专题4.2一元一次方程及其解法(7大题型+典题专练) 2025-2026学年苏科版七年级数学上册

专题4.2一元一次方程及其解法 题型梳理. [题型一 判断是否是一元一次方程]............................................................................................3 [题型二 解一元一次方程(一)合并同类项与移项]......................................................................6 [题型三 解一元一次方程(二)去括号]........................................................................................12 [题型四 解一元一次方程(三)去分母]........................................................................................18 [题型五 已知一元一次方程得解,求参数]..................................................................................25. [题型六 一元一次方程解的关系]...............................................................................................29 [题型七 绝对值方程]...................................................................................................................34.. 一元一次方程及其解法 一元一次方程是初中代数的基础，是解决实际问题的重要工具，其核心是 “通过等式变形，将方程转化为x=a（a为常数）的形式”。以下从核心概念、解法步骤、易错点、经典例题四个维度，系统梳理相关知识。 一、核心概念：明确一元一次方程的定义 1. 定义 只含有一个未知数（通常用x、y等字母表示），且未知数的最高次数为 1（即未知数的指数是 1），同时等式两边都是整式（分母不含未知数）的方程，叫做一元一次方程。 2. 标准形式 一元一次方程的标准形式为：ax+b=0​（其中a、b为常数，且a≠0）。 a：未知数的系数（不能为 0，否则方程变为b=0，不再是一元一次方程）； b：常数项； 二、核心解法：一元一次方程的 “五步解法” 解一元一次方程的本质是 “利用等式的基本性质，逐步消除未知数的系数和常数项，最终得到x=a”，通用步骤可分为五步，具体如下： 1. 等式的基本性质（解法依据） 开始解法前，需牢记两个核心性质，这是所有变形的基础： 性质 1：等式两边同时加（或减）同一个数（或整式），等式仍然成立；例：若x+3=5，则x+3−3=5−3（两边同时减 3），得x=2。 性质 2：等式两边同时乘（或除以）同一个不为 0的数，等式仍然成立；例：若2x=6，则2x÷2=6÷2（两边同时除以 2），得x=3。 2. 五步解法（以方程−=1为例） 第一步：去分母（消除分数，简化计算） 依据：等式性质 2（两边同时乘所有分母的最小公倍数，分母为 3 和 2，最小公倍数是 6）； 第二步：去括号（消除括号，展开式子） 依据：去括号法则（括号前是 “+”，括号内不变号；括号前是 “-”，括号内全变号；括号前有数字，先乘到括号内）； 第三步：移项（将含未知数的项移到左边，常数项移到右边） 依据：等式性质 1（移项时，“过等号要变号”，即加变减、减变加）； 第四步：合并同类项（简化左右两边的式子） 依据：合并同类项法则（同类项的系数相加，字母和指数不变）； 第五步：系数化为 1（确保未知数系数为 1，得到最终解） 若未知数系数不为 1（如2x=8），需依据等式性质 2，两边同时除以系数（2x÷2=8÷2，得x=4）； 3. 特殊情况：方程无解或有无数解 并非所有一元一次方程都有唯一解，需根据化简结果判断： 无解：化简后得到 “矛盾等式”（如0x=5，无论x取何值，左边 = 0≠5）； 无数解：化简后得到 “恒成立等式”（如0x=0，无论x取何值，等式都成立）； 唯一解：化简后得到x=a（如x=14，只有 1 个解）。 三、高频易错点提醒（避坑指南） 1.去分母漏乘常数项 2.去括号符号错误 3.移项不变号 4.系数化为 1 时除以 0 5.分数系数处理失误 （练习题） [题型一 判断是否是一元一次方程]. 1．已知下列方程：；；；；；．其中一元一次方程的个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查一元一次方程的定义，熟练掌握一元一次方程的定义是解题的关键．根据一元一次方程的定义进行判断即可． 【详解】解：含有一个未知数且未知数最高次为一次的方程为一元一次方程， ，，均是一元一次方程， 一元一次方程的个数是个． 故选B． 2．下列解方程正确的有（   ） ①由，得；       ②由，得； ③由，得；      ④由，得． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查解一元一次方程，等式的基本性质，熟练掌握等式的基本性质是解答的关键．根据等式的基本性质：等式两边都加上或减去同一个代数式，结果仍是等式；等式两边都乘同一个数或除以同一个不为零的数，结果仍是等式；逐一判断即可． 【详解】解：① ， ，故错误； ② ， ，故错误； ③ ， ，故正确； ④ ， ，故错误。 ∴ 正确的只有1个， 故选：A． 3．已知a，b为任意有理数，下列说法正确的有（   ） ①关于x的方程是一元一次方程； ②关于x的方程的解为； ③当互为相反数时，关于x的方程的解是． A．③ B．①② C．②③ D．①②③ 【答案】A 【分析】本题主要考查一元一次方程的定义及其解的运用，根据一元一次方程的定义可判定说法①；根据解一元一次方程的方法可判定说法②；根据相反数的定义，解一元一次方程的方法可判定说法③；由此即可求解，掌握一元一次方程的定义，解一元一次方程的方法是解题的关键． 【详解】解：①当时，关于x的方程是一元一次方程，故①错误； ②当时，关于x的方程的解为，故②错误； ③当互为相反数时，关于x的方程的解是，正确，故③符合题意； 故选：A． 4．若是关于x的一元一次方程，则m，n应满足的条件是 ． 