14.3 角的平分线 同步练习 2026--2027学年人教版八年级数学上册

**基本信息** 聚焦角平分线尺规作图与性质应用，分层设计从基础原理到综合应用，梯度衔接紧密，强化几何直观与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础认知|尺规作图依据、角平分线定义|选择/填空题考查SSS全等原理，夯实概念理解| |技能应用|角平分线性质（距离相等）|结合三角形计算角度、距离，培养几何直观| |综合拓展|性质综合应用与证明|作图题（公路养护处位置）、证明题，提升推理与应用意识|

1. 如图所示，小李用直尺和圆规作的平分线，则得出的依据是（ ）． A. B. C. D. 2. 如图，，以点为圆心，小于的长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线，交于点 ，若 ，则的度数为（ ）． A. B. C. D. 3. 如图，在中， ， ．按以下步骤作图：①以点为圆心，小于的长为半径画弧，分别交、于点、；②分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点；③作射线交边于点．则的度数为 ． 4. 尺规作图：如图所示，直线、、为围绕区域的三条公路，为便于公路维护，需在区域内筹建一个公路养护处，要求到三条公路的距离相等，请利用直尺和圆规确定符合条件的点的位置．（保留作图痕迹，不写作法） 1 学科网（北京）股份有限公司 1. 如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（ ）． A. 的三条中线的交点 B. 三条角平分线的交点 C. 三条高所在直线的交点 D. 三边的中垂线的交点 2. 如图，在中，，是的平分线，，则到边的距离是 ． 3. 如图中， ，平分交于，若，且，则点 到边的距离为（ ）． A. B. C. D. 4. 如图，在中， ，平分，，，则点到的距离为 ． 5. 如图，在中，平分，与交于点，于点，若，的面积为，则的长为（ ）． A. B. C. D. 6. 如图，在中， ，平分，交于点，已知，，则 的面积为 ． 7. 如图，在中， ，平分，过点作于，若， ，则的周长是（ ）． A. B. C. D. 8. 如图，在中， ，是的角平分线，于，在上， ．求证：． 1. 写出命题“角平分线上的点到角两边的距离相等”的逆命题：如果 ，那么 ；它是 命题．（真或假） 2. 如图，点在上．，，且，则线段是的（ ）． A. 高 B. 的中垂线 C. 中线 D. 的角平分线 3. 已知，如图， 是的中点，平分．求证：平分． $ 1. 如图所示，小李用直尺和圆规作的平分线，则得出的依据是（ ）． A. B. C. D. C 从角平分线的做法得出： 与 的三边全部相等， 则 所以 ≌ ， 选项是正确的． 【知识点】作角平分线 【知识点】SSS 2. 如图，，以点为圆心，小于的长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线，交于点 ，若 ，则的度数为（ ）． A. B. C. D. D 连接 ， ，由作法可知： 10 学科网（北京）股份有限公司 ∵在 ， 和 ， 中， ， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ≌ ， ， ， ， ， ． 【能力】推理论证能力 【知识点】SSS 【知识点】角分线性质定理 【知识点】全等三角形的性质 【知识点】全等三角形的对应边与角 【知识点】作角平分线 3. 如图，在中， ， ．按以下步骤作图：①以点为圆心，小于的长为半径画弧，分别交、于点、；②分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点；③作射线交边于点．则的度数为 ． 由作图可知， ， 平分 ， ∵ ∴ ∵ ∴ ． ， ． 