25.3 课时3 单双循环问题、数字问题&专题3 一元二次方程的其他应用-【勤径学升】2026-2027学年九年级上册数学同步练测（人教版·新教材）黑龙江专版

设售价应定为x元，则每件的利润为(x-200)元， 月销售量为100+20(300-=(700-2)件 10 依题意，得(x-200)(700-2x)=10000 解得x1=250,x2=300(不合题意，舍去) 答：售价应定为250元. (2)线上购买所需费用为250×38=9500（元）. 因为线下购买，买五送一， 所以线下超市购买只需付32件的费用， 所以线下购买所需费用为300×32=9600（元）. 9500<9600. 答：选择在线上购买更优惠， 【能力提升练】 1.C2.D 3.解：设该种药品平均每次降价的百分率是x, 依题意，得200(1-x)2=98, 解得x1=1.7(不合题意，舍去)，x2=0.3=30%. 答：该种药品平均每次降价的百分率是30%. 4.解：设每床每晚提高x个2元，则每床每晚收费为(10+2x) 元，每晚租出的总床位为(100-10x)张 根据题意，得(10+2x)(100-10x)=1120. 整理，得x2-5x+6=0, 所以x1=2,x2=3. 当x=2时，2x=4:当x=3时，2x=6. 答：每床每晚应提高4元或6元 5.解：(1)设y与x之间的函数解析式为y=kx+b(k≠0)，则 r2k+b=120, 解得 k=10, L4k+b=140, 1b=100, .y与x之间的函数解析式为y=10x+100(0<x<20) (2)由题意，得(60-40-x)(10x+100)=2090, 整理，得x2-10x+9=0,解得1=1，x2=9. ·让顾客得到更大的实惠，.x=9. 答：若该商贸公司要想获利2090元，则这种千果每千克应 降价9元 6.解：任务1：[80-(90-80)×1]×90+(400-90)×30= 15600(元) 答：若补进镇流器90件，则学校补进镇流器和灯管共花费 15600元. 任务2：(160-x)(12000-30x) 任务3：依题意，得x(160-x)+(12000-30x)=15000, 解得x1=30,x2=100. 因为80≤x≤110，所以x=100 答：故补进镇流器100件。 课时3单双循环问题、数字问题 【基础巩固练】 1.A2.C 3.解：(1)设应该邀请x支球队参加比赛， 根据题意，得x(x-1)=56, 参考答案及解析 解得x1=8,x2=-7(不合题意，舍去). 答：应该邀请8支球队参加比赛。 (2)3+7×6=45(场). 答：实际共比赛45场. 4.解：(1)310(m-1) (2)设参加聚会的人数为x, 1 由题意，得2x(x-1)=28, 整理得x2-x-56=0, 解得x1=8,x2=-7(不合题意，舍去) 答：参加聚会的人数为8. (3):线段AB上共有m个点（不含端点A,B), .可看成共有(m+2)个人握手， 线段总数为(m+2)(m+1)。 5.B6.97.76 8.解：设这个最小数为x,则最大数为x+8. 依题意，得x(x+8)=65, 整理，得x2+8x-65=0, 解得x1=5,x2=-13(不合题意，舍去). 答：这个最小数为5. 【能力提升练】 1.B2.B3.23或324.3 5.解：设周瑜逝世年龄的个位数字为x,则十位数字为x-3, 根据题意，得10(x-3)+x=x2, 解得x1=5,x2=6. 当x=5时，周瑜逝世的年龄是25岁，非而立之年，不合题 意，舍去； 当x=6时，周瑜逝世的年龄是36岁，符合题意. 答：周瑜的逝世年龄是36岁. 6.解：设原两位数的个位数字为x,则十位数字为3-x 根据题意，得[10(3-x)+x][10x+(3-x)]=252, 整理，得x2-3x+2=0,解得x1=1,x2=2, ∴.3-x=2或3-x=1. 答：原两位数是21或12. 7.解：(1)914 (2)由题意，得0(，-3》=20， 2 整理，得n2-3n-40=0, 解得n1=8,2=-5(不合题意，舍去)， 则边数n为8. (3)小明的说法不正确.理由如下： 设这个多边形的边数为a, 由题意，得7a(a-3)=10, 整理，得a2-3a-20=0, 解得4,3+，8（不合题意，舍去），2 2 3-89(不合题 2 ·7 同步练测·九年级数学（上册） 意，舍去)， 所以小明的说法不正确. 专题3一元二次方程的其他应用 1.C2.83.B 4.解：(1)点P从点A到点B的时间为6÷1=6(s),点Q从点 B到点C的时间为8÷2=4(s). 