25.1《一元二次方程的概念》分层作业（基础过关+进阶思维+中考链接）2026-2027学年北师大版数学九年级上册

**基本信息** 本同步练以“基础巩固-思维进阶-中考衔接”分层设计，覆盖一元二次方程定义、系数、根的概念及实际应用，通过梯度化题型培养抽象能力、运算能力与模型意识，适配新授课知识内化与能力提升需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础过关题|定义判断、系数识别、根的验证等单一知识点|以选择填空为主，如判断一元二次方程（题1-3）、化为一般形式（题7-9），强化概念辨析与基础运算| |进阶思维题|参数取值、综合应用、实际情境建模等综合知识点|含解答题（题12-15），如含参数方程类型讨论、矩形花圃面积建模，提升推理能力与模型意识| |中考链接题|中考高频考点（定义、根的应用、实际问题方程）|选用中考真题（题1-10），如商品降价模型（题5）、根的代入求参数（题3），衔接升学测评需求|

人教版九年级上册 第25章 一元二次方程 25.1一元二次方程的概念 本节知识点总结 1. 一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且含有未知数的式子都是整式，未知数的最高次数是2的方程，叫做一元二次方程。 2. 一元二次方程的一般形式：ax² + bx + c = 0（a ≠ 0）。 3. 相关概念： ax² 叫做二次项，a叫做二次项系数； bx 叫做一次项，b叫做一次项系数； c 叫做常数项。 4. 一元二次方程的解（根）：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根。 5. 将方程化为一般形式的步骤：去括号、移项、合并同类项。 6. 根据实际问题列一元二次方程：审清题意，找出等量关系，设未知数，列出方程。 7. 判断一元二次方程的三个条件：①只含一个未知数；②是整式方程；③未知数最高次数为2。 分层作业 📅 一、基础过关题 题型01 判断一元二次方程 1．（2024秋·江苏南京·单元测）下列方程中，是一元二次方程的是（　　） A．x² + 2x + y = 1 B．x² + 1/x - 1 = 0 C．x² = 0 D．(x + 1)(x - 1) = x² 2．（2024-2025九年级上·浙江杭州·期中）下列方程中，属于一元二次方程的有（　　） ① 2x² - 1 = 0 ② ax² + bx + c = 0 ③ (x + 2)(x - 3) = x² - 5 ④ 2x - 1/x = 0 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（2024秋·山东济南·月考）若关于x的方程(m - 1)x² + 2x - 3 = 0是一元二次方程，则m的取值范围是（　　） A．m ≠ 0 B．m ≠ 1 C．m > 1 D．m = 1 题型02 一元二次方程一般形式与各项系数 4．（2024-2025九年级上·湖北武汉·单元测）一元二次方程3x² - 2x - 5 = 0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（　　） A．3，-2，-5 B．3，2，5 C．3，-2，5 D．-3，2，5 5．（2024秋·湖南长沙·期中）将方程2x² = 3x - 1化为一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别为（　　） A．2，3，-1 B．2，3，1 C．2，-3，1 D．2，-3，-1 6．（2024-2025九年级上·河南郑州·月考）一元二次方程x(x - 2) = 3化为一般形式是________，其中二次项系数是________，一次项系数是_______，常数项是_________。 题型03 将方程化为一般形式 7．（2024秋·河北石家庄·期末）将方程(x + 1)² = 2x化为一般形式，正确的是（　　） A．x² + 1 = 0 B．x² + 2x + 1 = 0 C．x² + 1 = 2x D．x² - 2x + 1 = 0 8．（2024-2025九年级上·陕西西安·单元测）方程(x + 2)(x - 3) = x + 1化为一般形式是________。 9．（2024秋·辽宁沈阳·期中）将下列方程化为一般形式，并指出二次项系数、一次项系数和常数项： （1）2x(x - 1) = 3x - 4 （2）(x + 1)² + 2(x + 1) = 3 题型04 一元二次方程的解（根）的概念与验证 10．（2024秋·重庆渝中·月考）下列各数中，是方程x² - 3x + 2 = 0的解的是（　　） A．x = -1 B．x = 1 C．x = -2 D．x = 3 11．（2024-2025九年级上·天津南开·期末）已知x = 2是一元二次方程x² + mx - 6 = 0的一个根，则m的值为（　　） A．-1 B．1 C．-2 D．2 12．（2024秋·四川成都·单元测）若x = -1是方程ax² + bx + c = 0的一个根，则a - b + c = ________。 题型05 根据实际问题列一元二次方程 13．