【知识点】角分线性质定理 4. 尺规作图：如图所示，直线、、为围绕区域的三条公路，为便于公路维护，需在区域内筹建一个公路养护处，要求到三条公路的距离相等，请利用直尺和圆规确定符合条件的点的位置．（保留作图痕迹，不写作法） 画图见解析． 如图，点 即为所求． 【知识点】作角平分线 1. 如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（ ）． A. 的三条中线的交点 B. 三条角平分线的交点 C. 三条高所在直线的交点 D. 三边的中垂线的交点 B 三角形中角平分线的交点到三角形三边的距离相等，故选 ． 【知识点】角平分线判定定理 2. 如图，在中，，是的平分线，，则到边的距离是 ． 是 过点 作 的角平分线 交 于点 ∵ 依据“角平分线上的点到角两边距离相等”可知 ， ∴点 到 边的距离为 ． 【知识点】三角形-内角角分线 【知识点】判断三角形的高，中线和角平分线 【知识点】角分线性质定理 3. 如图中， ，平分交于，若，且，则点 到边的距离为（ ）． A. B. C. D. C ∵ ∴ ∵ ∴ 如图，作 ， 于 点． ， ． 平分 ， ． ， 【知识点】角分线有关的辅助线 4. 如图，在中， ，平分，，，则点到的距离为 ． ∵ ， ， ∴ ∵ ∴点 ． 平分 到 ， 的距离等于 ， ，即点 到 的距离等于 ． 【知识点】角分线性质定理 5. 如图，在中，平分，与交于点，于点，若，的面积为，则的长为（ ）． A. B. C. D. C 作 交 的延长线于 ， ∵ ∴ ∵ ∴ ， ， 平分 的面积为 ， ， ． ， ， 故选 ． 【能力】推理论证能力 【知识点】角分线性质定理 6. 如图，在中， ，平分，交于点，已知，，则 的面积为 ． 过 作 于 ， ∵ ∴ ∵ 平分 ， ， ， ， ，∴ ． 【知识点】三角形的周长与面积问题；角分线性质定理 7. 如图，在中， ，平分，过点作于，若， ，则的周长是（ ）． A. B. C. D. B ∵ 平分 ， ， ， ∴ 又∵ ∴ ， ，的周长 ， ． 故选 ． 【知识点】角分线性质定理 8. 如图，在中， ，是的角平分线，于，在上， ．求证：．证明见解析． ∵ 是 ， ，与 ， 的角平分线， ， ， ∴ 又∵ ∴在 中， ∴ ∴ ≌ ． ， 【能力】推理论证能力 【知识点】角分线性质定理 【知识点】HL 1. 写出命题“角平分线上的点到角两边的距离相等”的逆命题：如果 ，那么 ；它是 命题．（真或假） 一个点到角两边的距离相等 ; 它在这个角的角平分线上 ; 真 如果一个点到角两边的距离相等，那么它在这个角的角平分线上；它是真命题． 【知识点】角分线性质定理 2. 如图，点在上．，，且，则线段是的（ ）． A. 高 B. 的中垂线 C. 中线 D. 的角平分线 D ∵ ， ， ，∴ 平分 ． 【知识点】角平分线判定定理 3. 已知，如图， 是的中点，平分．求证：平分． 证明见解析． 过点 作 由角平分线性质可知 ，又 于 ， ，由中点得 ， ， 平分 ． 【知识点】角平分线判定定理 【知识点】角分线性质定理 【能力】推理论证能力 $ 1. 如图，在中，． （ 1 ）作出的平分线；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） （ 2 ）若的平分线与交于点. 已知，，求的面积．1 已知三边，，，求的长．（提示：用含、、的代数式表示）2 （ 1 ）画图见解析. （ 2 ）1 2 . . （ 1 ）如图： （ 2 ）1 作 ∵ ∴ ∴ ∵ 于 平分 ，如图， ， ， ， ， . 2 ， ， ∴ 又∵ ∴ ， ， . 10 学科网（北京）股份有限公司 【方法】等面积法 【知识点】作角平分线 【知识点】角分线性质定理 【能力】推理论证能力 2. 已知：如图，线段和射线交于点． （ 1 ）利用尺规完成以下作图，并保留作图痕迹（不写作法）．在射线 上作一点，使． 作的角平分线交于点．1 2 在射线 上作一点，使，连接．