暑假结业测03（进阶版） 2026-2027学年北师大版数学九年级上册

**基本信息** 立足北师大版九年级上册知识，以电动汽车销量、杨梅销售等真实情境为载体，融合几何综合与函数新定义，考查抽象能力、推理能力及模型意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|一元二次方程应用、三角形中点、梯形计算等|第1题以电动汽车销量增长考查方程建模，体现科技前沿情境| |填空题|5/20|动点面积、韦达定理、菱形存在性等|第14题菱形存在性问题，融合几何直观与空间观念| |解答题|5/50|销售利润、正方形综合、函数新定义等|第18题杨梅销售方案设计，分三问梯度考查模型意识；第20题“t相关函数”新定义，发展创新意识与数学表达能力|

暑季研思・九年级上册数学暑期培优专项讲义 暑假结业测 03（进阶版） 注意事项： 1．测试范围：北师大版（2024）九年级上册。 2．考试时间：90分钟 试卷满分：100分。 第Ⅰ卷 选择题 1、 选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．随着环保意识的增强和技术的进步，某品牌的电动汽车逐渐成为消费者的新宠，某销售商的该品牌电动汽车今年月份的销量为辆，由于国补政策的连月升温，月份的销量比月份增加了辆．设每个月销量的平均增长率为，则下列方程正确的是（     ）． A． B． C． D． 2．如图，在中，D，E分别是的中点，点F在上，且，若，则的长为（     ） A．7 B．8 C．10 D．12 3．如图，在梯形中，，，，，，则的长度为（     ） A．4 B．6 C． D． 4．如图，四边形中，，，，过点B作的平行线，过点D作的平行线，两平行线相交于点E，连接AE，则（     ） A． B． C． D． 5．已知是方程的解，则的值是（     ） A． B． C．或3 D．或1 6．如图，面积分别是49和25的两个正方形拼接在一起，它们的底边在同一直线上，则的长为（    ） A．9 B．10 C．12 D．13 7．如图，长方形内放置了三个正方形，三个正方形的面积分别是，，，则图中两块阴影部分的面积和为（     ） A． B． C． D． 8．如图，在正方形中，，点在上，连接，将沿所在直线翻折至正方形所在平面内得到，延长与交于点，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 9．关于的一元二次方程，下列说法：①若，则方程一定有两个不相等的实数根；②若，则方程没有实数根；③若且是方程的一个根，则；④若是方程的一个根，则是方程的一个根．其中正确的个数是（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 10．设二次方程有实数根，其中、都是素数，那么它的根一定是（     ） A．奇数 B．偶数 C．分数 D．无理数 第Ⅱ卷 非选择题 二、填空题（本题共5小题，每小题4分，共20分） 11．如图，在中，，，，点从点开始沿射线方向以的速度运动；同时点也从点开始沿射线方向以的速度运动．_______秒后以、、、为顶点的四边形的面积为． 12．若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则c的值是______． 13．已知，分别是关于x的方程的两个根，且满足，则k的值为______． 14．在平面直角坐标系中，已知，，点在轴正半轴上，点在坐标平面内，若以，，，四点为顶点的四边形为菱形，则点的坐标为__________． 15．若方程的较大根为，方程的较小根为，则______________． 三、解答题（本题共5小题，每小题10分，共50分） 16．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)已知方程的两个实数根分别为，，且，求的值． 17．某班拟召开读书分享会，老师让每位同学从阅读过的书籍《红岩》《西游记》《骆驼祥子》《红星照耀中国》中随机选取一本进行分享．学习委员在四个小球上分别写上A，B，C，D（字母A，B，C，D分别对应《红岩》《西游记》《骆驼祥子》《红星照耀中国》），这四个小球除所写字母外都相同，并将它们装入一个不透明的盒子中．每位同学需从盒中随机摸出一个小球，摸出的小球上所写的字母就对应自己将要分享的那本书． (1)将盒中这四个小球摇匀，从中随机摸出一个小球，摸出的小球上写有“A”的概率为_________； (2)将盒中这四个小球摇匀，小智先从盒中随机摸出一个小球，记下结果后放回，摇匀，小慧再从盒中随机摸出一个小球，记下结果后放回．