（2024-2025九年级上·安徽合肥·期中）某商品原价为100元，连续两次降价后售价为81元，设平均每次降价的百分率为x，则下列方程正确的是（　　） A．100(1 + x)² = 81 B．100(1 - x)² = 81 C．81(1 + x)² = 100 D．81(1 - x)² = 100 14．（2024秋·福建福州·月考）参加足球联赛的每两队之间都进行两场比赛，共要比赛90场，设共有x个队参加比赛，则下列方程正确的是（　　） A．x(x + 1) = 90 B．x(x - 1) = 90 C．½x(x + 1) = 90 D．½x(x - 1) = 90 15．（2024-2025九年级上·江西南昌·期末）如图，一块长方形铁皮，长20cm，宽15cm，在四个角上各剪去一个边长为x cm的小正方形，然后将四周折起来，做成一个无盖的长方体盒子，若盒子的底面积为150 cm²，则下列方程正确的是（　　） A．(20 - x)(15 - x) = 150 B．(20 - 2x)(15 - 2x) = 150 C．20×15 - 4x² = 150 D．20×15 - 4x² - 2(20 + 15)x = 150 题型06 一元二次方程定义的应用（求参数值） 16．（2024秋·北京海淀·单元测）若关于x的方程(m - 2)x^|m| + 3x - 1 = 0是一元二次方程，则m的值为（　　） A．2 B．-2 C．±2 D．0 17．（2024-2025九年级上·上海浦东·期中）已知方程(m + 1)x² + 2x - 3 = 0是一元二次方程，则m的取值范围是________。 18．（2024秋·广东深圳·月考）若关于x的方程(k - 1)x² + 2x - 1 = 0有一个根是1，求k的值。 二、进阶思维题 （一）选择题 1．（2024-2025九年级上·湖北武汉·期末）下列方程中，一定是一元二次方程的是（　　） A．ax² + bx + c = 0 B．x² + 2x = x² - 1 C．3x² - 2xy - y² = 0 D．(x - 1)(x + 2) = 1 2．（2024秋·湖南长沙·期末）已知关于x的一元二次方程x² + ax + b = 0有一个根是1，则a + b的值为（　　） A．1 B．-1 C．0 D．2 3．（2024-2025九年级上·河南郑州·期末）若n是方程x² + mx + n = 0的一个根（n ≠ 0），则m + n的值为（　　） A．- B．-1 C． D．1 4．（2024秋·河北唐山·期末）某超市一月份的营业额为200万元，三月份的营业额为288万元，如果每月比上月增长的百分率相同，则平均每月的增长率为（　　） A．10% B．15% C．20% D．25% 5．（2024-2025九年级上·陕西西安·期末）已知a是方程x² - 3x + 1 = 0的一个根，则代数式a³ - 2a² - 2a + 1的值为（　　） A．-1 B．0 C．1 D．2 6．（2024秋·辽宁大连·期末）如图，在宽为20m，长为32m的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为540 m²，设道路的宽为x m，则下列方程正确的是（　　） A．(20 - x)(32 - x) = 540 B．20×32 - 32x - 20x = 540 C．(20 - x)(32 - x) + x² = 540 D．20x + 32x = 540 （二）填空题 7．（2024-2025九年级上·重庆沙坪坝·期末）若关于x的方程(m - 3)x^(m²-7) + 2x - 5 = 0是一元二次方程，则m = ________。 8．（2024秋·天津和平·期末）已知x = 2是方程x² - 3x + a = 0的一个根，则a = _______，方程的另一个根是________。 9．（2024-2025九年级上·四川绵阳·期末）将方程(2x + 1)(3x - 2) = 3(x² - 2)化为一般形式后，二次项系数与一次项系数的和为________。 10．（2024秋·山东青岛·期末）一个两位数，十位数字比个位数字大3，十位数字与个位数字的积等于这个两位数的1/4，设个位数字为x，则可列方程为________。 11．（2024-2025九年级上·江苏苏州·期末）已知a、b是方程x² - x - 3 = 0的两个根，则代数式2a³ + b² + 3a² - 11a - b + 5的值为________。 （三）解答题 12．（2024秋·浙江宁波·期末）已知关于x的方程(m - 2)x² + 2x + 1 = 0。 （1）当m为何值时，该方程是一元二次方程？ （2）当m为何值时，该方程是一元一次方程？ （3）当x = -1是方程的一个根时，求m的值。 13．（2024-2025九年级上·广东广州·期末）如图，利用一面墙（墙的长度为20m），用34m长的篱笆围成一个面积为140 m²的矩形花圃ABCD，AB边靠墙，设AB的长为x m。 （1）用含x的代数式表示BC的长； （2）列出关于x的一元二次方程，并化为一般形式。 14．（2024秋·福建福州·期末）已知x = 1是一元二次方程ax² + bx - 40 = 0的一个解，且a ≠ b，求的值。 