3.2 平面直角坐标系 课件 2026-2027学年北师大版数学八年级上册

该初中数学课件围绕平面直角坐标系展开，涵盖点的坐标、象限特征、距离公式等核心内容。通过从一维数轴过渡到二维有序数对的问题导入，结合坐标系示意图引导思考，搭建新旧知识联系的学习支架。 其亮点在于以生活实例（如电影票有序数对、寻宝游戏）培养抽象能力与几何直观（数学眼光），题型解析注重推理过程（数学思维），公式应用与练习强化数学语言表达。学生能系统理解知识脉络，教师可直接利用丰富题型与总结提升教学效率。

平面直角坐标系 01| 平面直角坐标系中的点 02| 象限中的点的坐标特征 03| 坐标系内特殊点的坐标 04| 平面直角坐标系中的距离 05| 中点坐标公式 06| 点关于直线对称 07| 点关于点对称 08| 点的平移变换 09| 图形的对称 知识导入 知识导入 纵列 1 2 3 4 5 6 横排 1 2 3 4 5 知识导入 类似于利用数轴确定直线上点的位置，能不能找到一种办法来确定平面内点的位置呢（例如图9.1-2中A为(1,0)那么B、C、D、E各点呢）？ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 知识总结 1. 有序数对 在平面内，用两个数来表示一个确定的位置，其中两个数各自表示不同的意义，我们把这种有顺序的两个数组成的数对，叫做有序数对，记作 (a,b). 2. 平面直角坐标系 在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴组成平面直角坐标系。通常，两条数轴分别置于水平位置与铅直位置，取向右与向上的方向分别为两条数轴的正方向。水平的数轴叫做 x 轴或横轴，铅直的数轴叫做 y 轴或纵轴，x 轴和 y 轴统称为坐标轴，它们的公共原点 O 称为直角坐标系的原点. 题型 1 有序数对的写法 例 1 在电影票上，如果将 “8 排 4 号” 记作 (4,8)，那么 (1,5) 表示________。 题型 2 根据点写坐标 例 2 如图，在一次 “寻宝” 游戏中，寻宝人找到了如图所示的两个标志点 A (3，1)，B (2，2)，则 “宝藏” 点 C 的位置是 ( ) A. (1,0)　　B. (1,2)　　C. (2,1)　　D. (1,1) 知识导入 水平的数轴叫作 x 轴或横轴，取向右为正方向 在平面内画两条互相垂直并且原点重合的数轴，组成平面直角坐标系 xOy . 这个平面叫作坐标平面. 3 1 4 2 5 -2 -4 -1 -3 O y 1 2 3 4 5 -4 -3 -2 -1 x 竖直的数轴叫作 y 轴或纵轴，取向上为正方向 两轴的交点 O 为原点 知识导入 规定把横坐标写在前，纵坐标写在后，记作：P(-2，3). (-2，3) 就叫作点 P 在平面直角坐标系中的坐标，简称点 P 的坐标，P 表示为 (-2，3). -4 -3 -2 -1 O1 2 3 1 2 3 4 -1 -2 -3 x y 思考：如图的点 P 如何表示呢？ 后由 P 点向 y 轴作垂线，垂足 N 在 y 轴上的坐标是 3，称为 P 点的纵坐标. N M P 有了平面直角坐标系，平面内的点就可以用一对有序实数来表示了. 先由 P 点向 x 轴作垂线，垂足 M 在 x 轴上的坐标是 -2，称为 P 点的横坐标； 知识导入 点 横坐标 纵坐标 坐标 A 4 2 (4，2) B 2 4 (2，2) C D E F 1. 把图中 C，D，E，F 各点对应的坐标填入下表： -3 -2 3 -3 (-3,-2) -3 ( 3, -3) 0 (-3, 0) 0 1 ( 0, 1) C E A B F D 知识总结 2. 象限：如图 2，在平面直角坐标系中，两条坐标轴将坐标平面分成了四部分。右上方的部分叫做第一象限，其它三部分按逆时针方向依次叫做第二象限、第三象限和第四象限。坐标轴上的点不在任何一个象限内. 3. 各象限内点的坐标特征 (1) 点 P (x,y) 在第一象限⇔x＞0,y＞0； (2) 点 P (x,y) 在第二象限⇔x＜0,y＞0； (3) 点 P (x,y) 在第三象限⇔x＜0,y＜0； (4) 点 P (x,y) 在第四象限⇔x＞0,y＜0. 题型 1 根据点的坐标特征求解 例 1 (内市江模拟) 已知 a+b＞0，ab＞0，则在如图所示的平面直角坐标系中，圆形盖住的点的坐标可能是 ( ) 知识总结 1. 坐标轴上点的坐标特征 (1) 点 P (x,y) 在 x 轴上⇔y=0，x 为任意实数； (2) 点 P (x,y) 在 y 轴上⇔x=0，y 为任意实数； (3) 点 P (x,y) 既在 x 轴上，又在 y 轴上⇔x=0,y=0，即点 P 的坐标为 (0,0). 2. 两坐标轴夹角平分线上点的坐标特征 (1) 点 P (x，y) 在第一、三象限夹角的角平分线上⇔x=y； (2) 点 P (x，y) 在第二、四象限夹角的角平分线上⇔x+y=0. 题型 1 坐标轴上点的坐标特征 例 1 (成都市锦江区期中) 若点 P (a−3,2−a) 在 y 轴上，则点 P 的坐标为 ( ) A. (0,1)　　B. (0,−1)　　C. (1,0)　　D. (−1,0) 知识总结 3. 平行于坐标轴的直线上的点的坐标特征 (1) 平行于 x 轴直线上的两点，其纵坐标相等，横坐标为两个不相等的实数； (2) 平行于 y 轴直线上的两点，其横坐标相等，纵坐标为两个不相等的实数. 