【答案】， 【分析】本题主要考查了一元一次方程的定义，熟练掌握定义，是解题的关键．根据一元一次方程的定义，未知数x的指数必须为1，且系数不能为0，求出结果即可． 【详解】解：∵是关于x的一元一次方程， ∴，， 解得：，． 故答案为：，． 5．已知是关于x的一元一次方程，则代数式的值为 ． 【答案】0 【分析】本题考查了一元一次方程的定义（二次项系数为 0 且一次项系数不为 0）及代数式求值，解题的关键是通过一元一次方程的定义确定m的值，再求解x并代入代数式计算． 根据一元一次方程定义列条件，确定；代入m的值解出；将m和x代入代数式计算结果． 【详解】解：∵是关于x的一元一次方程， ∴，解得或， ，即，解得． 综上，． 将代入原方程，得： ，即， 解得． 将代入代数式得， ． 故答案为：0． 6．若是关于的一元一次方程，则代数式的值是（    ） A．54 B．56 C．169 D．171 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次方程的定义以及代数式的求值，解题的关键是根据一元一次方程的定义求出的值，进而得到关于的一元一次方程，求出后再代入代数式计算． 根据一元一次方程的定义确定的取值，得到关于的一元一次方程并求解x，将、的值代入代数式，计算出结果． 【详解】解：因为是关于的一元一次方程，所以需满足： 二次项系数为，解得； 一次项系数不为，即． 综上，， 将代入原方程，得，解得， 把代入代数式， 的值为， 的值为， 则． 故选：D． [题型二 解一元一次方程(一)合并同类项与移项] 7．如果方程与方程的解相同，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了同解方程，熟练掌握同解方程的定义是解题的关键．先求出方程的解，再根据同解方程的定义把代入方程中即可求出的值． 【详解】解：解方程得，， 根据题意把代入方程中，得， 解得， 故答案为：． 8．如图所示的运算程序中，若开始输入x的值是4，输出的结果为5．若输出的结果是0，则输入的x为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是程序框图与方程的应用，先求解，再进一步求解即可． 【详解】解：由题意，开始输入x的值是4，输出的结果为5， ∴， 解得：， ∴， 当输出的结果是0时， ∴或， 当，解得：，不符合题意； 当，解得：，符合题意； 故答案为：． 9．将正方形图1作如下操作．第1次：分别连接各边中点如图2，得到5个正方形；第2次：将图2左上角正方形按上述方法再分割如图3，得到9个正方形，……，以此类推，根据以上操作，若要得到2025个正方形，则需要操作的次数是（   ） A．504 B．505 C．506 D．507 【答案】C 【分析】此题主要考查了图形的变化类规律问题，根据正方形的个数变化的规律，以此类推，可得第次正方形个数，即可求解． 【详解】解：第次：分别连接各边中点如图，得到个正方形； 第次：将图左上角正方形按上述方法再分割如图，得到个正方形， 第次得到：个正方形； 第次得到：个正方形； 以此类推，根据以上操作，第次得到个正方形， 根据以上操作，若第次得到个正方形，则， 解得：． 故选：C． 10．已知：方程的解是；方程的解是；方程的解是（由得出）．则方程的解是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了方程的解，读懂解题干中特定形式的方程的方法是解题关键． 参照已知方程的形式，将方程变形为，由此即可求解． 【详解】解：可变形为， 由题意可得， 解得． 故答案为：． 11．幻方，最早源于我国，古人称之为纵横图．在如图所示的幻方中，各行、各列及各条对角线上的三个数字之和均相等，则的值为（    ） a x 0 b y c A． B．4 C． D．2 【答案】C 【分析】本题主要考查了已知字母的值，求代数式的值，解一元一次方程等知识，先根据题意得出各行、各列及各条对角线上的三个数字之和为，分别求出a，b，c，x，y的值，再代入代数式计算即可得出答案． 【详解】解：∵各行、各列及各条对角线上的三个数字之和均相等， ∴， ∴，， 解得，， 又∵，， ∴，， 又∵， ∴， ∴ ． 故选:C． 12．我们把不超过有理数的最大整数称为的整数部分，记作，又把称为的小数部分，记作，则有．如：，，．下列说法中正确的有（ ）个 ①；②；③若，且，则或； ④方程的解为或． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题考查新定义下的整数部分和小数部分的概念，熟练掌握有理数的运算及一元一次方程的解法是解题的关键；根据定义判断各说法：①直接计算；②负数的整数部分注意取小于等于的最大整数；③考虑正负情况下的实际小数部分；④将方程化为，通过的整数取值求解． 【详解】解：①∵不超过2.8的最大整数是2，∴，正确； ②∵不超过的最大整数是，∴，错误； ③当时，，，符合； 当时，，，不符合； ∴x只能为1.4，说法错误； ④由，代入方程：， ∴， ∵， ∴，即， ∴，为整数，取， 当时，，，； 当时，，，； 当时，，，； 当时，，，； ∴方程解为或0.25或1.5或2.75，说法中不是解，且遗漏其他解，错误； 综上，只有①正确， 故选：A． 13．若两个有理数的和等于这两个有理数的积，则称这两个有理数互为相依数．例如：有理数与3，因为，所以有理数与3是互为相依数．对于有理数对它进行如下操作：取a的相依数，得到；取的倒数，得到；取的相依数，得到；取的倒数，得到；…；若，则的值是（     ） A． B． C． D．3 【答案】D 【分析】本题考查了规律型：数字的变化类． 根据相依数的定义，计算序列的前几项，发现序列从 开始每 6 项循环一次，求 2025 除以 6 的余数，确定 的值． 【详解】解：当时， 由题意可求得，，解得， 则， 由题意可求得，，解得， 则， 由题意可求得，，解得， ， 此后序列循环，周期为 6． ∵ 余 ， ∴ ． 故选 D． 14．阅读下列材料并解决有关问题： 我们知道，现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式，如化简代数式时，可令和，分别求得和，我们称分别为与的零点值． 在数轴上分别找出零点值对应点，这两点将数轴分为三部分（如图），在有理数范围内，这三部分可将全体有理数分成不重复且不遗漏的如下3种情况：（1）；（2）；（3）．从而化简代数式可分以下3种情况： (1)直接写出和的零点值分别为______和______； (2)化简代数式； (3)解方程． 