12.3.1 等腰三角形的性质 课件 2026-2027学年华东师大版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦等腰三角形的性质，涵盖“等边对等角”“三线合一”及等边三角形性质。通过情境提问图形共同点、折叠纸片实验导入，衔接三角形基础与全等三角形知识，为后续几何学习搭建支架。 其亮点是注重动手探究与逻辑推理，折叠实验让学生直观感知轴对称性与底角相等，培养几何直观；规范“三线合一”证明过程发展推理能力，符号语言表达性质提升数学语言能力。分层练习与系统小结助学生深化理解，教师可高效开展教学。

华东师大版数学8年级上册精做课件 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026年7月16日 12.3.1 等腰三角形的性质 第十二章 全等三角形 华东师大版八上12.3.1 等腰三角形的性质同步练习题 一、选择题（每题 4 分，共 20 分） 1. 等腰三角形的两个底角相等，这个性质简称为（） A. 等边对等角 B. 等角对等边 C. 三线合一 D. 对角相等 2. 等腰三角形的顶角为80°，则它的一个底角度数为（） A. 20° B. 50° C. 80° D. 100° 3. 下列关于等腰三角形“三线合一”的说法正确的是（） A. 等腰三角形的三条高互相重合 B. 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合 C. 等腰三角形的三个角平分线互相重合 D. 等腰三角形任意边上的高、中线、角平分线重合 4. 已知等腰三角形的一个内角为40°，则该等腰三角形的另两个内角为（） A. 70°、70° B. 40°、100° C. 70°、70°或40°、100° D. 无法确定 5. 等腰三角形的对称轴有（） A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 无数条 二、填空题（每题 4 分，共 24 分） 1. 有两条边相等的三角形叫做________三角形。 2. 等腰三角形的性质：等边对________。 3. 等腰三角形的________、________、________相互重合，简称“三线合一”。 4. 等腰三角形的底角一定是________角（填“锐”“直”或“钝”）。 5. 若等腰三角形顶角为100°，则底角为________°。 6. 等腰三角形是________图形，它的对称轴是顶角平分线（底边上的中线、底边上的高）所在直线。 三、解答题（每题 9 分，共 36 分） 1. 求下列等腰三角形的内角度数： （1）顶角为50°，求两个底角； （2）一个底角为65°，求顶角。 2. 已知：在△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC。求证：AD⊥BC，BD=CD。 3. 已知等腰三角形的一个内角为90°，求其余两个内角的度数，并说明三角形形状。 4. 辨析说理：等腰三角形的“三线合一”可以用于任意边和任意角吗？为什么？ 四、综合应用题（共 20 分） 1. 已知：如图，AB=AC，BD=BC，∠A=40°，求∠DBC的度数。（10 分） 2. 已知：在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D，若BC=8cm，求BD、CD的长度。（10 分） 参考答案 一、选择题 1.A 2.B 3.B 4.C 5.A 二、填空题 1. 等腰 2. 等角 3. 顶角平分线；底边上的中线；底边上的高 4. 锐 5. 40 6. 轴对称 三、解答题 1. 解： （1）底角=(180°−50°)÷2=65°，两个底角均为65°； （2）顶角=180°−65°×2=50°。 2. 证明： ∵ AB=AC，AD平分∠BAC ∴ AD是等腰△ABC顶角平分线 根据等腰三角形“三线合一”性质 ∴ AD⊥BC，BD=CD。 