13.3.1 三角形的内角 第2课时(直角三角形的性质与判定)同步 课件 2025-2026学年人教版数学八年级上册

该初中数学课件围绕直角三角形的性质与判定展开，核心知识点包括两锐角互余的性质及两角互余的三角形是直角三角形的判定。课堂导入通过复习三角形内角和及特殊角度计算问题，搭建旧知到新知的学习支架，引导学生逐步深入。 其特色在于以合作探究（如三角板锐角和观察）培养数学眼光，典例精析（例1两种解法对比）发展推理思维，新知小结规范几何语言表达。通过分层练习（基础题到拓展提升题），助力学生巩固知识提升应用能力，为教师提供结构化教学资源，提高教学效率。

第十三章 三角形 13.3 三角形的内角与外角 13.3.1 三角形的内角 第2课时 直角三角形中两锐角的关系 第2课时　直角三角形的性质与判定 　1.知道直角三角形的表示方法,能推导出直角三角形两锐角互余的性质并会应用. 2.知道两个角互余的三角形是直角三角形,并能简单应用. ◎重点:直角三角形的性质和判定及应用. ◎难点:直角三角形的性质定理和判定定理的应用. 素养目标 1.在△ABC中,若∠A=50°,∠B=40°,∠C等于多少度? 2.若∠A+∠B=90°,则∠C等于多少度? 3.在△ABC中,若∠C=90°,你能求出∠A、∠B的度数吗?你能求出∠A+∠B的度数吗? 利用上述结果你能得出什么结论? 预习导学 如下图所示是我们常用的三角板，两锐角的度数之和为多少度? 30°+60°=90° 45°+45°=90° 新知一 直角三角形的两个锐角互余 问题1： 合作探究 如图，在直角三角形ABC中， ∠C=90°，两锐角的和等于多少呢？ 在直角三角形ABC中，因为 ∠C=90°，由三角形内角和定理，得 ∠A +∠B+∠C=180°， 即 ∠A +∠B=90°. 由此，你可以得到直角三角形有什么性质呢？ 问题2： A B C 直角三角形的两个锐角互余．(直角三角形的性质定理）　　 应用格式： 在Rt△ABC 中， ∵　∠C =90°， ∴　∠A +∠B =90°．　 直角三角形的表示：直角三角形可以用符号“Rt△”表示，直角三角形ABC 可以写成Rt△ABC ． 新知小结 7 方法一（利用平行的判定和性质）： ∵∠B=∠C=90°， ∴AB∥CD， ∴∠A=∠D. 方法二（利用直角三角形的性质）： ∵∠B=∠C=90°， ∴∠A+∠AOB=90°，∠D+∠COD=90°. ∵∠AOB=∠COD， ∴∠A=∠D. 例1（1）如图，∠B=∠C=90°，AD交BC于点O，∠A与∠D有什么关系？ 图 典例精析 解：∠A=∠C. 理由如下： ∵∠B=∠D=90°， ∴∠A+∠AOB=90°，∠C+∠COD=90°. ∵∠AOB=∠COD， ∴∠A=∠C. （2）如图，∠B=∠D=90°，AD交BC于点O，∠A与∠C有什么关系？请说明理由. 图 与图有哪些共同点与不同点？ 例2 如图， ∠C=∠D=90 °， AD， BC相交于点E. ∠CAE与∠DBE有什么关系？为什么？ A B C D E 解：在Rt△ACE中， ∠CAE=90 °– ∠AEC. 在Rt△BDE中， ∠DBE=90 °– ∠BED. ∵ ∠AEC= ∠BED， ∴ ∠CAE= ∠DBE. 变式三　如图所示，DH⊥AB于点 H，AC⊥BD于点C，DH与AC相交于点E，仔细观察图形，回答以下问题: 探究与应用 【理解应用】 (1)图中有几个直角三角形? (2)∠AEH和∠B有什么关系?为什么? (3)若∠B=70°,∠A和∠CED各是多少度? 4个 相等 ∵DH⊥AB，AC⊥BD， ∴∠AEH+∠A＝90°，∠B+∠A＝90° ∴∠AEH=∠B. ∵AC⊥BD， ∴∠ACB＝90°，∴∠A=90°-∠B=20°. ∵∠AEH=∠B=70°,∴∠AEH=∠CED=70° 【探究2】直角三角形判定 探究与应用 我们知道，如果一个三角形是直角三角形，那么这个三角形有两个角互余．反过来，你能得出什么结论？这个结论成立吗？如何验证你的想法？ 思考 Lenovo (L) - 处理方式： 学生分小组活动，通过交流讨论，得出结论，组内成员畅所欲言，最后总结答案，公开展示，各个小组互相对比，教师给予评价。 探究与应用 【探究2】直角三角形判定 在△ABC中， 因为 ∠A +∠B +∠C=180°， 又∠A +∠B=90°， 所以∠C=90°. 于是△ABC是直角三角形. 