【答案】(1)，4 (2)原式 (3)或 【分析】本题主要考查绝对值及一元一次方程，理解零点及化简带绝对值的代数式的方法是解答本题的关键． （1）阅读材料，根据零点值的求法，即绝对值里面的代数式等于，即可解答． （2）根据阅读材料中，化简绝对值的代数式的方法，根据的取值范围，分为三种情况，根据绝对值的性质解答即可． （3）根据（2）中的化简结果列方程求解即可． 【详解】（1）解：分别令和， 解得和， 则和的零点值分别为和． （2）解：由（1）知和的零点值分别为和； ①当时，原式， ②当时，原式， ③当时，原式， 综上讨论，原式． （3）解：当时，原方程即为，解得， 当时，原方程即为，解得， 当时，原方程即为，解得，不符合题意，舍去， 所以，原方程分解为或． [题型三 解一元一次方程(二)去括号] 15．一元一次方程的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了解一元一次方程的方法，要熟练掌握解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1．方程去括号、移项、合并同类项、系数化为1即可． 【详解】解：去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 故选：D． 16．下列变形正确的是（    ） A．若，那么 B．若，那么 C．方程，去括号，得 D．方程，移项，得： 【答案】A 【分析】根据等式性质、平方性质、去括号法则及整式乘法运算法则、移项法则逐项验证即可得到答案． 【详解】解：A、根据等式性质，若，则，那么，该选项正确，符合题意； B、当互为相反数时，若，那么，该选项错误，不符合题意； C、根据去括号法则，如果括号外是负的，去括号以后括号内各项要变号，再结合整式乘法运算法则方程，去括号，得，该选项错误，不符合题意； D、根据移项法则，移项后要变号，方程，移项，得：，该选项错误，不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查等式变形，涉及等式性质、平方性质、去括号法则及整式乘法运算法则、移项法则，熟练掌握相关运算法则是解决问题的关键． 17．关于x的方程是关于x的一元一次方程，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先把方程整理为一元一次方程的一般形式，再根据一元一次方程的定义即可求得答案． 【详解】解：， 去括号，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 此方程是关于的一元一次方程， ， 解得． 故选：． 【点睛】本题考查的是一元一次方程的定义：只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1的整式方程叫一元一次方程．也考查了一元一次方程的解法，熟练掌握解一元一次方程的基本步骤（去分母、去括号、移项、合并同类项，系数化为1）是解决本题的关键． 18．如图，把8张形状大小一样的小长方形卡片（长为a，宽为b）不重叠地放在一个大长方形中，未覆盖部分恰好被分割成两个长方形（阴影部分），若左下方与右上方阴影部分面积的差为2ab，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查整式的化简和一元一次方程的解法，解题的关键是设出合理的未知数；先设定大长方形的宽为x，根据题目条件建立方程，解方程求得a和b的关系，进而求得答案即可； 【详解】解：设大长方形的宽为x， 由题意得：左下方阴影部分的面积为，右上方阴影部分的面积为， ∵左下方与右上方阴影部分面积的差为， ∴， 整理得：， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 19．、、、为实数，现规定一种新的运算． （1）则的值为 ； （2）当时， ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，有理数的混合运算，正确理解新定义是解题的关键． （1）根据题意，将所求运算式转化成与新运算式相同的形式，再利用有理数混合运算法则计算； （2）根据题意，将所求运算式转化成与新运算式相同的形式，再解方程解答出结果． 【详解】（1）解：，，，， 因为， 所以， 故答案为：4； 20．规定：用表示大于n的最小整数，例如等；用表示小于n的最大整数，例如，如果整数x满足关系式：，则x＝ ． 【答案】7 【分析】本题考查了新定义，解一元一次方程，解题的关键是正确理解新定义． 根据定义，对于整数x，表示大于的最小整数，由于是整数，因此；表示小于的最大整数，由于是整数，因此，然后代入方程求解即可． 【详解】解：因为x是整数， 所以， 代入方程， 得， 解得， 故答案为：7． （2）解：由得： 所以， 解得， 故答案为：3． 21．定义：若关于的方程的解与关于的方程的解满足（为正数），则称方程与方程是“差解方程”．若关于x，y的两个方程与方程，若对于任何数，都使得它们不是“2差解方程”，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次方程，新定义，绝对值方程，理解新定义，掌握解一元一次方程的方法，绝对值方程的方法是关键． 根据解一元一次方程的方法得到，，再根据“差解方程”的定义得，根据m的系数为0时符合题意，求解即可． 【详解】解：关于的方程， 解得，， 关于的方程， 解得，， ∵两方程不是“2差解方程”， ∴， 整理得，， 当，即时，对于任意数m，都使得 ∴当时，对于任意数m，都使得方程与方程不是“2差解方程”， 故答案为：． 22．阅读与理解：对一个关于的多项式求导数，多项式中的导数等于，常数项的导数为0．已知是关于的多项式，记为．我们规定：的导出多项式为，记为．例如：若，则的导出多项式；若，要求的导出多项式，先化简，则的导出多项式．根据以上材料，回答问题： (1)若，则它的导出多项式___________ (2)设是的导出多项式． ①若，求关于的方程的解； ②已知是关于的二次多项式，且关于的方程的解为整数，求正整数的值． 【答案】(1)； (2) ① ； ② 或 ． 【分析】本题主要考查了新定义、一元一次方程的解法，解决本题的关键是读懂题意，根据新定义求出一个多项式的导出多项式． 根据新定义的规则求出的导出多项式即可； 先求出的导出多项式为，再根据方程得到，解一元一次方程求出的值，即为方程的解； 根据是关于的二次多项式，可知，求出的导出多项式，即可得到关于的一元一次方程，解方程可得，根据方程的解为整数，即可求出正整数的值． 