15．（2024-2025九年级上·北京海淀·期末）某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品，据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500kg；销售单价每涨1元，月销售量就减少10kg。设销售单价为每千克x元（x ≥ 50），月销售利润为8000元。 （1）用含x的代数式表示月销售量； （2）列出关于x的一元二次方程（不必求解）。 三、中考链接题 1．（2024·四川成都·中考）下列方程中，属于一元二次方程的是（　　） A．2x + 3y = 5 B．x² = 2x C．x + 1/x = 3 D．3x - 2 = 0 2．（2024·江苏苏州·中考）若关于x的一元二次方程x² + 2x + k = 0有一个根是0，则k的值为（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 3．（2024·浙江杭州·中考）已知x = 1是方程x² + ax + 2 = 0的一个根，则a的值为（　　） A．-3 B．-2 C．2 D．3 4．（2024·山东济南·中考）将方程x² - 4x - 1 = 0化为(x + m)² = n的形式，其中m、n是常数，则m + n的值为（　　） A．7 B．6 C．5 D．3 5．（2024·湖北武汉·中考）某商品经过连续两次降价，销售单价由原来的100元降到81元，设平均每次降价的百分率为x，根据题意可列方程为（　　） A．100(1 + x)² = 81 B．81(1 + x)² = 100 C．100(1 - x)² = 81 D．81(1 - x)² = 100 6．（2024·陕西·中考）方程x(x - 2) = x的解是（　　） A．x = 0 B．x = 3 C．x₁ = 0，x₂ = 3 D．x₁ = 0，x₂ = 2 7．（2024·重庆·中考）若关于x的一元二次方程(a - 1)x² + x + a² - 1 = 0有一个根是0，则a的值为（　　） A．1 B．-1 C．1或-1 D．1/2 8．（2024·广东·中考）已知关于x的方程x² + 2x + m = 0有两个相等的实数根，则m的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 9．（2024·上海·中考）如果关于x的方程x² - 2x + k = 0（k为常数）有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是________。 10．（2024·北京·中考）已知关于x的一元二次方程x² + px + q = 0有两个实数根1和-3，求p、q的值。 学科网（北京）股份有限公司 $ 人教版九年级上册 第25章 一元二次方程 25.1一元二次方程的概念 本节知识点总结 1. 一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且含有未知数的式子都是整式，未知数的最高次数是2的方程，叫做一元二次方程。 2. 一元二次方程的一般形式：ax² + bx + c = 0（a ≠ 0）。 3. 相关概念： ax² 叫做二次项，a叫做二次项系数； bx 叫做一次项，b叫做一次项系数； c 叫做常数项。 4. 一元二次方程的解（根）：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根。 5. 将方程化为一般形式的步骤：去括号、移项、合并同类项。 6. 根据实际问题列一元二次方程：审清题意，找出等量关系，设未知数，列出方程。 7. 判断一元二次方程的三个条件：①只含一个未知数；②是整式方程；③未知数最高次数为2。 分层作业 📅 一、基础过关题 题型01 判断一元二次方程 1．（2024秋·江苏南京·单元测）下列方程中，是一元二次方程的是（　　） A．x² + 2x + y = 1 B．x² + 1/x - 1 = 0 C．x² = 0 D．(x + 1)(x - 1) = x² 【答案】C 【分析】一元二次方程必须满足三个条件：①只含一个未知数；②是整式方程；③未知数最高次数为2。 【详解】解： A. 含有两个未知数x和y，是二元方程，不是一元二次方程； B. 含有1/x，是分式方程，不是整式方程； C. 只含一个未知数x，是整式方程，最高次数为2，是一元二次方程； D. 化简后为x² - 1 = x²，即-1 = 0，不含二次项，不是一元二次方程。 故选：C。 2．（2024-2025九年级上·浙江杭州·期中）下列方程中，属于一元二次方程的有（　　） ① 2x² - 1 = 0 ② ax² + bx + c = 0 ③ (x + 2)(x - 3) = x² - 5 ④ 2x - 1/x = 0 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】逐一判断，注意a可能为0的情况。 