请用列表或画树状图的方法，求小智和小慧两位同学中至少有一位同学分享《红星照耀中国》的概率． 18．根据以下素材，探索完成任务． 13度的甜，14度的鲜，夏季的兰溪杨梅，不仅是自然的馈赠，更是交织成初夏最让人心动的味道，但由于“泡药风波”，使得杨梅的销售较往年增加了一些难度，为了促进销售，某农户决定采取网上和实体店同步销售，请你帮助一起设计兰溪杨梅的销售方案． 素材1 某农户在网上和实体店同时销售兰溪杨梅（以下简称杨梅），成本价为20元/千克． 素材2 杨梅的网上销售价定为30元/千克时，当天网上销售量是100千克，实体店的销售价定为40元/千克时，当天实体店销售量是50千克．一天内实体店的销售价保持不变，网上销售价可按实际情况进行适当调整，需确保网上销售价始终高于成本价． 素材3 据调查，网上销售价每降低1元，当天网上多售出20千克，实体店少售出2千克． 问题解决： (1)任务1：当杨梅网上销售价为25元/千克时，求农户在网上销售杨梅当天的毛利润（毛利润=销售总额-成本）与实体店销售该杨梅当天的毛利润各是多少元？ (2)任务2：杨梅的网上单价每千克降多少元时，农户一天的总毛利润（总毛利润=网上毛利润+实体店毛利润）为2040元？ (3)任务3：你觉得该农户一天的总毛利润能否达到3000元，若能，请求出杨梅的网上单价是每千克多少元？若不能，请说明理由． 19．在正方形中，点为上一动点，于点，延长交于点，在上取，连接，． (1)如图1，当在上时，若，求的长； (2)如图2，连接，求证：； (3)如图3，连接，若，判断与的数量关系，并说明理由． 20．在平面直角坐标系中，对于给定的两个关于x的函数，任取自变量x的一个值，当时，它们对应的函数值互为相反数；当时，它们对应的函数值相等，则称这样的两个函数互为“相关函数”． (1)①在点，，，中， 在正比例函数的“相关函数”图象上的点是________； ②若一次函数的“相关函数”的图象是轴对称图形，则b的值为________； (2)已知，，，． ①若二次函数的“相关函数”图象与四边形始终有2个公共点，求h的取值范围； ②若二次函数的“相关函数”的图象与线段有2个公共点，直接写出n的取值范围． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $暑季研思・九年级上册数学暑期培优专项讲义 暑假结业测 03（进阶版） 注意事项： 1．测试范围：北师大版（2024）九年级上册。 2．考试时间：90分钟 试卷满分：100分。 第Ⅰ卷 选择题 1、 选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．随着环保意识的增强和技术的进步，某品牌的电动汽车逐渐成为消费者的新宠，某销售商的该品牌电动汽车今年月份的销量为辆，由于国补政策的连月升温，月份的销量比月份增加了辆．设每个月销量的平均增长率为，则下列方程正确的是（     ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平均增长率表示出月份的销量，结合题目中月份销量与月份销量的关系列出方程，即可得到正确选项． 【详解】设每个月销量的平均增长率为， 月份销量为辆， 月份销量为辆， 月份销量为辆， 又月份销量比月份增加辆，即月份销量为辆， 可得方程． 2．如图，在中，D，E分别是的中点，点F在上，且，若，则的长为（     ） A．7 B．8 C．10 D．12 【答案】C 【分析】根据直角三角形的性质求出的长，则可求出的长，再由三角形中位线定理即可得到答案． 【详解】解：∵，点为的中点， ∴， ∵， ∴， ∵D，E分别是的中点， ∴是的中位线， ∴． 3．如图，在梯形中，，，，，，则的长度为（     ） A．4 B．6 C． D． 【答案】B 【分析】过点作于点，可得四边形为矩形，求出的长，再根据含角的直角三角形的性质求解． 【详解】解：过点作于点，则， ，， ∴， 四边形为矩形， ， ， 在中，， ， ． 4．如图，四边形中，，，，过点B作的平行线，过点D作的平行线，两平行线相交于点E，连接AE，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先证明四边形是菱形，是等边三角形，求得，，再求得，再利用等边对等角以及三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∴，， ∴． 5．已知是方程的解，则的值是（     ） A． B． C．或3 D．或1 【答案】C 【分析】把方程的解代入得到关于的一元二次方程，解关于的一元二次方程即可． 【详解】解：将代入得． 整理得． 因式分解得． ∴或， ∴或． 6．