【详解】（1）解：的导出多项式为， 故答案为：； （2）解：， 的导出多项式为， ， ， 解得：； 解：是关于的二次多项式， ， ， 的导出多项式是， ， ， 整理可得：，, ， 方程的解为正整数， 或． [题型四 解一元一次方程(三)去分母] 23．把方程的分母化为整数可得方程（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了解一元一次方程． 通过将分母中的小数化为整数，利用分数的基本性质，将分子和分母同时乘以10，得到新的方程即可． 【详解】解：将原方程两边的分子和分母同时乘以10得：， 故选：B． 24．方程，去分母得到了，这个变形（   ） A．分母的最小公倍数找错了 B．漏乘了不含分母的项 C．分子中的多项式没有添加括号，符号不对 D．正确 【答案】B 【分析】本题考查了解一元一次方程，以及等式的性质，熟练掌握等式的性质是解本题的关键．方程去分母得到结果，即可作出判断． 【详解】解：方程， 左右两边同乘12，去分母得：， 去括号得：， 题中的变形漏乘了不含分母的项． 故选：B． 25．如果方程的解与关于x的方程的解互为相反数，那么a的值为 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，熟知解一元一次方程的步骤是解题的关键． 先解出第一个方程的解，求出其相反数后代入第二个方程可得到关于的一元一次方程，解出即可． 【详解】解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为得：， 将代入， 得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为得：． 故答案为：． 26．王老师在如下所示的木板上写了两个关于x的方程，并解出方程①的解比方程②的解小4，则a的值为（   ） ①； ②． A． B． C．2 D． 【答案】C 【分析】本题考查了解一元一次方程的知识，掌握以上知识是解答本题的关键． 先分别求出两个方程的解，然后根据方程①的解比方程②的解小4，列出方程，然后即可求解． 【详解】解：对于方程①：， ∵ 当 时，两边同乘6得 ，即，矛盾， ∴ ，即， 对于方程②： 移项得： ∴ 由题意，方程①的解比方程②的解小4，即， ， ， 解得， 因此，的值为2； 故选：C． .27．学习了一元一次方程的解法后，老师布置了这样一道计算题两位同学的解答过程分别如下： 甲同学： 解方程 解：…第①步 …第②步 …第③步 …第④步 …第⑤步 …第⑥步 乙同学： 解方程 解：…第①步 …第②步 …第③步 …第④步 …第⑤步 …第⑥步 老师发现这两位同学的解答过程都有错误，请你从甲、乙两位同学中，选择一位同学的解答过程，帮助他找到错误之处． （1）我选择 同学的解答过程进行分析（填“甲”或“乙”）； （2）该同学的解答过程从第 步开始出现错误（填序号）． 【答案】 乙 ① 【分析】（1）选择乙同学的解答过程进行分析； （2）根据解一元一次方程的步骤进行计算，则可发现从第①步开始出现错误． 【详解】解：（1）我选择乙同学的解答过程进行分析； （2） 方程两边同时乘以4，得：， 去括号，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化1，得：． 该同学的解答过程从第①步开始出现错误； 故答案为：（1）乙；（2）①． 【点睛】本题主要考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解答本题的关键． 28．如果是定值，且关于x的方程，无论k为何值时，它的解总是那么的值是（   ） A．15 B．16 C．17 D．18 【答案】C 【分析】本题主要考查了方程的解的定义、代数式的值等知识点，理解方程的解的定义成为解题的关键． 根据解的定义，把方程转化为关于k的一元一次方程，根据方程解的条件求解即可． 【详解】解：将代入， ， ， ， ， 由题意可知：，， ，， ． 故选C． 29．定义：如果两个一元一次方程的解的和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为美好方程．若关于x的方程与是“美好方程”，则关于y的方程的解是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解和解一元一次方程，解题的关键是熟练掌握解一元一次方程的方法，准确计算． 先求出两个方程的解，然后根据“美好方程”的定义将关于y的方程变形，即可求解． 【详解】解：， 解得：， ， 解得：， 方程与是“美好方程”， ， ， 可化为：， ， ， 故答案为：． 30．对于整数，，定义一种新运算“”：当为偶数时，规定；当为奇数时，规定．则下列结论正确的有（   ）． ①当，时，则； ②已知，，且的值与的取值无关，则； ③已知关于的方程的解是正整数，满足条件的最小的整数记为，最大的整数记为，则； ④若，则关于的方程无解． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题考查了新定义，解一元一次方程，整式的加减无关型问题，化简绝对值等知识，正确理解新定义规定的运算是解答本题的关键． 对于①，直接根据新定义计算；对于②，利用整式的加减法表示，根据其值与的取值无关得到，求出，继续利用新定义计算；对于③，先解方程得到，根据要求得到或2或3或1，则 ，继续利用新定义计算；对于④，当为偶数时，则为奇数，，当为奇数时，则m为偶数，，分类讨论化简绝对值，化简计算，验证即可． 【详解】解：①当，时，为奇数， ∴，故①正确； ②∵，， ∴， ∵的值与的取值无关， ∴， ∴， ∴为偶数， ∴，故②错误； ③， 解得：， ∵方程的解是正整数 ∴或2或3或1， ∴或6或7或5， ∴， ∴为奇数， ，故③正确； ④当为偶数时，则为奇数，， 当时，，解得：（舍） 当时，，解得：（舍）， 当时，，解得：（舍）； 当为奇数时，则m为偶数，， 当时，，解得：（舍）； 当时，，解得：； 当时，，解得：； ∴当时，方程为，此方程无解， 当，方程为，此方程有解，故④错误， ∴正确的有2个， 故选：C． [题型五 已知一元一次方程得解,求参数] 31．在不同的条件下，关于x的方程解的情况如下：（1）当时，方程有唯一解；（2）当，时，方程有无数解；（3）当，时，方程无解．请根据以上知识解决下列问题：已知关于x的方程无解，则m的值是（　　） A．