【详解】解： ① 是一元二次方程； ② 不一定，当a = 0时不是一元二次方程； ③ 化简后为x² - x - 6 = x² - 5，即-x - 1 = 0，是一元一次方程； ④ 是分式方程，不是整式方程。 只有①是一元二次方程。 故选：A。 3．（2024秋·山东济南·月考）若关于x的方程(m - 1)x² + 2x - 3 = 0是一元二次方程，则m的取值范围是（　　） A．m ≠ 0 B．m ≠ 1 C．m > 1 D．m = 1 【答案】B 【分析】一元二次方程要求二次项系数不为0。 【详解】解：∵方程是一元二次方程， ∴二次项系数不为0，即m - 1 ≠ 0， ∴m ≠ 1。 故选：B。 题型02 一元二次方程一般形式与各项系数 4．（2024-2025九年级上·湖北武汉·单元测）一元二次方程3x² - 2x - 5 = 0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（　　） A．3，-2，-5 B．3，2，5 C．3，-2，5 D．-3，2，5 【答案】A 【分析】直接从一般形式ax² + bx + c = 0中读取各项系数，注意符号。 【详解】解：在方程3x² - 2x - 5 = 0中， 二次项系数a = 3， 一次项系数b = -2， 常数项c = -5。 故选：A。 5．（2024秋·湖南长沙·期中）将方程2x² = 3x - 1化为一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别为（　　） A．2，3，-1 B．2，3，1 C．2，-3，1 D．2，-3，-1 【答案】C 【分析】移项化为一般形式，注意移项要变号。 【详解】解：2x² = 3x - 1， 移项得：2x² - 3x + 1 = 0， ∴二次项系数为2，一次项系数为-3，常数项为1。 故选：C。 6．（2024-2025九年级上·河南郑州·月考）一元二次方程x(x - 2) = 3化为一般形式是____x² - 2x - 3 = 0____，其中二次项系数是____1____，一次项系数是____-2___，常数项是___-3______。 【答案】x² - 2x - 3 = 0；1；-2；-3 【分析】去括号、移项、合并同类项化为一般形式。 【详解】解：x(x - 2) = 3， 去括号：x² - 2x = 3， 移项：x² - 2x - 3 = 0。 ∴二次项系数是1，一次项系数是-2，常数项是-3。 故答案为：x² - 2x - 3 = 0；1；-2；-3。 题型03 将方程化为一般形式 7．（2024秋·河北石家庄·期末）将方程(x + 1)² = 2x化为一般形式，正确的是（　　） A．x² + 1 = 0 B．x² + 2x + 1 = 0 C．x² + 1 = 2x D．x² - 2x + 1 = 0 【答案】A 【分析】展开完全平方，移项合并同类项。 【详解】解：(x + 1)² = 2x， 展开：x² + 2x + 1 = 2x， 移项：x² + 2x + 1 - 2x = 0， 合并：x² + 1 = 0。 故选：A。 8．（2024-2025九年级上·陕西西安·单元测）方程(x + 2)(x - 3) = x + 1化为一般形式是__x² - 2x - 7 = 0______。 【答案】x² - 2x - 7 = 0 【分析】去括号、移项、合并同类项。 【详解】解：(x + 2)(x - 3) = x + 1， 去括号：x² - 3x + 2x - 6 = x + 1， 整理：x² - x - 6 = x + 1， 移项：x² - x - 6 - x - 1 = 0， 合并：x² - 2x - 7 = 0。 故答案为：x² - 2x - 7 = 0。 9．（2024秋·辽宁沈阳·期中）将下列方程化为一般形式，并指出二次项系数、一次项系数和常数项： （1）2x(x - 1) = 3x - 4 （2）(x + 1)² + 2(x + 1) = 3 【答案】（1）2x² - 5x + 4 = 0，a=2，b=-5，c=4；（2）x² + 4x = 0，a=1，b=4，c=0 【分析】分别去括号、移项、合并同类项。 【详解】解：（1）2x(x - 1) = 3x - 4， 去括号：2x² - 2x = 3x - 4， 移项：2x² - 2x - 3x + 4 = 0， 合并：2x² - 5x + 4 = 0。 二次项系数2，一次项系数-5，常数项4。 （2）(x + 1)² + 2(x + 1) = 3， 展开：x² + 2x + 1 + 2x + 2 = 3， 合并：x² + 4x + 3 = 3， 移项：x² + 4x = 0。 二次项系数1，一次项系数4，常数项0。 题型04 一元二次方程的解（根）的概念与验证 10．（2024秋·重庆渝中·月考）下列各数中，是方程x² - 3x + 2 = 0的解的是（　　） A．x = -1 B．x = 1 C．x = -2 D．x = 3 【答案】B 【分析】将各选项代入方程验证，看左右两边是否相等。 【详解】解： A. 当x = -1时，左边 = (-1)² - 3×(-1) + 2 = 1 + 3 + 2 = 6 ≠ 0，不是解； B. 当x = 1时，左边 = 1² - 3×1 + 2 = 1 - 3 + 2 = 0 = 右边，是解； C. 