25.2.4 根与系数的关系 同步练习 2026—2027学年人教版数学九年级上册

**基本信息** 本同步练习以“一元二次方程的根与系数的关系”为核心，通过三级难度分层设计，构建从基础应用到综合拓展的知识巩固路径，培养运算能力、推理意识与模型观念。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |★☆☆（14题）|韦达定理直接应用（求两根和/积、已知一根求另一根）|以选择/填空题为主，如第1-5题直接考查两根和积，第6题已知一根求另一根，夯实概念理解| |★★☆（10题）|韦达定理变形应用（如x₁²+x₂²、构造方程、参数取值范围）|引入解答题与开放题，如第22题分析两根为正数时m的范围，第24题规律探究，发展推理能力| |★★★（4题）|综合应用（含参数综合题、三次方运算、实际情境建模）|如第25题求x₁³+x₂³，第27题结合判别式与代数式最值，培养数学思维与应用意识|

第二十五章 一元二次方程 25.2.4 一元二次方程的根与系数的关系 难度：★☆☆ 1. 若一元二次方程 x² - 5x + 6 = 0 的两根为 x₁、x₂，则 x₁ + x₂ 的值为（ ） A. 5 B. -5 C. 6 D. -6 2. 方程 x² + 3x - 4 = 0 的两根之积为（ ） A. 3 B. -3 C. 4 D. -4 3. 若方程 2x² - 4x + 1 = 0 的两根为 x₁、x₂，则 x₁ + x₂ 的值为（ ） A. 2 B. -2 C. 4 D. -4 4. 方程 x² + 6x + 9 = 0 的两根之和为（ ） A. 6 B. -6 C. 9 D. -9 5. 若方程 x² - 3x + k = 0 的两根为 x₁、x₂，且 x₁x₂ = 2，则 k 的值为（ ） A. 2 B. -2 C. 3 D. -3 6. 若 2 是方程 x² - 5x + m = 0 的一个根，则另一个根是（ ） A. 3 B. -3 C. 2 D. -2 7. 若关于 x 的方程 x² + px + q = 0 的两根为 3 和 -4，则（ ） A. p = 1，q = -12 B. p = -1，q = -12 C. p = 1，q = 12 D. p = -1，q = 12 8. 方程 3x² + 5x - 2 = 0 的两根之积与两根之和的比值为（ ） A. - B. C. - D. 9. 若 x₁、x₂ 是方程 x² - 4x + 1 = 0 的两根，则 x₁² + x₂² 的值为（ ） A. 14 B. 16 C. 18 D. 20 10. 若关于 x 的方程 x² + (k-2)x-1 = 0 的两根互为倒数，则 k 的值为（ ） A. 4 B. 1 C. 2 D. -2 11. 已知关于 x 的方程 x² - 6x + k = 0 的两根为 α、β，且 α²β + αβ² = 18，则 k 的值为（ ） A. 3 B. -3 C. 6 D. -6 12. 观察下列方程及其两根的和与积： 方程①：x² - 2x + 1 = 0，x₁+x₂=2，x₁x₂=1 方程②：x² - 3x + 2 = 0，x₁+x₂=3，x₁x₂=2 方程③：x² - 4x + 3 = 0，x₁+x₂=4，x₁x₂=3 方程④：x² - 5x + 6 = 0，x₁+x₂=5，x₁x₂=6 根据规律，第 n 个方程是______，其根为______。 13. 阅读材料： 法国数学家韦达（Vieta，1540—1603）在《分析方法入门》中系统阐述了一元二次方程根与系数的关系。 对于方程 x² + px + q = 0，设两根为 α、β，则 (x-α)(x-β) = x²-(α+β)x+αβ = x²+px+q。 (1) 采用上述方法，写出方程 x² - 7x + 12 = 0 的两根之和与两根之积。 (2) 设方程 2x² - 5x + 1 = 0 的两根为 α、β，求 α² + β² 的值。 (3) 若方程 x² + px + q = 0 的两根满足 α+β = 6，αβ = 7，求 (α-β)² 的值。 14. 定义：若一元二次方程 ax² + bx + c = 0（a≠0）的两根 x₁、x₂ 满足 |x₁-x₂| = 1， 则称此方程为“邻根方程”。 (1) 判断方程 x² - 3x + 2 = 0 是否为“邻根方程”。 (2) 若方程 x² - (2k+1)x + k² + k = 0 是“邻根方程”，求 k 的值。 难度：★★☆ 15. 若方程 x² - 8x + m = 0 的两根为 2 和 6，则 m 的值为（ ） A. 8 B. -8 C. 12 D. -12 16. 已知关于 x 的方程 x² + 2x - m = 0 的两根平方和为 10，则 m 的值为（ ） A. 3 B. -3 C. 2 D. -2 17. 