3 B．0 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查方程的解、解一元一次方程，理解方程的解是解答的关键． 将方程化为标准形式，根据无解的条件且，求解的值． 【详解】解：∵原方程为， 移项得， 合并同类项得， ∴方程化为标准形式，其中，． ∵方程无解需满足且， ∴，解得， 此时，满足条件． ∴的值为3． 故选：A 32．小明解方程，去分母时，方程右边的忘记乘12，因而求出的解为，则原方程正确的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解一元一次方程，将错就错，求出的值，再解方程，求出方程的解即可. 【详解】解：根据小明的错误解法得：， 把代入得：， 解得：， ， 去分母得：. 去括号得：. 移项并合并同类项得：. 系数化为得：. 故选：． 33．小马同学在解关于x的方程时，在去分母过程中等号右边漏乘“6”，解得，则k的值为（   ） A．1 B．2 C．4 D．6 【答案】B 【分析】本题考查一元一次方程错解复原问题，将错就错，去分母后，将代入，求解即可． 【详解】解：按照小马同学去分母的过程得：， 把代入，得：， 解得：； 故选B． 34．已知关于的方程有无数多个解，那么 ， ． 【答案】 【分析】本题主要考查了含有一个未知数的方程有无数个解的条件，正确理解条件是解题的关键． 首先把方程进行化简，方程有无数个解即方程的一次项系数等于0，据此即可求得，的值． 【详解】解：化简得：， 即：， 根据题意得：，且 解得：， 故答案为：，． 35．若不论k取什么数，关于x的方程（m、n是常数）的解总是．则的值是（     ） A． B． C． D．15 【答案】A 【分析】先把代入方程，整理成关于k的一元一次方程，根据方程的解与k无关，得到关于k的方程有无数解，根据一元一次方程有无数解的条件，列式解答即可． 本题考查了一元一次方程的解，熟练掌握方程有无数解的基本条件是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵不论k取什么数，关于x的方程（m、n是常数）的解总是， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 36．规定关于的一元一次方程的解为，则称该方程是定解方程， 例如：的解为，则该方程就是定解方程； (1)若关于的一元一次方程是定解方程，则的值为______； (2)若关于的一元一次方程是定解方程，它的解为，求，的值； (3)若关于的一元一次方程和都是定解方程，求代数式的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了解一元一次方程、代数式求值等知识点，理解定解方程的定义是解题的关键． （1）根据定解方程的概念列式求解即可； （2）根据a是方程的解得到关于a、b的一个方程，再反而不好根据定解方程的概念列式得到关于a、b的一个等式，然后联立两方程求解即可； （3）根据定解方程的概念列式得到关于m、n的两个方程，联立求解得到m、n的关系，然后代入化简后的代数式进行计算求解即可． 【详解】（1）解：解方程可得：， ∵关于的一元一次方程是定解方程， ∴，解得：． （2）解：解方程可得：， ∵关于的一元一次方程是定解方程，它的解为， ∴①， ∵关于的一元一次方程是定解方程， ∴②， ①②联立得∶解得：． （3）解：∵关于的一元一次方程和都是定解方程， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ． [题型六 一元一次方程解的关系] 37．若关于的一元一次方程和方程的解互为倒数，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次方程的解，熟练掌握一元一次方程的解的定义是解题的关键．分别解方程和方程，根据两个方程的解互为倒数，得到关于的一元一次方程，即可求解． 【详解】解：解方程，得， 解方程，得， 关于的一元一次方程和方程的解互为倒数， ， 解得：． 故选：A． 38．如果两个方程的解相同，那么我们把这两个方程称为同解方程．若关于x的一元一次方程与是同解方程，则的值为（   ） A．6 B．3 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查解一元一次方程，理解同解方程的概念，掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键． 先解关于x的一元一次方程，然后代入中，再解关于a得一元一次方程即可． 【详解】解： ， ∵方程与是同解方程， ∴将代入中 解得：． 故选：C． 39．若关于的方程的解是整数，则整数的取值个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是方程的解，熟练掌握解方程是解决此题的关键； 先计算方程的解，然后选取和题意符合的解，即可求解； 【详解】解： 关于的方程的解是整数； 则整数，，共个； 故选：C 40．关于的一元一次方程的解为整数，则整数的所有可能的取值之和为 ． 【答案】12 【分析】本题考查了解一元一次方程和一元一次方程的整数解．熟练掌握解一元一次方程是解题的关键．先求出原方程的解为，根据原方程有整数解可得的值为4或2或5或1，再求和即可． 【详解】解：解方程得． 由题意可得为整数， 所以或， 解得的值为4或2或5或1， 所以整数的所有可能的取值之和为． 故答案为：12． 41．若关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的解法，将方程变形得，设，可得方程的解即为方程的解，即得，据此即可求解，掌握换元法是解题的关键． 【详解】解：方程变形得，， 设， 则方程的解即为方程的解， ∵方程的解为， ∴， ∴， ∴一元一次方程的解为， 故答案为：． 42．已知关于的方程． (1)若，求该方程的解； (2)若是方程的解，求的值； (3)若该方程的解与方程的解相同，求的值； (4)某同学在解该方程时，误将“”看成了“”，得到方程的解为，求的值； (5)若该方程有正整数解，求整数的最小值． 【答案】(1) (2) (3) (4)； (5) 【分析】本题考查同解方程、一元一次方程的解法、求代数式的值， （1）依据题意得，当时，方程为，求解即可； （2）依据题意，由是方程的解，得，解关于的方程，再将的值代入计算即可； （3）依据题意，由方程的解为，从而得，再解关于的方程即可； （4）依据题意，由误将“”看成了“”，得到方程的解为，可得，再解关于的方程即可； （5）依据题意，由，可得，再结合取正整数，从而为的正因数，又取最小值，进而得解； 解题时要能读懂题意并列出方程是解题的关键． 