有关的线段 · 人教版八年级数学上册 31 / 40 随堂练习 ② 作图：画出指定的三条线段 如图，在钝角三角形 △ABC 中（∠B 为钝角），请在练习本上分别画出：⑴ BC 边上的中线 AM；⑵ ∠C 的平分线 CN；⑶ BC 边上的高 AH。 A B C △ABC（∠B 为钝角） 13.2 与三角形有关的线段 · 人教版八年级数学上册 32 / 40 随堂练习 ② 作图：画出指定的三条线段 如图，在钝角三角形 △ABC 中（∠B 为钝角），请在练习本上分别画出：⑴ BC 边上的中线 AM；⑵ ∠C 的平分线 CN；⑶ BC 边上的高 AH。 A B C M ⑴ 中线 AM：M 取 BC 的中点 A B C N ⑵ 角平分线 CN：∠ACB 被平分 A B C H ⑶ 高 AH：先虚线延长 CB，垂足在形外 注意：钝角三角形中 BC 边上的高，垂足 H 不在线段 BC 上，而在 CB 的延长线上——延长线要画虚线。 13.2 与三角形有关的线段 · 人教版八年级数学上册 33 / 40 随堂练习 ③ 填空：用中线、角平分线的性质换算 1. 在 △ABC 中，AD 是 BC 边上的中线。 　⑴ 若 BC = 12 cm，则 BD = ______ cm； 　BD = ½ × 12 = 6 cm　（中线平分对边） 　⑵ 若 S△ABC = 20 cm²，则 S△ABD = ______ cm²。 　S△ABD = ½ × 20 = 10 cm²　（中线平分三角形面积） 2. 在 △ABC 中，AE 是 △ABC 的角平分线。 　⑴ 若 ∠BAC = 72°，则 ∠BAE = ______°； 　∠BAE = ½ × 72° = 36° 　⑵ 若 ∠BAE = 31°，则 ∠BAC = ______°。 　∠BAC = 2 × 31° = 62°　（角平分线把内角分成两个相等的角） 13.2 与三角形有关的线段 · 人教版八年级数学上册 35 / 40 易错辨析 易错点 ①　求出边长忘了检验 凡是涉及“围成三角形”的计算，解出方程只是第一步——必须再用三边关系检验，不满足的解必须舍去。 ✘ 错误做法 等腰三角形周长 18 cm，一边为 4 cm， 若 4 cm 为腰，则底边 = 10 cm， 直接作答：4 cm、4 cm、10 cm。 ✔ 正确做法 先分类，再逐一检验： 4 为腰 → 4 + 4 = 8 < 10，舍去； 4 为底 → 腰 = 7，4 + 7 > 7，保留。 口诀：算完不检验，等于白算一遍。 13.2 与三角形有关的线段 · 人教版八年级数学上册 36 / 40 易错辨析 易错点 ②　钝角三角形的高画错位置 A B C ✘ 硬把高画在形内 —— 根本不垂直 （图中这条线段与 BC 并不成 90°） A B C H ✔ 先虚线延长 CB，再作垂线段 AH （垂足 H 落在 CB 的延长线上） 根源：高的定义是向对边所在的直线作垂线，而不是向“对边这条线段”作垂线。 所以当垂足落在线段之外时，把对边延长（画虚线）即可。 13.2 与三角形有关的线段 · 人教版八年级数学上册 37 / 40 易错辨析 易错点 ③　三种线段的“身份”混淆 名　称 是什么图形 两个端点 / 说明 三角形的中线 线段 顶点 → 对边中点 三角形的角平分线 线段 顶点 → 对边上的交点（平分内角） 三角形的高 线段 顶点 → 对边所在直线的垂足 角的平分线 射线 从角的顶点出发，可无限延伸 牢记：三角形的中线、角平分线、高都是线段，既不是射线，也不是直线。 高所在的那条垂线是直线，但“高”只取从顶点到垂足的那一段。 13.2 与三角形有关的线段 · 人教版八年级数学上册 38 / 40 课堂小结 本课知识框架 一、三边关系 ▪ 任意两边之和 > 第三边 ▪ 任意两边之差 < 第三边 ▪ 快速判断：验“较短两边之和 > 最长边” ▪ 第三边范围：|a − b| < x < a + b ▪ 解出边长务必检验！ 二、稳定性 ▪ 三角形具有稳定性 ▪ 四边形不具有稳定性 ▪ 三边确定，形状大小唯一确定 ▪ 应用：塔吊、钢架桥、人字梁、自行车架…… 三、三种重要线段 ▪ 中线：顶点 → 对边中点；平分对边与面积；交于重心 ▪ 角平分线：平分内角的线段；交于形内一点 ▪ 高：顶点 → 对边所在直线的垂线段 ▪ 高的位置随三角形形状而变 ▪ 三者都是线段！ 13.2 与三角形有关的线段 · 人教版八年级数学上册 39 / 40 本节课到此结束，谢谢大家！ 课后作业：整理三种线段的定义与画法，完成配套练习 13.2 与三角形有关的线段 · 人教版八年级数学上册 40 / 40 $