如图，面积分别是49和25的两个正方形拼接在一起，它们的底边在同一直线上，则的长为（    ） A．9 B．10 C．12 D．13 【答案】D 【分析】先分别求出两个正方形的边长，再利用勾股定理得出的长度． 【详解】解：∵两个正方形面积分别是49和25， ∴大正方形边长为7，小正方形边长为5， ∴构成的直角三角形两直角边长分别为和5， 由勾股定理得． 7．如图，长方形内放置了三个正方形，三个正方形的面积分别是，，，则图中两块阴影部分的面积和为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据正方形面积求出两种正方形的边长，结合图形结构确定外围大长方形的长和宽，算出大长方形的面积后，减去三个正方形的面积和，即可得到两块阴影部分的面积和． 【详解】根据正方形面积公式计算边长： 面积为的正方形边长： ， 面积为的正方形边长：， 确定外围大长方形的长和宽： 由图形结构可得， 大长方形的长小正方形边长大正方形边长； 大长方形的宽两个小正方形的边长和； 计算阴影面积和：阴影面积和大长方形面积三个正方形面积和大长方形面积： ， 三个正方形面积和为， ∴阴影面积和为． 8．如图，在正方形中，，点在上，连接，将沿所在直线翻折至正方形所在平面内得到，延长与交于点，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用折叠性质得到，再根据正方形的性质分别证明，，进而得出，再根据求解． 【详解】解：如图，连接， 四边形为正方形， ，， 沿所在直线翻折至正方形所在平面内得到， ， ，， ,， 在与中， ， ， ， ， ， ， 在与中， ， ， ， ， ． 9．关于的一元二次方程，下列说法：①若，则方程一定有两个不相等的实数根；②若，则方程没有实数根；③若且是方程的一个根，则；④若是方程的一个根，则是方程的一个根．其中正确的个数是（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】利用根的判别式判断根的情况，结合根的定义变形验证每个说法即可． 【详解】解：对于一元二次方程，根的判别式， ① 若，则，代入得，因此方程一定有两个不相等的实数根，①正确； ② 若，则，因为，可得即，因此，所以，方程没有实数根，②正确； ③ 若且是方程的根，代入方程得，提取公因式得，因为，所以，即，③正确； ④ 若是原方程的根，代入得，两边同除以（，）得，整理得，因此是方程的一个根，④正确． 综上，①②③④都正确，共4个正确说法． 10．设二次方程有实数根，其中、都是素数，那么它的根一定是（     ） A．奇数 B．偶数 C．分数 D．无理数 【答案】D 【分析】先利用一元二次方程根的判别式得到p和q的关系，结合p、q均为素数的性质，推导得到根的属性． 【详解】∵一元二次方程有实数根， ∴，即， ， ∵均为素数，素数中唯一的偶数是2，其余均为奇数， 当均为奇素数时， 为奇数，且不可能是完全平方数， 一定是无理数， 当，为奇素数时，即， ， 不存在这相的奇素数， 当，为奇素数时，即， ， 设（k为非负整数），即， 均为非负整数， 或， 解得或，均不符， 不可能是完全平方数， 一定是无理数， 当且仅当时，， 综上所述，原方程的根一定是无理数． 第Ⅱ卷 非选择题 二、填空题（本题共5小题，每小题4分，共20分） 11．如图，在中，，，，点从点开始沿射线方向以的速度运动；同时点也从点开始沿射线方向以的速度运动．_______秒后以、、、为顶点的四边形的面积为． 【答案】或 【分析】先根据动点速度设运动时间为，得出、，依据点、所在线段位置划分为、、三种情况，每种情况结合图形形状选用对应割补法列出四边形面积方程求解，求出解后验证数值是否落在对应取值范围内，舍去取值范围内不符的解，即可得出所有符合条件的时间． 【详解】解：设运动时间为，由题意得，， 当点在线段上时，； 当点在线段上时，； 故分三种情况讨论： ①当时，如图， ， ∵， ∴， 解得 或（不合题意，舍去）； ②当时，如图， ， ∵， ∴， 解得； ③当时，如图， ， ∵， ∴， 解得（，不合题意，舍去）或（不合题意，舍去）； 综上所述， 或秒后以、、、为顶点的四边形的面积为． 12．若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则c的值是______． 【答案】 【分析】根据一元二次方程的定义，求出，再根据判别式与根的关系进行求解即可． 【详解】解：由题意可知，且， 即且， ∴． ∴原一元二次方程可化为， ∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴． ∴． 13．已知，分别是关于x的方程的两个根，且满足，则k的值为______． 