13.2 与三角形有关的线段 讲义 2026-2027学年人教版数学八年级上册

本初中数学讲义聚焦《与三角形有关的线段》，系统梳理三角形三边关系（探索证明、判定及第三边取值范围）、稳定性，以及中线、角平分线、高的概念和重心，构建从边的关系到特殊线段的知识支架。 资料以“两点之间线段最短”为依据推导三边关系培养推理能力，结合自行车车架等跨学科实例渗透模型观念，通过不同三角形高的作图指导发展几何直观。课中经典例题与检测助力教学，课后可帮助学生回顾强化，弥补知识盲点。

人教版数学八年级上册（2025秋版）｜13.2 与三角形有关的线段 第13.2课《与三角形有关的线段》讲义 2026—2027学年｜新授课讲义｜建议课时：2课时 内容结构　第1课时研究三角形的三边关系与稳定性；第2课时研究三角形的中线、角平分线、高以及重心。 一、学习目标与素养指向 1. 探索并证明三角形任意两边的和大于第三边，能判断三条线段能否组成三角形。 1. 了解三角形的稳定性及其在生产、生活中的应用。 1. 理解三角形的中线、角平分线、高和重心的概念，能在不同类型的三角形中画出这些线段。 素养指向　推理能力、几何直观、作图能力、模型观念和应用意识。 二、第1课时：三角形的边 1. 探索三边关系 在△ABC中，从点B到点C，沿线段BC走的路程小于沿折线BA—AC走的路程。根据“两点之间，线段最短”，可得： 三边关系　三角形两边的和大于第三边。即AB+AC>BC，AB+BC>AC，AC+BC>AB。 由AB+AC>BC可得AB>BC-AC；把三组不等式分别变形，可得到三角形任意两边的差小于第三边。若两条已知边长为a、b，第三边长为x，则： 取值范围　|a-b|<x<a+b。两个端点都不能取，因为三角形三边关系是不等号“<”或“>”。 快速判定 把三条线段按从小到大排列为a≤b≤c，只需检验a+b>c。若成立，其余两组和也一定大于第三边。 临界情形 若a+b=c，三条线段只能首尾相接在同一直线上，不能组成三角形。 整数边计数 先写严格范围，再找范围内的正整数；不能把两个端点计入。 2. 三角形的稳定性 用长度固定的三根木条首尾相接组成三角形后，拉动顶点，三角形的形状和大小不会改变。这种性质叫做三角形的稳定性。四边形木框容易变形，加一根斜撑后形成三角形，可增强结构的稳定性。 跨学科观察　自行车车架、桥梁桁架、起重机支架常采用三角形结构。数学研究的是“结构关系”，工程中还要同时考虑材料、连接方式和承载要求。 三、第2课时：三角形的中线、角平分线、高 图1　从顶点A出发的中线、角平分线和高 名称 规范定义 图形语言与关键关系 中线 连接三角形的一个顶点和它所对边的中点，所得线段叫做三角形的中线。 若AD是BC边上的中线，则D在BC上，BD=DC。 角平分线 三角形一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线。 若AE是∠A的角平分线，则E在BC上，∠BAE=∠CAE。 高 从三角形的一个顶点向它所对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高。 若AF是BC边上的高，则F在直线BC上，AF⊥BC。 重心　三角形的三条中线相交于一点，这个点叫做三角形的重心。三角形的重心在三角形内部。 锐角三角形的高 三条高都在三角形内部。 直角三角形的高 两条直角边互为高，另一条高从直角顶点向斜边作垂线。 钝角三角形的高 钝角顶点所作的高在三角形内部，另外两条高在三角形外部；作图时要延长相应的边。 概念辨析 “角的平分线”是射线；“三角形的角平分线”是三角形顶点到对边的线段。三角形的中线、角平分线、高都是线段。 四、重点与高频考点 ★ 重点1 用三边关系判断能否组成三角形，或求第三边的取值范围。 ★ 重点2 由“中线”得到边相等，由“角平分线”得到角相等，由“高”得到垂直；不能混用。 ★ 高频1 含字母或整数条件时，先列严格不等式，再结合题设筛选。 ★ 高频2 在钝角三角形中画高：对边不够长时先延长，再从顶点作垂线。 ★ 易错 只检验两边之和时，必须先确定最大边；若未排序，就应检验三组不等式。 经典例题｜第三边的整数取值 题目　一个三角形的两边长分别为5 cm和8 cm，第三边长x为整数。求x的所有可能值。 分析　利用两边之差小于第三边、第三边小于两边之和。 解　由|8-5|<x<8+5，得3<x<13。因为x为整数，所以x可取4，5，6，7，8，9，10，11，12，共9个值。 经典例题｜中线与周长 题目　在△ABC中，AD是BC边上的中线。已知AB=6 cm，AC=8 cm，△ABD的周长为15 cm，求△ACD的周长。 分析　由中线得到BD=DC。两个小三角形都含AD，周长之差只来自AB与AC。 解　因为AB+AD+BD=15，所以AD+BD=9。又BD=DC，所以AD+DC=9。因此△ACD的周长为AC+AD+DC=8+9=17（cm）。 课堂效果检测（3—5分钟） 1. 长度为2 cm、3 cm、5 cm的三条线段能否组成三角形？________。 1. 三角形两边长为4和7，第三边长x的取值范围是________。 1. 在△ABC中，CD是AB边上的中线，则________=________。 1. 在△ABC中，BE是AC边上的高，则BE与AC的位置关系是________。 1. 判断：钝角三角形的三条高都在三角形外部。（　　） 检测答案　1. 不能，因为2+3=5；2. 3<x<11；3. AD，DB；4. BE⊥AC；5. ×。 本课小结 三边关系的本质依据是“两点之间，线段最短”；判定时注意严格不等号。 中线对应“中点与两段相等”，角平分线对应“两角相等”，高对应“垂直”。 三角形的三条中线相交于重心；三角形具有稳定性，能解释多种实际结构。 编写依据与使用说明 依据《义务教育数学课程标准（2022年版）》及人教版义务教育教科书《数学》八年级上册（2025秋版）第十三章的内容范围编写。讲义用于课堂学习、活动记录与即时评价；概念、定理和推论均采用本学段规范性表达，不替代教材。 第 页 学科网（北京）股份有限公司 $