3. 解： ∵ 等腰三角形有一个内角为90°，该角只能为顶角（底角不能为直角） ∴ 剩余两个底角=(180°−90°)÷2=45° 其余两个内角均为45°，该三角形为等腰直角三角形。 4. 解：不可以。 “三线合一”是等腰三角形顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合， 仅针对顶角和底边，腰上的中线、高、底角平分线不重合，不能混用。 四、综合应用题 1. 解： ∵ AB=AC，∠A=40° ∴ ∠ABC=∠ACB=(180°−40°)÷2=70° ∵ BD=BC ∴ ∠BDC=∠ACB=70° ∴ ∠DBC=180°−70°−70°=40° 答：∠DBC=40°。 2. 解： ∵ AB=AC，AD⊥BC 由等腰三角形“三线合一”可知，AD是BC边上的中线 ∴ BD=CD=$$\dfrac{1}{2}$$BC ∵ BC=8cm ∴ BD=CD=4cm 答：BD、CD长度均为4cm。 知识点拓展讲解（约400字） 等腰三角形的性质是几何图形章节的核心重点，承接三角形基础、全等三角形证明，是后续等边三角形、几何综合计算与证明的基础。本节两大核心性质：一是等边对等角，等腰三角形的两条腰相等，对应的两个底角相等，是角度计算的核心依据；二是三线合一，也是本节重难点、高频考点。 三线合一精准定义：只有等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线三条线段互相重合，仅限顶角与底边，腰上的三线不重合，这是最易扣分的易错点。同时等腰三角形是轴对称图形，仅有一条对称轴，为底边的中垂线（顶角平分线所在直线）。 本节高频题型：角度分类讨论计算（已知一个角求另外两角，需区分顶角、底角两种情况）、利用三线合一求线段长度、垂直证明、线段相等证明。核心易错点：忽略等腰三角形角度分类讨论、乱用三线合一（误用在腰和底角上）、默认底角可以为钝角或直角。 熟练掌握本节性质，可快速解决等腰三角形边角计算与基础证明，衔接后续等边三角形性质与判定，构建完整的特殊三角形知识体系。 学习目标 1.理解并掌握等腰三角形的性质.(重点) 2.经历等腰三角形的探究过程 3.能初步运用等腰三角形的性质解决有关问题.(难点) 学习目标 情境导入 这些图形有什么共同点？它们属于哪种三角形？ 02 新知导入 我们知道，有两条边相等的三角形叫做等腰三角形， 如图，AB=AC，△ABC就是等腰三角形. 等腰三角形中，相等的两边都叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角. 指出△ABC的腰、底边、顶角和底角. 腰 腰 底边 顶角 底角 底角 03 新知探究 探究 等腰三角形的性质 【做一做】剪一张等腰三角形的半透明纸片，每人所剪的等腰三角形的大小和形状可以不一样，如图，把纸片对折，让两腰AB、AC重叠在一起，折痕为AD. 你能发现什么现象吗? 03 新知探究 探究 可以发现，折叠的两个部分是互相重合的，所以等腰三角形是一个轴对称图形，折痕AD所在的直线就是它的对称轴. 我们还可以发现∠B=∠C. 由此得到以下等腰三角形的性质: 等腰三角形的两个底角相等. 简写成“等边对等角”. 等腰三角形的性质 03 新知探究 探究 已知：如图，在△ABC，AB=AC. 求证：∠B=∠C. 分析：由上述操作可以得到启发，即添加等腰三角形的顶角平分线AD，然后证明△ABD≌△ACD. 等腰三角形的性质 03 新知探究 探究 已知：如图，在△ABC，AB=AC. 求证：∠B=∠C. 证明：如图，作∠BAC的平分线AD. 在△ABD 和△ACD 中, ∵AB=AC，∠1=∠2， AD =AD, ∴△ABD≌△ACD ( SAS ). ∴∠B=∠C(全等三角形的对应角相等)。 等腰三角形的性质 03 新知探究 探究 注意：在证明过程中，为了需要，在原来的图形上添加的线叫做辅助线. 辅助线通常作成虚线。 例如，上述证明中所添加的顶角平分线AD. 