当x = -2时，左边 = 4 + 6 + 2 = 12 ≠ 0，不是解； D. 当x = 3时，左边 = 9 - 9 + 2 = 2 ≠ 0，不是解。 故选：B。 11．（2024-2025九年级上·天津南开·期末）已知x = 2是一元二次方程x² + mx - 6 = 0的一个根，则m的值为（　　） A．-1 B．1 C．-2 D．2 【答案】B 【分析】将x = 2代入方程，解关于m的一元一次方程。 【详解】解：∵x = 2是方程x² + mx - 6 = 0的一个根， ∴将x = 2代入方程得：2² + 2m - 6 = 0， 即4 + 2m - 6 = 0， 2m - 2 = 0， 2m = 2， m = 1。 故选：B。 12．（2024秋·四川成都·单元测）若x = -1是方程ax² + bx + c = 0的一个根，则a - b + c = ________。 【答案】0 【分析】将x = -1代入方程即可。 【详解】解：∵x = -1是方程ax² + bx + c = 0的根， ∴a×(-1)² + b×(-1) + c = 0， 即a - b + c = 0。 故答案为：0。 题型05 根据实际问题列一元二次方程 13．（2024-2025九年级上·安徽合肥·期中）某商品原价为100元，连续两次降价后售价为81元，设平均每次降价的百分率为x，则下列方程正确的是（　　） A．100(1 + x)² = 81 B．100(1 - x)² = 81 C．81(1 + x)² = 100 D．81(1 - x)² = 100 【答案】B 【分析】连续两次降价，每次降价百分率为x，则第一次降价后为100(1-x)，第二次降价后为100(1-x)²。 【详解】解：原价100元，第一次降价后价格为100(1 - x)， 第二次降价是在第一次降价后的基础上再降， 所以第二次降价后价格为100(1 - x)(1 - x) = 100(1 - x)²， 根据题意：100(1 - x)² = 81。 故选：B。 14．（2024秋·福建福州·月考）参加足球联赛的每两队之间都进行两场比赛，共要比赛90场，设共有x个队参加比赛，则下列方程正确的是（　　） A．x(x + 1) = 90 B．x(x - 1) = 90 C．½x(x + 1) = 90 D．½x(x - 1) = 90 【答案】B 【分析】每两队之间进行两场比赛，即主客场各一场，所以是x(x-1)场。 【详解】解：共有x个队，每个队要与其他(x-1)个队各赛两场， 所以总共比赛场数为x(x - 1)场， 根据题意：x(x - 1) = 90。 （注意：如果每两队之间只赛一场，则是½x(x-1)场） 故选：B。 15．（2024-2025九年级上·江西南昌·期末）如图，一块长方形铁皮，长20cm，宽15cm，在四个角上各剪去一个边长为x cm的小正方形，然后将四周折起来，做成一个无盖的长方体盒子，若盒子的底面积为150 cm²，则下列方程正确的是（　　） A．(20 - x)(15 - x) = 150 B．(20 - 2x)(15 - 2x) = 150 C．20×15 - 4x² = 150 D．20×15 - 4x² - 2(20 + 15)x = 150 【答案】B 【分析】四个角各剪去一个边长为x的正方形，折起来后底面的长为20-2x，宽为15-2x。 【详解】解：四个角各剪去边长为x的正方形， 折起来后，盒子底面的长 = 20 - 2x， 盒子底面的宽 = 15 - 2x， 底面积 = 长 × 宽 = (20 - 2x)(15 - 2x)， 根据题意：(20 - 2x)(15 - 2x) = 150。 故选：B。 题型06 一元二次方程定义的应用（求参数值） 16．（2024秋·北京海淀·单元测）若关于x的方程(m - 2)x^|m| + 3x - 1 = 0是一元二次方程，则m的值为（　　） A．2 B．-2 C．±2 D．0 【答案】B 【分析】一元二次方程要求：最高次数为2，且二次项系数不为0。 【详解】解：∵方程是一元二次方程， ∴|m| = 2，且m - 2 ≠ 0， 由|m| = 2得m = ±2， 由m - 2 ≠ 0得m ≠ 2， ∴m = -2。 故选：B。 17．（2024-2025九年级上·上海浦东·期中）已知方程(m + 1)x² + 2x - 3 = 0是一元二次方程，则m的取值范围是___m ≠ -1_____。 【答案】m ≠ -1 【分析】二次项系数不为0。 【详解】解：∵方程是一元二次方程， ∴二次项系数不为0， 即m + 1 ≠ 0， ∴m ≠ -1。 故答案为：m ≠ -1。 18．（2024秋·广东深圳·月考）若关于x的方程(k - 1)x² + 2x - 1 = 0有一个根是1，求k的值。 【答案】k = 0 【分析】将x = 1代入方程求解k。 【详解】解：∵x = 1是方程的一个根， ∴将x = 1代入方程得： (k - 1)×1² + 2×1 - 1 = 0， 即k - 1 + 2 - 1 = 0， k = 0。 ∴k的值为0。 二、进阶思维题 （一）选择题 1．（2024-2025九年级上·湖北武汉·期末）下列方程中，一定是一元二次方程的是（　　） A．