证明： 探究与应用 【探究2】直角三角形判定 A B C 几何语言： 在△ABC 中， ∵　∠A +∠B =90°， ∴　△ABC 是直角三角形． 有两个角互余的三角形是直角三角形.　　 总结归纳 探究与应用 【理解应用】 例2 如图，∠C=90 °, ∠1= ∠2，△ADE是直角三角形吗？为什么？ A C B D E ( ( 1 2 解：在Rt△ABC中， ∠2+ ∠A=90 °. ∵ ∠1= ∠2, ∴∠1 + ∠A=90 °. 即△ADE是直角三角形. 探究与应用 如图，AB、ED均垂直于BD，垂足分别是B，D，点C在BD上，且∠ACB＝∠CED.求证：△ACE是直角三角形． 【拓展提升】 课堂小结 三角形的内角和 性质 三角形的外角 有一个角为90°的三角形 特殊 直角三角形 判定 直角三角形两锐角互余. 有一个角是直角的三角形是直角三角形. 有两个角互余的三角形是直角三角形. 互逆 A B C 课堂练习 2．具备下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是(　　) A．∠A＋∠B＝∠C B．∠A＝∠B＝∠C C．∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3 D．∠A＝2∠B＝3∠C D 1．如图，AD是Rt△ABC的斜边BC上的高，则图中与∠B互余的角有(　 ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 B 3．下列△ABC中，不是直角三角形的是(　　) A．∠A＝90° B．∠A∶∠B∶∠C＝3∶4∶5 C．∠C＝∠A＋∠B D．∠A＋∠C＝90° B 4. 如图，一张长方形纸片，剪去一角后得到一个三角形，则图中∠1 + ∠2 的度数是______. 90° 5.如图，在△ABC中，已知∠B= ∠A= ∠C.求证:△ABC为直角三角形. 证明：∵∠B= ∠A=∠C， ∴∠A=2∠B，∠C=3∠B. ∵∠A+∠B+∠C=2∠B+∠B+3∠B =6∠B=180°， ∴∠B=30°，∠A=60°，∠C=90° ∴△ABC为直角三角形. 解：∵AD⊥BC， ∴∠ABD+∠BAD＝90°， ∵∠BAC＝90°， ∴∠BAD+∠CAD＝90°， ∴∠ABD＝∠CAD＝36°， ∵BE平分∠ABC， ∴∠ABE=∠ABC＝18°， ∴∠AEF＝90°﹣∠ABE＝72°. 6.如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，BE平分∠ABC，AD、BE相交于点F． （1）若∠CAD＝36°，求∠AEF的度数； （2）试说明：∠AEF＝∠AFE． 证明：∵BE平分∠ABC， ∴∠ABE＝∠CBE， ∵∠ABE+∠AEF＝90°，∠CBE+∠BFD＝90°， ∴∠AEF＝∠BFD， ∵∠AFE＝∠BFD， ∴∠AEF＝∠AFE． 6.如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，BE平分∠ABC，AD、BE相交于点F． （2）试说明：∠AEF＝∠AFE． 4.在△ABC中，若一个内角等于另外两个内角的差，则（　　） A．必有一个内角等于30° B．必有一个内角等于45° C．必有一个内角等于60° D．必有一个内角等于90° D 课后作业 1.如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，BE平分∠ABC， AD、BE相交于点F． (1)若∠CAD＝36°，求∠AEF的度数； (2)试说明：∠AEF＝∠AFE． 解：(1)∵AD⊥BC， ∴∠ABD+∠BAD＝90°， ∵∠BAC＝90°， ∴∠BAD+∠CAD＝90°， ∴∠ABD＝∠CAD＝36°， ∵BE平分∠ABC， ∴∠ABE=1/2∠ABC＝18°， ∴∠AEF＝90°-∠ABE＝72°. 培优作业 1.如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，BE平分∠ABC， AD、BE相交于点F． (1)若∠CAD＝36°，求∠AEF的度数； (2)试说明：∠AEF＝∠AFE． (2)证明：∵BE平分∠ABC， ∴∠ABE＝∠CBE， ∵∠ABE+∠AEF＝90°，∠CBE+∠BFD＝90°， ∴∠AEF＝∠BFD， ∵∠AFE＝∠BFD， ∴∠AEF＝∠AFE． 培优作业 $