【答案】 【分析】关于x的一元二次方程的两个实数根，和系数，，，有如下关系：，． 【详解】解：∵，分别是关于x的方程的两个根， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 14．在平面直角坐标系中，已知，，点在轴正半轴上，点在坐标平面内，若以，，，四点为顶点的四边形为菱形，则点的坐标为__________． 【答案】或 【分析】根据菱形的性质，分为菱形的边和为菱形的对角线两种情况讨论，设出点的坐标，利用勾股定理列方程求解，舍去不符合条件的结果即可得到答案． 【详解】解：，， 设，分两种情况讨论： 1、当为菱形的边时，此时，即 解得或 点在轴正半轴上， ，即 2、 当为菱形的对角线时 此时满足，即 ，如图 在中，， 又 ， 解得，满足， 综上，点的坐标为或． 15．若方程的较大根为，方程的较小根为，则______________． 【答案】 【分析】分别用因式分解法解两个一元二次方程，根据题意求得，，再代入代数式，即可求解． 【详解】解： ∴ 即 ∴ 解得： ∴ ∵ ∴ 解得： ∴ ∴. 三、解答题（本题共5小题，每小题10分，共50分） 16．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)已知方程的两个实数根分别为，，且，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）一元二次方程有两个不相等实数根，则判别式，代入系数解不等式得到的范围； （2）先由一元二次方程根与系数关系写出两根和、两根积，展开进行代换，得到关于的一元二次方程，求出解后结合第（1）问的取值范围舍去不符合的解． 【详解】（1）解：∵该一元二次方程有两个不相等的实数根， ， 解得； （2）解：由一元二次方程的根与系数的关系，得 ，． ， ， 整理，得， 解得或． 又， ． 17．某班拟召开读书分享会，老师让每位同学从阅读过的书籍《红岩》《西游记》《骆驼祥子》《红星照耀中国》中随机选取一本进行分享．学习委员在四个小球上分别写上A，B，C，D（字母A，B，C，D分别对应《红岩》《西游记》《骆驼祥子》《红星照耀中国》），这四个小球除所写字母外都相同，并将它们装入一个不透明的盒子中．每位同学需从盒中随机摸出一个小球，摸出的小球上所写的字母就对应自己将要分享的那本书． (1)将盒中这四个小球摇匀，从中随机摸出一个小球，摸出的小球上写有“A”的概率为_________； (2)将盒中这四个小球摇匀，小智先从盒中随机摸出一个小球，记下结果后放回，摇匀，小慧再从盒中随机摸出一个小球，记下结果后放回．请用列表或画树状图的方法，求小智和小慧两位同学中至少有一位同学分享《红星照耀中国》的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接根据概率公式求解即可； （2）先列表得到所有等可能的结果，再得出小智和小慧两位同学中至少有一位同学分享《红星照耀中国》的结果数，最后根据概率公式求解即可． 【详解】（1）解：∵一共有四个球，且每个球被摸出的概率相同， ∴从中随机摸出一个小球，摸出的小球上写有“A”的概率为； （2）解：列表如下： 小慧小智 由表格可知，一共有16种等可能的结果，其中小智和小慧两位同学中至少有一位同学分享《红星照耀中国》的结果有7种， ∴小智和小慧两位同学中至少有一位同学分享《红星照耀中国》的概率为． 18．根据以下素材，探索完成任务． 13度的甜，14度的鲜，夏季的兰溪杨梅，不仅是自然的馈赠，更是交织成初夏最让人心动的味道，但由于“泡药风波”，使得杨梅的销售较往年增加了一些难度，为了促进销售，某农户决定采取网上和实体店同步销售，请你帮助一起设计兰溪杨梅的销售方案． 素材1 某农户在网上和实体店同时销售兰溪杨梅（以下简称杨梅），成本价为20元/千克． 素材2 杨梅的网上销售价定为30元/千克时，当天网上销售量是100千克，实体店的销售价定为40元/千克时，当天实体店销售量是50千克．一天内实体店的销售价保持不变，网上销售价可按实际情况进行适当调整，需确保网上销售价始终高于成本价． 素材3 据调查，网上销售价每降低1元，当天网上多售出20千克，实体店少售出2千克． 问题解决： (1)任务1：当杨梅网上销售价为25元/千克时，求农户在网上销售杨梅当天的毛利润（毛利润=销售总额-成本）与实体店销售该杨梅当天的毛利润各是多少元？ (2)任务2：杨梅的网上单价每千克降多少元时，农户一天的总毛利润（总毛利润=网上毛利润+实体店毛利润）为2040元？ (3)任务3：你觉得该农户一天的总毛利润能否达到3000元，若能，请求出杨梅的网上单价是每千克多少元？若不能，请说明理由． 