12.3.1 等腰三角形的性质 课件 2026-2027学年华东师大版八年级数学上册

该初中数学课件聚焦等腰三角形的性质，涵盖定义、“等边对等角”“三线合一”及等边三角形性质。通过折叠长方形纸片引入定义，对折等腰三角形纸片探究性质，承接全等三角形知识，以活动操作和问题引导为支架构建学习脉络。 其亮点在于融合动手操作与问题驱动，如剪纸折叠活动发展几何直观（数学眼光），严谨证明“等边对等角”及“三线合一”培养推理能力（数学思维），规范几何语言表述强化模型意识（数学语言）。典例与练习结合助学生理解应用，为教师提供系统教学资源，提升教学效率。

第十二章 全等三角形 12.3 等腰三角形 1.等腰三角形的性质 数学华东师大版八年级上册 学习目标 1.理解并掌握等腰三角形的性质.(重点) 2.经历等腰三角形的探究过程，能初步运用等腰三角形的性质解决有关问题.(难点) 观察下列图形，哪些位置的图形是等腰三角形的形状？ 都是等腰三角形 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形. 等腰三角形中，相等的两边叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角. A C B 腰 腰 底边 顶角 底角 底角 等腰三角形的定义与性质 1 如图，AB＝AC， △ABC 是等腰三角形. 活动一：等腰三角形的相关概念 操作：如图，把一张长方形纸片按图中的虚线对折，并剪去红线下方的部分，再把它展开，得到△ABC. A C D B AC和AB有什么关系? AC=AB 有两边相等的三角形是等腰三角形 活动一：等腰三角形的相关概念 底角 底角 A C B 腰 腰 底边 顶角 等腰三角形中， 相等的两边都叫做腰， 如图，在△ABC中，AB=AC，则△ABC为等腰三角形. 另一边叫做底边， 两腰对应的角叫做底角， 底边对应的角叫做顶角. 剪一张等腰三角形的半透明纸片，每人所剪的等腰三角形的大小和形状可以不一样，如图，把纸片对折，让两腰 AB、AC 重叠在一起，折痕为 AD. 你能发现什么现象吗？ D A B C 做一做 做一做：剪一张等腰三角形的半透明纸片，每人所剪的等腰三角形的大小和形状可以不一样，如图，把纸片对折，让两腰AB、AC重叠在一起，折痕为AD.你能发现什么现象吗？ 活动二：等腰三角形的性质 A B C D 折叠的两部分重合 即△ABD和△ACD重合 1.等腰三角形是轴对称图形. 我们可以得出结论： A C B D 折痕 AD 所在直线是等腰三角形的对称轴. 你还有新的发现吗？ ∠B，∠C 是等腰三角形的 . 底角 所以我们可以描述为: 等腰三角形的两个底角相等. 2. ∠B ＝∠C 探究归纳 等腰三角形的性质：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）. 已知：如图，△ABC 中，AB = AC，求证：∠B =∠C . 分析：由上述操作可以得到启发，即添加等腰三角形的顶角平分线 AD，然后证明△ABD ≌ △ACD. 证明：作顶角∠BAC 的平分线 AD. 在△ABD 与△ACD 中， ∵AB＝AC，∠1＝∠2， AD＝AD， ∴ △ABD≌△ACD（SAS）， ∴ ∠B＝∠C. A B C D ( ( 1 2 知识要点 活动二：等腰三角形的性质 将上述情况转为几何语言 已知：如图，在△ABC中，AB=AC，求证：∠B=∠C. A C B D 1 2 注意： ①在进行某些定理/性质的证明时，往往首先将文字语言转为几何语言； ②在证明过程中，为了需要，在原来的图形上添加的线叫做辅助线，辅助线通常作成虚线. 例如，上述证明中所添加的顶角平分线AD. 我们得到等腰三角形的性质： ①等腰三角形是轴对称图形，有一条对称轴； ②等腰三角形的两个底角相等，简写成“等边对等角”. 