等腰三角形的性质 03 新知探究 探究 【例1】在△ABC 中，已知AB=AC，∠B=80°. 求∠C和∠A的度数. 解：∵AB=AC，∴∠C=∠B=80°(等边对等角). 又∵∠A +∠B+∠C=180°(三角形的内角和等于180°)，∴∠A=180°-∠B-∠C =180°-80°-80°= 20°. 等腰三角形的性质 03 新知探究 探究 等腰三角形三线合一 【探索】由前面的“做一做”，你还可以发现什么结论？请写出你的发现： ∠BAD=∠CAD， BD=CD， ∠ADB=∠ADC=90°. 这些结论都和哪条线段有关？这条线分别是什么线？ 03 新知探究 探究 我们发现，AD既是底边上的中线，又是顶角的平分线和底边上的高。由此可得: 等腰三角形底边上的高、中线及顶角的平分线重合. 简写成“等腰三角形的三线合一”. 等腰三角形三线合一 知识要点 注意：“三线合一”的前提是“等腰三角形”，且是“顶角的平分线” “底边上的中线”“底边上的高”这三条线重合。 用符号语言表示“三线合一”: 在△ABC中，AB=AC， ①若AD平分∠BAC，则AD⊥BC，BD=CD; ②若AD是BC边上的中线，则AD平分∠BAC， AD⊥BC; ③若AD是BC边上的高，则AD平分∠BAC， BD=CD. 03 新知探究 探究 【例2】如图，在△ABC中，AB=AC，点D是边BC上的中点，∠B=30°. (1)求∠ADC的度数； 解：∵AB=AC，BD=DC， ∴AD ⊥BC(等腰三角形的三线合一）∴∠ADC=∠ADB = 90°. 等腰三角形三线合一 03 新知探究 探究 【例2】如图，在△ABC中，AB=AC，点D是边BC上的中点，∠B=30°. (2)求∠1的度数. 解：∵∠1+∠B + ∠ADB=180°(三角形的内角 和等于180°)，∠B=30°， ∴∠1=180°-∠B-∠ADB =180°-30°-90°=60°. 等腰三角形三线合一 03 新知探究 探究 线段的垂直平分线 【思考】如图所示，我们曾利用尺规作图作出一条线段AB的垂直平分线PQ，现在你能证明所得的直线PQ确实是已知线段AB的垂直平分线吗? 03 新知探究 探究 线段的垂直平分线 【例3】按如图所示的尺规作图的作法，证明直线PQ是已知线段AB的垂直平分线. 证明：如图，设AB与PQ相交于点O，连结PA、PB、QA、QB. 在△APQ和△BPQ中， ∵AP=BP，AQ =BQ，PQ =PQ， ∴△APQ ≌△BPQ(SSS). ∴∠APQ=∠BPQ(全等三角形的对应角相等). 03 新知探究 探究 线段的垂直平分线 【例3】按如图所示的尺规作图的作法，证明直线PQ是已知线段AB的垂直平分线. 又∵AP=BP， ∴AO=BO且PQ⊥AB(等腰三角形的三线合一). 因此直线PQ是已知线段AB的垂直平分线. 03 新知探究 探究 线段的垂直平分线 【思考】如图所示，我们还曾利用尺规作图过点C作出已知直线AB的垂线CP. 当点C在直线AB上时，垂线CP即是平角ACB的平分线所在的直线，那么当点C在直线AB外时，你能证明所作的直线CP确实是直线 AB的垂线吗? 03 新知探究 探究 线段的垂直平分线 比较图1的作法示意图与图2的垂直平分线的作法示意图，我们可以发现两者十分类似，过直线AB外一点C作AB的垂线，就相当于作线段MN的垂直平分线。那么类似于垂直平分线的证明，自然就可以证明过点C所作的直线CP确实是已知直线AB的垂线. 图1 图2 03 新知探究 探究 等边三角形 三条边都相等的三角形叫做等边三角形. 如图，在等边三角形中，每个角的度数是多少呢? 显然，AB=AC，根据“等边对等角”，可以得到∠B=∠C， 同理可得∠A=∠B， 所以 ∠A=∠B=∠C. 而 ∠A+∠B +∠C=180°. 所以 ∠A=∠B=∠C=180°÷3=60°. 03 新知探究 探究 等边三角形 也就是说: 等边三角形的各个角都相等，并且每一个角都等于60°. 等边三角形的三条边都相等，三个角都相等，也称为正三角形. 等边三角形也是轴对称图形，它有几条对称轴? 1. 