3 （ 2 ）在（ ）所作的图形中，直接写出线段与的数量关系． （ 1 ）1 画图见解析． 2 画图见解析． 3 画图见解析． （ 2 ） ． （ 1 ）1 2 3 （ 2 ）∵ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 平分 ， ， ， ． ， ， ． 【知识点】按要求作直线、射线和线段 【知识点】角的平分线及等分线的定义 【知识点】作角平分线 【知识点】等腰三角形的判定-等角对等边 【能力】推理论证能力 3. 如图，已知．小明按如下步骤作图： ①以点为圆心，任意长为半径画弧，交于点，交于点． ②分别以，为圆心，大于长为半径画弧，在的内部两弧交于点． ③画射线． 所以射线为所求的平分线．根据上述作图步骤，回答下列问题： （ 1 ）写出一个正确的结论： ． （ 2 ）如果在上任取一点 ，那么点 到、的距离相等． 依据是： ． （ 1 ） 或 或 平分 （ 2 ）角的平分线上的点到角的两边的距离相等． （ 1 ） 或 或 平分 ． （ 2 ）角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 【知识点】作图依据 4. 如图，为码头，、两个灯塔与码头的距离相等，，为海岸线，一轮船从码头开出，计划沿的平分线航行． （ 1 ）用尺规作出轮船的预定航线（保留作图痕迹）． （ 2 ）航行途中，轮船与灯塔，的距离始终相等，试问轮船有没有偏离航线？说明你的理由． （ 1 ）如图所示： （ 2 ）轮船没有偏离航线． （ 1 ）如图所示： （ 2 ）此时轮船没有偏离航线，理由如下： 由题意知： ， ， ， ， ∴ ∴ ≌ ， ∴此时轮船没有偏离航线． 【知识点】SSS 1. 如图，在中， ，为 的三条角平分线的交点， ， ， ，点、、 分别是垂足，且 ，， ，则点 到边 的距离为（ ）． A. B. C. D. A ∵ 是 三条角平分线的交点， ， ， ， ∴ 连接 ∴ ， ， ， ∵ ， ∴ ∴ ， ． 【能力】推理论证能力 【方法】等面积法 【思想】数形结合思想 【知识点】角分线性质定理 【知识点】判断三角形的高，中线和角平分线 2. 如图，，的平分线与的平分线相交于点，作于点，若 ，则点到与的距离之和为（ ）． A. B. C. D. D ∵ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ， 如图，过点 分别平分 作 于 ， ， ，作 ， 于 ， ， ， ， ， ， 、 、 三点共线， 与 之间的距离 ． 【知识点】角分线性质定理 3. 如图，中，，，，和的平分线交于点，于，则的长为 ． 过 分别作 、 的垂线于 、 ， ∵ ∴ ∴ ∴设 ∵ 又∵ ∴ ， 平分 ， ， ， ， ， ，则 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为： ． 【知识点】角分线性质定理 【知识点】AAS 【知识点】全等三角形的对应边与角 【能力】运算能力 4. 如图，在中，，以顶点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点 ，，再分别以点 ，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交边于点，若，，则的面积是（ ）． A. B. C. D. B 解法一：由题意得 ， ， 的面积 ． 是 的平分线，过点 作 于 ， 又∵ ∴ ∴ 故选 ． 解法二：由题意可知， 平分 ，过点 向 作垂线即可． 【知识点】三角形中的角平分线应用；角分线有关的辅助线 5. 如图，，，于，于． 求证：． 证明：在和中， ∴≌（ ）． ∴ （ ）． ∴是的角平分线． 又∵于，于， ∴（ ）． ； ； ； ；全等三角形的对应角相等；角的内部 到角的两边距离相等的点在角的平分线上． 在 和 中， ， ∴ ∴ ∴ 又∵ ∴ ≌ 是 ． （全等三角形的对应角相等）．