总结 活动二：等腰三角形的性质 几何语言： 在△ABC中，AB=AC， ∴∠B=∠C. A C B 例1 已知：在△ABC 中，AB = AC，∠B = 80°， 求∠C 和∠A 的大小. 解： 典例精析 想一想： 刚才的证明除了能得到∠B＝∠C ，你还能发现什么? 重合的线段 重合的角 　 A B D C AB＝AC BD＝CD AD＝AD ∠B＝∠C ∠BAD＝∠CAD ∠ADB＝∠ADC＝90° 性质 等腰三角形底边上的高、中线及顶角的平分线重合. 简写成“等腰三角形的三线合一”. 活动二：等腰三角形的性质 探索：由前面的“做一做”，你还可以发现什么结论? AD既是底边上的中线，又是顶角的平分线和底边上的高. BD=CD ∠ADB=∠ADC=90° A C B D 1 2 如何证明上述结论呢？ 中线 高线 角平分线 ∠1=∠2 活动二：等腰三角形的性质 A C B D 1 2 如图， △ABC是等腰三角形，AB=AC，作顶角∠BAC的平分线AD，与BC交于点D，求证：BD=DC，AD⊥BC. AD为顶角平分线 AD为底边中线 AD为底边高线 例2 在△ABC 中 ，AB = AC，D 是 BC 边上的中点，∠B = 30°. 求：（1）∠ADC 的大小；（2）∠1 的大小. A D C 1 2 B (2)∵∠1 +∠B +∠ADB = 180° ，∠B = 30° ， ∴∠1 = 180° - ∠B - ∠ADB = 180° - 30° - 90° = 60°. ∴AD⊥BC. ∴∠ADC =∠ADB = 90°. 解：(1) ∵AB = AC，BD = DC， 典例精析 在△APQ 和∠BPQ 中， ∵AP = BP，AQ = BQ，PQ = PQ， ∴△APQ≌△BPQ(SSS). ∴∠APQ =∠BPQ(全等三角形的对应角相等). 又∵AP = BP， ∴ AO = BO 且 PQ⊥AB (等腰三角形的三线合一). 因此直线 PQ 是已知线段 AB 的垂直平分线. 例3 按如图所示的尺规作图的作法，证明直线PQ 是已知线段 AB 的垂直平分线. 证明：如图，设 AB 与 PQ 相交于点 O，连结 PA、PB、QA、QB. P Q A B O 我们得到等腰三角形的“三线合一”的性质： 等腰三角形底边上的高、中线及顶角的平分线，互相重合. 简写成“三线合一”. 总结 活动二：等腰三角形的性质 总结 活动二：等腰三角形的性质 几何语言：在△ABC中， AB=AC， (1) ∵AD是底边上的高， ∴∠___= ∠__，____= ____. (2) ∵AD是中线， ∴____⊥____ ，∠__ =∠__. (3) ∵AD是角平分线， ∴____ ⊥____ ，_____ =_____. 1 2 2 BD CD AD BC BD 1 BC AD CD A C B D 1 2 等腰三角形三线合一 三条边都相等的三角形是等边三角形，它也是轴对称图形，那么等边三角形的每个角的度数是多少呢？它有几条对称轴？ 因为等边三角形是特殊的等腰三角形，由等腰三角形等边对等角的性质得到，∠B＝ ∠ C， 同理可得 ∠A＝∠B 所以 ∠A＝∠B＝∠C， 又由 ∠A＋∠B＋∠C＝180°， 从而推出 ∠A＝∠B＝∠C＝60°. A C B 等边三角形的性质 2 也就是说：等边三角形的各个角都相等，并且每一个角都等于 60°. 等边三角形的三条边都相等，三个角都相等，也称为正三角形. 三条对称轴 A C B 总结 等腰三角形的有关性质： 等腰三角形是轴对称图形； 等腰三角形顶角的平分线和底边上的中线、高重合，这条线所在直线也是对称轴； 等腰三角形的底角相等. 有一条对称轴 三线合一 等边对等角 活动二：等腰三角形的性质 活动三：等边三角形的性质 思考：若等腰三角形的底边和腰相等，那这样的三角形是怎样的呢? 等腰三角形中，若底边与腰相等，这时三角形三边都相等. 