ax² + bx + c = 0 B．x² + 2x = x² - 1 C．3x² - 2xy - y² = 0 D．(x - 1)(x + 2) = 1 【答案】D 【分析】逐一判断，注意a可能为0、化简后是否含二次项、是否只含一个未知数。 【详解】解： A. 不一定，当a = 0时不是一元二次方程； B. 化简后为2x = -1，是一元一次方程； C. 含有两个未知数x和y，是二元方程； D. 展开得x² + x - 2 = 1，即x² + x - 3 = 0，是一元二次方程。 故选：D。 2．（2024秋·湖南长沙·期末）已知关于x的一元二次方程x² + ax + b = 0有一个根是1，则a + b的值为（　　） A．1 B．-1 C．0 D．2 【答案】B 【分析】将x = 1代入方程，直接得到a + b的值。 【详解】解：∵x = 1是方程x² + ax + b = 0的根， ∴1 + a + b = 0， ∴a + b = -1。 故选：B。 3．（2024-2025九年级上·河南郑州·期末）若n是方程x² + mx + n = 0的一个根（n ≠ 0），则m + n的值为（　　） A．- B．-1 C． D．1 【答案】B 【分析】将x = n代入方程，两边除以n（n ≠ 0）。 【详解】解：∵n是方程x² + mx + n = 0的根， ∴n² + mn + n = 0， ∵n ≠ 0，两边除以n得： n + m + 1 = 0， ∴m + n = -1。 故选：B。 4．（2024秋·河北唐山·期末）某超市一月份的营业额为200万元，三月份的营业额为288万元，如果每月比上月增长的百分率相同，则平均每月的增长率为（　　） A．10% B．15% C．20% D．25% 【答案】C 【分析】设增长率为x，列方程200(1+x)² = 288求解。 【详解】解：设平均每月的增长率为x， 根据题意：200(1 + x)² = 288， (1 + x)² = 1.44， 1 + x = ±1.2， x = 0.2 = 20% 或 x = -2.2（舍去）。 故选：C。 5．（2024-2025九年级上·陕西西安·期末）已知a是方程x² - 3x + 1 = 0的一个根，则代数式a³ - 2a² - 2a + 1的值为（　　） A．-1 B．0 C．1 D．2 【答案】B 【分析】由a² - 3a + 1 = 0得a² = 3a - 1，代入降次。 【详解】解：∵a是方程x² - 3x + 1 = 0的根， ∴a² - 3a + 1 = 0，即a² = 3a - 1， a³ = a·a² = a(3a - 1) = 3a² - a = 3(3a - 1) - a = 8a - 3， ∴a³ - 2a² - 2a + 1 = (8a - 3) - 2(3a - 1) - 2a + 1 = 8a - 3 - 6a + 2 - 2a + 1 = 0。 故选：B。 6．（2024秋·辽宁大连·期末）如图，在宽为20m，长为32m的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为540 m²，设道路的宽为x m，则下列方程正确的是（　　） A．(20 - x)(32 - x) = 540 B．20×32 - 32x - 20x = 540 C．(20 - x)(32 - x) + x² = 540 D．20x + 32x = 540 【答案】A 【分析】将道路平移到边缘，草坪变成一个长(32-x)、宽(20-x)的矩形。 【详解】解：利用平移法，将道路移到边缘， 草坪部分拼成一个长为(32 - x)m、宽为(20 - x)m的矩形， ∴草坪面积 = (20 - x)(32 - x) = 540。 故选：A。 （二）填空题 7．（2024-2025九年级上·重庆沙坪坝·期末）若关于x的方程(m - 3)x^(m²-7) + 2x - 5 = 0是一元二次方程，则m = ____-3____。 【答案】-3 【分析】最高次数为2且二次项系数不为0。 【详解】解：由题意得： m² - 7 = 2，且m - 3 ≠ 0， m² = 9，m = ±3， 又m ≠ 3，∴m = -3。 故答案为：-3。 8．（2024秋·天津和平·期末）已知x = 2是方程x² - 3x + a = 0的一个根，则a = _____2___，方程的另一个根是___1_____。 【答案】2；1 【分析】先代入求a，再解方程求另一个根。 【详解】解：∵x = 2是方程的根， ∴4 - 6 + a = 0，a = 2， 方程为x² - 3x + 2 = 0， 因式分解：(x - 1)(x - 2) = 0， ∴另一个根为x = 1。 故答案为：2；1。 9．（2024-2025九年级上·四川绵阳·期末）将方程(2x + 1)(3x - 2) = 3(x² - 2)化为一般形式后，二次项系数与一次项系数的和为___-1_____。 【答案】-1 【分析】先化为一般形式，再求系数和。 【详解】解：(2x + 1)(3x - 2) = 3(x² - 2)， 左边：6x² - 4x + 3x - 2 = 6x² - x - 2， 右边：3x² - 6， 移项：6x² - x - 2 - 3x² + 6 = 0， 合并：3x² - x + 4 = 0， 二次项系数3，一次项系数-1， 和为3 + (-1) = 2。 （修正：3 + (-1) = 2） 故答案为：2。 10．（2024秋·山东青岛·期末）一个两位数，十位数字比个位数字大3，十位数字与个位数字的积等于这个两位数的1/4，设个位数字为x，则可列方程为___x(x + 3) = [10(x + 3) + x]_____。 【答案】x(x + 3) = [10(x + 3) + x] 【分析】个位数字为x，十位数字为x+3，两位数为10(x+3)+x。 【详解】解：个位数字为x，则十位数字为x + 3， 两位数 = 10(x + 3) + x = 11x + 30， 十位数字与个位数字的积 = x(x + 3)， 根据题意：x(x + 3) = (11x + 30)。 故答案为：x(x + 3) = [10(x + 3) + x]。 11．（2024-2025九年级上·江苏苏州·期末）已知a、b是方程x² - x - 3 = 0的两个根，则代数式2a³ + b² + 3a² - 11a - b + 5的值为___23_____。 【答案】23 【分析】利用a² = a + 3，b² = b + 3降次。 【详解】解：∵a、b是方程x² - x - 3 = 0的根， ∴a² = a + 3，b² = b + 3， a³ = a·a² = a(a + 3) = a² + 3a = (a + 3) + 3a = 4a + 3， ∴2a³ + b² + 3a² - 11a - b + 5 = 2(4a + 3) + (b + 3) + 3(a + 3) - 11a - b + 5 = 8a + 6 + b + 3 + 3a + 9 - 11a - b + 5 = 23。 故答案为：23。 （三）解答题 12．（2024秋·浙江宁波·期末）已知关于x的方程(m - 2)x² + 2x + 1 = 0。 （1）当m为何值时，该方程是一元二次方程？ （2）当m为何值时，该方程是一元一次方程？ （3）当x = -1是方程的一个根时，求m的值。 【答案】（1）m ≠ 2；（2）m = 2；（3）m = 1 【分析】根据一元二次方程和一元一次方程的定义求解。 【详解】解：（1）当方程是一元二次方程时， 二次项系数不为0，即m - 2 ≠ 0， ∴m ≠ 2。 （2）当方程是一元一次方程时， 二次项系数为0，且一次项系数不为0， 即m - 2 = 0，且2 ≠ 0， ∴m = 2。 （3）∵x = -1是方程的根， ∴(m - 2)×(-1)² + 2×(-1) + 1 = 0， 即m - 2 - 2 + 1 = 0， m - 3 = 0， ∴m = 3。 13．（2024-2025九年级上·广东广州·期末）如图，利用一面墙（墙的长度为20m），用34m长的篱笆围成一个面积为140 m²的矩形花圃ABCD，AB边靠墙，设AB的长为x m。 （1）用含x的代数式表示BC的长； （2）列出关于x的一元二次方程，并化为一般形式。 【答案】（1）AB = 34 - 2x；（2）x² - 17x + 70 = 0 【分析】AB靠墙，所以篱笆只围三边：AB + 2BC = 34。 【详解】解：（1）∵AB = x m，篱笆总长34m， ∴BC = 34 - 2x (m)。 （2）矩形面积 = AB × BC = 140， 即x(34 - 2x) = 140， 34x - 2x² = 140， 移项整理：2x² - 34x + 140 = 0， 两边除以2：x² - 17x + 70 = 0。 14．（2024秋·福建福州·期末）已知x = 1是一元二次方程ax² + bx - 40 = 0的一个解，且a ≠ b，求的值。 【答案】20 【分析】先由x=1得a+b=40，再化简所求代数式。 【详解】解：∵x = 1是方程ax² + bx - 40 = 0的解， ∴a + b - 40 = 0，即a + b = 40。 = = ， ∵a ≠ b，∴a - b ≠ 0，可以约分， ∴原式 = = = 20。 15．（2024-2025九年级上·北京海淀·期末）某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品，据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500kg；销售单价每涨1元，月销售量就减少10kg。设销售单价为每千克x元（x ≥ 50），月销售利润为8000元。 （1）用含x的代数式表示月销售量； （2）列出关于x的一元二次方程（不必求解）。 【答案】（1）500 - 10(x - 50) = 1000 - 10x；（2）(x - 40)(1000 - 10x) = 8000 【分析】每涨1元销量减10kg，涨了(x-50)元，销量减少10(x-50)kg。 【详解】解：（1）销售单价为x元，比50元涨了(x - 50)元， 月销售量减少10(x - 50) kg， ∴月销售量 = 500 - 10(x - 50) = 500 - 10x + 500 = 1000 - 10x (kg)。 （2）每千克利润 = (x - 40)元， 月销售利润 = 每千克利润 × 月销售量， 即(x - 40)(1000 - 10x) = 8000。 三、中考链接题 1．（2024·四川成都·中考）下列方程中，属于一元二次方程的是（　　） A．2x + 3y = 5 B．x² = 2x C．x + 1/x = 3 D．3x - 2 = 0 【答案】B 【分析】根据一元二次方程的定义判断。 【详解】解： A. 是二元一次方程； B. 是一元二次方程； C. 是分式方程； D. 是一元一次方程。 故选：B。 2．（2024·江苏苏州·中考）若关于x的一元二次方程x² + 2x + k = 0有一个根是0，则k的值为（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】将x = 0代入方程即可。 【详解】解：∵x = 0是方程x² + 2x + k = 0的根， ∴0 + 0 + k = 0， ∴k = 0。 故选：A。 3．（2024·浙江杭州·中考）已知x = 1是方程x² + ax + 2 = 0的一个根，则a的值为（　　） A．-3 B．-2 C．2 D．3 【答案】A 【分析】将x = 1代入方程求解。 【详解】解：∵x = 1是方程的根， ∴1 + a + 2 = 0， a = -3。 故选：A。 4．（2024·山东济南·中考）将方程x² - 4x - 1 = 0化为(x + m)² = n的形式，其中m、n是常数，则m + n的值为（　　） A．7 B．6 C．5 D．3 【答案】A 【分析】配方法：x² - 4x = 1，x² - 4x + 4 = 5，(x-2)² = 5。 【详解】解：x² - 4x - 1 = 0， x² - 4x = 1， x² - 4x + 4 = 1 + 4， (x - 2)² = 5， ∴m = -2，n = 5， m + n = -2 + 5 = 3。 故选：D。 5．（2024·湖北武汉·中考）某商品经过连续两次降价，销售单价由原来的100元降到81元，设平均每次降价的百分率为x，根据题意可列方程为（　　） A．100(1 + x)² = 81 B．81(1 + x)² = 100 C．100(1 - x)² = 81 D．81(1 - x)² = 100 【答案】C 【分析】连续两次降价，每次降价百分率为x。 【详解】解：原价100元，第一次降价后为100(1 - x)， 第二次降价后为100(1 - x)²， ∴100(1 - x)² = 81。 故选：C。 6．（2024·陕西·中考）方程x(x - 2) = x的解是（　　） A．x = 0 B．x = 3 C．x₁ = 0，x₂ = 3 D．x₁ = 0，x₂ = 2 【答案】C 【分析】移项因式分解求解。 【详解】解：x(x - 2) = x， x(x - 2) - x = 0， x(x - 2 - 1) = 0， x(x - 3) = 0， ∴x₁ = 0，x₂ = 3。 故选：C。 7．（2024·重庆·中考）若关于x的一元二次方程(a - 1)x² + x + a² - 1 = 0有一个根是0，则a的值为（　　） A．1 B．-1 C．1或-1 D．1/2 【答案】B 【分析】将x=0代入得a²-1=0，a=±1，但二次项系数a-1≠0，所以a=-1。 【详解】解：∵x = 0是方程的根， ∴a² - 1 = 0，a = ±1， 又∵方程是一元二次方程， ∴a - 1 ≠ 0，即a ≠ 1， ∴a = -1。 故选：B。 8．（2024·广东·中考）已知关于x的方程x² + 2x + m = 0有两个相等的实数根，则m的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】有两个相等的实数根，判别式Δ = 0。 【详解】解：∵方程有两个相等的实数根， ∴Δ = b² - 4ac = 2² - 4×1×m = 0， 4 - 4m = 0， m = 1。 故选：A。 9．（2024·上海·中考）如果关于x的方程x² - 2x + k = 0（k为常数）有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是____k < 1____。 【答案】k < 1 【分析】有两个不相等的实数根，判别式Δ > 0。 【详解】解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴Δ = (-2)² - 4×1×k > 0， 4 - 4k > 0， 4k < 4， k < 1。 故答案为：k < 1。 10．（2024·北京·中考）已知关于x的一元二次方程x² + px + q = 0有两个实数根1和-3，求p、q的值。 【答案】p = 2，q = -3 【分析】将两个根分别代入方程，解方程组。 【详解】解：∵1和-3是方程的两个根， 将x = 1代入：1 + p + q = 0， 将x = -3代入：9 - 3p + q = 0， 联立方程组： p + q = -1 ① -3p + q = -9 ② ① - ②：4p = 8，p = 2， 代入①：2 + q = -1，q = -3。 ∴p = 2，q = -3。 学科网（北京）股份有限公司 $