的角平分线． 于 ， 于 ， （角平分线上的点到角两边距离相等）． 【知识点】SSS 6. 如图，是等腰直角三角形，，，平分，于点， ． （ 1 ）求证：． （ 2 ）求的周长． （ 1 ）证明见解析． （ 2 ） ． （ 1 ）易证 ∴ ∴ ≌ ， ， ． （ 2 ）∵ ∴ ， 的周长为： ． 故答案为： ． 【知识点】等腰直角三角形与全等 7. 如图，是的角平分线，，垂足为，，和的面积分别为和，则的面积为 ．∵ ∴在 是 如图，过点 作 的角平分线， ， 于 ， ， 和 ， 中， ∴ ∴在 ≌ （ ）， ， 中， 和 ， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ≌ （ ）， ， 和 的面积分别为 和 ， ， ． 【知识点】全等三角形的周长与面积 【知识点】全等三角形的性质 【知识点】HL 1. 如图，已知．小宋按如下步骤作图： ①以点为圆心，任意长为半径画弧，交于点，交于点． ②分别以、为圆心，大于长为半径画弧，在的内部两弧交于点． ③画射线．所以射线为所求的平分线．根据上述作图步骤，小宋的作图依据是： ． 角的内部到角的两边的距离相等的点在角平分线上或两点确定一条直线 ①角的内部到角的两边的距离相等的点在角平分线上． ②两点确定一条直线． 【知识点】作图依据 2. 如图，中，，为外一点，且，交于， 于 ． （ 1 ）求证：． （ 2 ）求证：平分的外角． （ 3 ）求 的值． （ 1 ）证明见解析． （ 2 ）证明见解析． （ 3 ） ． （ 1 ）∵ ， 而 ， ∴ ． （ 2 ）过点 作 ，交 的延长线于点 ， 则 ， 又 ， ， ∴ ≌ ， ∴ ， ∴ 平分 ， 即 平分 的外角． （ 3 ）由 ≌ 可得， ， ∵ ， ， ∴ ≌ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 【能力】推理论证能力 【知识点】HL 【知识点】AAS 【知识点】全等三角形的对应边与角 【知识点】角平分线判定定理 【知识点】三角形内角和的应用 【知识点】三角形的外角定义及性质 3. 如图，，，点、分别在、上，若平分． （ 1 ）求证：平分． （ 2 ）若，，，求和的长．（ 1 ）证明见解析． （ 2 ） ， ． （ 1 ）过 作 ， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ （ 2 ）在 平分 ， ， ， ， 平分 ． 和 中， ∴ ≌ ． ∴ ． 同理： ． ∴ ． 设 ， ， ∴ 连接在 ，① ， 与 ， 中， ∴ ∴ ∴ ∴ ≌ ， （ ）， ， ，② 由①②，解得 ， ， ∴ ， ． 【知识点】HL 【知识点】角平分线判定定理 【知识点】角分线性质定理 【知识点】全等三角形的对应边与角 【知识点】代入消元法解二元一次方程组 【能力】推理论证能力 4. 小明做数学作业时遇到一道证明题：求证三角形的三条角平分线交于一点．小明首先根据题意画出图形如下面左图． 然后他将原命题转化为： 已知：在中，和的平分线交于点，求证：是 ． （ 1 ）请帮小明补全命题的结论：是 ． （ 2 ）结合右图，补全下面证明过程（括号中填写定理内容） 作 于点， 于点， 于点． ∵ 平分 ， ， ， ∴（ ），同理： ， ∴， 又∵，， ∴ （ ）． （ 3 ）根据上述结论，完成下述作图任务： 如图，有一张矩形纸片，上面画有一个角的两边、，但是这个角的顶点在纸片的外部，试在纸片上作出的平分线．（要求：尺规作图，不得折纸，不得超出矩形纸片，保留作图痕迹，不必写作法）图 （ 1 ） 的角平分线 （ 2 ）角平分线上的点到角两边的距离相等 ; 内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上 （ 3 ） 画图见解析． ; 是 的角平分线 ; 角的 （ 1 ）由图可知． （ 2 ）作 ∵ ∴ 于点 ， ， 于点 ， ， 于点 ． 