【详解】（1）解：当时，方程为， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵是方程的解， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴的值为； （3）解：∵， 解得：， ∵方程的解与方程的解相同， ∴， ∴， 解得：， ∴的值为； （4）解：∵误将“”看成了“”，得到方程的解为， ∴是方程的解， ∴， 解得：， ∴的值为； （5）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵取正整数， ∴为的正整数倍数． 又∵取最小值， ∴， ∴， ∴的值为． [题型七 绝对值方程] 43．若，则x的值为（   ） A．8 B． C．8或 D．5或 【答案】C 【分析】本题考查了绝对值方程的求解，解题的关键是根据绝对值的定义将绝对值方程转化为两个一元一次方程来求解． 根据绝对值的定义，可得或，分别求解这两个一元一次方程，得到或． 【详解】解：因为， 所以的值为或． 当时，； 当时，． 所以的值为或， 故选：C． 44．王博在做课外习题时遇到如图所示一道题，其中是被污损而看不清的一个数，他翻看答案后得知该题的计算结果为15，则表示的数是（   ） A．10 B． C． D．10或 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的加减、绝对值，能根据题意列方程是解题的关键． 根据题意列出方程，解方程即可得到结果． 【详解】 设“”表示的数是x，根据题意得：， 整理得：， 即或， 解得：或， 故选：D． 45．，，且，那么的值是（    ） A．5或13 B．5或 C．或13 D．或 【答案】A 【分析】本题考查了绝对值的性质以及有理数的加减运算，求解代数式的值．根据绝对值的性质结合得出x，y的取值情况，然后利用有理数加法法则计算． 【详解】解：， 又 当，时，， 当，时， 的值是或 故选A． 46．规定以下两种变换：， ； 例如：， ；若，则x的值为（   ） A．3 B．4 C．或3 D．4或 【答案】D 【分析】本题考查了新定义，化简绝对值，绝对值方程，正确理解新定义是解题的关键．根据得出含绝对值的方程，解方程可得答案． 【详解】解：由题可得：， 当时，，解得； 当时，，方程无解； 当时，，解得； 综上，x的值为4或． 故选：D． 47．若，，为互不相等的偶数，满足，且，则使等式成立的的值为 ． 【答案】8或32 【分析】本题考查了有理数的乘法运算，绝对值方程． 首先由条件且，，为互不相等的偶数，，求出，然后解方程，通过分类讨论得到的值即可． 【详解】解：∵为互不相等的偶数， ∴为互不相等的偶数， ∵，， ∴， 即， ∵， ∴， 当时，，，方程化为，解得； 当时，，，方程化为，无解； 当时，，，方程化为，解得； 故的值为8或32． 故答案为：8或32． 48．关于x的方程恰有三个解，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D．2022 【答案】B 【分析】本题考查了绝对值方程． 先解绝对值方程，求出方程的四个解，再根据绝对值的非负性得到，即，可知，则四个解的大小为，根据关于x的方程恰有三个解，可知，计算即可． 【详解】解：∵， ∴或， ∴或， ∴或或或， 即或或或． ∵， ∴． 即 ∵关于x的方程恰有三个解， ∴， ∴． 故选：B． 49．已知3个多项式分别为：，，． ①若，则； ②无论x取何值，一定都有； ③若的值与x无关，则，； ④代数式化简后共有3种不同的表达式． 其中正确的是 ． 【答案】②④/④② 【分析】本题主要考查整式的加减运算及绝对值的意义，熟练掌握整式的加减运算及绝对值的意义是解题的关键；因此此题可根据整式的加减运算及绝对值的意义进行排除答案即可． 【详解】解：∵，， ∴， 解得：或，故①错误； ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴无论x取何值，一定都有，故②正确； ∵，，， ∴ ， ∵的值与x无关， ∴， 解得：，故③错误； ∵， ∴当时，则有：， 当时，则有：， 当时，则有：， ∴代数式化简后共有3种不同的表达式，故④正确； 故答案为②④． 50．已知两个多项式，，以下结论中正确的个数有（  ） ①若，则； ②若的值与x的值无关，则； ③若，则； ④若关于y的方程的解为整数，则符合条件的非负整数有3个． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查了整式的加减运算，准确理解参数的意义和利用绝对值的性质求解是解题的关键． 分别验证四个结论：①计算得，解得正确；②化简后与无关，得，，，正确；③化为，解得正确；④方程，为整数时m有，，，四个非负整数，错误． 【详解】，， ， 若，则， ，正确； ， ， 值与无关， ，， ，， ，正确； ， ， 即， 点到和距离和为，且， 当时等式成立，正确； ， 方程， ， 解为整数，则为的约数：，，， 为非负整数且， ，，，，共个，错误； 正确的个数有个． 故选：． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题4.2一元一次方程及其解法 题型梳理. [题型一 判断是否是一元一次方程]............................................................................................3 [题型二 解一元一次方程(一)合并同类项与移项]......................................................................6 [题型三 解一元一次方程(二)去括号]........................................................................................12 [题型四 解一元一次方程(三)去分母]........................................................................................18 [题型五 已知一元一次方程得解,求参数]..................................................................................25. [题型六 一元一次方程解的关系]...............................................................................................29 [题型七 绝对值方程]...................................................................................................................34.. 