题型 2 平行于坐标轴的直线上点的坐标特征 例 2 已知点 A (m−1,−5) 和点 B (2,m+1)，若直线 AB∥x 轴，则线段 AB 的长为________________________ 题型 1 点到坐标轴的距离 例 1 (1) 在平面直角坐标系中，若点 P 在第四象限，且点 P 到 x 轴和 y 轴的距离分别为 3 和 4，则点 P 的坐标是________； (2) 已知点 P (2−a,3a−2) 到两坐标轴的距离相等。则点 P 的坐标为________________ 知识复习 3. 各象限内点的坐标特征 (1) 点 P (x,y) 在第一象限⇔x＞0,y＞0； (2) 点 P (x,y) 在第二象限⇔x＜0,y＞0； (3) 点 P (x,y) 在第三象限⇔x＜0,y＜0； (4) 点 P (x,y) 在第四象限⇔x＞0,y＜0. 知识总结 试求右图计算AB、CD距离： C E A B F D 题型 2 利用两点之间的距离公式解题 例 2 (1) 若点 A (x,5) 与 B (2,5) 的距离为 5，则 x=____________； (2) 如果式子表示点 P (a,b) 和点 Q 的距离，那么 Q 点坐标是____________. 知识总结 试求右图计算AB、CD的中点： C E A B F D 题型 1 求中点坐标 例 1 已知点 A (3,−2)，点 B (2,m)，若线段 AB 的中点恰好在 x 轴上，则 m 的值为________________________ 知识总结 试求左图计算B、C点关于X轴对称点, 分别是：( , )：( , )： 试求左图计算A点关于y轴对称点是： ( , )： 题型 1 点关于坐标轴的对称 例 1 若点 P (a,b) 在第二象限，则点 P'(a−1,−b) 关于 y 轴的对称点在________象限. 知识总结 试求左图计算A、B点关于原点对称点后分别是：( , ); ( , )： 例 1 点 A (m,m−2) 与点 B (−2,n) 关于原点对称，则点 A 的坐标为________________________ 知识总结 把A点向右移动3个单位得( , )： 把B点向下移动1个单位得( , )： 把C点向上移动2个单位得( , )： 题型 1 点的平移与坐标变换 例 1 (1) 把点 A (3，−1) 先向右平移 2 个单位，再向上平移 3 个单位，所得点的坐标为___________； (2) 将点 P (m＋2，2m＋4) 向右平移 1 个单位到点 Q，且点 Q 恰好在 y 轴上，那么点 Q 的坐标是___________。 题型 1 图形对称中的坐标变换 例 1 (成都市青羊区期末) 平面直角坐标系 xOy 中，△ABC 的位置如图所示，每个小方格的边长为 1。 (1) 分别写出以下顶点的坐标： A (________，________)；B(________，________)； (2) 作△ABC 关于 y 轴对称的△A₁B₁C₁(点 A，B，C 的对应点分别为 A₁，B₁，C₁)； (3) 直接写出△ABC 的面积_______________。 考情提炼 1. 中点坐标公式 已知 A (x₁,y₁)、B (x₂,y₂)，则 AB 中点的中点坐标为________________________. 2. 两点之间的距离公式 已知点 A (x₁,y₁)、B (x₂,y₂)，则线段 AB 的长为________________________. 课堂练习 练 1 (1) 在平面直角坐标系中，点 P (，−2x²−1) 所在的象限是 ( ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 (2)(成都市青羊区期末) 若点 P (a,b) 在第四象限，则点 Q (−a，−b) 在第________象限。 练 2 已知点 P (2a−1,3a＋1)。 (1) 若点 P 在第一象限，且到 y 轴的距离为 3 个单位长度，则点 P 的坐标是________； (2) 若点 P 在二、四象限夹角平分线上，则点 P 的坐标是________； (3) 若点 P 在过 A (4，−1) 点且与 y 轴平行的直线上，则点 P 的坐标是________； (4) 若点 P 到两坐标轴的距离相等，则点 P 的坐标是________。 练 3 (1) 已知 AB∥x 轴，点 A 的坐标为 (2,5)，并且 AB＝6，则点 B 的坐标为________。 (2) 若点 P 在 x 轴上，点 A 坐标是 (2，−1)，且 PA＝3，则点 P 的坐标是________。 (3) 在平面直角坐标系中，将点 A (5，−8) 向左平移得到点 B (x＋3，x−2)，则点 B 的坐标为________ 练 4(成都市锦江区期中) 平面直角坐标系中，若点 A 在第二象限，且到 x 轴的距离为 3，到 y 轴的距离为 2，则点 A 的坐标为_______________。 练 5 (成都市天府新区期末) 如图，在直角坐标平面内，△ABC 的三个顶点的坐标分别为 A (0，3)，B (3,4),C (2,2)。 (1) 填空：AB＝________，S△ABC＝________； (2) 画出△ABC 关于 x 轴的对称图形△A₁B₁C₁，再画出△A₁B₁C₁关于 y 轴的对称图形△A₂B₂C₂； (3) 若 M 是△ABC 内一点，坐标是 (a,b)，则△A₂B₂C₂中，点 M 的对应点的坐标为________。 下 课 $