平分 ， 同理： ∴ 又∵ （角平分线上的点到角两边的距离相等） ， ， ， ， ∴ 是 的角平分线．（角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上）． （ 3 ）作角平分线，并连接角平分线的交点． 图 【知识点】角平分线判定定理 $ 1. 如图，在中，． （ 1 ）作出的平分线；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） （ 2 ）若的平分线与交于点. 已知，，求的面积．1 已知三边，，，求的长．（提示：用含、、的代数式表示）2 2. 已知：如图，线段和射线交于点． （ 1 ）利用尺规完成以下作图，并保留作图痕迹（不写作法）．在射线 上作一点，使． 作的角平分线交于点．1 2 在射线 上作一点，使，连接．3 （ 2 ）在（ ）所作的图形中，直接写出线段与的数量关系． 3. 如图，已知．小明按如下步骤作图： ①以点为圆心，任意长为半径画弧，交于点，交于点． ②分别以，为圆心，大于长为半径画弧，在的内部两弧交于点． ③画射线． 所以射线为所求的平分线．根据上述作图步骤，回答下列问题： 1 学科网（北京）股份有限公司 （ 1 ）写出一个正确的结论： ． （ 2 ）如果在上任取一点 ，那么点 到、的距离相等．依据是： ． 4. 如图，为码头，、两个灯塔与码头的距离相等，，为海岸线，一轮船从码头开出，计划沿的平分线航行． （ 1 ）用尺规作出轮船的预定航线（保留作图痕迹）． （ 2 ）航行途中，轮船与灯塔，的距离始终相等，试问轮船有没有偏离航线？说明你的理由． 1. 如图，在中， ，为 的三条角平分线的交点， ， ， ，点、、 分别是垂足，且 ，， ，则点 到边 的距离为（ ）． A. B. C. D. 2. 如图，，的平分线与的平分线相交于点，作于点，若 ，则点到与的距离之和为（ ）． A. B. C. D. 3. 如图，中，，，，和的平分线交于点，于，则的长为 ． 4. 如图，在中，，以顶点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点 ，，再分别以点 ，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交边于点，若，，则的面积是（ ）． A. B. C. D. 5. 如图，，，于，于． 求证：． 证明：在和中， ∴≌（ ）． ∴ （ ）． ∴是的角平分线． 又∵于，于， ∴（ ）． 6. 如图，是等腰直角三角形，，，平分，于点， ． （ 1 ）求证：． （ 2 ）求的周长． 7. 如图，是的角平分线，，垂足为，，和的面积分别为和，则的面积为 ． 1. 如图，已知．小宋按如下步骤作图： ①以点为圆心，任意长为半径画弧，交于点，交于点． ②分别以、为圆心，大于长为半径画弧，在的内部两弧交于点． ③画射线．所以射线为所求的平分线．根据上述作图步骤，小宋的作图依据是： ． 2. 如图，中，，为外一点，且，交于， 于 ． （ 1 ）求证：． （ 2 ）求证：平分的外角． （ 3 ）求 的值． 3. 如图，，，点、分别在、上，若平分． （ 1 ）求证：平分． （ 2 ）若，，，求和的长． 4. 小明做数学作业时遇到一道证明题：求证三角形的三条角平分线交于一点．小明首先根据题意画出图形如下面左图． 然后他将原命题转化为： 已知：在中，和的平分线交于点，求证：是 ． （ 1 ）请帮小明补全命题的结论：是 ． （ 2 ）结合右图，补全下面证明过程（括号中填写定理内容） 作 于点， 于点， 于点． ∵ 平分 ， ， ， ∴（ ），同理： ， ∴， 又∵，， ∴ （ ）． （ 3 ）根据上述结论，完成下述作图任务： 如图，有一张矩形纸片，上面画有一个角的两边、，但是这个角的顶点在纸片的外部，试在纸片上作出的平分线．（要求：尺规作图，不得折纸，不得超出矩形纸片，保留作图痕迹，不必写作法）图 $