一元一次方程及其解法 一元一次方程是初中代数的基础，是解决实际问题的重要工具，其核心是 “通过等式变形，将方程转化为x=a（a为常数）的形式”。以下从核心概念、解法步骤、易错点、经典例题四个维度，系统梳理相关知识。 一、核心概念：明确一元一次方程的定义 1. 定义 只含有一个未知数（通常用x、y等字母表示），且未知数的最高次数为 1（即未知数的指数是 1），同时等式两边都是整式（分母不含未知数）的方程，叫做一元一次方程。 2. 标准形式 一元一次方程的标准形式为：ax+b=0​（其中a、b为常数，且a≠0）。 a：未知数的系数（不能为 0，否则方程变为b=0，不再是一元一次方程）； b：常数项； 二、核心解法：一元一次方程的 “五步解法” 解一元一次方程的本质是 “利用等式的基本性质，逐步消除未知数的系数和常数项，最终得到x=a”，通用步骤可分为五步，具体如下： 1. 等式的基本性质（解法依据） 开始解法前，需牢记两个核心性质，这是所有变形的基础： 性质 1：等式两边同时加（或减）同一个数（或整式），等式仍然成立；例：若x+3=5，则x+3−3=5−3（两边同时减 3），得x=2。 性质 2：等式两边同时乘（或除以）同一个不为 0的数，等式仍然成立；例：若2x=6，则2x÷2=6÷2（两边同时除以 2），得x=3。 2. 五步解法（以方程−=1为例） 第一步：去分母（消除分数，简化计算） 依据：等式性质 2（两边同时乘所有分母的最小公倍数，分母为 3 和 2，最小公倍数是 6）； 第二步：去括号（消除括号，展开式子） 依据：去括号法则（括号前是 “+”，括号内不变号；括号前是 “-”，括号内全变号；括号前有数字，先乘到括号内）； 第三步：移项（将含未知数的项移到左边，常数项移到右边） 依据：等式性质 1（移项时，“过等号要变号”，即加变减、减变加）； 第四步：合并同类项（简化左右两边的式子） 依据：合并同类项法则（同类项的系数相加，字母和指数不变）； 第五步：系数化为 1（确保未知数系数为 1，得到最终解） 若未知数系数不为 1（如2x=8），需依据等式性质 2，两边同时除以系数（2x÷2=8÷2，得x=4）； 3. 特殊情况：方程无解或有无数解 并非所有一元一次方程都有唯一解，需根据化简结果判断： 无解：化简后得到 “矛盾等式”（如0x=5，无论x取何值，左边 = 0≠5）； 无数解：化简后得到 “恒成立等式”（如0x=0，无论x取何值，等式都成立）； 唯一解：化简后得到x=a（如x=14，只有 1 个解）。 三、高频易错点提醒（避坑指南） 1.去分母漏乘常数项 2.去括号符号错误 3.移项不变号 4.系数化为 1 时除以 0 5.分数系数处理失误 （练习题） [题型一 判断是否是一元一次方程]. 1．已知下列方程：；；；；；．其中一元一次方程的个数是（    ） A． B． C． D． 2．下列解方程正确的有（   ） ①由，得；       ②由，得； ③由，得；      ④由，得． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．已知a，b为任意有理数，下列说法正确的有（   ） ①关于x的方程是一元一次方程； ②关于x的方程的解为； ③当互为相反数时，关于x的方程的解是． A．③ B．①② C．②③ D．①②③ 4．若是关于x的一元一次方程，则m，n应满足的条件是 ． 5．已知是关于x的一元一次方程，则代数式的值为 ． 6．若是关于的一元一次方程，则代数式的值是（    ） A．54 B．56 C．169 D．171 [题型二 解一元一次方程(一)合并同类项与移项] 7．如果方程与方程的解相同，则的值为 ． 8．如图所示的运算程序中，若开始输入x的值是4，输出的结果为5．若输出的结果是0，则输入的x为 ． 9．将正方形图1作如下操作．第1次：分别连接各边中点如图2，得到5个正方形；第2次：将图2左上角正方形按上述方法再分割如图3，得到9个正方形，……，以此类推，根据以上操作，若要得到2025个正方形，则需要操作的次数是（   ） A．504 B．505 C．506 D．507 10．已知：方程的解是；方程的解是；方程的解是（由得出）．则方程的解是 ． 11．幻方，最早源于我国，古人称之为纵横图．在如图所示的幻方中，各行、各列及各条对角线上的三个数字之和均相等，则的值为（    ） a x 0 b y c A． B．4 C． D．2 12．我们把不超过有理数的最大整数称为的整数部分，记作，又把称为的小数部分，记作，则有．如：，，．下列说法中正确的有（ ）个 ①；②；③若，且，则或； ④方程的解为或． A．1 B．2 C．3 D．4 13．若两个有理数的和等于这两个有理数的积，则称这两个有理数互为相依数．例如：有理数与3，因为，所以有理数与3是互为相依数．对于有理数对它进行如下操作：取a的相依数，得到；取的倒数，得到；取的相依数，得到；取的倒数，得到；…；若，则的值是（     ） A． B． C． D．3 14．阅读下列材料并解决有关问题： 我们知道，现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式，如化简代数式时，可令和，分别求得和，我们称分别为与的零点值． 在数轴上分别找出零点值对应点，这两点将数轴分为三部分（如图），在有理数范围内，这三部分可将全体有理数分成不重复且不遗漏的如下3种情况：（1）；（2）；（3）．从而化简代数式可分以下3种情况： (1)直接写出和的零点值分别为______和______； (2)化简代数式； (3)解方程． [题型三 解一元一次方程(二)去括号] 15．一元一次方程的解是（   ） A． B． C． D． 16．下列变形正确的是（    ） A．若，那么 B．若，那么 C．