在中，已知 ，若 是等腰三角形， 则 的度数是( ) A. B. C. 或 D. 或 或 （第2题） 2. 如图，在中， ， ， ，则 ( ) A. B. C. D. √ √ 返回 中考考法 23 3. ［2025长沙岳麓区期中］“一亭幽绝费平章，峡口清风赠 晚凉.前度桃花斗红紫，今来枫叶染丹黄.饶将春色输秋色， 迎过朝阳送夕阳.此地四时可乘兴，待谁招鹤共翱翔.”其中“一 亭”指的是具有一座悠久历史的古典园林建筑——“爱晚亭”. 如图，“爱晚亭”的顶部可看作等腰三角形，， 是边上的一点.下列条件不能说明是 的角平分线 的是( ) 中考考法 24 （第3题） A. B. C. D. 与 的周长相等 √ 中考考法 25 （第3题） 【点拨】A. ， ， ， 是的高线，是等腰三角形， ， 是 的角平分线，故A选项不符合题意；B. 是等腰三角形，，是 的角平分 中考考法 26 线，故B选项不符合题意；C. 若，不能说明 是 的角平分线，故C选项 符合题意；D. 与 的周长相等， ，， 是的中线， 是 （第3题） 中考考法 等腰三角形，是 的角平分线，故D选项不符合 题意. （第3题） 中考考法 等腰三角形的“三线 合一”性质的应用：1.等腰三 角形“三线合一”的性质是证明 角相等、线段相等和垂直关系 的既重要又简便的方法.2.“三 线合一”性质是等腰三角形所 特有的性质，它实际是一组定 （第3题） 中考考法 29 理，应用过程中，在等腰三角 形前提下,“顶角的平分线、底 边上的中线、底边上的高”只 要知道其中“一线”，就可以说 明是其他“两线”. （第3题） 返回 中考考法 4. 定义：等腰三角形的底边长与其腰长的比值 称为这个等腰三角形的“优美比”.若等腰三角形 的两边 长分别是3和9，则它的“优美比” 为__. 5.如图， 的周长为20，且 ，于点， 的周 长为16，那么 的长为___. 6 返回 中考考法 31 6.［2025上海金山区期末］如图，在 中，为边 上一点， . （1）试说明 ； 【解】， ， . . 中考考法 32 （2）过点作的平行线交 的延长 线于点，若，求证： 平分 . 【证明】， . ，， ， ，平分 . 返回 中考考法 33 （第7题） 7. 某平板电脑 支架如图所示，其中 ， ，为了使 用的舒适性，可调整 的 大小.若增大 ，则 的变化情况是( ) A. 增大 B. 减小 C. 增大 D. 减小 √ 中考考法 34 【点拨】， ， 增大 ， 增大 .，减小 . （第7题） 返回 中考考法 35 （第8题） 8.如图，是等腰三角形，点 是底边 上任意一点，， 分别与两边垂直， 等腰三角形的腰长为6，面积为15，则 的值为___. 5 中考考法 36 【点拨】连结，如图. ， ， ， . 返回 中考考法 37 9.如图钢架中， ，焊上等长的钢条，, 来加固钢架.若 ，则这样的钢条至多需要___根. 3 返回 中考考法 38 （第10题） 10.如图，在中， ， ，点为的中点，如果点 在线 段上以的速度由点向点 运动，同 时点在线段上由点向点 运动，当一个 点停止运动时，另一个点也随之停止运动，当 点的运动速度为_______ 时，能够在某 一时刻使与 全等. 2或2.5 中考考法 39 （第10题） 【点拨】，点为 的中点， . 设点,的运动时间为，则 ， ， ， 分两种情况： ①当时，，即 ，解得 ， 中考考法 40 则 ， 故点的运动速度为 ； ②当时， ， ， ， ， 故点的运动速度为 . 综上，当点的运动速度为或 时，能够在某一时刻使与 全等. （第10题） 返回 中考考法 11.如图，中，，， 是 的平分线，是边上的动点，是 边上的动点， 则 的最小值为____. 10 （第11题） 中考考法 42 05 课堂小结 本节课你学到了什么？ 等腰三角形的性质： (1)等腰三角形是轴对称图形. (2)等腰三角形底边上的高、中线及顶角的平分线重合(三线合一) 等边三角形的性质： (1)三条边都相等的三角形叫做等边三角形. (2)等边三角形的各角都相等，都等于60°. $