25.2.4 根与系数的关系 同步练习 2026—2027学年人教版数学九年级上册

第二十五章  一元二次方程

25.2.4 一元二次方程的根与系数的关系

难度：★☆☆

1. 若一元二次方程 x² - 5x + 6 = 0 的两根为 x₁、x₂，则 x₁ + x₂ 的值为（   ）

A. 5            B. -5            C. 6    D. -6

2. 方程 x² + 3x - 4 = 0 的两根之积为（   ）

A. 3           B. -3         C. 4   D. -4

3. 若方程 2x² - 4x + 1 = 0 的两根为 x₁、x₂，则 x₁ + x₂ 的值为（   ）

A. 2            B. -2            C. 4            D. -4

4. 方程 x² + 6x + 9 = 0 的两根之和为（   ）

A. 6            B. -6            C. 9            D. -9

5. 若方程 x² - 3x + k = 0 的两根为 x₁、x₂，且 x₁x₂ = 2，则 k 的值为（   ）

A. 2            B. -2            C. 3            D. -3

6. 若 2 是方程 x² - 5x + m = 0 的一个根，则另一个根是（   ）

A. 3            B. -3            C. 2            D. -2

7. 若关于 x 的方程 x² + px + q = 0 的两根为 3 和 -4，则（   ）

A. p = 1，q = -12           B. p = -1，q = -12

C. p = 1，q = 12             D. p = -1，q = 12

8. 方程 3x² + 5x - 2 = 0 的两根之积与两根之和的比值为（   ）

A. -             B.               C. -           D.   

9. 若 x₁、x₂ 是方程 x² - 4x + 1 = 0 的两根，则 x₁² + x₂² 的值为（   ）

A. 14            B. 16            C. 18            D. 20

10. 若关于 x 的方程 x² + (k-2)x-1 = 0 的两根互为倒数，则 k 的值为（   ）

A. 4            B. 1            C. 2            D. -2

11. 已知关于 x 的方程 x² - 6x + k = 0 的两根为 α、β，且 α²β + αβ² = 18，则 k 的值为（   ）

A. 3            B. -3            C. 6            D. -6

 

12. 观察下列方程及其两根的和与积：

方程①：x² - 2x + 1 = 0，x₁+x₂=2，x₁x₂=1

方程②：x² - 3x + 2 = 0，x₁+x₂=3，x₁x₂=2

方程③：x² - 4x + 3 = 0，x₁+x₂=4，x₁x₂=3

方程④：x² - 5x + 6 = 0，x₁+x₂=5，x₁x₂=6

根据规律，第 n 个方程是______，其根为______。

13. 阅读材料：

法国数学家韦达（Vieta，1540—1603）在《分析方法入门》中系统阐述了一元二次方程根与系数的关系。

对于方程 x² + px + q = 0，设两根为 α、β，则 (x-α)(x-β) = x²-(α+β)x+αβ = x²+px+q。

(1) 采用上述方法，写出方程 x² - 7x + 12 = 0 的两根之和与两根之积。

(2) 设方程 2x² - 5x + 1 = 0 的两根为 α、β，求 α² + β² 的值。

(3) 若方程 x² + px + q = 0 的两根满足 α+β = 6，αβ = 7，求 (α-β)² 的值。

 

 

 

14. 定义：若一元二次方程 ax² + bx + c = 0（a≠0）的两根 x₁、x₂ 满足 |x₁-x₂| = 1，

则称此方程为“邻根方程”。

(1) 判断方程 x² - 3x + 2 = 0 是否为“邻根方程”。

(2) 若方程 x² - (2k+1)x + k² + k = 0 是“邻根方程”，求 k 的值。

 

 

 

 

 

 

 

 

难度：★★☆

15. 若方程 x² - 8x + m = 0 的两根为 2 和 6，则 m 的值为（   ）

A. 8            B. -8            C. 12            D. -12

16. 已知关于 x 的方程 x² + 2x - m = 0 的两根平方和为 10，则 m 的值为（   ）

A. 3            B. -3            C. 2            D. -2

17. 若 α、β 是方程 x² - 5x + 3 = 0 的两根，则 +  的值为（   ）

A.                B.              C. -              D. -

18. 以 2 和 -3 为根的一元二次方程是（   ）

A. x² + x - 6 = 0             B. x² - x - 6 = 0

C. x² + x + 6 = 0             D. x² - x + 6 = 0

19. 若 x₁、x₂ 是方程 2x² - 3x - 5 = 0 的两根，则 x₁ - x₂ = ______。

20. 方程 x² + mx + 6 = 0 的两根之比为 2:3，则 m = ______。

21. 若 α、β 是方程 x² - 7x + 12 = 0 的两根，则以 、 为根的一元二次方程为______。

22. 若方程 x² - 3x + m = 0 的两根均为正数，则 m 的取值范围是______。