设经过ts,△PBQ的面积等于8cm2, 则2(6-t)2=8,2-6t+8=0, 解得t1=2,=4, ∴.经过2s或4s,△PBQ的面积等于8cm2. (2)不会.理由： 在△ABC中，∠B=90°，AB=6cm,BC=8cm, 1 六SAARG=2×6x8=24(cm), 设经过ms,△PBQ的面积等于△ABC的面积的一半， 根据题意，得乃(6-m)·2m=子×24， .m2-6m+12=0. 62-4ac=(-6)2-4×12=36-48=-12<0, .关于m的一元二次方程无实数根， .△PBQ的面积不会等于△ABC的面积的一半. 5.解：(1)10 n(n+1) 2 (2)令nn,+D=29, 2 4=12-4×1×(-58)=233. 233不是完全平方数， .方程无正整数根， .不存在这样的图形 数学活动（一）探究方程有公共解的条件 1.2或-1[解析]：关于x的一元二次方程4ax2+4bx+c =0,4bx2+4cx+a=0,4cx2+4ax+b=0有公共解，.可设 公共解为h,则a2+bl+年=0，b2+t+朵=0，cd2+au+ 年=0，三式相加，得(a+6+o)2+(a+b+c)+++上 4 0,即(a+b+e)(e+i+4）=0.:2++4=(+2)》 ≥0，a+6+c=0或1=-分，当a+6+e=0时，即c -a-b时，原式=2-2-2=（-a-b2-2-2 ab ab 2+2ab+-0=心2驰-2；当t=-之时，分别代入三 一三 ab ab 个方程可得a-2b+c=0,a+b-2c=0,联立两式解得a=b =c,此时C-g-=2-g-a=1-1-1=-1. ab-b-aa·aaa 综上所选，代教式号-只-凸的值为2或-1 ab-b-a 2.(1)解：x2+2x+c=0的倒方程为cx2+2x+1=0, ·8… 把x=2代入cx2+2x+1=0,得4c+4+1=0, 解得e=一子 (2)证明：一元二次方程ax2-2x+c=0无解， 4=(-2)2-4ac<0,.ac>1, 一元二次方程ax2-2x+c=0的倒方程为cx2-2x+a=0. 4'=(-2)2-4ca=4-4ac, 而ac>1,∴.△'<0，.它的倒方程也一定无解 (3)解：一元二次方程ax2-2x+c=0的倒方程为cx2-2x+ a=0,而倒方程只有一个解， c=0,则-2x+a=0,解得x=受 把x=号代入a㎡2-2x=0,得ax 4-a=0, 而a≠0，∴.a=2或a=-2. 数学活动（二）神奇的线段分割 ra=b+c, (1)证明：由题意，得 111 a+方=, 把a=6+代入日+=e+古=日 a 整理，得62-bc-c2=0. 把上式看成关于6的一元二次方程，由求根公式，得b=1±5。 C 2 因为b>0,c>0,所以取正根6=1+5。 2C, 代人a=6+e,得a告5。+e35 2c, 所以a:b:c=(3+V5):(1+V5):2, 所以这样的“完美分割”存在，三条线段的最简比为(3+√5)： (1+√5)：2. (2)解：如答图所示，点M,N即为所求的点. A F M ENB 答图 易错疑难集训一 1.B2.-23.B 4.解：(1)一原方程没有化成一般形式 (2)原方程化成一般形式为x2-5x-1=0. a=1,b=-5,c=-1, .b2-4ac=(-5)2-4×1×(-1)=29, x=5±29 2同步练测·九年级数学（上册） 课时3单双循环问题、数字问题 《基础巩固练) [答案] 知银点（①单双循环问题 (3)嘉嘉由握手问题想到了一个数学问题：若线 ①新情境在第33届奥运会中国国家乒乓球队选 段AB上共有m个点（不含端点A,B),则线 段总数为多少呢？请直接写出结论 拔赛的某个阶段中，采用分组单循环（每两人之 间都只进行一场比赛)制，每组x人，若每组共 需进行15场比赛，则根据题意可列方程为 A2(x-1)=5 B2(x+10=15 C.x(x-1)=15 D.x(x+1)=15 2在一次酒会上，每两人都只碰一次杯，如果一共 碰杯55次，那么参加酒会的有 知银点（②数字问题 A.9人B.10人C.11人D.12人 5两个相邻自然数的积是132，则这两个数中，较 3某市要组织一次篮球联赛，赛制为双循环形式 大的数是 (每两队之间都赛两场)，计划安排56场比赛。 A.11B.12 C.13 D.14 (1)应该邀请多少支球队参加比赛？ 6三个连续的正奇数，最大数与最小数的积比中 (2)若某支球队参加3场后，因故不参加以后的 间的数的6倍大3，则最大数为 比赛，则实际共比赛多少场？ 7一个两位数，个位数字比十位数字少1，且个位 数字与十位数字的乘积为42，则这个两位数是 8如图，在某月的日历表上可以用一个方框圈出4 个数，若圈出的4个数中，最小数与最大数的积 为65，求这个最小数.（请用方程知识解答) 日已目四国因间 1234 567891011 12131415161718 19202122232425 262728293031 8题图 4(河南郑州期中)在一次聚会上，规定每两个人 见面必须握手，且握手1次， (1)若参加聚会的人数为3，则共握手 次；若参加聚会的人数为5，则共握手 次；若参加聚会的人数为n(n≥2， 且n为正整数)，则共握手 次； (2)若参加聚会的人共握手28次，请求出参加 聚会的人数； 20 第二十五章一元二次方程 《能力提升练> [答案] 1某航空公司有若干个飞机场，每两个飞机场之 6一个两位数，它的个位数字和十位数字之和为 间都开辟一条航线，一共开辟了10条航线，则这 3,把这两个数字交换位置后所形成的两位数与 个航空公司共有飞机场 原两位数的积是252，求原两位数 A.4个B.5个 C.6个D.7个 2(河南瀑河期中)一次会议上，每两个参加会议 的人都相互握了一次手，经统计所有人一共握 了66次手，则这次会议到会的人数是( A.11B.12 C.22 D.33 3一个两位数两个数位上数字的和为5，把这个两 位数的个位数字与十位数字互换得到一个新的 两位数，它与原两位数的积为736，则原两位数 是 ④某校团体操表演队伍有6行8列，后又增加了 51人，使得团体操表演队伍增加的行、列数相 同，则增加了 行 5[传线文化]子曰：“吾十有五而志于学，三十而 立，四十而不惑，五十而知天命，六十而耳顺，七 7[核心素养]我们都知道连接多边形任意不相邻 十而从心所欲，不逾矩.” 的两顶点的线段称为多边形的对角线，也都知 一《论语·为政》 道四边形的对角线有2条，五边形的对角线有 列方程解决下面问题： 5条. 大江东去浪淘尽，千古风流数人物； (1)六边形的对角线有 条，七边形的对 而立之年督东吴，早逝英年两位数； 角线有条； 十位恰小个位三，个位平方与寿符； (2)若n边形的对角线共有20条，求边数n; 哪位学子算得快，多少年华属周瑜？ (3)小明说：“我求得一个多边形共有10条对角 线.”你认为小明的说法正确吗？为什么？ 023 香同步练测·九年级数学（上册） 专题3一元二次方程的其他应用 [答案P8] 类型⑧古代数学问题 (2)△PBQ的面积能等于△ABC面积的一半吗？ ①我国古代数学家杨辉在《田亩比类乘除捷法》中 若能，请求出此时的移动时间；若不能，请说 记录了这样的一个问题：“直田积八百六十四 明理由、 步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几何？” 其大意是：一块矩形田地的面积是864平方步， 只知道它的宽比长少12步，问它的宽和长各为 多少步？设宽为x步，则下列符合题意的方程是 ( 4题图 A.x(12-x)=864 B.x(x-12)=864 C.x(12+x)=864 D.x(12+x）=864 2 2《九章算术》中提出了如下问题：今有户不知高 广，竿不知长短，横之不出四尺，从之不出二尺， 邪之适出，问户高、广、邪各几何？这段话的意 类型③规律问题 思是：今有门不知其高、宽，有竿，不知其长短， 5观察下列各图，图①中有1个三角形，图②中有 横放，竿比门宽长出4尺；竖放，竿比门高长出2 3个三角形，图③中有6个三角形，… 尺；斜放，竿与门对角线的长恰好相等.问门高、 (1)根据规律可知图④中有 个三角形， 宽和对角线的长各是多少？则该问题中的门高 图@中有 个三角形（用含正整数n 是 尺 的代数式表示)； 类型⑧动点问题 (2)在(1)中是否存在一个图形，该图形中共有 3(广东深圳期中)如图，在矩形ABCD A 29个三角形？请通过计算说明. 中，AB=8cm,AD=3cm,动点P,Q同 D 时出发，点P从A点出发以2cm/s的 速度向点B移动，一直到达点B为止， 点Q从点C出发以1cm/s的速度向点 B BA 3题图 5题图① 5题图②5题图③ 5题图④ D移动.请问当点P和点Q的距离是 5cm时，P,Q两点出发了 A.4s B.4 s或4s C.8 s或8s 。 4如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=6cm,BC= 8cm,点P从点A开始以1cm/s的速度沿边AB 向点B移动，与此同时，点Q从点B开始以 2cm/s的速度沿边BC向点C移动.点P,Q分 别从点A,B同时出发，当点Q移动到点C时，两 点停止移动.问： (1)经过多长时间，△PBQ的面积等于8cm2? 340