方程，去括号，得 D．方程，移项，得： 17．关于x的方程是关于x的一元一次方程，则（    ） A． B． C． D． 18．如图，把8张形状大小一样的小长方形卡片（长为a，宽为b）不重叠地放在一个大长方形中，未覆盖部分恰好被分割成两个长方形（阴影部分），若左下方与右上方阴影部分面积的差为2ab，则的值为（   ） A． B． C． D． 19．、、、为实数，现规定一种新的运算． （1）则的值为 ； （2）当时， ． 20．规定：用表示大于n的最小整数，例如等；用表示小于n的最大整数，例如，如果整数x满足关系式：，则x＝ ． 21．定义：若关于的方程的解与关于的方程的解满足（为正数），则称方程与方程是“差解方程”．若关于x，y的两个方程与方程，若对于任何数，都使得它们不是“2差解方程”，则的值是 ． 22．阅读与理解：对一个关于的多项式求导数，多项式中的导数等于，常数项的导数为0．已知是关于的多项式，记为．我们规定：的导出多项式为，记为．例如：若，则的导出多项式；若，要求的导出多项式，先化简，则的导出多项式．根据以上材料，回答问题： (1)若，则它的导出多项式___________ (2)设是的导出多项式． ①若，求关于的方程的解； ②已知是关于的二次多项式，且关于的方程的解为整数，求正整数的值． [题型四 解一元一次方程(三)去分母] 23．把方程的分母化为整数可得方程（   ） A． B． C． D． 24．方程，去分母得到了，这个变形（   ） A．分母的最小公倍数找错了 B．漏乘了不含分母的项 C．分子中的多项式没有添加括号，符号不对 D．正确 25．如果方程的解与关于x的方程的解互为相反数，那么a的值为 ． 26．王老师在如下所示的木板上写了两个关于x的方程，并解出方程①的解比方程②的解小4，则a的值为（   ） ①； ②． A． B． C．2 D． .27．学习了一元一次方程的解法后，老师布置了这样一道计算题两位同学的解答过程分别如下： 甲同学： 解方程 解：…第①步 …第②步 …第③步 …第④步 …第⑤步 …第⑥步 乙同学： 解方程 解：…第①步 …第②步 …第③步 …第④步 …第⑤步 …第⑥步 老师发现这两位同学的解答过程都有错误，请你从甲、乙两位同学中，选择一位同学的解答过程，帮助他找到错误之处． （1）我选择 同学的解答过程进行分析（填“甲”或“乙”）； （2）该同学的解答过程从第 步开始出现错误（填序号）． 28．如果是定值，且关于x的方程，无论k为何值时，它的解总是那么的值是（   ） A．15 B．16 C．17 D．18 29．定义：如果两个一元一次方程的解的和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为美好方程．若关于x的方程与是“美好方程”，则关于y的方程的解是 ． 30．对于整数，，定义一种新运算“”：当为偶数时，规定；当为奇数时，规定．则下列结论正确的有（   ）． ①当，时，则； ②已知，，且的值与的取值无关，则； ③已知关于的方程的解是正整数，满足条件的最小的整数记为，最大的整数记为，则； ④若，则关于的方程无解． A．0 B．1 C．2 D．3 [题型五 已知一元一次方程得解,求参数] 31．在不同的条件下，关于x的方程解的情况如下：（1）当时，方程有唯一解；（2）当，时，方程有无数解；（3）当，时，方程无解．请根据以上知识解决下列问题：已知关于x的方程无解，则m的值是（　　） A．3 B．0 C． D． 32．小明解方程，去分母时，方程右边的忘记乘12，因而求出的解为，则原方程正确的解为（   ） A． B． C． D． 33．小马同学在解关于x的方程时，在去分母过程中等号右边漏乘“6”，解得，则k的值为（   ） A．1 B．2 C．4 D．6 34．已知关于的方程有无数多个解，那么 ， ． 35．若不论k取什么数，关于x的方程（m、n是常数）的解总是．则的值是（     ） A． B． C． D．15 36．规定关于的一元一次方程的解为，则称该方程是定解方程， 例如：的解为，则该方程就是定解方程； (1)若关于的一元一次方程是定解方程，则的值为______； (2)若关于的一元一次方程是定解方程，它的解为，求，的值； (3)若关于的一元一次方程和都是定解方程，求代数式的值． [题型六 一元一次方程解的关系] 37．若关于的一元一次方程和方程的解互为倒数，则的值为（   ） A． B． C． D． 38．如果两个方程的解相同，那么我们把这两个方程称为同解方程．若关于x的一元一次方程与是同解方程，则的值为（   ） A．6 B．3 C． D． 39．若关于的方程的解是整数，则整数的取值个数是（    ） A． B． C． D． 40．关于的一元一次方程的解为整数，则整数的所有可能的取值之和为 ． 41．若关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程的解为 ． 42．已知关于的方程． (1)若，求该方程的解； (2)若是方程的解，求的值； (3)若该方程的解与方程的解相同，求的值； (4)某同学在解该方程时，误将“”看成了“”，得到方程的解为，求的值； (5)若该方程有正整数解，求整数的最小值． [题型七 绝对值方程] 43．若，则x的值为（   ） A．8 B． C．8或 D．5或 44．王博在做课外习题时遇到如图所示一道题，其中是被污损而看不清的一个数，他翻看答案后得知该题的计算结果为15，则表示的数是（   ） A．10 B． C． D．10或 45．，，且，那么的值是（    ） A．5或13 B．5或 C．或13 D．或 46．规定以下两种变换：， ； 例如：， ；若，则x的值为（   ） A．3 B．4 C．或3 D．4或 47．若，，为互不相等的偶数，满足，且，则使等式成立的的值为 ． 48．关于x的方程恰有三个解，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D．2022 49．已知3个多项式分别为：，，． ①若，则； ②无论x取何值，一定都有； ③若的值与x无关，则，； ④代数式化简后共有3种不同的表达式． 其中正确的是 ． 50．已知两个多项式，，以下结论中正确的个数有（  ） ①若，则； ②若的值与x的值无关，则； ③若，则； ④若关于y的方程的解为整数，则符合条件的非负整数有3个． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 , 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $