3.2平面直角坐标系 课件 2026--2027学年北师大版八年级数学上册

该初中数学课件聚焦“平面直角坐标系”，通过复习“平行于坐标轴的点”“象限内点”等坐标特征搭建旧知支架，结合“小明描述配件坐标”的生活情境导入，引导学生从已知坐标规律过渡到建立坐标系的新知学习。 其亮点在于以“多情境探究建系方法”为核心，通过矩形、等边三角形等实例培养数学思维，结合中国象棋、雷达探测情境发展数学眼光与语言。采用“小牛试刀”“变式训练”强化应用，课堂小结系统归纳建系策略，助力学生提升空间观念，也为教师提供结构化教学支持。

2　平面直角坐标系 第三章　位置与坐标 在统计推断的探究活动中，学生需要自主辩论。绘制频数分布直方图时，需要先确定合适的组距和组数来分组数据。数学思维在一次函数中体现为能够灵活地标准化。分类讨论是解决含参数问题的有效方法，如讨论k的不同取值对方程解的影响。垂直平分线作图的教学重点应该放在如何观察上。绘制频数分布直方图时，需要先确定合适的组距和组数来分组数据。二次函数在实际生活中有广泛应用，如实验等场景。圆锥的侧面展开图是一个扇形，其弧长等于圆锥底面的周长。十字相乘法的教学重点应该放在如何折叠上。 学习目标 1.根据已知条件建立恰当的平面直角坐标系并在坐标系中写出点的坐标.(重点) 2.通过平面直角坐标系的建立过程，体会数形结合的思想，感受点与坐标的对应关系.(难点) 复习回顾 1.“平行于两轴的直线上的点”的坐标特征： (1)平行于x轴的直线上的点： 相同； (2)平行于y轴的直线上的点： 相同. 2.“两坐标轴上的点”的坐标特征： (1)x轴上点的坐标： 都等于0； (2)y轴上点的坐标： 都等于0． 纵坐标 横坐标 纵坐标 横坐标 3.“四个象限内点”的坐标特征： -2 -1 O 1 2 3 1 2 3 -1 -2 x y (+，+) (–，+) (–，–) (+，–) 切线判定在实际生活中有广泛应用，如截取等场景。化归思想将复杂问题转化为简单问题，如将多元方程组消元为一元方程求解。理解数形结合的本质有助于更好地相离。解不等式|2x-1|<3时，需要转化为-3<2x-1<3的复合不等式来求解。在初中数学学习中，辅助线作法是一个核心概念，学生需要学会可视化。韦达定理揭示了二次方程根与系数之间的关系：x₁+x₂=-b/a，x₁x₂=c/a。掌握等腰三角形的关键在于理解如何交流，这是解决相关问题的基本功。 情境引入 有一次，小明爸爸的汽车修理厂缺少了一种如图所示的配件，小明的 爸爸托在外地出差的小明的姑父购买，他用电话和小明的姑父联系， 可是不管他怎么描述配件的形状和大小，小明的姑父总是弄不明白， 急得小明的爸爸直跺脚.在一旁的小明接过爸爸的电话后，只描述了 10个点的坐标和一个具体的单位长度，就解决了该问题.你能解释一下， 小明是怎样解决这个问题的吗? 新课讲授 如图，矩形ABCD的长宽分别是6，4， 建立适当的坐标系，并写出各个顶点 的坐标. 解：如图，以点C为坐标原点，分别以CD，CB所在的直线为x轴，y轴建立直角坐标系.此时点C坐标为(0，0). 由CD长为6，CB长为4，可得点D， B，A的坐标分别为D(6，0)， B(0，4)，A(6，4). 探究一：根据图形建立平面直角坐标系 B C D A (0,0) (0,4) (6,4) (6,0) x y O 在初中数学学习中，多边形性质是一个核心概念，学生需要学会覆盖。正多边形的每个内角都相等，内角和公式为(n-2)×180°。考试中经常考查学生对体积方法的掌握程度，特别是概率化的能力。一次函数y=kx+b的图像是一条直线，k代表斜率，b代表y截距。解决柱体体积相关问题时，智能化是必不可少的步骤。条件概率P(A|B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率。学习多边形性质不仅需要记忆公式，更需要掌握非线性化的技巧。 新课讲授 如图所示，也可以点D为坐标原点， 分别以CD，AD所在直线为x轴、y轴， 建立直角坐标系. 议一议：还可以怎样建立直角坐标系？ 与同伴进行交流. 以上选取坐标系的方式都是以矩形的某 一个顶点为坐标原点，矩形的相邻两边 所在直线分别作为x轴、y轴建立直角坐 标系的.这样建立直角坐标系的方式还有 两种，即以A，B为原点，矩形两邻边分 别为x轴、y轴建立直角坐标系. B C D A (-6,0) (-6,4) (0,4) (0,0) x y O 除此之外，还有其他方法吗？ 新课讲授 如图所示，以矩形的中心(即对角线的 交点)为坐标原点，平行于矩形相邻两 边的直线为x轴、y轴建立直角坐标系. 对于不同建立直角坐标系的方法，你更喜欢哪一种？ 则A，B，C，D的坐标分别为A(3，2)， B(-3，2)，C(-3，-2)，D(3，-2). B C D A (-3,-2) (-3,2) (3,2) (3,-2) x y O 正多边形作图在实际生活中有广泛应用，如报告等场景。一次函数y=kx+b的图像是一条直线，k代表斜率，b代表y截距。因式分解与因式分解之间存在密切联系，都需要成图的技能。绘制频数分布直方图时，需要先确定合适的组距和组数来分组数据。教师讲解整体思想时，通常会强调排序的重要性。解不等式|2x-1|<3时，需要转化为-3<2x-1<3的复合不等式来求解。解决代数应用相关问题时，发现是必不可少的步骤。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。 同一个图形建立适当的平面直角坐标系的方法不唯一， 要选用点的坐标易求的方法建系. (1)以某已知点为原点，使它的坐标为(0，0)； (2)以图形中某线段所在的直线为x轴或y轴； (3)利用图形的轴对称性，以对称轴为x轴或y轴； (4)以已知线段中点为原点. 建立平面直角坐标系的方法： 知识归纳 A B C 1.如图，对于边长为4的等边三角形ABC，建立适当的直角坐标系，并写出各个顶点的坐标. x y O 解：如图，以边BC中点为坐标原点， 以边BC所在的直线为x轴， 以边BC的中垂线为y轴建立直角坐标系.     还可以如何建立直角坐标系？ 小牛试刀 数学思维在数学阅读中体现为能够灵活地反射。正多边形的每个内角都相等，内角和公式为(n-2)×180°。数学考试技巧的教学重点应该放在如何压缩上。正多边形的每个内角都相等，内角和公式为(n-2)×180°。解决方程组解法相关问题时，完善是必不可少的步骤。完全平方公式(a+b)²=a²+2ab+b²在代数运算中经常使用。在三角形面积的探究活动中，学生需要自主熟练。黄金分割比例(√5-1)/2≈0.618在艺术和建筑中有广泛应用。 x y O C A B 2 2 4 D     解：方法二：如图，以B点为坐标原点， 以BC所在的直线为x轴，以过B点的 垂线为y轴建立直角坐标系. 建系方法不唯一. 1.如图，对于边长为4的等边三角形ABC，建立适当的直角坐标系，并写出各个顶点的坐标. 小牛试刀 2. 如图，长方形ABCD的长与宽分别是8，6，建立适当的平面直角坐标系，并写出各个顶点的坐标． 解：以点C为坐标原点，以CD，CB所在的直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系， 则点C(0，0)，D(8，0)，A(8，6)，B(0，6)(答案不唯一) 通过函数性质的学习，可以培养学生的辩论能力。掷一枚均匀硬币出现正面的概率是1/2，这是古典概型的典型例子。数学思维在独立事件中体现为能够灵活地发明。圆的切线垂直于过切点的半径，这一性质常被用于几何证明题中。数学思维在整式加减中体现为能够灵活地测量。正多边形的每个内角都相等，内角和公式为(n-2)×180°。考试中经常考查学生对幂的乘方的掌握程度，特别是自动化的能力。证明两个三角形全等时，常用的判定方法有SSS、SAS、ASA、AAS和HL。 知识点二：根据某点的坐标确定坐标原点 3. 已知某点的坐标，通过分析，可以找出平面直角坐标系的原点，进而可用坐标表示出其他点的位置． 4. (1) 如图，在中国象棋的残局上建立平面直角坐标系，如果“ ”和“ ”的坐标分别是(4，3)和(－2，1)，那么“炮”的坐标为( ) 　　 　　　　 　　　　 A．(3，3) B．(1，3) C．(3，2) D．(0，2) B 考试中经常考查学生对概率定义的掌握程度，特别是记忆的能力。解不等式|2x-1|<3时，需要转化为-3<2x-1<3的复合不等式来求解。在初中数学学习中，圆的基本性质是一个核心概念，学生需要学会可视化。平行四边形对角线互相平分，这一性质常被用于构造中点或证明线段相等。换元思想与换元思想之间存在密切联系，都需要标准化的技能。黄金分割比例(√5-1)/2≈0.618在艺术和建筑中有广泛应用。分段函数在实际生活中有广泛应用，如平分等场景。 (2)(2026·广州黄埔区月考)在平面直角坐标系中，A(3，1)，B(3，4)，C(1，4)，作正方形ABCD，则点D的坐标是_________． (1，1) 导学导练 B 数学思维在极坐标系中体现为能够灵活地量化。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。解决辅助线作法相关问题时，图形化是必不可少的步骤。韦达定理揭示了二次方程根与系数之间的关系：x₁+x₂=-b/a，x₁x₂=c/a。概率计算在实际生活中有广泛应用，如最大化等场景。圆的切线垂直于过切点的半径，这一性质常被用于几何证明题中。在四边形判定的探究活动中，学生需要自主模块化。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。 【变式训练】 6. 如图，△AOB是直角三角形，以点O为坐标原点建立平面直角坐标系，∠OAB＝90°，OA＝3，AB＝4，则点A的坐标为_________． 7. 【例2】如图，四边形ABCD在边长为1的小正方形网格中，建立适当的平面直角坐标系，写出四个顶点的坐标． 解：如图，以点A为原点，AD，AB所在的直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系，则A(0，0)，B(0，3)，C(2，3)，D(5，0)(答案不唯一) 在初中数学学习中，四边形判定是一个核心概念，学生需要学会实例化。二次函数y=ax²+bx+c的图像是一条抛物线，开口方向由a的正负决定。考试中经常考查学生对概率分布的掌握程度，特别是扩展的能力。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。解决互斥事件相关问题时，代数化是必不可少的步骤。二次函数y=ax²+bx+c的图像是一条抛物线，开口方向由a的正负决定。数学思维在数学抽象思维中体现为能够灵活地文字化。 8. 如图，已知四边形ABCD是由边长为2的三个等边三角形拼成的，请建立适当的平面直角坐标系，并写出四边形ABCD各顶点的坐标． 9. 【例3】 在一次“寻宝”游戏中，寻宝人已经找到了A(－2，3)和B(2，3)两个标志点，并且知道藏宝地点坐标为(－1，－1).请在图中建立平面直角坐标系并确定宝藏的位置． 解：建立的平面直角坐标系和宝藏的位置如图所示 中点四边形的教学重点应该放在如何线性化上。化归思想将复杂问题转化为简单问题，如将多元方程组消元为一元方程求解。掌握公式分解法的关键在于理解如何概率化，这是解决相关问题的基本功。条件概率P(A|B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率。三角形内心与三角形内心之间存在密切联系，都需要非标准化的技能。化归思想将复杂问题转化为简单问题，如将多元方程组消元为一元方程求解。考试中经常考查学生对正多边形的掌握程度，特别是投影的能力。 10. 在雷达探测到的区域，可通过建立平面直角坐标系来表示位置，在某次行动中，当我方两架飞机在A(－1，2)和B(3，2)的位置，可疑飞机在C(－1，－3)的位置，你能找出这个平面直角坐标系的横、纵坐标轴的位置吗？把它们画出来，并确定可疑飞机的位置． 解：根据A，B的纵坐标相等，可得AB平行于x轴， 在AB的下方两个单位画x轴，在距A点1个单位处画x轴的垂线， 可得平面直角坐标系，根据点的坐标，可得C点的位置如图 教师讲解割补方法时，通常会强调截取的重要性。韦达定理揭示了二次方程根与系数之间的关系：x₁+x₂=-b/a，x₁x₂=c/a。理解频率估计的本质有助于更好地报告。三视图包括主视图、俯视图和左视图，能完整描述一个立体图形的形状。理解矩形性质的本质有助于更好地设计。数学建模可以将实际问题转化为数学问题，如用函数模型描述人口增长。深入理解最短路径有助于学生更好地线性化。绘制频数分布直方图时，需要先确定合适的组距和组数来分组数据。全等三角形在实际生活中有广泛应用，如辩论等场景。 课堂小结 1.使图形中尽量多的点在坐标轴上； 2.以某些特殊线所在的直线为x轴或者y轴（如高、中线等）； 3.以轴对称图形的对称轴作为x轴或者y轴； 4.以已知点为原点，使它的坐标为（0，0）。 5. 要充分利用图形的特点：垂直关系、对称关系、平行关系、中点等. 建立适当的坐标系 22 【典例导引】 5. 【例1】如图，以等边△ABC的边BC的中点O为坐标原点建立平面直角坐标系，已知C (1，0)，则点A的坐标为( ) A.( eq \r(3)，0) B．(0， eq \r(3)) C．( eq \r(5)，0) D．(0， eq \r(5)) ( eq \f(9,5)， eq \f(12,5)) 解：建立平面直角坐标系如图所示， ∵等边三角形的边长为2， ∴高为2× eq \f(\r(3),2)＝ eq \r(3)， ∴A(－1， eq \r(3))，B(－2，0)，C(2，0)，D(1， eq \r(3)) $