三条边都相等的三角形叫做等边三角形(equilateral). B A C A B C D 例4 如图，在△ABC 中，AB = AC，点 D 在 AC 上，且 BD = BC = AD，求 △ABC 各角的度数. 分析：(1) 找出图中所有的相等角； (2) 图中有哪些等腰三角形； ∠A =∠ABD， ∠C =∠BDC =∠ABC. △ABC， △ABD， △BCD. 典例精析 A B C D x ⌒ 2x ⌒ 2x ⌒ ⌒ 2x (3) 观察∠BDC 与∠A、∠ABD 的关系，∠ABC、∠C 呢? ∠BDC = ∠A +∠ABD = 2∠A = 2∠ABD， ∠ABC =∠BDC = 2∠A， ∠C =∠BDC = 2∠A. (4) 设∠A = x°，请把△ABC 的内角和用含 x 的式子表示出来. ∵∠A +∠ABC +∠C = 180°， ∴ x + 2x + 2x = 180°. 活动三：等边三角形的性质 思考：(1)等边三角形是轴对称图形吗？如果是，它有几条对称轴？ B A C 等边三角形是轴对称图形，它有3条对称轴. 由AB=AC，根据“等边对等角”，可以得到∠B=∠C， 同理可得∠A＝∠B，所以∠A＝∠B＝∠C， 又由∠A＋∠B＋∠C＝180°， 从而推出∠A＝∠B＝∠C＝60°. 活动三：等边三角形的性质 思考：(2)在等边三角形中，每个角的度数是多少呢？ 也就是说：等边三角形的各个角都相等，并且每一个角都等于60°. B A C 等边三角形的三条边都相等，三个角都相等，也称为正三角形. 方法总结：利用等腰三角形的性质和三角形外角的性质可以得到角与角之间的关系，当这种等量关系或和差关系较多时，可考虑列方程解答，设未知数时，一般设较小的角的度数为 x. 方法总结 教材 练习 1.填空： (1)等腰三角形一个底角为50°，那么其余两个角的度数分别为 和______； (2)如果等腰三角形的顶角为70°，那么它的一个底角的度数为_____. 2.如图，点E在BC上，AE∥DC，AB =AE.求证：∠B=∠C. 50° 55° 80° 证明：∵AB =AE，∴∠B=∠AEB， ∵AE∥DC，∴∠AEB=∠C， ∴∠B=∠C. 3. 如图，直线a∥b，直线l与直线a、b分别相交于点A、B，点C在 直线b上，且CA＝CB. 若∠1＝32°，则∠2的度数为（　C　） A. 32° B. 58° C. 74° D. 75° 第3题 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 4.如图，AB=AC，∠B=40°，点D在BC上，且∠DAC=50°. 求证：BD=CD. A B C D 40° 50° 证明：∵AB=AC，∠B=40°， ∴∠C=∠B=40°， ∴∠BAC=180°-∠B-∠C=100°， 又∵∠DAC=50°，∴∠BAD=50°=∠DAC. 即：AD是等腰三角形ABC的角平分线， ∴BD=CD. 教材 练习 5. ★如图，在等边三角形ABC中，AB＝5，点D在AB上，且BD＝1， E、F分别是BC、AC上的点，连结DE、EF. 如果∠DEF＝60°， DE＝EF，那么BE的长是（　C　） A. 3 B. 3.5 C. 4 D. 4.5 第5题 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 6.如图，AB=AC=AD．如果AD∥BC，那么∠C和∠D有怎样的数量关系？证明你的结论． 解：∠C=2∠D 证明：∵AB=AD，∴∠D=∠ABD， ∵AD∥BC，∴∠DBC=∠D ∴∠ABC=∠ABD+∠DBC=2∠D. 又∵AB=AC，∴∠C=∠ABC， ∴∠C=2∠D. A B C D 等腰三角形的性质 等边对等角 等边三角形 注意是指同一个三角形中 注意是指顶角的平分线、底边上的高和中线才有这一性质.而腰上高、中线和底角的平分线不具有这一性质. 三线合一 有三条对称轴，每个内角等于 60°. $