若 α、β 是方程 x² - 5x + 3 = 0 的两根，则 + 的值为（ ） A. B. C. - D. - 18. 以 2 和 -3 为根的一元二次方程是（ ） A. x² + x - 6 = 0 B. x² - x - 6 = 0 C. x² + x + 6 = 0 D. x² - x + 6 = 0 19. 若 x₁、x₂ 是方程 2x² - 3x - 5 = 0 的两根，则 x₁ - x₂ = ______。 20. 方程 x² + mx + 6 = 0 的两根之比为 2:3，则 m = ______。 21. 若 α、β 是方程 x² - 7x + 12 = 0 的两根，则以 、 为根的一元二次方程为______。 22. 若方程 x² - 3x + m = 0 的两根均为正数，则 m 的取值范围是______。 23. 求证：方程 x² - (a+b)x + ab = 0 的两根为 a 和 b。 24. 观察下列各组方程及其两根的和与积： x² - 2x + 1 = 0：和=2，积=1 x² - 4x + 4 = 0：和=4，积=4 x² - 6x + 9 = 0：和=6，积=9 x² - 8x + 16 = 0：和=8，积=16 根据规律，第 n 个方程是______，其两根之和为______，两根之积为______。 难度：★★★ 25. 若 x₁、x₂ 是方程 x² - 6x + 2 = 0 的两根，求下列各式的值： (1) x₁² + x₂² (2) |x₁ - x₂| (3) x₁³ + x₂³ 26. 已知关于 x 的方程 x² - 2(k+1)x + k² + 3 = 0 的两根为 x₁、x₂。 (1) 求 k 的取值范围。 (2) 若 x₁² + x₂² = 14，求 k 的值。 (3) 在(2)的条件下，求 |x₁ - x₂| 的值。 27. 已知关于 x 的方程 x² + (2m-1)x + m² = 0 有两个实数根 x₁、x₂。 (1) 求 m 的取值范围。 (2) 若 x₁² + x₂² = 5，求 m 的值。 (3) 求 x₁x₂ + x₁ + x₂ 的最小值。 28. 阅读材料： 古希腊数学家丢番图（Diophantus）在其著作《算术》中已经涉及到二次方程根与系数的关系问题。现代韦达定理由法国数学家韦达（François Viète）正式提出，用字母表示系数和根之间的关系。 (1) 以 3 和 -5 为根，写出一个一元二次方程。 (2) 若方程 x² - 5x + 6 = 0 的两根为 α、β，求 α³ + β³ 的值。 (3) 已知一个一元二次方程的两根分别为 +1 和 -1，求这个方程。 参考答案 1. A 2. D 3. A 4. B 5. A 6. A 7. A 解析：3+(-4)=-1=-p，p=1；3×(-4)=-12=q 8. B 解析：x₁+x₂=- ，x₁x₂=- ，比值= = 9. A 解析：x₁+x₂=4，x₁x₂=1，x₁²+x₂²=16-2=14 10. C 解析：两根互为相反数，则 x1 +x2 =0韦达定理：x1+x2 =−(k−2)=0−k+2=0⇒k=2 11. A 解析：α+β=6，αβ=k，α²β+αβ²=6k=18，k=3 12. x²-(n+1)x+n=0，根为1和n 13. (1) 和=7，积=12 (2) 和= ，积= ，α²+β²= (3) (α-β)²=36-28=8 14. (1) 是，|2-1|=1 (2) 由(x-k)(x-k-1)=0得|(k+1)-k|=1，恒满足，k为任意实数 。 15. C 16. A 17. A 18. A 19. ± 20. 5或-5 解析：设两根2t,3t，和5t=-m，积6t²=6，t=±1，当t=1根2,3，m=-5；当t=-1根-2,-3，m=5 21. 12y²-7y+1=0 22. 0<m≤ 23. (x-a)(x-b)=x²-(a+b)x+ab 24. x²-2nx+n²=0，和=2n，积=n² 25. (1) x₁+x₂=6，x₁x₂=2，x₁²+x₂²=36-4=32 (2) |x₁-x₂|===2 (3) x₁³+x₂³=(x₁+x₂)³-3x₁x₂(x₁+x₂)=216-36=180 26. (1) Δ=4(k+1)²-4(k²+3)=8k-8≥0，k≥1 (2) 4(k+1)²-2(k²+3)=14，k=-2±2，结合k≥1得 k=-2+2 (3) |x₁-x₂|== 27. (1) Δ=(2m-1)²-4m²=-4m+1≥0，m≤ (2) x₁+x₂=-(2m-1)，x₁x₂=m²，(2m-1)²-2m²=5，m=1±结合m≤ 得m=1- (3) x₁x₂+x₁+x₂=m²-(2m-1)=m²-2m+1=(m-1)²，m≤ 时最小值=( -1)²= 28. (1) x²+2x-15=0 (2) α³+β³=35 (3) x²-2x+2=0 学科网（北京）股份有限公司 $