【答案】(1)网店毛利润为1000元，实体店毛利润为800元 (2)网店单价每千克降低1元或2元时，总毛利润为2040元 (3)不能，理由： 设网店售价每千克降低元，假设总毛利润能达到3000元， 根据任务2的计算可得： 整理得： 可得： 由根的判别式得方程无解 所以该农户一天的总毛利润不能达到3000元． 【分析】（1）根据毛利润单件毛利润销售数量求解即可； （2）设网店售价每千克降低元，分别求得网店毛利润和实体店毛利润，根据题意列方程，解方程，即可求解． （3）设网店售价每千克降低元，假设总毛利润能达到3000元，根据题意列出方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）当网店售价为25元时，相比初始价30元降低了元． 网店情况：销量（千克） 单件毛利润（元/千克） 网店毛利润（元） 实体店情况：销量（千克） 单件毛利润（元/千克） 实体店毛利润（元） 答：网店毛利润为1000元，实体店毛利润为800元． （2）解：设网店售价每千克降低元， 则网店毛利润； 实体店毛利润 根据题意列方程： 化简可得： ∴ 解得：， 答：网店单价每千克降低1元或2元时，总毛利润为2040元． （3）略 19．在正方形中，点为上一动点，于点，延长交于点，在上取，连接，． (1)如图1，当在上时，若，求的长； (2)如图2，连接，求证：； (3)如图3，连接，若，判断与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)证明：，， ，， ∵在四边形中，， ， ， ， ． (3)解：， 理由：如图3，过点作于点 ，， 为中点，即 ∵四边形是正方形， ，， ， ， ， ， 又， ． 【分析】（1）首先证明垂直平分，得证及是等腰直角三角形，继而得到，，从而得到的值． （2）首先证明，得到，根据四边形内角和，得到，从而证明即可． （3）过点作于点，根据已知条件得出是等腰三角形，再根据等腰三角形三线合一，即点为的中点， 再结合四边形的性质，找出与全等，得出，即可得到与的数量关系． 【详解】（1）解：∵四边形是正方形，为对角线， ，，， ，， 垂直平分， 又， ，， ，， ， 是等腰直角三角形， ， ， ． （2）略 （3）略 20．在平面直角坐标系中，对于给定的两个关于x的函数，任取自变量x的一个值，当时，它们对应的函数值互为相反数；当时，它们对应的函数值相等，则称这样的两个函数互为“相关函数”． (1)①在点，，，中， 在正比例函数的“相关函数”图象上的点是________； ②若一次函数的“相关函数”的图象是轴对称图形，则b的值为________； (2)已知，，，． ①若二次函数的“相关函数”图象与四边形始终有2个公共点，求h的取值范围； ②若二次函数的“相关函数”的图象与线段有2个公共点，直接写出n的取值范围． 【答案】(1)①，；② (2)①；②或． 【分析】（1）①根据“相关函数”的定义，将分段函数表示出来，再将分别代入对应的函数中求出解，找出正确的答案即可； ②“相关函数”的图象是轴对称图形，得到当时，两个函数的值相等，从而求出答案； （2）①根据“相关函数”的定义，将分段函数表示出来，根据当时，，与原函数图像关于轴对称，当时，，与原函数一致，所以要使二次函数的“相关函数”图象要与四边形始终有2个公共点，需的图像与四边形始终有2个公共点，根据图像找出特殊情况的值求解； ②转化为，然后根据“相关函数”的定义将分段函数表示出来，根据图像找出端点位置，根据图像判断的取值范围． 【详解】（1）解：根据题意，当时，，当时，， 在点，中， ∵， ∴当时，， ∴点符合题意； 在点，中， ∵， ∴当时，， ∴点符合题意； 故答案为：，； ②一次函数是关于“相关函数”， ∴当时，，当时，， ∴时，，， ∵“相关函数”的图象是轴对称图形， ∴当时，两个函数的值相等，即， 解得； （2）解：①已知，，，，如图所示， 二次函数的顶点坐标为，对称轴为直线， 当时，，与原函数图像关于轴对称， 当时，，与原函数一致， ∴二次函数的“相关函数”图象要与四边形始终有2个公共点， 需的图像与四边形始终有2个公共点， 结合图形得到，， 令，， 解得，， ∴如图所示，与四边形只有一个交点， 二次函数与四边形始终有2个交点， 则，解得， ∴的取值范围为； ②， 由题意得，当时，， 当时，， 作二次函数与的图像如下图， 情况一：当时的图象与线段有两个交点，时的图象与线段没有交点，如图， ∴， 解得， 情况二：当时的图象与线段有一个交点，时的图象与线段有一个交点，如图， ∴， 解得， 综上所述，的取值范围为或． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $